人教版高中数学选修2-2学案：2.2.3数学归纳法

2.2.3数学归纳法（一）

【学习目标】

1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

3.理解数学归纳法中递推思想.

【新知自学】 知识回顾：

1.证明方法：

（1）直接证明⎩⎨⎧_________

_________； （2）间接证明：________. 新知梳理：

1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

2.数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;

（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0，k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.

3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 对点练习：

1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1

(n ∈N ＋)，则f (1)为() A ．1

B ．15

C ．1＋12＋13＋14＋15

D ．非以上答案

2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则() A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14

C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14

3.用数学归纳法证明:当为整数时,

2135(21)n n ++++-=.

【合作探究】 典例精析：

2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈

变式练习：

2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+

++=+∈

例 2.用数学归纳法证明:首项是,公差是的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前项和的公式是1(1)2

n n n S na d -=+.

变式练习：

用数学归纳法证明:首项是,公比是的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前项和的公式是

1(1)1n n a q S q

-=-.(1q ≠)

规律总结：

(1)数学归纳法证题时，第一个值n 0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3.

(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项．

2.其中关键：从假设n =k 成立，再证得n =k +1成立时要用上假设.

【课堂小结】

【当堂达标】

1.用数学归纳法证明：

2

2111(1)1n n a a a a a a

++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++

C.1a +

D.231a a a +++

2.设*111()()122f n n N n n n

=+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（） A.121+n B.221

+n

C.221121+++n n

D.221121+-+n n

3. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a .

4. 用数学归纳法证明:

1111133557(21)(21)21

n n n n ++++=⨯⨯⨯-++

【课时作业】

1.用数学归纳法证明

))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为

A.2k+1

B. 2(2k+1)

C.1

12++k k D.132++k k

2.一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于()

A ．一切正整数命题成立

B ．一切正奇数命题成立

C ．一切正偶数命题成立

D ．以上都不对

3. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭

⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()

A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立

4.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步n ＝k 时等式

成立，则当n ＝k ＋1时应得到()

A ．1＋2＋22＋…＋2k -2＋2k -1＝2k +1－1

B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1 ＋2k +1

C ．1＋2＋22＋…＋2k -1＋2k ＋1＝2k +1-1

D ．1＋2＋22＋…＋2k -1＋2k ＝2k +1-1

5.用数学归纳法证明:当为正整数时,

21122221n n -++++=-.