第1,2讲 组合与数论问题

第1，2讲组合与数论问题

一．填空题:

1.设a,b,c是互异的自然数且ab+bc+ca=abc,则a+b+c=_______.

2.从1到2013连续的2013个自然数按某种顺序排列,然后按连续三项计算和数,得到2011个和数,则这些和数中,奇数的个数最多有_________个.

3.在式子:12○22○32○…○20092的“○”中填入“+”或“−”中的一个,如果所得的数非负,那么这个非负数的最小值是________.

4.直角三角形的三边之长为正整数,其中一条直角边的长为35,那么它的周长的最大值与最小值分别是_______、_________.

5. 已知

S的最大

整数为__________.

6.末四位数为2013,且被71整除的最小的正整数为_____________.

7.用6种不同的颜色给正方体的6个面染色,各面颜色互不相同,经过适当的翻转重复的染色视为同一种染色,则不同的染色方式有__________.

8.某数学竞赛分两试进行.一试有选择题6个,答对一个得6分,填空题6个,答对一个得9分,解答题三个,每题20分,每5分一档分步计分,二试解答题有三个,每题50分,每10分一档分步计分,某同学参加竞赛,则他的得分可能有________种.

9.把1,2,3,…,2n这2n个正整数随意放置在一个圆周上,据统计,在所有相邻的三个数中,三个数全为奇数的有a组,三个数中恰有两个数奇数的有b组,三个数中恰有一个数为奇数的有c组,三个数都为偶数的有d组,如果a-d≠0,那么(b-c)/(a-d)=____________.

10.自然数k具有性质:在半径为1的圆上任取4点,都有两点的距离不大于k,则k的最小值为________.

二．解答题：

11.n是正整数,求证

537

5315

n n n

++是整数.

12. 任取2013个不同的正整数,将其中任意两个求和,至少可得多少个不同的和?证明你的结论.

13.若x,y都是正整数,试证x2+y+1和y2+4x+3不可能同时都是完全平方数. 14.已知正整数x,y都是质数,并且7x+y与xy+11也是质数,试求u=(x2+y x)(y2+x y)的值.

15.有n个数x1,x2,…,x n,它们中每个数或者为1,或者为-1,若x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1=0,求证n是4的倍数.

16.如果一个正整数的各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个正整数,则称这个数为“幸运数”,试求出所有“幸运数”的和.

17.求所有的正整数m,n,使得2m+3n是完全平方数. 18.求所有正整数对(a,b),使得

2

23

21

a

ab b

-+

是一个正整数.

19.正8边形的各边染上蓝色或黄色,每步操作按如下方式进行:若某边的两邻边不同色,则将该边改为蓝色,否则将该边改为黄色,求证:经过有限步后,正八边形的各边都会变成黄色.

20.某班有60个同学,求证其中必有两个人,他们的公共朋友(若A是B的朋友,则B也是A的朋友)的个数为偶数. 21. 10个地区间有两个国际航空公司服务,在任意两个地区间有且只有一条直达航线,所有航线都是可往返的,证明至少有一个国际航空公司,可提供两条互不相交的环行线,其中每条上的站数为奇数个.