计数原理与排列组合课件ppt

合集下载

第3讲排列组合

第3讲排列组合1．分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．如图，从甲地到乙地有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？【教师备案】因为我们在必修3的时候讲过计数原理，所以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下加法和乘法原理，老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理，讲完两个原理之后就可以让学生做例1.【例1】两个原理⑴一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同． ① 从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？③ 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ ⑵乘积()()()a b c d m n x y z ++++++展开后共有多少项？【解析】 ⑴①任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，用分类计数原理，共有549+=种．②各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理，共有5420⨯=种.③若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，…，9封信等不同情况．但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．由分类计数原理可知，共有94种不同的放法． ⑵由分步计数原理得一共有42324⨯⨯=项．将三封不同的信投入五个信箱里，共有几种投信方法？【解析】 125种3.1课前回顾经典精讲知识点睛丙乙甲乙甲铁路2铁路1公路3公路2公路1【思路】第一封信可投入5个信箱中任一个，故有5种投法；第二、三封信也可随机地投入5个信箱中的任一个，各有5种投法，依乘法原理，共有35555125⨯⨯==种投法．【错因分析】误区：分步，第一个信箱可以不放信，放1封，放2封，放3封，共有4种不同的放法，所以共有54种投信方法．错误原因是对完成一件事的过程认识模糊，且对象选定不准，若第一步三封信都在第一个信箱里，则事件已完成，不需后续几步；若五步都没有放信，则五步全做完，事件还未完成．【备选】 ⑴ 5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？⑵ 若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）? 【解析】 ⑴每名学生都可从3项体育项目中选1项，有3种选法，故5名学生的参赛方法有53种；⑵每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有35种．1．排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）【教师备案】在日常生活中我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征呢？问题1：3名同学排成一行照相，有多少种排法？方法1（枚举法）把3名同学用A B C ，，作为代号，于是有以下6种排法：ABC ACB BCA BAC CAB CBA ，，，，，方法2（分步计数）A B C ，，三人排成一行，可以看作将字母A B C ，，顺次排入图中的方格中.首先排第一个位置：从 A B C ，，中任选1个人，有3种方法；其次排第二个位置：从剩下的2个人中任选1人，有2种方法；最后排第三个位置：只有1种方法.根据乘法原理，3名同学排成一行照相，共有3216⨯⨯=种排法.问题2：北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？方法1（枚举法）列出每一个起点和终点情况，如图所示：所以一共有12种机票.方法2（分步计数）我们按照始点、终点站的顺序进行排列：第一步：先确定起始站，起始站有4种选择方法；第二步：再确定终点站，对应于起始站的每一种选择，终点站都有3种选择方法.根据乘法原理，共有4312⨯=种机票.问题3：从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成一行作为一种信号，能组成多少种信号：知识点睛3.2排列广州天津广州北京解决这个问题可以分三步进行：第一步：先选第1面旗子，有4种选择方法；第二步：在剩下的3种颜色中，再选第2面旗子，有3种选法；第三步：在剩下的2种颜色中，选最后一面旗子，有2种选法.根据乘法原理，共有43224⨯⨯=种选法，而每种选法对应一种信号，故共能组成24种信号在上面讨论的问题中，问题1是从3个不同元素中取出3个元素的排列，问题2是从4个不同元素中取出2个元素的排列问题，问题3是从4个不同元素中取出3个元素的排列问题.【挑战五分钟】写出：⑴从4个元素a b c d ，，，中任取2个元素的所有排列；⑵从5个元素a b c d e ，，，，中任取3个元素且包含e 的所有排列. 【解析】 ⑴ab ac ad bc bd cd ，，，，，，ba ca da cb db dc ，，，，，⑵从排列的直观意义可以看出是从⑴中的每个排列加一个e 就可以了，而e 又可以随便放，所以共有：abe ace ade bce bde cde ，，，，，，bae cae dae cbe dbe dce ，，，，，，aeb aec aed bec bed ced ，，，，，，bea cea dea ceb deb dec ，，，，，，eab eac ead ebc ebd ecd ，，，，，，eba eca eda ecb edb edc ，，，，，2．排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n m n +∈N ≤，，个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．3．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n *∈N ，，并且m n ≤．从形式上看排列数A m n 等于从n 开始的m 个数相乘，比如：39A 987=⨯⨯是从9开始的3个数相乘.【教师备案】在讲排列时我们讲了几个排列问题，那么，对于一般的排列问题如何计算所有排列的个数呢？我们把从n 个不同的元素中任意取出()m m n ≤个元素的排列，看成从n 个不同的球中选出m 个球，放第2步：从剩下的1n -个球中选出一个放入第2个盒子，有1n -种选法；第3步：从剩下的2n -个球中选出一个放入第3个盒子，有2n -种选法；第m 步：从剩下的()1n m --个球中选出一个放入第m 个盒子，有()1n m --种选法.根据乘法原理，一共有()()()121n n n n m ----⎡⎤⎣⎦种放法.4．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．()A 121!n n n n n =⨯-⨯⨯⨯= ()!A (1)(2)(1)!m n n n n n n m n m =---+=-．【教师备案】我们可以对A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+进行变形：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+()()()()()()()()121121!121!n n n n m n m n m n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅--⋅⋅⋅==-⋅--⋅⋅⋅-【教师备案】老师在讲排列时，建议先讲排列问题，什么是排列，让学生从直观上理解排列，多举几个小例子，具体例子见上边排列问题中的教师备案，然后让学生写排列，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的排列之后，那排列数是多少呢？不可能每次做题时都把所有的排列写出来，然后数一下，这时，我们就需要排列数的公式了，所以老师就可以给学生讲解排列数公式，讲完排列数之后，要让学生熟练的运用排列数公式，这时，就可以做例2.学生理解排列并知道排列数如何计算后，就要从直观理解排列，具体见例3.最后讲数字问题，在讲数字问题时，先以【铺垫】为例，给学生讲一个最简单的排数字问题，然后再讲例4，含有0的排数字问题.【例2】计算排列数⑴计算310A ，66A ，4288A 2A -，548885892A 7A A A +- ⑵求证：11A A A m m m n n n m -+-=． ⑶解方程322A 100A x x =．【解析】 ⑴310A 1098720=⨯⨯=，66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=，4288A 2A 87652871568-=⨯⨯⨯-⨯⨯=，548885892A 7A 28765478765A A 8765432198765+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯8765(87)18765(249)⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯-. ⑵ 解法一：∵1(1)!!A A (1)!()!m mn n n n n m n m ++-=-+--!11()!1n n n m n m +⎛⎫=⋅- ⎪-+-⎝⎭1!!A ()!(1)(1)!m n n m n m m n m n m n m -=⋅=⋅=-+-+-，∴11A A A m m m n n nm -+-=．解法二：可以从排列的直观意义解释，1A m n +表示从1n +个元素中取m 个元素的排列个数，其中不含某元素1a 的有A m n 个，故含1a 的排列共有1A A m m n n +-种；含有1a 的可这样进行排列：先排1a ，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出1m -个元素排在剩下的1m -个位置，有1A m n -种排法，故含1a 的排法有1A m n m -种.所以11A A A m m m n n nm -+-=． ⑶ 原方程可化为2(21)(22)100(1)x x x x x --=-∵0x ≠且1x ≠，∴2125x -=解得13x =，经检验13x =是原方程的根．【备选】学生刚接触排列，所以对排列数的计算还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题：⑴25A =_____，⑵46A =____，⑶48A =____，⑷210A =____，⑸410A =____， ⑹332A =____，⑺55A =____，⑻56A =____，⑼88A =_____，⑽4399A A -=____， ⑾32109A A -=____，⑿32545A 4A +=_____，⒀4288A 4A -=____，⒁12344444A A A A +++=_____，⒂1148A A =_____，⒃1299A A =_____，⒄812712A A =_____，⒅7312512122A A A =_____，⒆37107A A 10!=_____，⒇54101054994A A A A -=-____ 【解析】 ⑴25A 5420=⨯=；⑵46A 6543360=⨯⨯⨯=；⑶48A 87651680=⨯⨯⨯=； ⑷210A 10990=⨯=；⑸410A 109875040=⨯⨯⨯=；⑹332A 232112=⨯⨯⨯=； ⑺55A 54321120=⨯⨯⨯⨯=；⑻56A 65432720=⨯⨯⨯⨯=；⑼88A 8765432140320=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=；⑽4399A A 98769872520-=⨯⨯⨯-⨯⨯=； ⑾32109A A 109898648-=⨯⨯-⨯=；⑿32545A 4A 5543443348+=⨯⨯⨯+⨯⨯=；经典精讲⒀4288A 4A 87654871456-=⨯⨯⨯-⨯⨯=；⒁12344444A A A A 443432432164+++=+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=；⒂1148A A 4832=⨯=； ⒃1299A A 998648=⨯⨯=；⒄812712A 121110987655A 1211109876⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⒅7312512122A A 212111098765431A 121110987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⒆37107A A 10987654321110!10987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；⒇54101054994A A 410987610987115A A 98765987612-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯.【铺垫】⑴一家有四口人，每年照一张全家福，他们突然想到一件事情，想让每年这四个人的排列方式都不完全相同.比如今年是ABCD ，明年就可以是ABDC .那么这家人的 “全家福”计划最多可以实行多少年呢？ ⑵这家人掐指一算，发现很快就不能继续拍了，可能过了某年之后，无论怎么排列都会和往年重复，于是这家人决定要一个小孩，这样又可以多拍几年，那么假设有了一个孩子之后， “全家福”计划最多可以实行多少年呢？【解析】 ⑴若一家有4口人，则能得到每张全家福每个人的位置都不相同的照片，因为4个人全排有44A 24=种情况，也就是24年内可以不重复，以后就会出现重复，所以“全家福”计划最多实行24年.⑵5个人全排有55A 120=种情况，所以“全家福”计划最多实行120年.【例3】从直观上理解排列⑴从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？⑵在某乒乓球团体赛中，有一方派了4名运动员参赛，采取三局两胜制，前两局单打，最后一局双打，每个运动员只出场一次，则有几种出场顺序？【追问】在2012年的伦敦奥运会中，参加乒乓球团体赛的有3个人，每名运动员出场两次，按照五局三胜制，一、二、四、五场单打，第三场双打，并且比赛顺序是：第一场：A ；第二场：B ；第三场：C A +或B ；第四场：A 或B ；第五场：C ；且如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员需要参加后面的单打比赛.现我们派张继科、王皓、马龙出场，则有多少不同的方法排定他们的出场顺序？【解析】 ⑴将4种不同的蔬菜品种看作4个不同的元素，则本题即为从4个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的种植方法共有34A 43224=⨯⨯=种⑵因为前两局是单打，所以从参赛的4名运动员中取2名运动员去打单打比赛，最后两个人打双打比赛就可以了，所以不同的出场顺序共有24A 4312=⨯=种【追问】由比赛规则和比赛顺序我们可以知道三个人分别打了一场单打比赛，所以有33A 6=种出场顺序；又因为第三场的双打有2种情况，它唯一决定了第四场的情况，所以，一共有332A 12⨯=种出场顺序.提高班学案1【拓1】有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【解析】从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种选法，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列，因此，不同送法的种数是35A 54360=⨯⨯=种尖子班学案1【拓2】在2012的韩国足球联赛中共有15支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？【解析】由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以一场比赛相当于从15个不同元素中任取2个元素的一个排列.因此总共进行的比赛场次是215A 1514210=⨯=目标班学案1【拓3】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有＿＿＿＿种.（用数字作答）【解析】 36文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有24A 12=种方法.由分步乘法计数原理，共有31236⨯=种选法.【铺垫】用12345，，，，这五个数字：⑴可以组成多少个数字允许重复的五位数？⑵可以组成多少个数字不允许重复的五位数？ ⑶可以组成多少个数字不允许重复的三位数？【解析】 ⑴由于数字允许重复，故每个位置的数字都有5种选法.因此所求五位数共有553125=个；⑵由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了.因此所求五位数共有55A 120=个；⑶由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了.因此所求三位数共有35A 60=个.【例4】数字问题用0，1，2，3，4，5这六个数字：⑴可以组成多少个数字允许重复的六位数？ ⑵可以组成多少个数字不允许重复的六位数？ ⑶可以组成多少个数字允许重复的五位数？ ⑷可以组成多少个数字不允许重复的五位数？【解析】 ⑴先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有55638880⨯=个.⑵先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字全排就可以了.因此所求六位数共有555A 600=个.⑶先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位置的数字都有6种选法.因此所求五位数共有4566480⨯=个.⑷先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了.因此所求五位数共有455A 600=个.提高班学案2 【拓1】用01234，，，，五个数字：⑴可组成多少个无重复数字的五位数？⑵可组成多少个无重复数字的五位奇数？【解析】 ⑴ 方法一：考虑特殊位置“万位”，从1234，，，中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为44A ，故共有444A 96⋅=个.方法二：考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有14A 种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为44A 种，故共有1444A A 96⋅=个；⑵ 考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从13，中选一个填入个位有12A 种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有13A 种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为33A ，故共有113233A A A 36⋅⋅=个.尖子班学案2【拓2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，⑴可以组成多少个数字不允许重复的五位数的偶数？⑵可以组成多少个数字不允许重复且能被5整除的五位数？【解析】 ⑴分两类：个位是0时，有5432120⨯⨯⨯=个；个位是2或4时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有24432192⨯⨯⨯⨯=个，所以可组成的五位偶数有120192312+=个⑵分两类：个位是0时，有5432120⨯⨯⨯=个；个位是5时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有443296⨯⨯⨯=个，所以组成能被5整除的五位数有12096216+=个目标班学案2【拓3】用0，1，2，3，4，5这六个数字，⑴组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？ ⑵组成没有重复数字的五位数，由小到大排列，21350是第多少个数？【解析】 ⑴由题意可知，组成没有重复数字的五位数共有600个，又∵排成的五位数中十位大于百位的和十位小于百位的数字一样多．∴共有16003002⨯=个⑵ 万位是1的五位数有45A 120=个；万位是2且千位为0的五位数有34A 24=个；万位是2且千位为1百位为0的五位数有23A 6=个；万位是2且千位为1百位为3十位为0或4的五位数有122A 4⨯=个.因此，在21350的前面共有154个数，所以21350是第155个数1．组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．【教师备案】2000年8月，华研国际搭上《电视大国民》举办储备新人的“宇宙2000实力美少女争霸战”，上千名爱唱歌的小女生站上舞台，接着淘汰，最后脱颖而出了三位音域不一、个性迥异的新秀——任家萱()S 、田馥甄()H 和陈嘉桦()E .后来将这三个人组成了一个组合叫SHE ，在每场演唱会上，她们都会边唱边跳，但是无论她们在台上怎么站，这个组合都叫做SHE ，不会叫HES 或者ESH .所以组合与顺序没有关系.【挑战五分钟】写出：⑴从4个元素a b c d ，，，中任取2个元素的所有组合；⑵从5个元素a b c d e ，，，，中任取3个元素且包含e 的所有组合.【解析】 ⑴先画一个示意图知识点睛3.3组合dcbabdc d由此即可写出所有的组合：ab ac ad bc bd cd ，，，，，⑵从组合的直观意义可以看出是从⑴中的每个组合加一个e 就可以了，所以共有：abe ace ade bce bde cde ，，，，，2．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．3．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，*m n ∈N ，，并且m n ≤． n m ()个元素的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.前面我们已经学习了如何计算排列数，下面，我们看一看能否通过排列数计算组合数.先看一个简单情况：从3个元素a b c ，，中任取2个元素的组合有ab ac bc ，，3种情况，再对每一种组合的2个元素进行排列，这样，就可以得到从3个元素中取2个元素的所有排列（如图）.从上面的分析可以看出，“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”这件事，可以分两步进行：第一步：从3个不同元素中取出2个元素，一共有23C 种取法；第二步：把取出的2个元素进行排列，一共有22A 种排法.根据乘法原理，我们得到“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”一共有2232C A ⋅种排法，即222332A C A =⋅.由此我们可以得出：223322A 32C A 2!⨯==.一般地，考虑C m n 与A mn 的关系：把“从n 个不同的元素中选出m ()m n ≤个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素，一共有C m n 种取法；第二步：把取出的m 个元素进行排列，一共有A m m 种排法.根据乘法原理，我们得到“从n 个不同的元素中选出m ()m n ≤个元素进行排列”一共有C A m m n m ⋅种排法，即A =C A mm m nnm⋅，由此我们可以得出：()()()121A C =A !mm n nm mn n n n m m ---+=，因为()!A !m n n n m =-，所以上面的组合数公式还可以写成：()!C !!m n n m n m =-4．组合数的两个性质：性质1：C C m n m -=；性质2：1C C C m m m -=+．（规定0C 1n =）2个小题进行讲解：性质1：计算“从10个人中选出6人参加比赛”与“从10个人中选出4人不参加比赛”的方法数. 【解析】每次选出6人相当于剩下4人，所以，选出6人参加比赛和选出4人不参加比赛的方法数是一样的.即641010C C =性质2：从10名战士和1名班长这11人中选出5人参加比武，一共有多少种方案？【解析】一方面，从11人中选出5人参加比武，一共有511C 种方案.另一方面，选出的5人可以分为两类：第一类：含有班长，一共有410C 种方案；第二类：不含班长，一共有510C 种方案. 依据加法原理，一共有451010C +C 种方案. 由此，我们得到545111010C C +C =.【教师备案】老师在讲组合时，建议先讲组合问题，什么是组合，让学生从直观上理解组合，多举几个小例子，具体例子见上边组合问题中的教师备案，然后让学生写组合，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的组合之后，那组合数又是多少呢？同样也不可能每次做题时都把所有的组合写出来，然后数一下，这时，我们就需要组合数的公式了，所以老师就可以给学生讲解组合数公式，讲完组合数之后，要让学生熟练的运用组合数公式，这时，就可以做例5.学生理解组合并知道组合数如何计算后，就要从直观理解组合，具体见例6.【例5】计算组合数⑴计算：43107C C ，；239999C C +．⑵解方程：32111C 24C x x +=.【解析】 ⑴41010987C 2104321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，37765C 35321⨯⨯==⨯⨯，23399991001009998C C C 161700321⨯⨯+===⨯⨯ ⑵原方程可化为!(1)!11243!(3)!2!(1)!x x x x +⨯=⨯-- 整理得211105500x x --= 解得10x =或511x =-（不合题意舍去）．经检验10x =是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）【备选】学生刚接触组合，所以对组合数的计算也还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题：⑴25C =_____，⑵47C =____，⑶58C =____，⑷29C =____，⑸510C =____， ⑹315C =____，⑺235C =____，⑻4850C =____，⑼98100C =_____，⑽4399C C -=____， ⑾32109C C -=____，⑿32545C 4C +=_____，⒀4288C 2C -=____，⒁12344444C C C C +++=_____，⒂1148C C =_____，⒃1299C C =_____，⒄812712C C =_____，⒅7312512122C C C =_____，⒆37107C C 10!=_____，⒇54101053994C C C C -=-____ 【解析】 ⑴25C 10=；⑵47C 35=；⑶58C 56=；⑷29C 36=；⑸510C 252=；⑹315C 455=；⑺235C 595=；⑻4850C 1225=；⑼98100C 4950=；⑽4399C C 42-=；⑾32109C C 84-=；⑿32545C 4C 74+=；⒀4288C 2C 14-=；⒁12344444C C C C 15+++=；⒂1148C C 32=；⒃1299C C 324=；⒄812712C 5C 8=；⒅7312512122C C 15840C =；⒆37107C C 110!30240=；⒇54101053994C C 19C C -=-【铺垫】李代沫在中国好声音的文化测试中，需从5个试题中任意选答3题，问：⑴有几种不同的选题方法？经典精讲⑵若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？【解析】 ⑴所求不同的选题方法数，就是从5个不同元素里取出3个元素的组合数，即35C 10=种⑵因为已有一道题必选，所以只要在另外4道题中选2道，不同的选题方法有24C 6=种【例6】从直观上理解组合⑴现有10名学而思高中数学教师，其中男教师6名，女教师4名 ①现要从中选2名去参加非诚勿扰，有多少种不同的选法？ ②现要从中选出男、女教师各2名去参加，有多少种不同的选法？【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师，台上24个女士（其中包括学而思派出去的两个女老师），那么学而思的两位男老师去相亲，最终都成功且相亲对象不是学而思女老师的情况有多少种．⑵甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有＿＿＿＿种.（用数字作答）【解析】 ⑴①从10名教师中选2名去参加非诚勿扰的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即210C 45=种 ②从6名男教师中选2名的选法有26C 种，从4名女教师中选2名的选法有24C ，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法2264C C 90=种【追问】2221462⨯=． ⑵96甲选2门有24C 6=种选法，乙、丙各有34C 4=种选法，由分步乘法计数原理可知，共有64496⨯⨯=种选法.解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：①捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．②插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．【教师备案】排列组合的一些典型题型在本讲只讲捆绑法和插空法，其它的方法我们放到同步再去讲解，所以老师可以先以【铺垫】为例，讲解捆绑和插空，然后让学生做例7，例7⑴是直接就可以看出捆绑和插空的，例7⑵从表面上看不出来是捆绑还是插空，但是仔细分析一下题就知道是插空.【铺垫】2名女生、4名男生排成一排，问：⑴2名女生相邻的不同排法共有多少种？⑵2名女生不相邻的不同排法共有多少种？【解析】⑴因为2名女生必须相邻，所以可以将2名女生看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有55A 种.又因为2名相邻的女生有22A 种排法，因此不同的排法种数是5252A A 1202240=⨯=3.4排列组合的一些典型题型经典精讲知识点睛11⑵2名女生不相邻的排列可分2步完成：第一步：将4名男生排成一排，有44A 种排法；第二步：排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A 种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是4245A A 2420480=⨯=【例7】捆绑、插空⑴求不同的排法种数：①6男2女排成一排，2女相邻； ②6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性別者相邻； ④4男4女排成一排，同性別者不能相邻．⑵一排有九个座位，将六个人依次坐好，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？2727A A 10080=．②是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排，再在7个空位中排2女，即用插空法解决：6267A A 30240=.③是“相邻”问题，应先捆绑后排位：442442A A A 1152=.④是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解： 441442A A A 1152=.【点评】对于④很多学生会写成4445A A ，但是这种写法是错误的，因为当排完男生（或女生）之后，从5个空选4个空的时候有可能两个端点都选，这样中间就会有男生（或女生）相邻了⑵九个座位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有66A 种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有35C 中不同的“插入”方法.根据乘法原理共有6365A C 7200=种不同的坐法.提高班学案3【拓1】分别求出符合下列要求的不同排法的种数①6人排成一排，甲、乙必须相邻； ②6人排成一排，甲、乙不相邻.【解析】 ①将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他4人一起作全排列共有2525A A 240=种排法②甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有4245A A 480=．尖子班学案3【拓2】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法⑴甲、乙、丙三人一定相邻 ⑵甲、乙、丙三人不能相邻【解析】 ⑴把甲、乙、丙看成一个整体，有33A 种排法；把其余的四个人和甲、乙、丙看成的整体全排，有55A 种排法，共有3535A A 720=种排法⑵把除去甲、乙、丙的四个人全排，有44A 种排法；因为甲、乙、丙不相邻，所以采用插空法，有35A 种排法，共有4345A A 1440=种排法目标班学案3【拓3】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法⑴甲必须站在中间，且乙与丙必须相邻 ⑵甲必须站在中间，且乙与丙不能相邻。

计数原理-排列组合

排列组合知识点一、排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。

因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。

若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。

比如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。

全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等）二、组合定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示对组合定义的理解：取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。

组合数公式：),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n≤∈-=+-⋅⋅⋅--==*，且变式：),,()!()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+⋅⋅⋅--=-=*-且组合数的两个性质1、m n n m n C C -=①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，而改为计算m n n C -，这样可以减少计算量②为了使这个公式在n m =时也成立，我们规定10=n C ，这只是一个规定，并没有实际的组合意义2、11-++=m n m n m n C C C题型一投信问题【例1】1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？题型二染色问题1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合1．两个计数原理2．排列3．组合1．计数原理的两个不同点(1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事．(2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分．2．排列与组合问题(1)三个原则①有序排列、无序组合．②先选后排．③复杂问题分类化简或正难则反．(2)两个优先①特殊元素优先．②特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．正确理解组合数的性质(1)C m n＝C n－mn从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．(2)C m n＋C m－1＝C m n＋1n从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1种方法．n[四基自测]1．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C．12D．16答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13 D．10答案：C3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．答案：604．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3人完成3项工作，每人完成一项，有______种安排方式．答案：6授课提示：对应学生用书第187页考点一计数原理◄考基础——练透[例1](1)已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.答案：B(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．答案：D(3)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．答案：D(4)从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12种．若2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18，故总12＋18＝30.答案：30应用计数原理的三个注意点(1)注意完成“这件事”是做什么．(2)弄清完成“这件事”是分类还是分步．①根据完成事件的特点，进行“分类”，根据事件的发生过程进行“分步”．②分类要按照同一个标准，任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．③分步时各步相互依存，只有各步都完成时，才算完成这件事．(3)合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选择．1．将本例(3)改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到log a b 的不同值的个数为()A．9 B．10C．13 D．16解析：显然a≠1，若a＝2，3，4，9，b＝1时，有log a b＝0，1个；若a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；若a ＝3，b ＝2，4，9时，有log 32，log 34，log 39＝2(舍去)，2个；若a ＝4，b ＝2，3，9时，有log 42＝12，log 43，log 49＝log 23(舍去)，2个；若a ＝9，b ＝2，3，4时，有log 92，log 93＝12(舍去)，log 94＝log 32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9个．答案：A2．将本例(4)改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48种排法，对应48个三位偶数．答案：483．将本例(4)改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知：符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：36考点二排列问题◄考能力——知法[例2] (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A 33＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A24＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A22＝2(种)排法．所以不同的排法种数为23×6×12＝576.答案：576(2)(2019·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A55A22＝300种不同的编排方法．答案：300有限制条件的排列问题的解题方法1．(2019·衡水冀州中学月考)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A．120种B．210种C．420种D．240种解析：可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有A22A22A35＝240种排法，所以选D．答案：D2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．解析：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．答案：480考点三组合问题及混合问题◄考基础——练透角度1简单的组合问题[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16(2)有甲、乙、丙3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，从10个人中选出4个人承担这3项任务，不同的选法有________．解析：要从10个人中选出4个人承担3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，先从10个人中选出2个人承担甲项任务，不同的选法有C210种；再从剩下8个人中选1个人承担乙项任务，不同的选法有C18种；最后从另外7个人中选1个人承担丙项任务，不同的选法有C17种．综上，不同的选法共有C210C18C17＝2 520(种)．答案：2 520角度2简单的组合与排列混合问题[例4](1)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C24A33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C(2)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是() A．150 B．300C．600 D．900解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．答案：C角度3分组、分配问题[例5](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：D(2)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名老师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A．答案：A1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．“分组分配”问题的解题技巧1．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C12C12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C12C12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B．答案：B2．(2019·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C24C22A22×A22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B．答案：B数学建模、数学运算——不定方程与组合问题中的学科素养在学习排列组合知识时，我们经常遇到把若干相同元素分成几组的问题．这类问题可以用一个比较简单的模型，就是转化为不定方程解的个数问题，从而得以快速解决．[直接隔板法][例]把6个相同的小球放入4个盒子中，每个盒子都不为空，有多少种不同的放法？解析：本题相当于将6个相同的球分为4组．可以先把6个球排成一排，中间有五个空位，我们只需在这五个位置中任取三个位置放上隔板就可把小球分隔成4组了，故有C35＝10种不同的放法．[拓展为不定方程法]设每个盒子中的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3＋x4＝6的正整数解的组数．这是四元不定方程，把6分为6个1，6个1之间有5个空，选3个空放3个加号，所以有C35＝10种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝6的一组正整数解，故此不定方程有C35＝10组正整数解．[拓展模型]设n，m∈N*，n≥m≥1，则不定方程x1＋x2＋x3＋…＋x m＝n的正整数解有C m－1n－1组．拓展应用1把20个相同的小球放入4个盒子中，有多少种不同的放法？解析：与例题相比少了“每个盒子都不为空”这个条件，就是说盒子里可以为空．我们可以这样理解：设每个盒子的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的非负整数解的组数．那么能否转化为模型1来解决呢？先在每个盒子里放上1个球，保证每个盒子不空，然后再来放这20个球，就是模型1了．即(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＝20＋4＝24，令y1＝x1＋1，y2＝x2＋1，y3＝x3＋1，y4＝x4＋1，则y1，y2，y3，y4为正整数，问题转化为求不定方程y1＋y2＋y3＋y4＝24的正整数解的组数，从而转化为模型1，可知不定方程有C4－1＝C323组正整数解．所以，原20＋4－1问题中，有C323种不同的放球方法．拓展应用2把20个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中，且每个盒子里的球数不得少于编号，问有多少种不同的放法？解析：问题即是解不定方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20，(x i≥i，x i∈N*)．我们先在2号盒子里放1个球，3号盒子放2个球，4号盒子放3个球，5号盒子放4个球，则有x1＋(x2－1)＋(x3－2)＋(x4－3)＋(x5－4)＝10，令y i＝x i－(i－1)，则y1，y2，y3，y4，y5为正整数，只需求y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝C49＝126种不同＝10的正整数解有多少组，从而转化为模型1，知有C5－110－1的放法．课时规范练单独成册：对应学生用书第325页A组基础对点练1．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36B．20C．12 D．10解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C2．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为()A．C26B．A26C．62D．26解析：问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26种不同的选法．答案：B3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的含偶数个元素的子集的个数为()A．16 B．32C．64 D．128解析：由题意，集合A的含偶数个元素的子集的个数为C06＋C26＋C46＋C66＝1＋15＋15＋1＝32.答案：B4．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12 D．6解析：当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位、百位全排列即可，共有C23C12A22＝12个．当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有C23C12＝6个．综上，共有12＋6＝18个．选B．答案：B5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有()A．336种B．120种C．24种D．18种解析：分三步完成：第一步，插入第1本书，有6种方法；第二步，插入第2本书，有7种方法；第三步，插入第3本书，有8种方法，所以不同的插法有6×7×8＝336种．答案：A6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法，故选D．答案：D7．若从1，2，3，…，9这9个数字中同时取4个不同的数字，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．答案：D8．(2019·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．72 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.答案：C9．(2019·唐山模拟)某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为()A．8 B．16C．24 D．60解析：根据题意，9个座位中满足要求的座位只有4个，现有4人就座，把4人进行全排列，即有A44＝24种不同的坐法．答案：C10．(2019·成都模拟)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若2与4相邻，且1与2不相邻，则这样的五位数共有()A．12个B．24个C．36个D．48个解析：分步完成，先排2，4，有A22种排法，再把排好的2，4看成一个整体，与3，5再排，有A33种排法；最后把1插空，仅有3个空位可选，有3种插法，故共有A22A33·3＝2×6×3＝36个不同的五位数．答案：CB组能力提升练11．如图所示，∠MON的边OM上有四点，A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：分类完成．在O，A1，A2，A3，A4这5个点中取2个，在B1，B2，B3中取1个，有C25C13个三角形；在B1，B2，B3中取2个，在A1，A2，A3，A4中取1个，有C23C14个三角形，故共C25C13＋C23C14＝42个．答案：B12．某学习小组共6人，现遇到了两道难题，一道物理题，一道数学题，其中甲、乙、丙三人对数学题感兴趣，丁对两道题都感兴趣，戍、己两人对物理题感兴趣，现从感兴趣的人中各选2人解这两道难题，则不同的选法种数为() A．9 B．15C．18 D．30解析：若丁解数学题，则不同的选法为C24C22；若丁解物理题，则不同的选法为C23C23；故共有C24C22＋C23C23＝15种不同的选法．答案：B13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C212＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C24＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C24＝18对．所以成60°角的有C212－3C24＝66－18＝48(对)．答案：C14．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲，乙，丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行成绩测试的方法的种数为________．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有3，4，5三条跑道可安排．所以安排方式有3×2×1＝6种．第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720种．答案：72015．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：“小集团”处理，特殊元素优先，则不同的排法共有C36C12A22A33＝480(种)．答案：48016．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.解析：首先看图形中的3，5，7，有C13＝3种涂法．对于2，有两种涂法，对于4有两种涂法．当2，4涂的颜色相同时，1有2种涂法；当2，4涂的颜色不同时，1有1种涂法．根据对称性可知共有3×(2×2＋2×1)2＝108种涂法．答案：108第二节二项式定理授课提示：对应学生用书第190页[基础梳理]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)，其中右端为(a＋b)n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式＝C k n a n－k b k．第k＋1项为：T k＋13．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n(k∈{0，1，2，…，n})．(2)二项式系数的性质和1．一对易混概念二项展开式中第r＋1项的(1)二项式系数是C r n .而不是C r ＋1n .(2)项的系数是该项的数字因数． 2．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3．三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0. (2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数和等于n .[四基自测]1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180答案：A2．(x －1)10的展开式中第6项的系数是( ) A ．C 610 B ．－C 610 C ．C 510 D ．－C 510答案：D3．二项式(2a 3－3b 2)10的展开式中各项系数的和为________．答案：14．C 111＋C 311＋…＋C 1111＝________.答案：2105．(2018·高考全国卷Ⅲ改编)(x 2＋2x )5的展开式的二项式系数和为________．答案：32授课提示：对应学生用书第190页考点一通项公式法解决特定项或系数问题◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 故选C ．答案：C(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________．解析：由题意可知T r ＋1＝C r 6x 6－2r(－1)r ·a －r ，0≤r ≤6，r ∈Z ，则x 2项的系数是C 26a－2＝15，又a >0，则a ＝1. 答案：1(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x (r＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x 4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2. 答案：3通项公式法即利用二项展开式的通项公式，根据题意，对相应的指数进行赋值，从而解决指定项问题的方法．此方法适用于已知二项式，求常数项、指定项的系数等问题．破解此类题的关键点：(1)求通项，根据二项式(a ＋b )n 的展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0，1，2，…，n )，整理出T k ＋1＝m ·x f (k )．(2)找方程，依题设条件中的指定项的相关信息，寻找关于k 的方程． (3)解方程，通过解方程，求出k 的值． (4)得结论，把k 的值代入通项公式，得结论．1．在本例(2)的条件下求展开式中的常数项．解析：由于a ＝1，(x －1x )6的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 6·x 6－2r . 令6－2r ＝0，∴r ＝3. 常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20.2．将本例(1)改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 4的系数为40，求a 的值．解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 5·a r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4.∴r ＝2.∴C 25a 2＝40，∴a 2＝4，∴a ＝±2.考点二赋值法解决二项展开式的各项系数和问题◄考能力——知法[例2] (1)设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：(1)由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4x ，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式的第6项是T 5＋1＝C 5n (－1)5x 2n －15，令2n －15＝1，得n ＝8.在二项式(1－3x )8的展开式中，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝255. 答案：(1)150x (2)255赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开式的各项的系数和的方法．此方法体现的是从一般到特殊的转化思想．破解此类题的关键点： (1)赋值，认真观察已知等式，给未知元合理赋值．常赋的值有1，－1，0等． (2)求参数，通过合理赋值，建立关于参数的方程，并解方程，求出参数的值． (3)得结论，求出指定项的系数和．1．(2019·河北邯郸模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135D ．405解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴4n2n ＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·x ，令6－32r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135，故选C ．答案：C2．(2019·湖南湘潭模拟)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39， ∴a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D ．答案：D考点三求非二项式结构的展开的特定项(或系数)◄考基础——练透[例3] (1)如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________；(2)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________； (3)(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为________．解析：(1)∵(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0， ∴a ＝1.∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)·(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.(2)由题意，(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10 ＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10，因为x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210.(3)分别求两个因式的通项：T r ＋1＝C r 6x，T r ′＋1＝C r ′10x ，则C r 6x ·C r ′10x＝C r 6C r ′10x.又0≤r ≤6，0≤r ′≤10，则r 3－r ′4＝0，解得r ＝r ′＝0，r ＝3且r ′＝4，r ＝6且r ′＝8. 即常数项为1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.[答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246非二项式结构求指定项的方法1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C ．答案：C考点四二项式系数或项的系数的最值问题◄考基础——练透[例4] (1)已知二项式(a x ＋13x)n (a ＞0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2项的系数为84，则a 的值为( ) A ．1 B ．14 C ．2D ．12解析：由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知n ＝9，则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(a x )9－r(13x)r ＝C r 9a9－rx ·x＝C r 9a9－rx (r ＝0，1，2，3，…，9)，令92－5r 6＝2，则r ＝3，所以C 39a 9－3＝C 39a 6＝84，解得a ＝±1，因为a ＞0，所以a ＝1. 答案：A(2)(2019·石家庄模拟)在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．解析：由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1 120x 4. 答案：1 120x 41．二项式系数的最大值，根据(a ＋b )y 的二项式系数性质求解．2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式T r ＋1＝C r n ·m ·x q ＝a r x q为最大系数，则⎩⎪⎨⎪⎧a r ≥a r ＋1，a r ≥a r －1.求r 的整数解．1．设n 为正整数，(x －2x 3)n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．解析：依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2x 3)r ＝C r 8x8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.答案：1122．(2019·厦门模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．210 C ．252D ．45解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10xx＝C r 10x，令5－56r ＝0可得r ＝6，此时T 7＝C 610＝210.答案：B数学运算、逻辑推理——二项式定理的展开原理的应用 [例1] (x ＋2y －3z )9的展开式中含x 4y 2z 3项的系数为( ) A ．－136 000 B ．－136 080 C ．－136 160D ．136 280解析：由(x ＋2y －3z )9＝[x ＋(2y －3z )]9，得展开式的通项T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·(2y －3z )r ＝C r 9·x 9－r ·C t r ·(2y )r －t ·(－3z )t ＝C r 9·C t r ·2r －t ·(－3)t ·x 9－r ·y r －t ·z t (t ≤r ≤9)，令⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r －t ＝2，9－r ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r ＝5.故含x 4y 2z 3项的系数为C 59×C 35×22×(－3)3＝－136 080.故选B ．答案：B[例2] (2019·临沂模拟)489被7除的余数为________．解析：由489＝(49－1)9＝C 09499＋C 19498(－1)＋C 29497(－1)2＋…＋C 8949(－1)8＋C 99(－1)9＝49[C 09498＋C 19497(－1)＋C 29496(－1)2＋…＋C 89(－1)8]－7＋6，知489被7除的余数为6. 答案：6课时规范练单独成册：对应学生用书第326页A 组基础对点练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20D ．10解析：T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40. 答案：B2．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56 B ．－56 C ．28D ．－28解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.答案：A3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15. 答案：C4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54 C ．－1516D ．1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D ．。

高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列

答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A�� = (��-��!��)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. A�� =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
��(��-1)! (��-��)!
=
��! (��-��)!
=
A�� ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A��--11
=
(��-1)! [(��-1)-(��-1)]!

高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3

的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.

高三数学《101计数原理与排列组合》课件

2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”
和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题
[ 例 1]
四个同学称体重，记年龄为 n(n ＝ 17,18,19,20)
的同学体重为 f(n)( 单位： kg) ．若 f(n)∈{56,57,58,59,60,61} ，
且满足 f(17)<f(18)≤f(19)<f(20) ，则这四位同学的所有可能
10.1 计数原理与排列组合
知识归纳
1．分类计数原理
完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步计数原理完成一件事，需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×n种不同的方法．
所以区分一种分法是分类还是分步就看这种分法中的一．．．．．．．种方法能否完成这件事情．．．．．．．．．．．．．
3．排列
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排
成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A表示． (1)当m<n时的排列称为选排列，排列数
形．
①有 4 个不同体重，共 C4 6种． ②有 3 个不同体重，共 C3 6种．
3 ∴共有 C4 ＋ C 6 6＝ 35 种．
答案：D
若直线方程ax＋by＝0中的 a、b可以从 0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线一共有________条．解析：分两类：第一类，a、b均不为零，a、b的取值
体重有 A．15种 C．30种 ( ) B．20种 D．35种

高考讲计数原理与排列组合课件理

排列与组合的关系
排列是组合的一个扩展，组合是排列的基础。
排列与组合的混合应用场景
比如在解决实际问题的过程中，需要同时考虑顺序和组合的情况，或者在概率论中需要同时使用排列和组合的概念等。
注意
以上内容仅为简要说明，实际应用中还需要根据具体情况进行深入分析和计算。
04 计数原理与排列组合的关系
计数原理在排列组合中的应用
教育出版社, 2021.
致谢
首先，我要感谢我的导师张三，他对我在研究和写作过程中的耐心指导和支持。他的专业知识和
经验对我影响深远。
其次，我要感谢我的同事们，他们在整个研究过程中提供了宝贵的建议和帮助。他们的专业能力
和热情让我受益匪浅。
最后，我要感谢我的家人和朋友，他们在我写作过程中给予了无私的支持和鼓励。他们的理解和支持是我完成这项工作的动力。
区别
排列需要考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
03 排列组合的应用
排列的应用
排列的定义
从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!
排列的应用场景
比如在生产过程中，需要确定产品的排列顺序，或者在考试中需要确定考生的考试顺序等。
05 高考真题解析
排列组合高考真题解析
1 2 3
排列组合基础知识
熟练掌握排列组合的基本概念、公式和定理，了解排列数、组合数、加法原理、乘法原理等基本知识。
排列组合应用题
掌握排列组合应用题的解题思路和方法，如计数原理、组合数的计算、排列数的计算、加法原理和乘法原理的应用等。
排列组合与实际应用

排列组合问题17种方法ppt课件

C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种
一个盒子装1个（6）每个盒子至少1个
25
练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种 192

计数原理和排列组合

计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。

注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。

2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。

注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。

3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。

二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。

从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。

(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。

高三数学一轮第十一章计数原理 11.2 排列与组合

②A��+1 = A�� +mA��-1.
(3)1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1.
-8-
知识梳理双基自测
1234
(4)①C��
=
��-��+1 ��
C��
关闭关闭
解析答案
-12-
知识梳理双基自测
12345
4.(2018全国Ⅰ,理15)从2名女生、4名男生中选3人参加科技比赛,
且至少有1名女生入选,则不同的选法共有
种.(用数字填
写答案)
关闭
(方法一)①当 3 人中恰有 1 名女生时,有C21C42=12 种选法. ②当 3 人中有 2 名女生时,有C22C41=4 种选法.
字,一共可以组成
个没有重复数字的四位数.(用数字作
答)
分两类. 第一类:从 0,2,4,6 中取到 0, 则没有重复数字的四位数有C31C52A13A33=540 个; 第二类:从 0,2,4,6 中不取 0, 则没有重复数字的四位数有C32C52A44=720 个. 所1 2以60没有重复数字的四位数共有 540+720=1 260 个.
=
n (n -1)(n -2)…(n -m +1) m!
=
n! m !(n -m )!
性 (1)0!= 1 ;��nn=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1= n! .
质 (2)��nm = ��nn-m ; ��nm+1= C�� + C��-1 .

计数原理与排列组合课堂PPT

（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。
(3)前后排问题，直排法.
授课：XX
10
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
排在甲、乙2人中间，有种排法，这时把已排好的5人视
为一整体，与最后剩下的2人再排，又有种排法，这样
总共有
＝720种不同排法．
授课：XX
12
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后
把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 )
n!
(nm)!
授课：XX
m n(n 1)n(2) (nm 1)
n n!
m !
nHale Waihona Puke !m!34。解排列组合问题基本思路
排有序排列分类或分步直接法
列组
不易解
合
间接法
问
题
无序组合分类或分步
不易解直接法
授课：XX
4
题型2 可重复元素排列问题【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺四项比
赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？
解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
-
题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
步计数原理知：满足条件的排列数为
A
4 4
A
4 5
＝2 880.
(3)先排a5，a6，a7，a8，×
×
×
×；共有
A
4 4
种排
法；然后排 a1 ， a2 ， a3 ， a4 □×□×□×□×中的□共有2
排 A
在 ×□×□×□×□ 或
4 4
种排法；；根据分步计
数原理共有
A
4 4
×2
A
4 4
＝1
152种排法．
m1+m2+……+mn有种不同的方有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。能完成这件事。
-
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照任取m（m≤n）个不一定顺序排成一列，叫同的元素并成一组，做从n个不同元素中取出叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3 ＝180种涂色方法．
件的排法共有
＝1 440种不同排法．
(3)甲、乙2人先排好，有种排法，再从余下5人中选3人排
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 ) n!
C m n(n1)n (2)(nm 1)
n n!
m !
(nm)!
-
nm!m!
4。解排列组合问题基本思路
-
解法二（分类法）：20完1成1高涂色考的导方法航分为两类，第一类：
四个区域涂四种不同的颜色共有＝120种涂法；第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不
相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区域，共＝60种涂法．
由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．方法总结：
(3)前后排问题，直排法.
-
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ (5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)
计数原理与排列组合
-
一。复1、习知回识顾结构
排列基
本
原理组合
排列数公式应用问
组合数公式题
-
2。步记数原理
原理区别
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不步骤，第一步有m1种不同的同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的种不同的方法，……，在第方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方不同的方法，那么完成这件法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
-
解答：(1)（捆绑法）先将a1，a2，a3，a4四个元素看成一
个元素与a5，a6，a7，a8排列一排，有A
5 5
种排法，再排a1，
a2，a3，a4有
A
4 4
不同排法，根据分步计数原理知满足条件
的排列数为
A
5 5
A
4 4
＝2 880.
(2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四个元素排成一排，
有a8间A 隔44 种及排两法端；的再五将个元位素置a1中，的a2四，a个3，，a有4插A 入54 种由排a法5，，a6根，据a7，分
(4)前排有 A
4 8
种排法，后排有A
4 4
种排法，由分步计数原
理知共有A
4 8
A
4 4
＝8！种排法．
-
方法总结（1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这
几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。
（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。
获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).
方法小节：解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
-
二、题型与方基法础知识梳理
题型3 涂色问题【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、
-
解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共
有种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排
好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素
的全排列，应有A 55种排法，由分步计数的原理,有种不同排法．
＝720
(2)先将男生排好，共有种排法，再在这4个男生的中间
及两头的5个空档中插入3个女生有种方案，故符合条
题排列组合问
有序排列分类或分步无序组合分类或分步
直接法不易解
间接法不易解
直接法
-
题型2 可重复元素排列问题【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．