1-3-2 诱导公式五、六
7.2.3 三角函数的诱导公式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
图示
角π-α与角α
的终边关于
y轴对称
公式
sin(π-α)= sin α ,cos(π-α)= -cos α ,tan(π-α)= -tan α
4.诱导公式四
终边关系
图示
角π+α与角α
的终边关于
原点对称
公式
sin(π+α)= -sin α ,cos(π+α)= -cos α ,tan(π+α)= tan α
解 由
=3+2√2,
1-tan(-360°)
1+tan
2
得
=3+2√2,∴tan θ= 2 .
1-tan
cos2 +sincos+2sin2
2
原式=
=1+tan
θ+2tan
θ
2
cos
2
22
2
=1+ +2×( ) =2+ .
2
2
2
素养形成
思想方法——分类讨论思想在诱导公式中的应用
cos(π-)sin(π-)
-sin(-sin)cos sin
=
==-tan α.
cos
cos(-cos)sin
1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°)
(2)原式= sin(180°+70°)+cos(720°+70°)
1-2sin70°cos70°
|cos70°-sin70°|
变式训练2化简下列各式:
cos(π+)cos(3π-)tan(π+)
(1)
;
1.2.3三角函数的诱导公式2
小结
诱导公式
2 k 2 "偶" " 奇 " 3 2 2 不 变 变 n n 2 符号看 " 象限 " 2 n为奇数 n为偶数
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 四：
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
公式五
• 复习初中知识
sin 30
cos60 sin45 cos45 sin60 cos30
y
P( x, y)
p4 ( y, x )
cos(
2
O
A(1,0)
2
公式六
2
• 用公式五证明下式成立
) cos ) sin
p5 ( y, x )
2
sin(
cos(
2
y
P( x, y)
O
A(1,0)
诱导公式五： 诱导公式六： sin( ) cos , sin( ) cos , 2 2 cos( ) sin . cos( ) sin . 2 2 函数名改变，符号看象限
0
) 3, 例3. 已. 4cos( ) sin(2 )
综合练习
求值或化简 1.sin 1 sin 2 sin 3
2 2 2
sin 89
2
sin cos sin cos 2 2 2 . 2. cos sin
高中数学5-3诱导公式第二课时诱导公式五六课件新人教A版必修第一册
2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的 关系． (2)公式一～六的记忆口诀和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
[典例 1] (1)若 cos(π＋A)＝13，那么 sin32π－A的值为
1 A.3
B．－13
23 C. 3
2．诱导公式五、六的作用： 利用诱导公式五或六，可以实现 正弦函数 与 余弦函数 的相互转化． [微思考] 在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋2 C， ∴sinA2＝sinπ2－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C.
第二课时 诱导公式五、六
明确目标
发展素养
1.了解公式五和公式六的推导方法． 1.借助诱导公式求值，培养数学
2.能够准确记忆公式五和公式六．
运算素养．
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式 2.通过诱导公式进行化简和证明，
的化简、求值和证明.
提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空 1．诱导公式五和公式六：
③f(cos x)＝fsinπ2－x＝sinkπ2－x
－sin kx，k＝4n，n∈Z，
＝sink2π－kx＝csions
kx，k＝4n＋1，n∈Z， kx，k＝4n＋2，n∈Z，
－cos kx，k＝4n＋3，n∈Z.
故 f(cos x)＝cos kx 成立的条件是 k＝4n＋1，n∈Z .
＝－ssininαα－＋c2ossinα
α＝sin
sin α α－cos
α＝tatnanα－α 1＝2－2 1＝2＝右边，
诱导公式
诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
编辑本段常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈zcot（2kπ+α）=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
三角函数 高中数学诱导公式大全
常用得诱导公式有以下几组:公式一:设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二:设α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系: sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一与公式三可以得到2π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α得三角函数值之间得关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时,将a瞧成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于π/2*k ±α(k∈Z)得三角函数值,①当k就是偶数时,得到α得同名函数值,即函数名不改变;②当k就是奇数时,得到α相应得余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan、(奇变偶不变)然后在前面加上把α瞧成锐角时原函数值得符号。
高二数学三角函数的诱导公式3
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
讲授新课
例3. 已知tan( ) 3, 求：2cos( ) 3sin( ) 的值.
4cos( ) sin(2 )
讲授新课
例4. 已知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
5
求 2sin( ) 3 tan( 3 ) 的值. 4cos( 3 )
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
讲授新课
小结
1_3三角函数的诱导公式
第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）[教学目标] 一、知识与水平：（1）理解三角函数诱导公式二～四的推导过程，在探究的过程中体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式一～四的应用，能准确使用诱导公式求任意角的三角函数值； （3）培养学生借助图形直观实行观察、感知、探究、发现的水平，进一步掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维水平.二、过程与方法：借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与-α ，απ- ，απ+ 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用三角函数线得出相对应的关系式）；三、情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心.[教学重点]用联系的观点，发现、证明及使用诱导公式，体会数形结合思想、渗透转化思想在解决数学问题中的指导作用.[教学难点]如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与 的终边相同以及关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法.[教学方法]创设情境—主体探究—合作交流—应用提升． [教学过程]一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 （一）复习：(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：(,)P x y 为角α的终边与单位圆的交点，则sin y α=，cos x α=；(2)由三角函数定义能够知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．即有：sin(2)sin (),cos(2)cos (),(tan(2)tan (),k k Z k k Z k k Z απααπααπα+=∈+=∈+=∈公式一）（二）引入新课先让同学们思考单位圆的对称性并举出一些特殊的对称轴和对称中心，如x 轴，y 轴，y x =，原点．这些对称性对三角函数的性质有什么影响呢？先思考阅读教科书第23页的“探究”．1、角的对称关系： 给定一个角α，发现：1）终边与角α的终边关于原点对称的角能够表示为π+α； 同样，让学生探究问题(2) ，(3)不难发现．2）终边与角α的终边关于x 轴对称的角能够表示为α-（或2π-α）； 3）终边与角α的终边关于y 轴对称的角能够表示为：π-α； 4）终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角能够表示为π2α-． 2、三角函数的关系 诱导公式二：以问题（1）为例，引导学生去思考，角的对称关系怎样得出三角函数的关系？ 角α————角π+α终边与单位圆交点(,)P x y ————(,)P x y '-sin y α= ————sin(π+)=-y α∴sin(π+)=-sin αα同理，cos(π+)x α=-， cos x α=，cos(π+)α=tan(π+)=tan yxαα=∴tan(π+)=tan αα即诱导公式二：sin(π)sin αα+=- cos(π+)cos αα=- tan(π)tan αα+= 请同学们自己完成公式三、四的推导： 诱导公式三：sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=-诱导公式四：sin(π)sin αα-=cos(π)cos αα-=- tan(π)tan αα-=-让学生把探究诱导公式二、三、四的思想方法总结概括，引导学生得出： 圆的对称性——————角的终边的对称性对称点的数量关系 角的数量关系三角函数关系即诱导公式总结规律，引导学生记忆学过的四组公式，即：22πk α+(Z)k ∈ ， α-， πα±的三角函数值，等于α角的同名三角函数值，前面加上一个把α角看成锐角时的原函数的符号．二、巩固探究例1．求以下三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-； （3）tan(1560)-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值.解析：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-（诱导公式四）2=-． （2）4343cos()cos66ππ-=（诱导公式二） 77cos(6)cos 66πππ=+=（诱导公式一）cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式四）=． （3）tan(1560)tan1560(tan(4360120)-=-=-⨯+公式二）tan120(tan(18060)tan 60(=-=--==公式一）公式三）小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化大于360的正角的三角函数为)0,360⎡⎣内的三角函数；③化)0,360⎡⎣内的三角函数为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．例2 ：化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--．解析：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅-2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=． 总结：（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用四组诱导公式就能够将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. 其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
1-3-2诱导公式五、六
1-3-2诱导公式五、六一、选择题1．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13[答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]． ＝sin(α＋π4)＝13.2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35， ∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.3．已知sin α＝513，则cos(π2＋α)等于( ) A.513 B.1213 C ．－513D ．－1213[答案] C[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－513.4．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由已知，得sin α＝12， 则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12.5．已知sin10°＝k ，则cos620°等于( ) A ．k B ．－k C ．±k D.1－k 2[答案] B[解析] cos620°＝cos(360°＋260°) ＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80° ＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k .6．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D.24[答案] A[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π2，0)，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223， 则tan α＝sin αcos α＝－2 2.7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，sin(α－5π)·sin(3π2－α)等于( )A.34B.310 C ．±310 D ．－310[答案] B[解析] sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1＝310.8．若f (cos x )＝cos3x ，那么f (sin30°)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.32[答案] C[解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1，故选C.9．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( ) ①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A 2 ③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③[答案] C[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，∴①错，排除B 、D ；cos B ＋C 2＝cos π－A 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A2，∴②正确，排除A ，∴选C.10．tan110°＝k ，则sin70°的值为( ) A ．－k1＋k 2 B.k 1＋k 2 C.1＋k 2k D ．－1＋k 2k[答案] A[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ， 又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，∴cos70°＝－1k sin70°代入sin 270°＋cos 270°＝1中得，sin 270°＝k 2k 2＋1，∵k <0，sin70°>0， ∴sin70°＝－k1＋k 2 . 二、填空题11．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π2－α)＝________. [答案] 34[解析] ∵sin(π2＋α)＝cos α＝34， ∴sin(π2－α)＝cos α＝34.12．化简cos (52π－α)cos (－α)sin (32π＋α)cos (212π－α)＝________. [答案] －1 [解析] 原式＝cos[2π＋(π2－α)]cos αsin[π＋(π2＋α)]cos[10π＋(π2－α)]＝cos (π2－α)cos α－sin (π2＋α)cos (π2－α) ＝sin αcos α－cos αsin α＝－1.13．若cos(π6 －α)＝a ，则sin(2π3－α)＝________. [答案] a[解析] ∵cos(π6－α)＝cos(2π3－α－π2) ＝cos[π2－(2π3－α)]＝sin(2π3－α)， ∴sin(2π3－α)＝a .14．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．[答案] 912[解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N )∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.三、解答题15．(2011～2012·宜春高一检测)化简： cos (2π－α)sin (3π＋α)cos (3π2－α)cos (－π2＋α)cos (α－3π)sin (－π－α). [解析] 原式＝cos α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)sin α＝－1.16．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°. 求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．[解析] 由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)，得sin α＝1010，cos α＝31010，∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α ＝－1010－31010－31010＋1010＝2.17．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 3αcos (π2－α)cos (π2＋α)的值． [解析] 由已知得sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45. ∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34.18．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. [证明] ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π2－β，k ∈Z . ∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan[2(2k π＋π2－β)＋β]＋tan β ＝tan(4k π＋π－4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0. 即tan(2α＋β)＋tan β＝0.。
高考必备数学公式大全
高考必备数学公式大全一、集合。
1. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}- 补集：∁_UA={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）2. 集合元素个数公式。
- n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)二、函数。
1. 函数的定义域。
- 分式函数y = (f(x))/(g(x))，定义域为g(x)≠0的x的取值范围。
- 偶次根式函数y=sqrt[n]{f(x)}（n为偶数），定义域为f(x)≥slant0的x的取值范围。
2. 函数的单调性。
- 设x_1,x_2∈[a,b]且x_1，对于函数y = f(x)- 若f(x_1)，则y = f(x)在[a,b]上是增函数，f^′(x)≥slant0（可导函数时）。
- 若f(x_1)>f(x_2)，则y = f(x)在[a,b]上是减函数，f^′(x)≤slant0（可导函数时）。
3. 函数的奇偶性。
- 对于函数y = f(x)，定义域关于原点对称。
- 若f(-x)=f(x)，则y = f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。
- 若f(-x)= - f(x)，则y = f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。
4. 一次函数y=kx + b（k≠0）- 斜率k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}，截距为b。
5. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)- 对称轴x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 当a>0时，函数开口向上，在x =-(b)/(2a)处取得最小值frac{4ac -b^2}{4a}；当a<0时，函数开口向下，在x =-(b)/(2a)处取得最大值frac{4ac -b^2}{4a}。
6. 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)- 性质：当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。
学案3：5.3 诱导公式(二)
5.3 诱导公式(二)【新知初探】知识点 诱导公式五、六状元随笔 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通． [教材解难]准确记忆六组诱导公式(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．(2)这六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．【基础自测】1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫2 0172π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x2．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A.15B ．－15C ．－265D.2654．sin 95°＋cos 175°的值为________．【课堂探究】题型一 利用诱导公式求值例1 已知sin(53°－α)＝15，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．状元随笔 注意到(53 °－α)＋(37 °＋α)＝90 °，如果设β＝53 °－α，γ＝37 °＋α，那么β＋γ＝90 °，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题． 方法归纳利用诱导公式五、六求值的三个关注点(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于k π±α和π2±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如π4±α，π6＋α与π3－α的关系．跟踪训练1 若cos(π＋α)＝－105，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 解题要点 由cos(π＋α)可求出cos α，进而可求sin α，tan ⎝⎛⎭⎫3π2＋α可化为sin α，cos α的关系． 题型二 利用诱导公式证明恒等式[经典例题] 例2 求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).状元随笔 等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明． 方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则． (2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用． (3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.跟踪训练2 求证：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin 2α.解题要点 等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明． 题型三 诱导公式的综合应用[经典例题]例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)．(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．状元随笔 首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题． 方法归纳用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫a ，35， 求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α的值．解题要点 首先注意α的范围．求出a 的范围与值再利用诱导公式求值．【学业达标】一、选择题1．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A 等于( ) A ．－12B.12 C ．－32D.322．下列式子与sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2相等的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ B ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ C ．cos ⎝⎛⎭⎫32π－θD ．sin ⎝⎛⎭⎫32π＋θ3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0D.234．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos CB ．sin(A ＋B )＝－sin CC ．cos A ＋C 2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2二、填空题5．若cos α＝－513，且α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π2＝________. 6．求tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝________.7．已知cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)＝________. 三、解答题8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，求下列各式的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α； (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π39．化简：(1)cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (2)sin(－α－5π)cos ⎝⎛⎭⎫α－π2－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos(α－2π)．10．在△ABC 中，已知sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．【参考答案】【新知初探】知识点 诱导公式五、六 cos α sin α cos αsin α【基础自测】1．解析：sin ⎝⎛⎭⎫2 0172π＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫1 008π＋π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x 答案：B2．解析：由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 答案：B3．解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.答案：B4．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0【课堂探究】题型一 利用诱导公式求值 例1解析：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β. 于是sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°. 由sin β＝15>0，得143°<β<180°.所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫152＝－265， 所以sin(37°＋α)＝sin γ＝－265. 跟踪训练1解析：因为cos(π＋α)＝－105，所以cos α＝105，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－155， 所以tan ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝105155＝1015＝63. 答案：63题型二 利用诱导公式证明恒等式[经典例题] 例2【解析】 证明：右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立. 跟踪训练2解析：证明：左边＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·[－sin(2π－α)]cos α＝sin αcos α[－(－sin α)]cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝右边， 故原式成立．题型三 诱导公式的综合应用[经典例题] 例3【解析】 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，又cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－sin α， 即sin α＝－15，而α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265， 所以f (α)＝－cos α＝265.(3)α＝－313π时，f (α)＝－cos α＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12. 跟踪训练3解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P ⎝⎛⎭⎫a ，35， 所以a 2＋925＝1(a <0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫－32×－4535＝2.【学业达标】一、选择题1．解析：cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 答案：B2．解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos θ， 对于A ，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ； 对于B ，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－sin θ； 对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－cos θ. 答案：D3．解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：B4．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错；∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错； ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 对． 答案：D 二、填空题5．解析：因为cos α＝－513，且α是第三象限角，所以sin α＝－1213，cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝1213. 答案：12136．解析：原式＝tan (－α)(－sin α)cos (－α)(－cos α)·sin α＝－tan α(－sin α)cos α－cos α·sin α＝－tan α.答案：－tan α7．解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α) ＝－cos αsin α(－tan α)＝sin 2α＝1－cos 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89. 答案：89三、解答题8．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 9．解：(1)原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝cos (π－α)sin α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α)＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α)＝－cos 2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos αcos[－(2π－α)] ＝sin[－(α＋π)]cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos αcos(2π－α) ＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sin 2α＋cos 2α ＝1.10．解：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又sinA ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴cos C ＝cos B ， 又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， 故△ABC 为等腰三角形．。
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
三角函数总结大全附记忆口诀
三角函数总结大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面为大家整理的三角函数公式大全：（一）任意角的三角函数及诱导公式1．任意角概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
3.诱导公式
诱导公式三角函数诱导公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2k的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数）,符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了，特殊角能求值则求值。
诱导公式诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαc o s )2c o s(=+k απαtan )2tan(=+k 。
诱导公式二：ααπsin )sin(-=+ ααπc o s )c o s(-=+ ααπtan )tan(=+。
诱导公式三：ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- ααtan )tan(-=-。
诱导公式四：ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-。
诱导公式五：ααπcos )2sin(=+ ααπs i n )2c o s (-=+。
诱导公式六：ααπcos )2sin(=- ααπs i n )2c o s (=-。
题型一、简单题： 1、若35)2cos(=-απ，且)0,2(πα-∈，则sin()πα-=__________2、【10~11厦门高一下质检13】若()πθ,0∈，53)cos(=+θπ，则θsin =3、[2015·滨州模拟]sin600°＋tan240°的值等于( )A. －32B. 32C. 3－12D. 3＋124、[2015·东北三省四市联考]已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tanα＝－34，则sin(α＋π)等于( ) A. 35 B. －35 C. 45 D. －455、[2015·石家庄模拟]tan(－1410°)的值为( )A. 33B. －33C. 3D. － 36、已知35)2sin(-=-，则)22cos(+π的值为（ ）A ．35B ．35-C ．32D ．32-7、[2015·沈阳质检]如果sin(π＋A)＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 中等题：1、下列关系式中正确的是（ ）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<<2、已知2,(,31)125cos(ππααπ--∈=+，则)12cos(απ-等于（ ）A ．332 B ．31C ．31-D ．332-3、记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=（ ）A ．k B ． C D ．4、已知a =200sin ，则160tan 等于（ ）A ．21a a --B ．21aa- C ．a a 21-- D ．a a 21-5、下列各数中与sin2015°的值最接近的是( )A. 12B. 32C. －12D. －326、若m -=++-)(sin )(sin απα，则=++-)(3sin )(2sin 2απαπ（ ）7、[2015·金版原创]已知sin(π5－x)＝35，则cos(710π－x)＝________.8、若1sin()63πα-=，则2cos()3πα-=9、已知(cos )cos 2f x x =，(sin15)f =______；已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为______10、若x x f 9cos )(cos =，则)(sin x f 的表达式为______11、23)6cos(=-απ已知，则6(sin )65cos(2πααπ--+的值为 。
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能 力 提 升
一、选择题
1．(2013·广东文)已知sin(5π2＋α)＝1
5，那么cos α＝( )
A ．－2
5
B ．－15
C.15
D.25
[答案] C
[解析] 本题考查诱导公式，由sin(π2＋α)＝cos α＝1
5，知选C.
2．已知sin α＝513，则cos(π
2＋α)等于( )
A.5
13 B.1213 C ．－513
D ．－1213
[答案] C
[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－5
13
.
3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π
2－α)等于( )
A ．－1
2
B.12
C.32
D ．－
32
[答案] A
[解析] 由已知，得sin α＝1
2，
则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12
.
4．(山东济南一中12－13期中)若sin(π3－α)＝13，则cos(5π
6－α)
的值为( )
A.1
3 B ．－13
C.223
D ．－
22
3
[答案] B
[解析] cos(5π6－α)＝cos[π2＋(π
3－α)]
＝－sin(π3－α)＝－1
3
.
5．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π
2，0)，则tan α等于( )
A ．－2 2
B ．2 2
C ．－
24
D.24 [答案] A
[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π
2，0)，
所以sin α＝－1－cos 2
α＝－22
3
，
则tan α＝sin α
cos α＝－2 2.
6．若
sin α＋cos αsin α－cos α
＝2，sin(α－5π)·sin(3π
2－α)等于( )
A.34
B.310 C ．±310
D ．－310
[答案] B
[解析] sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－
sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1＝3
10
.
二、填空题
7．已知α是锐角，且2tan(π－α)－3cos(π
2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)
＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是______________．
[答案] 310
10
[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，∴tan α＝3.又tan α＝sin αcos α
，
∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，sin 2
α＝910.
∵α为锐角，∴sin α＝31010
.
8．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π
2－α)＝________.
[答案] 3
4
[解析] ∵sin(π2＋α)＝cos α＝3
4，
∴sin(π2－α)＝cos α＝3
4
.
9．化简cos (5
2
π－α)cos (－α)
sin (32π＋α)cos (21
2π－α)
＝________.
[答案] －1 [解析] 原式
＝
cos[2π＋(
π
2－α)]cosα
sin[π＋(
π
2＋α)]cos[10π＋(
π
2－α)]
＝
cos(
π
2－α)cosα
－sin(
π
2＋α)cos(
π
2－α)
＝sinαcosα
－cosαsinα
＝－1.
三、解答题
10．(2011～2012·宜春高一检测)化简：
cos(2π－α)sin(3π＋α)cos(3π
2－α)
cos(－π
2＋α)cos(α－3π)sin(－π－α)
.
[解析]原式＝cosα(－sinα)(－sinα)
sinα(－cosα)sinα
＝－1.
11．若sin(180°＋α)＝－
10
10，0°<α<90°.
求
sin(－α)＋sin(－90°－α)
cos(540°－α)＋cos(－270°－α)
的值．
[解析]由sin(180°＋α)＝－
10
10，α∈(0°，90°)，得sinα＝
10
10，
cosα＝310 10，
∴原式＝
－sinα－sin(90°＋α)
cos(360°＋180°－α)＋cos(270°＋α)
＝－sinα－cosα－cosα＋sinα
＝－
1010－31010－31010＋
1010＝2.
12．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π
2
－α)tan 3α
cos (π2－α)cos (π2
＋α)
的值．
[解析] 由已知得sin α＝－35
.
∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－4
5
.
∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)
3
sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝3
4.。