函数的基础知识大全

函数基础知识大全

§1.2.1、函数的概念

1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B

中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全

一致，则称这两个函数相等.

3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

§1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

1.函数的三种表示法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

2.求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；

（3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．

求函数解析式的常用方法：

1、换元法（ 注意新元的取值范围）

2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

3、整体代换（配凑法）

4.赋值法：

3.映射的定义：

一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.

4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2求函数定义域一般有三类问题：

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：

掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；

（1）分式的分母不为0；（2）偶次方根的被开方数不小于0；（3）对数函数的真数大于0；（4）指数函数、对数函数的底数大于0且不等于1；（5）零指数、负指数幂的底数不等于0.

②① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

2．函数值域的求法：

①直接法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法（11）分离常数法；（12）反函数法；（13）

数形结合法。

3求函数值域的各种方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；

(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域

①直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；

反比例函数)0(≠=k x

k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2-≥}； 当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2-≤} ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；

③分式转化法（或改为“分离常数法”）

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k x

k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域

⑨逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d

cx b ax y ∈++= ⑩判别式法

⑾.导数法：

6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),x (a,b),u (m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u 称为中间变量，它