第1,2讲 组合与数论问题
高考数学难点突破数论与排列组合的应用
高考数学难点突破数论与排列组合的应用高考数学难点突破 - 数论与排列组合的应用数论和排列组合是高考数学中的难点部分，但只要我们掌握了一些基本的技巧和方法，就能够轻松突破这些困难。
本文将针对数论和排列组合的应用进行讨论，并给出一些解题的技巧和例题。
数论的应用数论是研究整数性质和整数运算的一个分支，它在高考数学中经常以问题的形式出现。
为了解决数论问题，我们可以采用以下方法：1. 整除性整除性是解决数论问题的重要方法。
当遇到问题时，我们首先需要确定题目中的数是奇数还是偶数，是否能被2整除。
接下来，可以考虑问题中的数是否能够被3、4、5等整除，找出数的整除规律，然后应用到具体题目中。
2. 奇偶性在数论问题中，奇偶性也经常被使用。
奇数和偶数之间的性质有很多，例如奇数加奇数一定是偶数，奇数乘偶数一定是偶数等。
因此，我们可以利用奇偶性来得出一些结论，简化问题的解决过程。
3. 同余关系同余关系也是解决数论问题的重要工具。
当题目给出的整数之间存在某种关系时，我们可以考虑通过取模运算来简化问题。
例如，如果两个数模3同余，那么它们除以3的余数一定相等。
排列组合的应用排列组合是高考数学中另一个常见的难点部分，它主要涉及到不同对象之间的组合方式。
下面是一些常用的解题思路：1. 基本要素在解决排列组合问题时，需要了解基本的要素：排列、组合和二项式系数。
排列是表示不重复地选取对象进行排列的方式，组合则表示无序地选取对象的方式。
二项式系数则是排列和组合的常用公式，可以通过它们来计算具体的数值。
2. 乘法原理与加法原理乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的两个重要原理。
乘法原理指的是将排列与组合的过程分解为若干独立的步骤，并将步骤的结果相乘。
加法原理则是将排列与组合的不同情况分开计算，并将结果相加。
通过灵活运用这两个原理，我们可以解决更为复杂的排列组合问题。
3. 分类讨论在某些问题中，我们可以通过分类讨论的方式来解决。
例如，考虑特定的情况、限制条件或者对象的顺序等。
组合数论问题
组合数论问题组合数论作为数论的一个（小）分支，是研究整数集合的组合性质。
与代数数论、解析数论等分支相对应，组合数论的证明与结论更多地带有“离散的、组合的”味道。
例1. （组合数论经典定理）证明：任意2n+1个整数中一定可以找到n 个，其和为n 的倍数。
[证：]先证命题的（完全）积性，即引理：若对于正整数m, n 原命题都成立，则命题对于mn 亦成立。
由引理，只需对n=p 为素数的情形证明即可。
反证法，设存在2p+1个正整数1221,,,+p x x x 使得其中任意p 个之和 考察 )(m o d )(11221p x x x C p i i i p p p∑-++++≡例2．(IMO 预选题2008N4).对于整数k ≣2,证明122kk C +－122k k C -被23k整除但不被23k+1整除.[证：]利用2nnC =2(2)!(!)n n =2(21)!!!n n n -=222((21)!!)(2)!n n n -,122kk C+－122k kC-=212(21)!!(2)!kk k +-－222((21)!!)(2)!kk k -=22(21)!!(2)!kk k-(121(221)k k i i -=+-∏－121(2(21))k k i i -=--∏). 121(221)k k i i -=+-∏－121(2(21))k k i i -=--∏=212(21)12(21)12k k r k r r S ---+--=∑≡2k+1(2k －1)!!121121k i i -=-∑(mod 23k+1). 121121k i i -=-∑=1212111()212(21)k k i i i -=+---∑=2k-11211(21)(2(21))k ki i i -=---∑. A={1,3,…, 2k －1}是(mod 2k )的缩系,故r -2(r ∈A)是r 2(r ∈A)的置换,因此1(2)k r A r r ∈-∑≡－21r A r ∈∑≡－2r A r ∈∑=－121(4(1)1)k i i i -=-+∑≡2k-1(mod 2k ).由于α2((2)!k)=2121k --=2k －1,故α2(122kk C +－122k k C -)=2k －(2k －1)+k+1+2(k －1)=3k.例3.（2008莫斯科数学奥林匹克） 每个正整数染n 色之一,每色都有无穷多个数.已知,任意两个同奇偶的不同数的算术平均值的颜色只由该两数的颜色确定(例如,红色数与蓝色数的平均值总是黄色).(1).求证,任意两个同奇偶的同色数的平均值必与该两数同色; (2).对哪些n 存在这样的染色法?[证：](1).考虑任一色例如红色.设每两个同奇偶的不同红色数的平均值为X 1色(记作(红,红)→X 1),再设(红,X 1)→X 2,(红,X 2)→X 3.由于红色数有无穷多个,必有两个a,b(mod 8)同余.可以依次标出下列各数的颜色:a 78a b + 34a b + 538a b +2a b+ 358a b +34a b + 78a b + b 98b a - 红X 3 X 2 X 3X 1X 3 X 2 X 3 红X 3由此得到(X 3,X 3)→X 1, (X 3,X 3)→红,故X 1=红.(2).当n 为奇数时记n 色为0～n ―1,每个整数a 染a(mod n)色即可. 若对偶数n 有符合要求的染色法.设任一色的所有数依递增次序排列为a 1,a 2,....由于每两个相邻项之间没有该色的数以及每两个同奇偶的同色数的平均值与该两数同色,归纳可证这个数列是公差为奇数的等差数列.现在设各色数列的公差为d 1,…,d n ,首项的最大者为a,D=lcm(d 1,…,d n ).则D 个相继正整数a,a+1,…,a+D ―1中第i 色数的个数是i D d .故有1n i i D d =∑=D,即11ni id =∑=1.但左边通分后分母为奇数,分子是偶数个奇数之和,为偶数,矛盾.因此当且仅当n 为奇数时存在这样的染色法.例4．正n 边形的顶点染若干色(每点染一色,至少有2色),已知,每种颜色的所有点都构成一个正多边形.求证,这些同色多边形中必有2个全等.[证：]以正n 边形的中心作为复平面原点.则正n 边形的顶点集为 M ={uωt | t=0,1,2,…,n －1} ,其中ω=cos2n π+isin 2nπ. 反设所有同色多边形互不全等,则它们的边数互不相同,设是k 1<k 2<…<k r (<n,r ≣2).M 划分为r 个子集M j ={u j ωj t | t=0,1,2,…,k j －1} ,其中ωj =cos2j k π+isin 2jk π,1≢j ≢r. u 和u j 都是非零复数(它们的模都等于正n 边形的外接圆半径).记S=1kz Mz ∈∑,S j =1jk z M z ∈∑,应当有S=1rj j S =∑.但根据单位根的性质,122(cossin )m kt t i m mππ-=+∑当m |/k 时等于0,而m|k 时等于m.故S=S 2=S 3=…=S r =0, S 1=k 111ku ≠0,得出矛盾.[注：]此即数论中著名的三角和方法.本题表明,整数集Z 划分为若干个互不相交的(双向无穷)等差数列只有这样的方式:Z 先划分成d 个公差为d 的等差数列,然后其中若干个再分别划分成等公差的数列。
数论和组合数学知识
• 进阶:/
• 6、全排列 next_permutation 康托展开STL 常见算法
• 7、回溯
• 2、C++ 输入输出（包括流、文件） • 8、DFS、BFS、hash表
• 3、C++常用泛型：list vector stack map • 9、数学上的有：辗转相除（两行
•
9、数学：线段交点、多角形面积公式 等
排列组合
排列组合
公式
二项式定理
a的n次幂，超范围处理
较小的数可以直接相乘求出幂指数，一旦指数超出范围，则溢出 处理方式1：在程序运行中对p取余（p常取一个质数），结果为a^n取余。 处理方法2：当指数过大时，方法1不能解决，使用分治法
例题：素数计算超范围
例题：最大买不到的数目
出现连续4次(a次)能买到，之后的就都可以 买到，最大不能买到的数字就是这之前的数
比酒量
利用浮点数近似相等
通分，转为整数运算
保留分数形式， 不进行运算！
有理数是整数和分数的集合。 有理数：整数或有限小数或无限循环小数； 无理数：无限不循环小数 任何一个有理数，都可以表示成 分数 形式
整数的基本性质
• 素数、和数、整除、余数、最大公约数、最
小公倍数
• 互质的两个数的最大公约数是1，两个数如果
数论和组合数学知识
高华玲 主讲 2018.12.3
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
浮点数不能直接使用==来判断。 因为计算机中是二进制表示，有可能是无限循环小数，导致 不能精确相等。
乘以10，避免小数
注意：啤酒2.3，饮料1.9，啤酒比饮料的少，求啤酒的数量。 答案有两组，应该取11，30这一组，啤酒的数量为11.
奥数之数论与排列组合
奥数之数论与排列组合
引言
数论与排列组合是奥林匹克数学竞赛中的重要内容之一。
数论涉及整数的性质和关系，而排列组合则研究如何计算对象的不同排列和组合方式。
数论
数论是研究整数的性质和关系的数学分支。
在奥数竞赛中，数论题目常常涉及诸如质数、最大公约数、最小公倍数以及模运算等概念。
数论题目通常要求解决整数的特定问题，如找出某个数的因子，验证某个数的性质等。
解决数论问题需要掌握一些基本的数论定理和技巧。
排列组合
排列组合是研究对象的不同排列和组合方式的数学分支。
在奥林匹克数学竞赛中，排列组合题目常常涉及诸如排列、组合、二项式系数等概念。
排列组合题目通常要求计算对象在不同条件下的排列或组合数量。
解决排列组合问题需要了解基本的计数原理和组合公式。
竞赛应用
数论和排列组合在奥数竞赛中扮演着重要的角色。
通过掌握数论和排列组合的基本原理和方法，参赛者可以更好地解决奥数竞赛中的相关问题。
这些问题不仅能帮助参赛者提高数学思维能力，还能锻炼他们的逻辑推理和问题解决能力。
总结
数论和排列组合是奥林匹克数学竞赛中重要的内容之一。
掌握数论和排列组合的基本原理和方法，对于提高数学竞赛成绩非常有帮助。
通过解决数论和排列组合问题，可以培养参赛者的数学思维能力和解决问题的能力。
奥数竞赛中的数论和排列组合题目也是考察参赛者数学综合素质的重要手段之一。
组合数学问题选讲
组合问题选讲例1 将正方形ABCD 分割成n 2个相等的小方格（n 是正整数），把相对的顶点A ，C 染成红色，B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红蓝两色中的一种颜色。
证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的数目必是偶数。
（1991，初中联赛）。
证 用数代表颜色点，将红色点记为0，蓝色点记为1，再将n 2个小方格编号为2,,2,1n 。
设第i 个小方格四个顶点数字和记为A i ，恰有三个顶点同色的第i 个小方格，则A i =1或3，即为奇数，否则为偶数。
在212n A A A +++中，有如下事实：正方形内部的点各加了四次，正方形四边上的点各加两次，四个顶点各加1次，其中两个1，两个0，其和为2。
因此，212n A A A +++=4×（内部点相应数之和）+2×（四边上点相应数之和）+2即212n A A A +++必为偶数。
故212n A A A +++中奇数的个数为偶数，从而证明了恰有三个顶点有相同颜色的小方格的个数为偶数个。
（恰有三个顶点有相同颜色的小方格的顶点颜色和必为奇数）例2 设E a a a G E ⊂==},,,{},200,,2,1{10021 。
且G 具有下列性质：（1）对任何201,1001≠+≤<≤j i a a j i ， （2）∑==100110080i ia。
试证： G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数的平方和是一定数。
（1990，高中联赛）证 对1001≤≤i ，记)101(2201,12i i i i i -=-=-=αβα，令},{i i i E βα=，（1,2,.....i =）则G 中包含且只包含i E 中的一个元素。
设G 中有k 个奇数)1001(,,,2121≤<<<≤k i i i i i i a a a k ，于是令)1(k t a t t i i ≤≤=α，)(t j j i j a ≠=β，由题（2）得∑∑=≠=+kt i j j i tt110080βα， ①另一方面∑∑===-=1001100110100)101(2i i i i β，②②—①得∑∑∑====-+=-kt k t kt i i i i i t t t t t111202)()(ααβαβ，∑==-kt i t k 1202201α，∑=+=kt i t k 1220201α， ③故k 必为偶数，令k =2m ，则③可化为.102011∑=+=kt i t a m因为k 是偶数，故右端为偶数，从而m 是偶数，所以k 是4的倍数。
数学竞赛中的组合数论问题
数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用在高考数学中，数论和排列组合是考生们经常遇到的难点，而这两个知识点经常会在一道题目中进行综合应用。
本文将探讨如何突破这些难点，以及如何应对多重综合应用的题目。
一、数论的难点及突破方法数论在高考数学中属于相对较难的部分，主要包括整数性质、最大公约数、最小公倍数等内容。
其中，常见的难点包括同余、递推关系和整数解的判断等。
首先，我们来看同余的应用。
同余是数论中一个重要的概念，它可以解决一些复杂的问题。
在解题过程中，我们可以通过找规律、列方程或者利用性质等方式进行推导。
另外，还要注意掌握同余运算的特性，例如两个数同余于一个数的倍数时，它们的差也是这个倍数。
其次，递推关系是另一个数论的难点。
递推关系的表达形式有多种，例如：Sn = Sn-1 + a(n)，其中Sn表示数列的第n项，a(n)为与前面几项相关的式子。
要解决这类问题，关键是找到递推关系的规律，并利用递推公式进行推导和计算。
最后，整数解的判断也是数论的难点之一。
当遇到非常复杂的问题时，我们可以利用最大公约数和最小公倍数的性质进行求解。
同时，还需要注意题目中可能出现的取模运算和质因数分解等技巧。
总之，要突破数论的难点，我们需要掌握各种性质和公式，并进行大量的练习和思考，提高解题能力和思维灵活性。
二、排列组合的难点及突破方法排列组合是高考数学中另一个常见的难点，主要包括排列、组合、重复排列、多重集合等内容。
其中，常见的难点包括计数原理、容斥原理和应用题的解答等。
首先，计数原理是排列组合中的基础知识，涉及到阶乘、乘法原理、加法原理等概念。
在解题时，我们要根据题目的情况选择适用的计数原理，并灵活运用。
其次，容斥原理是排列组合中的一个重要工具。
它可以解决一些重叠计数的问题，例如某些事件同时满足或者互斥的情况。
在应用容斥原理时，我们要注意构造事件的表达式，并进行交集和并集的计算。
最后，应用题的解答是排列组合的难点之一。
数论与组合数学中的问题
数论与组合数学中的问题数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。
在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学中涉及到的一些问题。
一、素数和质因数分解素数是数论研究的重要对象之一。
素数指除1和本身以外，不能再被其他正整数整除的自然数。
例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。
素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。
另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这就是质因数分解定理。
二、排列组合问题排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。
在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。
另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。
排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。
三、数位问题数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。
例如，我们经常需要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一个新的数。
除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余问题。
同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9的余数就是0。
四、图论中的问题图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。
例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。
在图论中，我们常常需要计算各个节点之间的距离和路径。
这些问题可以被转化为计数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。
五、数学中的小定理数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。
例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。
另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。
六、组合数学中的难题组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。
组合数学中的排列组合问题求解——数论知识要点
组合数学中的排列组合问题求解——数论知识要点组合数学是数学的一个分支，研究的是对象的组合和排列问题。
在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指从给定的一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列成一列，而组合则是从给定的一组元素中选取若干个元素，不考虑其顺序。
解决排列组合问题的关键在于掌握数论知识。
数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支，其中包含了很多与排列组合问题相关的重要概念和定理。
本文将介绍一些数论知识的要点，帮助读者更好地理解和解决组合数学中的排列组合问题。
1. 质数与素数质数，又称素数，是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
质数是数论中的基础概念，对于排列组合问题的求解有重要作用。
在排列组合问题中，我们常常需要判断一个数是否为质数，以确定问题的边界和限制条件。
2. 阶乘阶乘是指从1到指定的正整数之间所有整数的乘积。
在组合数学中，阶乘是计算排列和组合数量的基础。
例如，n的阶乘表示为n!，表示从1到n的所有整数的乘积。
阶乘的计算可以使用递归或迭代的方式进行，具体方法根据实际情况选择。
3. 排列排列是指从给定的一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列成一列。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会得到不同的排列结果。
排列的数量可以通过阶乘来计算，即从n个元素中选取k个元素进行排列的数量为P(n, k) = n! / (n-k)!。
4. 组合组合是指从给定的一组元素中选取若干个元素，不考虑其顺序。
在组合中，元素的顺序不重要，相同的元素组合不同的顺序会得到相同的组合结果。
组合的数量可以通过阶乘和组合数的性质来计算，即从n个元素中选取k个元素进行组合的数量为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)。
5. 排列组合问题的应用排列组合问题广泛应用于各个领域，包括概率统计、密码学、图论等。
在实际问题中，我们常常需要计算排列组合的数量，以确定事件的可能性和概率。
排列组合问题的求解方法多种多样，可以通过数学公式计算，也可以通过编程实现。
应用组合数学思想解数论问题
只需 证 明 ： 每个 Ｊ ｓ （ ｒ ） 不 空． 解决 问题 的基本 思路是 通过 两种不 同方
计算∑ ｓ （ 口 ） （ ｍ ｏ ｄ ｎ ！ ） 有两 种 方式 ．
首先 ， 假定结论是错误的 ， 这样， 对每一
法， 求得四元组的个数．
一
个ａ ， ｓ （ ａ ） 模ｎ ！ 均有不同的余数． 因此， 这些 余数是数字 ０ ， １ ， …， ｎ ！ 一 １ ． 则
２ 【
由容斥 原理 得
】 ．
对每个 ￡ ， 满足 ｍ＝ ｔ 的 至多 １ ０个 ， 故
．
而在矩形 区域内， 曲线上恰有 ｎ 个整点．
墨 ± Ｊ Ｉ
当 Ｐ＞ ３ １ 时， ≥４ ， 至少有 ４ 个Ｓ （ ｒ ） ＝ ．
喜【 台 【 ２ Ｊ 】 ＋ 奢 台 【 ２ 】 ｊ ＿ ｎ ‘
∑
ａ
） ＝ ∑
ａ ｉ ＝ｌ
叩 ＝ （ ｉ ＝ １ ｃ ） （ ２ ａ ｉ ） ．
ｂ －ｄ ＿ ５ ， 由 ａ 三ｃ ， 相应 的（ ａ ， ｃ ） 有
对每 一个ｉ ， 在和 式∑ 口 中， １ ， ２ ， …， ｎ
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ９—１ ６
ｚ ． 故本题结论 的可能例外值 只有 Ｐ＝ １ ｌ 和 ３ １ ． 当Ｐ＝ １ １ 时， 由ａ 集｛ ０ ， ｌ ， ３ ， ４ ， ５ ， ９ ｝ 和ｂ 集｛ ０ ， １ ， １ ０ ｝ 直接得 Ｓ （ ７ ） ＝ 。 当 Ｐ＝ ３ １时，
—
。
！ ： ± ！ ）
， ， －ｌ ， ｙ＝ 如图 １所示．
，
每个 口一ｃ ≠０确 定 唯 一 的 ａ＋ｃ ， 可 确 定 （ 口 ， ｃ ） ， 故 每组 （ ｂ ， ｄ ） 给出 Ｐ一１ 组（ ａ ， ｃ ） ．
组合数论问题
组合数论问题组合数论问题组合数论作为数论的一个（小）分支，是研究整数集合的组合性质。
与代数数论、解析数论等分支相对应，组合数论的证明与结论更多地带有“离散的、组合的”味道。
例1. （组合数论经典定理）证明：任意2n+1个整数中一定可以找到n 个，其和为n 的倍数。
[证：]先证命题的（完全）积性，即引理：若对于正整数m, n 原命题都成立，则命题对于mn 亦成立。
由引理，只需对n=p 为素数的情形证明即可。
反证法，设存在2p+1个正整数1221,,,+p x x x 使得其中任意p 个之和考察 )(m o d )(11221p x x x C p i i i p p p∑-++++≡例2．(IMO 预选题2008N4).对于整数k ?2,证明122kk C +－122k k C -被23k整除但不被23k+1整除.[证：]利用2nnC =2(2)!(!)n n =2(21)n n n -=222((21)!!)(2)!n n n -,122kk C+－122k kC-=212(21)!!(2)!kk k +-－222((21)!!)(2)!kk k -=22(21)!!(2)!kk k-(121(221)k k i i -=+-∏－121(2(21))k k i i -=--∏). 121(221)k k i i -=+-∏－121(2(21))k k i i -=--∏=212(21)12(21)12k k r k r r S ---+--=∑≡2k+1(2k －1)!!121121k i i -=-∑(mod 23k+1). 121121k i i -=-∑=1212111()212(21)k k i i i -=+---∑=2k-11211(21)(2(21))k ki i i -=---∑. A={1,3,…, 2k －1}是(mod 2k )的缩系,故r -2(r ∈A)是r 2(r ∈A)的置换,因此1(2)k r A r r ∈-∑≡－21r A r ∈∑≡－2r A r ∈∑=－121(4(1)1)k i i i -=-+∑≡2k-1(mod 2k ).由于α2((2)!k)=2121k --=2k －1,故α2(122kk C +－122k k C -)=2k －(2k －1)+k+1+2(k －1)=3k.例3.（2008莫斯科数学奥林匹克）每个正整数染n 色之一,每色都有无穷多个数.已知,任意两个同奇偶的不同数的算术平均值的颜色只由该两数的颜色确定(例如,红色数与蓝色数的平均值总是黄色).(1).求证,任意两个同奇偶的同色数的平均值必与该两数同色; (2).对哪些n 存在这样的染色法?[证：](1).考虑任一色例如红色.设每两个同奇偶的不同红色数的平均值为X 1色(记作(红,红)→X 1),再设(红,X 1)→X 2,(红,X 2)→X 3.由于红色数有无穷多个,必有两个a,b(mod 8)同余.可以依次标出下列各数的颜色:a 78a b + 34a b + 538a b +2a b+ 358a b +34a b + 78a b + b 98b a - 红X 3 X 2 X 3X 1X 3 X 2 X 3 红X 3由此得到(X 3,X 3)→X 1, (X 3,X 3)→红,故X 1=红.(2).当n 为奇数时记n 色为0～n ―1,每个整数a 染a(mod n)色即可. 若对偶数n 有符合要求的染色法.设任一色的所有数依递增次序排列为a 1,a 2,....由于每两个相邻项之间没有该色的数以及每两个同奇偶的同色数的平均值与该两数同色,归纳可证这个数列是公差为奇数的等差数列.现在设各色数列的公差为d 1,…,d n ,首项的最大者为a,D=lcm(d 1,…,d n ).则D 个相继正整数a,a+1,…,a+D ―1中第i 色数的个数是i D d .故有1n i i D d =∑=D,即11ni id =∑=1.但左边通分后分母为奇数,分子是偶数个奇数之和,为偶数,矛盾.因此当且仅当n 为奇数时存在这样的染色法.例4．正n 边形的顶点染若干色(每点染一色,至少有2色),已知,每种颜色的所有点都构成一个正多边形.求证,这些同色多边形中必有2个全等.[证：]以正n 边形的中心作为复平面原点.则正n 边形的顶点集为M ={uωt | t=0,1,2,…,n －1} ,其中ω=cos2n π+isin 2nπ. 反设所有同色多边形互不全等,则它们的边数互不相同,设是k 1<…<="" 划分为r="">M j ={u j ωj t | t=0,1,2,…,k j －1} ,其中ωj =cos2j k π+isin 2jk π,1?j ?r. u 和u j 都是非零复数(它们的模都等于正n 边形的外接圆半径).记S=1kz Mz ∈∑,S j =1jk z M z ∈∑,应当有S=1rj j S =∑.但根据单位根的性质,122(cossin )m kt t i m mππ-=+∑当m |/k 时等于0,而m|k 时等于m.故S=S 2=S 3=…=S r =0, S 1=k 111ku ≠0,得出矛盾.[注：]此即数论中著名的三角和方法.本题表明,整数集Z 划分为若干个互不相交的(双向无穷)等差数列只有这样的方式:Z 先划分成d 个公差为d 的等差数列,然后其中若干个再分别划分成等公差的数列。
高考数学重难点剖析数论与排列组合
高考数学重难点剖析数论与排列组合高考数学重难点剖析：数论与排列组合数论与排列组合作为高考数学中的重点难点内容，对很多学生来说常常令人头疼。
本文将针对数论与排列组合相关知识进行深入剖析，帮助同学们更好地应对高考数学考试。
一、数论数论是研究整数的性质和整数运算规律的学科。
在高考中，数论常常涉及素数、同余、整除等概念。
1.1 素数素数是指除了1和它本身外没有其他正整数因数的数。
常见的素数有2、3、5、7等。
在解题过程中，我们需要掌握素数的性质和判断素数的方法，例如质因数分解、素数的个数等。
1.2 同余同余是指两个整数除以同一个整数所得的余数相等。
同余关系在数论中应用广泛，特别是在模运算中。
在解题中，我们需要掌握同余关系的基本性质，如同余定理、同余方程等。
1.3 整除整除是指一个整数除以另一个整数所得的商恰好是一个整数。
整除是数论中常用的概念，在解题过程中需要掌握整除的基本性质和判定方法，如因式分解、约数个数等。
二、排列组合排列组合是指把若干个元素按照一定的方式进行选择和排列的数学方法。
在高考数学中，排列组合常常涉及到阶乘、组合数、排列数等概念。
2.1 阶乘阶乘是指从1乘到某个正整数的连乘积。
在排列组合问题中，阶乘常常用于计算元素的全排列数或部分排列数。
例如，n个元素的全排列数可以表示为n!。
2.2 组合数组合数是指从n个元素中取出m个元素进行组合的情况数。
组合数的计算可以通过阶乘的方法，也可以通过组合数公式进行计算，公式为C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)。
在解题过程中，我们需要掌握组合数的计算方法和性质，例如杨辉三角等。
2.3 排列数排列数是指从n个元素中取出m个元素进行排列的情况数。
排列数的计算可以通过阶乘的方法，也可以通过排列数公式进行计算，公式为A(n, m) = n! / (n-m)!。
在解题过程中，我们需要掌握排列数的计算方法和应用，例如循环排列等。
总结：数论与排列组合作为高考数学中的重难点内容，对于很多同学来说是需要花费更多时间和精力去理解和掌握的知识。
与数论有关的组合问题的常见解法
根据 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 定理 ， 取
ｒ ： （ ２ ｎ—１ ） ≤２ 一 ２
即 可满 足条件．
当２ ≤ ≤２ 一１ 时， 由 （ ） 三蠡 （ ｏ ｒ ｏ ｄ ２ ｎ一１ ）ｊ （ ）： ．
例１ 的本 质是 日常娱乐 中洗牌 操作 的逆
过程． 一 副扑 克牌 ５ ４张 ， 标 准的洗牌操 作为 ：
左手拿起 上面的 ２ ７张牌 ， 右手拿着 剩余 下面 的２ ７张牌 ， 标 准洗牌 后 ， 左 手 的牌依 次 变成
南于最上面和最下面 的牌每次操作均保 持不变 ， 于是 ， 只需考 虑 中问的 ２ ｎ一２张牌 ，
．
（ ） 三 （ ｏｏ ｒ ｄ ２ ｎ—１ ） ，
堆， 从上 到下依次 编号为 １～２ ｎ ． 进行如下
只需 ２ 三１ （ ／ ｎ ｏ ｄ ２ ｎ一１ ） ．
操作 ： 每次将所 有 从上 往下 数偶数 位置 的牌 抽出， 保持顺序 放到 牌堆 的下 方． 例如， ｎ＝３ 时， 初 始顺 序 为 １ ２ ３ ４ ５ ６， 操 作 后 依 次 得 到
次标 准洗牌后 ， 即Ｆ （ ） 迭代 ｎ 次后
（ ）一１ 兰２ （ ｋ一１ ） （ ｍ ｏ ｄ ５ ３ ） ．
当ｎ ＝ ｋ ＋ｌ 时， 由。 厂 的定 义 ， 知存在一个 操作过程 ， 其 中含 ｆ （ ｋ＋１ ） 次 好操 作 及若 干 次非好操作 ， 将 长度 为 ＋ １ 的绳 子剪成 ｋ ＋ １
｛ 詈 ＋ｎ ， － ＝０ （ １ Ｔ Ｉ ｏ ｄ ２ ） ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６
数学的数论与组合
数学的数论与组合数论与组合是数学中两个重要的分支领域，它们在数学研究和应用中发挥着重要的作用。
数论主要研究整数的性质和相互关系，而组合数学则研究离散结构及其组合方式。
本文将分别介绍数论和组合数学的基本概念、应用领域以及它们之间的联系。
一、数论数论是研究整数的性质和相互关系的学科。
它起源于人们对自然数的认识和对数的性质的好奇。
数论研究的核心问题包括质数、约数、同余以及数论中的一些重要定理，例如费马小定理、欧拉定理等等。
1.1 质数质数是指除了1和它本身之外没有其他正因数的自然数。
在数论中，质数是一个基本的研究对象。
质数的性质非常重要，包括无穷性、唯一性等。
其中，素数定理是数论中的一个重要结果，它给出了质数分布的大致规律。
1.2 同余同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个整数除以同一个数所得的余数相等的情况。
同余关系不仅在数论中有重要应用，也在密码学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
1.3 数论定理数论中有许多重要的定理，例如费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理等。
这些定理在密码学、信息安全以及算法设计等领域有着广泛的应用。
二、组合数学组合数学是研究离散结构及其组合方式的学科。
它关注的问题包括排列、组合、图论等，涉及到计数技巧、概率、算法等方面的知识。
2.1 排列与组合排列与组合是组合数学中的基本概念。
排列是指从一组元素中取出一部分进行有序的排列，而组合是指从一组元素中选出一部分进行无序的组合。
排列与组合在概率论、统计学等领域中有广泛的应用。
2.2 图论图论是组合数学的一个重要分支，研究的是由若干个点和边组成的图的性质。
图论在计算机科学、电信网络等领域有着广泛的应用，例如在网络路由、社交网络分析等方面发挥着重要作用。
三、数论与组合数学的联系数论与组合数学有着密切的联系，它们之间相互渗透、互为补充。
在一些问题中，数论的方法可以借鉴组合数学的思想，而组合数学的工具也可以应用于数论的研究中。
3.1 应用案例数论与组合数学在密码学、计算机科学、信息安全等领域都有广泛应用。
计数排列组合教案
计数排列组合教案第一章：排列组合基础1.1 排列组合概念介绍排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式的集合。
组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑取出元素的顺序的所有可能的组合方式的集合。
1.2 排列数与组合数的计算公式排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$组合数公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$第二章：排列组合的应用2.1 排列组合在日常生活中的应用例子：party邀请，座位安排，比赛分组等。
2.2 排列组合在数学问题中的应用例子：排列组合问题，图论问题，计数问题等。
第三章：排列组合的扩展3.1 错排问题定义：将n个不同元素排列成一个序列，使得没有任何一个元素出现在它的原始位置上。
错排公式：$D_n = (n-1) \times (D_{n-1} + D_{n-2})$3.2 圆排列问题定义：n个不同元素围成一个圆进行排列。
圆排列公式：$C_n^k = \frac{1}{k} \times C_{n-1}^{k-1}$第四章：排列组合与其他数学领域的联系4.1 排列组合与图论介绍图论中与排列组合相关的问题，如哈密顿路径问题，欧拉路径问题等。
4.2 排列组合与概率论介绍排列组合在概率论中的应用，如古典概型，条件概率等。
第五章：排列组合的练习题及解答5.1 排列组合基础练习题涉及排列组合的计算，如计算排列数，组合数等。
5.2 排列组合应用练习题涉及排列组合在日常生活和数学问题中的应用。
5.3 排列组合扩展练习题涉及错排问题，圆排列问题等。
5.4 排列组合练习题解答提供练习题的详细解答，帮助学生巩固知识点。
第六章：排列组合的综合应用题6.1 排列组合在日常生活中的综合应用例子：活动策划，比赛安排，密码组合等。
6.2 排列组合在数学问题中的综合应用例子：图论问题，计数问题，代数问题等。
第七章：排列组合与数论7.1 排列组合与同余介绍排列组合在同余理论中的应用，如费马小定理等。
跃峰奥数PPT3组合数论1-2(质数与互质)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合数论1-2（质数与互质）●冯跃峰本讲内容本节为第3板块（组合数论）第1专题（质数与互质）的第2小节，包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【反面思考】所谓反面思考【1】，就是考虑与原来问题相反的问题，由此发现解题途径。
它包括以下三个方面：三种反面思考方式考察表述（条件、结论）的反面考察剩余对象（补集思考、反面剔除）逆转程序（逆推）其中考察结论的反面【1】，就是我们常说的“反证法”。
大家是否思考过这样的问题：为什么有些问题，从正面论证不能成功，而反面论证却能获解■？【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【反证法的“本质”】所谓反证法的“本质”【1】，就是人为地增加了条件。
一个不起眼的“反设”（假定结论不成立），却含有丰富的内容！它扩充了条件系统，通常可导出有用的性质，而这个性质在解题中有着至关重要的作用。
值得指出的是，解题中有些“反证法”是非本质的，因为从正面也可以完成解题。
此时的“反证法”，仅仅为了使表述简单而采用反面推理模式而已。
一个问题，能不能用反证法求解，其试金石就是看其“反设”能否导出有用的性质。
比如，解答中诸如“如果…，则结论成立”之类的分类讨论太多，过程冗长。
数论中的组合-概念解析以及定义
数论中的组合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是研究整数性质和结构的数学分支，而组合数学则是研究离散结构和组合对象的数学分支。
两者看似不相关，但实际上在数论中，组合数学的概念和方法有着重要的应用。
本文将就数论中的组合问题展开讨论，包括数论基础、组合数学概念以及数论中的组合应用。
通过深入探讨数论中的组合，我们可以更好地理解数论问题，同时也可以发现组合数学在数论领域的重要性和应用价值。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分中，将概述数论中组合的重要性，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将首先介绍数论的基础知识，然后引入组合数学的概念，接着探讨数论中组合的应用。
最后结论部分将对数论中的组合进行总结，展望未来的研究方向，并进行结语。
整个文章将从基础到应用，全面探讨数论中的组合，并为读者提供清晰的逻辑和引导。
1.3 目的本文的目的是探讨数论中的组合理论，以及其在数论中的应用。
通过对数论基础和组合数学概念的介绍，我们将深入探讨在数论领域中如何运用组合的方法和技巧来解决问题。
我们的目标是为读者提供一个全面的了解数论中组合的重要性，并展望未来在这一领域的发展。
分的内容2.正文2.1 数论基础数论作为数学的一个分支，主要研究整数及其性质。
在数论中，我们经常会遇到一些重要的概念和定理，这些内容对于理解数论中的组合问题至关重要。
首先，数论中的基本概念包括整数、素数、约数、最大公约数和最小公倍数等。
其中，素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。
而最大公约数是指两个整数共有的约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公有倍数中最小的一个。
其次，数论中还有一些重要的定理，如费马小定理、欧拉定理等。
费马小定理表明对于任意素数p和整数a，a的p次方减去a都能被p整除。
而欧拉定理则建立了模运算与指数运算之间的联系，为解决一些复杂的数论问题提供了重要的工具。
除此之外，数论中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是进行数论证明和计算的基础。
课件10：1.2.2 组合（一）
方法小结 1．排列与组合的异同
排列
组合
相同点 从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素
不同点
按一定顺序排成一列
不管顺序合 成一组
2.排列问题和组合问题的区分方法
排 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 列 排列问题，即排列问题与选取的顺序有关 组 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是 合 组合问题，即组合问题与选取的顺序无关
一点通 要区分排列与组合问题，先确定完成的 是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺 序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
题组集训
1．已知下列问题： ①全班挑10人组成合唱队； ②全班选5人分别担任班委会的5种职务； ③5本不同的书分给5名同学，每人一本； ④3本相同的书分给5名同学，每人最多得一本； ⑤从数字1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取两个不同的数字作为点 的纵、横坐标．其中属于组合问题的是________．
备注 ①n，m∈N＋，m≤n；②规定 Cn0＝1 .Cnn＝ 1
归纳领悟 1．组合的特点
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素 也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回 地取出． 2．组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序， 亦即元素没有位置的要求．
3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全
第二步，将取出的 m 个元素全排列，共有 Amm种不同 的排法． 由分步乘法计数原理知，Amn ＝Cmn ·Amm，故 Cmn ＝AAmnmm.
新知自解 组合数公式
组合 数公 式
乘积形式
Cmn ＝AAmmnm＝
nn－1n－2…n－m＋1 m！
阶乘形式 Cmn ＝
n！ m！n－m！
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第1，2讲组合与数论问题
一．填空题:
1.设a,b,c是互异的自然数且ab+bc+ca=abc,则a+b+c=_______.
2.从1到2013连续的2013个自然数按某种顺序排列,然后按连续三项计算和数,得到2011个和数,则这些和数中,奇数的个数最多有_________个.
3.在式子:12○22○32○…○20092的“○”中填入“+”或“−”中的一个,如果所得的数非负,那么这个非负数的最小值是________.
4.直角三角形的三边之长为正整数,其中一条直角边的长为35,那么它的周长的最大值与最小值分别是_______、_________.
5. 已知
S的最大
整数为__________.
6.末四位数为2013,且被71整除的最小的正整数为_____________.
7.用6种不同的颜色给正方体的6个面染色,各面颜色互不相同,经过适当的翻转重复的染色视为同一种染色,则不同的染色方式有__________.
8.某数学竞赛分两试进行.一试有选择题6个,答对一个得6分,填空题6个,答对一个得9分,解答题三个,每题20分,每5分一档分步计分,二试解答题有三个,每题50分,每10分一档分步计分,某同学参加竞赛,则他的得分可能有________种.
9.把1,2,3,…,2n这2n个正整数随意放置在一个圆周上,据统计,在所有相邻的三个数中,三个数全为奇数的有a组,三个数中恰有两个数奇数的有b组,三个数中恰有一个数为奇数的有c组,三个数都为偶数的有d组,如果a-d≠0,那么(b-c)/(a-d)=____________.
10.自然数k具有性质:在半径为1的圆上任取4点,都有两点的距离不大于k,则k的最小值为________.
二．解答题：
11.n是正整数,求证
537
5315
n n n
++是整数.
12. 任取2013个不同的正整数,将其中任意两个求和,至少可得多少个不同的和?证明你的结论.
13.若x,y都是正整数,试证x2+y+1和y2+4x+3不可能同时都是完全平方数. 14.已知正整数x,y都是质数,并且7x+y与xy+11也是质数,试求u=(x2+y x)(y2+x y)的值.
15.有n个数x1,x2,…,x n,它们中每个数或者为1,或者为-1,若x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1=0,求证n是4的倍数.
16.如果一个正整数的各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个正整数,则称这个数为“幸运数”,试求出所有“幸运数”的和.
17.求所有的正整数m,n,使得2m+3n是完全平方数. 18.求所有正整数对(a,b),使得
2
23
21
a
ab b
-+
是一个正整数.
19.正8边形的各边染上蓝色或黄色,每步操作按如下方式进行:若某边的两邻边不同色,则将该边改为蓝色,否则将该边改为黄色,求证:经过有限步后,正八边形的各边都会变成黄色.
20.某班有60个同学,求证其中必有两个人,他们的公共朋友(若A是B的朋友,则B也是A的朋友)的个数为偶数. 21. 10个地区间有两个国际航空公司服务,在任意两个地区间有且只有一条直达航线,所有航线都是可往返的,证明至少有一个国际航空公司,可提供两条互不相交的环行线,其中每条上的站数为奇数个.。