金融数学引论第三章北大

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金融数学引论简化版利息理论部分1-3

(3) 某人有10万元本金，准备投资5年，请根据以上分析,提供几种投资方案.
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1.1.3 贴现函数
考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算? 定义1.7.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现值。称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。定义1.8 记对应利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相应的1+i称为累积因子）
利息理论
参考书：金融数学引论吴岚黄海编著
北京大学出版社 2005
1
第一章利息基本计算
利息基本函数
利率现值名利率与名贴现率利息力与贴现力
利息基本计算
2
在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。
4
2) d 4 6% 设累积值为x,则
100

x
1
6% 4
42

x
1001
6% 4
42
112.85
22
名利率与名贴现率之间的关系
i 考虑 (m) 与 d ( p)
1 i [1 i(m) ]m [1 d (P) ] p
m
p
如果m=p,则
4
1.1.1 累积函数
定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。

北大版金融数学引论答案

如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。

计算X 。

解：S = 1000s 20p 7%+Xs10p 7%X =50000 1000s20p 7%s 10p7%=2．价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

解：设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a48%解得X =3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1。

试计算该年金的现值。

解：P V = na npi1 v nn = n 1n= (n + 1)nn 2n n+2(n + 1)n4．已知：a n p= X ，a2n p= Y 。

试用X和Y 表示d 。

解： a 2np = a np + a np (1 d)n则Y Xd = 1 ( X )5．已知：a 7p = , a 11p= , a 18p= 。

计算i 。

解：a18p= a 7p + a11pv7解得 6.证明： 11v =s +a 。

解：P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% =8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。

然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。

【北大经济学院14春】金融经济学导论第三次课(1)

第二讲期望效用函数分析5、风险态度•公平博弈：– 定义：期望收益为0的博弈 –数学表示2) 1 ( 2 1 = - + h p ph5、风险态度• 风险态度的分类– 风险厌恶（risk averse）：不接受公平赌博，或者认为接受和不接受没有差别• 严格风险厌恶：不接受公平赌博• 风险中性（risk neutral）：认为接受和不接受没有差别• 风险爱好（risk loving or risk seeking）愿意接受公平赌博3风险和效用的关系4• G （100元，0：10%）10元喜欢风险者（risk lover ） • G （100元，0：10%）~10元风险中性（risk neutral ） • G （100元，0：10%）10元风险回避者（risk averter ）100´0.1＋0´0.9＝10fp3.1 风险态度定义：• 如果U[E(W)]>E[U(W)]，风险回避者 • 如果U[E(W)]=E[U(W)]，风险中性 • 如果U[E(W)]<E[U(W)]，喜爱风险5()() ()() ()() i i i i i i i i i i i iU p x pU x U p x pU x U p x pU x > = < åå åå åå5、风险态度• 风险态度（厌恶、爱好或中性）的几种表示法– 定义法– 效用函数的二阶导数、效用函数形状及数学表示法65、风险态度7BCAD W0+h2W0 W0+h1E5、风险态度• 风险态度（厌恶、爱好或中性）的几种表示法– 风险溢价（risk premium）的正负:图中的 CD.– 绝对风险厌恶的正负8风险承受能力的人口统计学特征• （1）绝对风险承受能力与个人财富正相关，与其获得方式也相关，财产继承人和财产创造者相比，后者的风险承受能力较高。

利息理论第三章课后答案

《金融数学》课后习题参考答案第三章收益率1、某现金流为：元，元，元，元，求该现金流的收益率。

解：由题意得：2、某投资者第一年末投资7000元，第二年末投资1000元，而在第一、三年末分别收回4000元和5500元，计算利率为及时的现金流现值，并计算该现金流的内部收益率。

解：由题意得：当时，当时，令3、某项贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12%，若第一年后还款400元，第5年后还款800元，余下部分在第7年后还清，计算最后一次还款额。

解：由题意得：4、甲获得100000元保险金，若他用这笔保险金购买10年期期末付年金，每年可得15380元，若购买20年期期末付年金，则每年可得10720元，这两种年金基于相同的利率，计算。

解：由题意得： 08688.010720153802010=⇒=i a a i i5、某投资基金按积累，，在时刻0基金中有10万元，在时刻1基金中有11万元，一年中只有2次现金流，第一次在时刻时投入15000元，第二次在时刻时收回2万元，计算k。

解：由题意得：6、某投资业务中，直接投资的利率为8%，投资所得利息的再投资利率为4%，某人为在第10年末获得本息和1万元，采取每年末投资相等的一笔款项，共10年，求证每年投资的款项为：。

证明：7.某投资人每年初在银行存款1000元，共5年，存款利率为5%，存款所得利息的再投资利率为4%，证明：V（11）=1250（。

V(11)=1000[5(1++(Is)8.甲年初投资2000元，年利率为 17%，每年末收回利息，各年收回的利息按某一利率又投资出去，至第10 年末，共得投资本息和元。

乙每年末投资150元，年利率14%，共20年，每年收回的利息按甲的再投资利率投资。

计算乙在第20年末的投资本息和。

9.某投资基金年初有投资2万元，年收益率为12%，3月末又投入资金5000元，9月末赎回资金8000元，假设1-t it=(1-t)i 计算年末基金的资金量。

金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案1•解：JEt = O 代入得A(O) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(O)= (t 2 + 2t + 3) /3 In =A(n) 一 A(n 一 1)= (n 2 + 2n + 3) - ((n - I)2 + 2(n - 1) + 3))= 2n + l 2.解:(1)1 = A(n)-A(t) = I n +I nl + ∙ ∙ ÷I t+1 =n(n+ l)∕2-t(t+ 1)/2 (2)I = A(n)-A(t)= Y J l k = 2π+, -2,+,A-r÷l3•解：由题意得a(0) = I Z a(3) =A(3)/A(O)= => a = , b = 1 ∕∙ A(5) = 100A(IO)=A(O) ∙ a(10) = A(5) ∙ a(10)/ a(5)= 100 X 3 = 300.4.解：(l)i5 =(A(5) - A(4))∕A(4)=5120^ % ilθ =(A(IO) - A ⑼)∕A(9)=5145≈ %(2)i5 =(A(5) 一 A(4))∕A(4)IOO(I + 0.1)5-l∞(l + 0.1)4IOo(I + o.ιy l5•解:A(7) = A(4)(l + i5)(l + i6)(l + i7) =1000 XXX6•解：设年单利率为i500(1 + = 615解得i = %设500元需要累积t 年500(1 + t × %) = 630解得t = 3年4个月 }7•解：设经过t 年后，年利率达到％1 + 4%×t= (1 + 2.5%)1 t Q8. 解ι(l + i)11 = (l + i)5+2*3 = XY 39. 解：设实利辜为i600[(l + i)2 一 1] = 264解彳gi = 20%：• A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10•解：设实利站为i10% i K)=(A(10)-A(9))∕A(9) =1∞(1 + 0.1)10-100(1 + 0.1)9 IOO(I + 0.1)910%---------- 1 ------- ~ (l + z)n (l + ∕)2n所以"=导》右11•解:由500×(l+ i)30 = 4∞0 => (l + i)30 = 8IOOOO I(XX)O IOOOo++ i)2°(1 +i)40 (1 +i)60=IOOO ×2 4 (8~+8~+8^2)12 解:(1 + i)a = 2(l + i)b =j (2)(l + i)c = 5 (3)3 + i)n =- (4) 2=> n ∙ In(I. + i) = In 5 -In 3⅝l∕ ⅝l∕11/ /k 牧→ In5 = c × ln(l + i) × (2) => In3 = (a + b) ■ In (1 + i) =C -(a + b)13•解：A ∙ i = 336 A ∙ d = 300 i —d = i ∙ d => A =2800 14•解：(1)10%'1 + 5x10%=%⑵ a-1(t) = 1 一=> a(t) = a(5)III δ A(t)= δ B(t)得t = 5)19・解：依题意,累积函数为a(t) = at2 + bt + 1 a = 0.25a ++ 1 =a(l) = a + b + 1 ==> a =b =于是 δ =≤222= 0.068a(0.5)20∙解：依题意，§ A (t) = J 「J B (t)= ----------------1 + L 1 + tIllJ A (t)> ¾ (t) 1一 1-0.1/=dS = ΦH√1) a(5)=%15∙解:由(l + -r )3=(l-£-)7 3 4i⑶-3二> 〃⑷=4・[1一(1 +寸)-可:⑶ Itl:⑹ z ∕(12)(1 + L_)6=(1_L_)3) 6 12〃(⑵=> 严>=6∙[(1 -------- Γ2-l]1216•解:⑴ 终值为IOO × (1 + i(4)/4 F?=元⑵ 终值为Ioo × [(1 -4d<V4))1/4 ]-2=元17. 解：利用 1/d (FTl)- 1/i (Fn) = I∕m=> m = 818. 解:aA (t) = 1 + => δ A (t)a"1A (t) = l-0.05r=>¾ (a"1B (t))1 aΛ(t) 0.05"l-0.05ra A (I) 1 + 0」/2t 2=> -------- > ---------- 1 +L 1 +t=> t > 121.解：d (4) = 8% ,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为do 。

《金融数学引论第二版》复习提纲

《金融数学引论》复习提纲第一章利息的基本计算第一节利息基本函数一. 累积函数a(t)与总量函数A(t)某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。

利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)；对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)；二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1）如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2）如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。

实际利率 i i n =三.. 贴现函数一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。

等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+四．名利率与名贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。

所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。

与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。

名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。

名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。

五．连续利息计算定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。

金融数学引论答案 .docx

第一章习题答案1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是：4(t) t? + 2t + 3啲=丽=3In = 4(北)一A(n一1)=(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3))= 2n+l2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(£ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r =2r(0<r <n).解：(1)I = A(n) - A(t)—In + in-1+ • • • + A+l n(n + 1) t(t + 1)=2 2I = A(n) - A(t)n n=乞h = 土hk=t+l A：=t+13.已知累积函数的形式为：Q(t) = at2 +几若0时刻投入的100元累积到3吋刻为172元,试计算：5时刻投入的10()元在10时刻的终值。

解：由题意得。

(0) = 1, «(3) = = L72=> a = 0.0& 6=14(5) = 100>1(10) = 4(0) • «(10) = 4⑸• W = 100 x 3 = 300.a(5)4.分别对以下两种总量函数计算订和讪:(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸・解：(1)_ 4(5) - 4(4)5 _ 4(4)5二面-.17% . 4(10)-4(9)210 =—4(9)—5=—^ 3.45%145⑵_ 4(5) - 4(4)5 - 4⑷_ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4=10%. 4(10) —4(9)皿=_ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9=10%5•设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。

金融数学引论答案 .docx

解：由题意得。

金融数学课本知识精粹

n n 1k
或i

1
n 1k
( n 1 =1/2)
2n
2n
2
4、可赎回债券计算收益率时：i i

g (溢价发行)：赎回日尽可能早 g(折价发行): 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
m
系列债券的价格
t 1
pt

m t 1
Kt

g i
m
( Ct
t 1

m t 1
(g i)vnt1
1 (g i)a nt i
n-1 g ng 合计 ng
i[1 (g i)a ] 2i
i[1 (g i)a ] 1i
ng-p
(g i)v2 (g i)v1
1 (g i)a 1i
1
(g i)a p ni
3、票息支付周期内债券的估价
Bf
债券的平价： t k
pk =vnk 1
2、连续偿还的分期偿还表
t时刻的余额
Btp

a nt

Btr

an
(1 i)t

S t
9
t时刻偿还的本金利息

I

Bt

pt 1 I 1 Bt
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
n 1
j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量
B：期末基金的本息和
I：投资期内基金所得收入 Ct ：t 时刻的现金流（ 0 t 1）
C：在此期间的现金流之和 C Ct ，
t

北大-光华-金融数学的讲义--第3讲

第三讲资本资产定价理论一．资本市场线)(p r E ＝p m fm f r r E r σσ*)(-+令f m ωω+＝1,其中，f ω表示无风险，m ω表示有风险如果f ω>0, m ω=1－f ω<1如果f ω<0, m ω=1－f ω>1二．证券市场组合点A,B 表示两种股票(有风险)，F 表示无风险债券A ：总市值660亿元,B ：总市值220亿元，F ：总市值120亿元三．资本资产定价模型（CAPM ）①2p σ＝ij jp n i n j σωω∑∑==11ip＝∑p T p ωω＝][11ip ij jp n i n j σωω∑∑===ip ni σω∑=1ip ip σ=ij jp ni σω∑=1（p ω,p ω,……，p ω）T ＝p ωp σ＝∑p T p ωω②m σ＝∑m Tm ωω＝∑=n i im im 1σω有风险的市场组合，与各个资产i 和市场组合的风险有关，而与各个风险之间的风险i σ无关im σ，m, iim σ越大，市场组合的整体风险越大E(r i ) =a +b im σ四. 证券市场线（SML ）E （i r ）=im m f m f r r E r σσ2])([-+=])([f m i f r r E r -+β 其中2mim i σσβ=为贝塔系数。

资本市场线与证券市场线的区别：资本市场线中，M 表示市场组合。

证券市场线表示某一个证券在市场中的风险，β等。

五. 证明2m imi σσβ=。

证：设有一投资组合P ，风险证券i 和有风险的市场组合M 。

第i 个证券的比例为α，有风险市场组合M 的比例为α-1。

)()1()()(m i p r E r E r E αα-+=212222])1()1(2[mim i p σασαασαα-+-+=)()()(m i i r E r E d r dE -=α 212222222])1()1(2[2m im i imim m m i pd d σασαασαασσασσασασ-+-+-++-=两式相除：ασασd d d r dE d r dE p i pi )()(= 资本市场线的斜率])([)()()(|)()(220f m m im f i m i m im m p i m fm r r E r r E r E r E d r dE r r E -+=⇒--==-=σσσσσσσα ])([f m i f r r E r -+=β 其中i r 为均衡市场上第i 个产品的投资收益率。

北大金融学课程讲义

北大金融学课程讲义第一章：金融学导论1.1 金融学的定义金融学是研究个人、组织和政府在获取和利用资金方面所面临的问题和机会的学科领域。

它涉及金融市场、金融机构、金融工具以及金融决策等方面的内容。

1.2 金融体系的组成金融体系由金融市场、金融机构和金融工具组成。

金融市场包括货币市场、证券市场和衍生品市场；金融机构包括商业银行、证券公司和保险公司；金融工具包括货币工具、债券和股票等。

1.3 金融学的研究方法金融学采用多种方法进行研究，包括实证研究、理论建模和定量分析等。

实证研究通过观察和分析实际的金融数据来揭示经济和金融现象的规律；理论建模则通过构建数学模型来解释和预测金融行为；定量分析则利用统计学和计量经济学方法对金融数据进行分析。

第二章：金融市场2.1 金融市场的分类金融市场可以按照流动性、产品类型和交易方式等进行分类。

按流动性可分为一级市场和二级市场；按产品类型可分为货币市场、证券市场和衍生品市场；按交易方式可分为场内市场和场外市场。

2.2 资本市场与证券市场资本市场是指企业通过发行证券来筹集资金的市场，包括股票市场和债券市场。

证券市场是指买卖证券的市场，分为证券交易所和场外交易市场。

2.3 货币市场与货币工具货币市场是指短期债务工具的市场，包括短期政府债券、商业票据和银行间拆借市场等。

货币工具是指在货币市场上交易的金融工具，具有短期流动性和低风险特点。

第三章：金融机构3.1 商业银行商业银行是最主要的金融机构，提供存款、贷款、支付结算和信用中介等服务。

商业银行的资产包括贷款和投资资产，负债包括存款和借款。

3.2 证券公司证券公司提供证券经纪、承销和交易等服务。

证券公司的主要业务包括股票交易、债券交易和资产管理等。

3.3 保险公司保险公司提供风险转移和风险管理的服务。

保险公司的产品包括人身保险和财产保险等。

第四章：金融工具4.1 货币工具货币工具是一种短期金融工具，包括国库券、银行承兑汇票和短期定期存款等。

金融数学引论第三章北大

第三章习题答案1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。

计算r 。

解: 令v = 11+r，由P(r) = 0 有C0 + C1v −R2v2 −R3v3 = 0代入数据，解得：v ≈0.8453∴r = 18.30%2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。

计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。

解: 由i = 6%, j = 4%R6 = 30000(1 −j)5 −3000(1 + i)5= 30000 ×0.965 −3000 ×1.065= 20446.60元3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。

计算：P(0.09) 和P(0.10) 。

解: 设收益率为i ，其满足：−100 + 208v −108.15v2 = 0解得i = 2.03% 或6.03%两种收益率的差为4.00%5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的利息收入以4% 的利率进行再投资。

给出每年存款金额的表达式。

解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程10R + 4%R(Is)10p3% ￢= 1000解得R =100010 + 4%(Is)10p3% ￢6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。

北京大学数学科学学院金融数学与精算学考研参考书

北京大学数学科学学院金融数学与精算学考研参考书1.数学分析邓东皋,尹小玲编著《数学分析简明教程》高等教育出版社2006方企勤编著，《数学分析》（第三册）上海科学技术出版社，20022.高等代数蓝以中编著，《高等代数简明教程》(第2版)，北京大学出版社，2007，上册、下册第6、7章3.初等概率论何书元编著，《概率论》，北京大学出版社，2005，第一章至第六章4.数理统计陈家鼎等编著，《数理统计学讲义》，高等教育出版社，2006年5月第二版，第一至第四章、第七章5.金融数学引论吴岚，黄海编著，《金融数学引论》，北京大学出版社，2005年8月第1版，第一章至第七章育明教育【喜报】38人考研状元集训营，20人考上北大、人大、清华、复旦。

【喜报】36人考研冲刺集训营，16人考上北大、清华。

【喜报】“三跨”学员隋JiaLun（378分）36天考上北京师范大学。

【喜报】2013年，育明教育包揽北京大学国际关系（378分）、城环（409分）、政管（402分）共11个专业状元。

【喜报】2013年，育明教育包揽北外汉教、翻硕、法语等6个专业状元。

【喜报】2013年，育明教育共有126人考上北大、人大、中财、贸大、五道口经济金融类研究生，众多学员成绩400+，最高分464分。

【喜报】2013年，育明教育包揽北大（402分）、人大（396分）、北师大（378分）等6大名校行政管理状元。

【喜报】“三跨”学员马Lin（402分）以第一名考上对外经贸大学翻译硕士国际会议传译。

【育明小陈提醒大家】专业课复习一定要赶早，不要在起跑线上就输给对手。

复习要有针对性，在备考复习过程中，考研信息的收集很重要，信息是第一位的：你信息收集的越多，越充分，你的认识就会越全面、正确。

要尽全力收集到目标院校专业课的笔记、课件、讲义、历年真题等资料。

特别是历年真题要认真研究几遍，因为历年真题考查的重合率是很高的。

往往一道题目三四年前考过，现在又会以其它形式变相的来考查！将历年真题与笔记、课件、讲义等结合学习，这样才能够做到更有重点的复习。

金融数学引论答案第5—7章北京大学出版

并说明如果收益率下调10%，债券价格上涨的百分比。

解：(1)记P为买价，则有价值方程:P1(1 + 10%)10 = 1000P2(1 + 9%)10 = 1000解得:P1 = 385.54元P2 = 422.41元(2)收益率下降后P1(1 + 10% ×90%)10 = 1000P2(1 + 9% ×90%)10 = 1000解得:P1 = 422.41元，上涨百分比:9.56%; P2 = 458.93元，上涨百分比:8.65%。

2. 已知26周的短期国债的发行价格为9600元，到期兑现10,000元。

1〕按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；2〕假定投资期恰为半年，计算年收益率。

解：(1)由短期国债的定价公式10000(1 −Y dt360) = 9600解得：Y d = 7.91%(2)由定义设年换算收益率为i，则：9600(1 + i)12 = 10000解得：i = 8.51%3. 短期国债的贴现率均为8%，计算52 周国债与13 周短期国债的年利率之比。

52周实际天数已经超过360，如何处理；年利率之比是指等价年利率之比还是贴现率的比。

4. 某10年期面值为100元的债券半年名息率10%，到期兑现105元，如果收益率为半年换算8%，计算债券的买价。

1) ∂P∂i , ∂P∂n和∂P∂g2) ∂n∂P和∂n∂P解：(1.1)由基本公式对i求导：∂P∂i= Fr(Da)n p i −nP(n + 1, i) < 0解释：债券的买价随着年限的增加而递减。

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第三章习题答案1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。

计算r 。

计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。

计算：P(0.09) 和P(0.10) 。

给出每年存款金额的表达式。

解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程10R + 4%R(Is)10p3% ￢= 1000解得R =100010 + 4%(Is)10p3% ￢6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。

如果贷款方可以将每年的还款以年利率5% 进行投资。

计算贷款方的实际年收益率。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3% 再投资，实际年收益率为4%。

计算购买价格。

解: 设购买价格为P ，有P(1 + i)5 = 1000 × 5 + 1000 i (Is)4p3% ￢P ×1.045 = 5000 + 40(Is)4p3% ￢P = 4448.42 元8 某投资者连续五年每年期末向基金存款1000 元，年利率5% 。

同时，利息收入可以以年利率4% 投资。

给出第十年底的累积余额表达式。

解: 对现金流进行拆分，第10 年底的余额为：P = 1000 × 5 + 5% ×1000 (Is)10p4% ￢−5% ×1000 (Is)5p4% ￢= 5000 + 50 ・s1￢1p −114%−50 ・s6p ￢− 64%= 5000 + 50 ×62.159 −50 ×15.824= 7316.73 元北京大学数学科学学院金融数学系第3 页版权所有，翻版必究9 甲将2000 元投资10 年，年利率17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为11% ，第10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在20 年内，每年底投资150 元，年利率14% ，而且利息以11% 的年利率再投资。

计算乙在20 年底的累积利息收入。

解:P A = 2000 ×17% ×s9p11% ￢P B = 150 ×14% ×(Is)19p11% ￢由P A = 5685.48解得(1 + 11%)10 = 2.83942带入P B 计算得P B = 8438.71元另解:P B = 150 ×14% ×(Is)19p11% ￢直接计算得P B = 8438.71元10 某人以100000 元购得一块土地，每年需交资产税1500 元。

十年后以260000 元卖出，同时交纳8%的销售税。

计算年收益率。

解：由净现值公式有P(i) = −100000 −1500a10p i ￢+ 260000 ×(1 −8%) ×(1 + i)−10 = 0解得：i ≈8.075%11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000 元。

计算：1) 15% 的净现值；2)收益率。

解：由净现值公式有P(i) = −50000 + 18000a6p15% ￢(1) P(15%) = 18120.69元北京大学数学科学学院金融数学系第4 页版权所有，翻版必究(2) P(i) = 0解得：i ≈27.698%12 某人拥有10000 元按月以i(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、24 次和36 次存款后的余额。

并对以上三种情况计算其每年平均的i(12) 。

解：第n 次存款后的余额为P(n) = 10000 + 10000 ×i(12)12×s(12)n p ￢每年的平均i(12) 满足10000 ×(1 +i(12)12)n = P(n)把n = 12, 24, 36 代入得到P(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16%P(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34%P(36) = 12153.84 , i(36) = 6.52%13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。

投资收入为60000 元，投资成本为5000 元。

用资本加权法计算年实际收益率。

假定利率按单利计算，计算年底的余额。

解：P = 1000 ×(1 + i) + 200 ×(1 +34i) −300 ×(1 +14i)= 1000 ×1.04 + 200 ×1.03 −300 ×1.01= 943 元15 (1)假定：1−t i t = (1 −t)i，给出1−t i0 的表达式；2）假定：1−t i0 = ti ，给出1−t i t的表达式。

解：在考虑福利的前提下有(1 + t i0)(1 +1−t i t) = 1 + i(1) 由1−t i t = (1 −t)i得i t 0 =(1 + i) − 1 −(1 −t)i1 + (1 −t)i=ti1 + (1 −t)i(2) 由i t 0 = ti 得1−t i t =(1 + i) − 1 −(1 −t)i1 + ti=(1 −t)i1 + ti16 在初始时刻和第1 年底分别向基金投入1000 元，已知基金在第1 年底的余额为1200 元，第2 年底的余额为2200 元。

分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。

(1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算的年收益率都是C−AA；(2) 如果在6 月底计算余额后立即投入资本D ，试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。

(3) 如果(2) 中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算(2) 中的两种收益率。

(4) 说明(2) 和(3) 中投资额加权法的结果相同的原因。

(5) 试说明(2) 中时间加权法的结果大于(3) 的结果。

解：(1) 资本加权法A(1 + i) = Ci =C −AA时间加权法1 + i =BA・CBi =C −AA(2) 资本加权法A(1 + i) + D(1 +i2) = CC =C −A −DA + 12D时间加权法1 + i =BA・CB + Di =B CA (B + D)(3) 资本加权法A(1 + i) + D(1 +i2) = CC =C −A −DA + 12D时间加权法1 + i =B −DA・CBi =(B −D) CA B−1北京大学数学科学学院金融数学系第7 页版权所有，翻版必究(4) 资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6 月底余额计算前投入还是后投入，对收益率没有影响。

(5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本D 是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。

18 已知：当t = 1, 2, 3, 4, 5 且y = 1, 2, ・・・10 时，有1 + i yt = (1.08 + 0.005t)1+0.01y如果在y = 5 时投资1000 元，持续3 年。

计算等价的均衡利率。

解：设等价的均衡利率为i ，利用投资年方法的计算公式有(1 + i51)(1 + i52)(1 + i53) = (1 + i)3代入数据得到i ≈9.469%19 基金X 在1991 年元旦的单位价值为1.0 元，在1991 年7 月1 日的单位价值为0.8 元，在1992 年元旦的单位价值为1.0 元，如果某投资者在1991 年元旦和7 月1 日分别投入10 元。

分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者在1991年的收益。

解：资本加权法，A = 10,C = 10,B = 10 + 10 × 1= 22.5得到I = 2.5i =2.510 + 12×10= 16.67%时间加权法i =0.81×10.8−1 = 020 某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000 元；或者，现付2400 元，然后每年底付款1500 元，两年付清。