牛顿-欧拉方程向量法推导

欧拉方程推导全过程

欧拉方程推导全过程嘿，数学爱好者们！今天我要带大家走进一个超级有趣的数学世界，那就是欧拉方程的推导。

这可不像在公园散步那么简单，但也绝不是无法攀登的高山，只要跟着我一步一步来，保准你能搞明白。

咱先来说说什么是欧拉方程。

想象一下，在数学这个大王国里，有一个神秘的方程式，就像一颗璀璨的明珠，它把指数函数、三角函数这些看似不太相关的家伙巧妙地联系在了一起。

这就是欧拉方程，$e^{ix} = \cos x + i\sin x$，其中$e$是自然常数，$i$是虚数单位，$x$是一个实数。

这个方程就像一把魔法钥匙，能打开很多数学难题的大门呢。

那咱们怎么推导这个神奇的方程呢？咱们得从泰勒级数这个有力的工具开始。

泰勒级数就像是一个超级放大镜，可以把一个函数展开成无穷项的多项式。

对于指数函数$e^x$，它的泰勒级数展开式是：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \cdots$。

这个式子看起来有点吓人，但是别怕，咱们一点点分析。

这里的$n!$就是$n$的阶乘，也就是从$1$乘到$n$。

再来看三角函数$\cos x$和$\sin x$的泰勒级数展开式。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ \cdots$，$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+ \cdots$。

现在咱们把$x$换成$ix$代入到$e^x$的泰勒级数展开式中。

$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \cdots$。

那这个式子要怎么化简呢？咱们来仔细瞧瞧。

$(ix)^2 = -x^2$，$(ix)^3 = -ix^3$，$(ix)^4 = x^4$等等。

欧拉公式的详细推导过程

欧拉公式的详细推导过程欧拉公式是数学中一条重要的等式，它将数学中的五个基本常数相互联系起来。

这个等式被认为是数学的一颗明珠，被广泛应用于数学、物理和工程等领域。

欧拉公式的详细推导过程可以从简单的数学关系开始，逐步引入更复杂的概念和推导。

首先，我们从幂级数展开的角度来推导欧拉公式。

幂级数展开是一种常见的数学技巧，它可以将一个函数表示为无限个项的和。

我们以指数函数为例，将其展开成幂级数形式。

指数函数的定义如下：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

接下来，我们使用幂级数展开中的泰勒级数来表示正弦函数和余弦函数。

泰勒级数是一种将函数展开成无限个项的和的方法，它的形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示函数f(x)在点a 处的二阶导数，以此类推。

我们可以将正弦函数和余弦函数分别用泰勒级数展开：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...接下来，我们将指数函数的幂级数展开代入正弦函数和余弦函数的泰勒级数展开中。

通过对两个级数进行加减运算，我们可以得到欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)这就是欧拉公式的基本形式，其中i是虚数单位，满足i^2 = -1。

通过这个等式，我们将指数函数、正弦函数和余弦函数联系在了一起。

欧拉公式的推导过程非常巧妙，它将指数函数、正弦函数和余弦函数这三个基本的数学函数联系起来，形成了一个统一的等式。

常用的建立机器人动力学方程的方法

常用的建立机器人动力学方程的方法在机器人领域，动力学方程的建立是至关重要的。

它不仅能够描述机器人的运动状态，还能为控制算法提供依据。

下面，我们以一个简单的双轮机器人为例，探讨常用的建立机器人动力学方程的方法。

首先，我们请来我们的“机器人设计师”小张，他告诉我们：“建立动力学方程，首先要明确所研究的机器人系统的结构。

对于双轮机器人，我们主要关注其重心运动和轮子的滚动运动。

”接下来，我们请来“机器人力学专家”小李，他补充说：“建立动力学方程，通常采用拉格朗日方法和牛顿-欧拉方法。

下面，我就分别介绍一下这两种方法。

”小李继续说道：“拉格朗日方法是一种基于能量守恒原理的方法。

首先，我们要确定机器人系统的动能和势能。

对于双轮机器人，其动能主要来自于轮子的滚动和机器人的平移，势能主要来自于机器人的重力势能。

然后，我们根据能量守恒原理，列出拉格朗日方程。

对于双轮机器人，其拉格朗日方程可以表示为：L = T - V，其中L为拉格朗日函数，T为动能，V为势能。

”“那牛顿-欧拉方法呢？”小张好奇地问。

小李微笑着回答：“牛顿-欧拉方法是一种基于牛顿运动定律的方法。

它通过分析机器人各关节的运动，建立动力学方程。

对于双轮机器人，我们可以分别研究其轮子、机器人和地面的运动。

首先，我们确定各部分的运动方程，然后通过牛顿运动定律将它们联立起来。

对于双轮机器人，其牛顿-欧拉方程可以表示为：Mq''(t) + Cq'(t) +Kg(t) = τ(t)，其中M为质量矩阵，q''(t)为加速度向量，C为阻尼矩阵，q'(t)为速度向量，K为刚度矩阵，g(t)为广义重力向量，τ(t)为广义力向量。

”“听起来好复杂啊！”小张感慨地说。

小李笑着回答：“确实如此，但只要掌握好基本原理，建立动力学方程也不是那么困难。

此外，我们还可以借助计算机辅助设计软件来简化计算过程。

”经过一番探讨，我们终于明白了常用的建立机器人动力学方程的方法。

牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)

M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。

欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。

1. 单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。

欧拉公式19种证明

欧拉公式19种证明欧拉公式是数学中的一个重要公式，它的表达式为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e表示自然对数的底数2.71828…，i表示虚数单位。

欧拉公式有多种证明方法，下面我们将介绍其中19种常见的证明方法。

1. 泰勒级数证明法：利用泰勒级数展开式展开e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。

2. 复合函数证明法：将e^(ix)看作复数函数f(x)=e^x，将cos(x)和sin(x)看作f(x)的实部和虚部，则有f(ix)=cos(x)+i*sin(x)，即e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。

3. 微积分证明法：将欧拉公式两边分别对x求导，得到ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。

4. 积分证明法：将欧拉公式两边同时积分，得到e^(ix)/i=-sin(x)/i+cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。

5. 欧拉级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的泰勒级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。

6. 幂级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的幂级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。

7. 矩阵证明法：构造一个2x2矩阵，使其特征值为e^(ix)和e^(-ix)，然后求解该矩阵的本征向量，即可得到欧拉公式。

8. 矩阵幂证明法：将e^(ix)表示为矩阵的形式，然后对该矩阵进行幂运算，即可得到欧拉公式。

9. 极限证明法：将e^(ix)表示为极限的形式，然后通过极限的性质推导出欧拉公式。

10. 解微分方程证明法：将e^(ix)看作微分方程y'=iy的解，并利用欧拉公式将其转化为y=cos(x)+i*sin(x)，即可得到欧拉公式。

11. 解偏微分方程证明法：将e^(ix)看作偏微分方程u_t+iu_x=0的解，并利用欧拉公式将其转化为u=cos(x-t)+i*sin(x-t)，即可得到欧拉公式。

欧拉方程推导过程微分方程

欧拉方程推导过程微分方程嘿，朋友！咱们今天来聊聊欧拉方程推导过程微分方程这事儿。

你知道吗？微分方程就像是数学世界里的神秘密码，而欧拉方程就是其中一把关键的钥匙。

想象一下，你在一个充满未知的数学迷宫里探索，欧拉方程就是那盏能照亮前路的明灯。

咱们先从最基础的概念说起。

微分方程，简单来讲，就是描述某个函数的导数与函数本身之间关系的方程。

这就好像是在追踪一个运动员的速度变化和他的位置之间的联系。

欧拉方程呢，通常以这样的形式出现：$x^n y^{(n)} + a_1 x^{n - 1}y^{(n - 1)} + \cdots + a_{n - 1} x y' + a_n y = f(x)$ 。

是不是看起来有点复杂？别担心，咱们一步步来。

比如说，我们假设$y = x^m$是方程的一个解。

那对$y$求导，会得到$y' = m x^{m - 1}$ ，再求导，$y'' = m(m - 1) x^{m - 2}$ ，以此类推。

把这些导数值代入欧拉方程里，经过一系列的运算和整理，你会发现一些神奇的规律。

这就好像是在拼凑一幅复杂的拼图，每一块都有它独特的位置和作用。

有时候，推导欧拉方程就像是在解开一个缠得紧紧的线团，需要耐心和细心。

假如你在推导的过程中遇到困难，难道就要放弃吗？当然不！我们要坚持下去，因为一旦成功推导出来，那种成就感简直无与伦比。

当我们通过努力，把那些复杂的式子化简，最终得到简洁而美妙的结果时，你难道不会感到兴奋吗？这就好比你经过漫长的旅途，终于看到了美丽的风景。

总之，欧拉方程的推导过程虽然可能充满挑战，但只要我们用心去探索，就一定能揭开它神秘的面纱，领略到数学的魅力！朋友，加油吧，相信你一定能行！。

欧拉公式的推导

a ≤ t ≤b
引Hale Waihona Puke 1对任意x > 0及任意正数n, 有 (1 + x) n < e nx
引理2 则
设s > 0，t为非负实数, 序列{ai }满足递推不等式 ai +1 ≤ (1 + s ) ai + t ai +1 ≤ e
( i +1) s
t t ( + a0 ) s s
定理2
若函数f (t , y )在凸区域D = {(t , y ) | a ≤ t ≤ b, f (t , y1 ) f (t , y2 ) ≤ L y1 y2
∞ < y < +∞}上关于变量t , y都满足李普希兹条件,即则欧拉法的整体截断误差为 hM L (b a ) Ei +1 ≤ (e 1) 2L f ′′(t ) .
其中, M = max
a ≤t ≤b
作业教材P198 习题1、2
§9-1 欧拉法
一、欧拉公式的推导
对一阶方程的初值问题
dy = f (t , y ) dt y ( a ) = y0 a≤t ≤b (1)
假设式(1)的唯一解y (t )在[a, b]上有二次连续导数, 则对i = 0,1, L, n 1, 作泰勒展开得 (ti +1 ti ) 2 y (ti +1 ) = y (ti ) + (ti +1 ti ) y′(ti ) + y′′(ξ i ) 2! 其中, ti < ξ i < ti +1 , i = 0,1, L, n 1 (2)
ti+1 ti
f (t , y (t ))dt
所以

牛顿—欧拉方程

牛顿-欧拉方程欧拉方程(Eulｅｒｅquatｉｏnｓ),是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于１75０年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律:该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成:其中,分别为刚体坐标系下三个轴的所受的外力矩,分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下)。

欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Eｕlｅr eqｕations)：这里对牛顿的平移运动方程不赘述,只对欧拉方程进行讨论。

1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理:对两边叉乘质点位置矢量：观察：因为:故有：定义角动量，可以看出为外力矩故有单质点的角动量定理：2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：其中：下标Ｇ表示该向量为大地坐标系下的，的下标i 表示该向量为大地坐标下各个质量元的向量。

刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系，不能把采用刚体的本身坐标系作为参考系,本身坐标系的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度、惯性张量。

(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致,这也是无力矩进动的原因,即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。

)由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵,故有刚体的角动量定理:其中:为外力矩把上式展开有：其中：称为惯性矩阵刚体旋转时,是变化的,但刚体在刚体坐标系下的惯性矩阵不会变，且容易分析得到：其中：为刚体坐标系下到大地坐标系的旋转矩阵。

3.欧拉方程的证明在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系下的向量:外力矩:；惯性矩阵:；角速度：引入刚体坐标系的向量：旋转运动时：旋转矩阵,刚体角速度都为变量，只有为不变量。

牛顿法推导过程

牛顿法是一种用于求解方程的数值解法。

其基本思想是通过迭代的方式，不断逼近方程的根。

下面是牛顿法的推导过程：假设当前迭代的解为x，则根据泰勒展开式，方程f(x) 在点x 处的近似值为：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)其中，x0 为初始点，f'(x0) 为方程在点x0 处的导数值。

将上式带入求解方程f(x) = 0 的条件，得到：f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 0化简得：x = x0 - f(x0) / f'(x0)这就是牛顿法的关键步骤——牛顿迭代公式。

迭代过程：选取初始点x0，计算x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。

若|x1 - x0| < ε（ε 为指定的精度），则停止迭代，认为x1 是方程的近似根。

否则，令x0 = x1，重复步骤1。

例如，求解方程f(x) = x² - 3x + 2 = 0 的根，则可以采用如下步骤：选取初始点x0，计算x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。

例如，设x0 = 1，则x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 1 - (1² - 3 × 1 + 2) / (2 × 1) = 1 - (-2) / 2 = 3 / 2。

判断迭代是否结束。

若|x1 - x0| < ε，则停止迭代，认为x1 是方程的近似根；否则，令x0 = x1，重复步骤1。

以上是牛顿法的推导过程。

在实际应用中，可以根据需要设定合适的初始点x0 和精度ε，进行迭代求解方程的根。

欧拉公式怎么证明出来的？保证轻松让你看懂

欧拉公式怎么证明出来的？保证轻松让你看懂
欧拉恒等式被称为数学中最美丽的公式之一，它把数学中几个看似没有联系的数：圆周率π、自然常数e、虚数单位i、0和1 结合到了一个式子中。

当小见第一次看到这个式子时虽然一脸懵逼，但还是被它的完美震撼到了。

它的推导过程对学过微积分的人来说不太困难，其实要证明欧拉公式，在你没有高等数学知识的情况下是几乎不可能的。

对于没学过幂级数的人来说，首先要知道一个初等函数展开定理，一个函数f（x）如果是一个初等函数（就是中学阶段学过的所有函数），且在x=0处邻域（-r，r）内存在任意阶导数，那么f（x）在x=0处可以展开成幂级数，展开式为：
看不懂？没关系，这里只是介绍一下初等函数的展开定理。

就是通过这个定理可以把幂函数e^x和三角函数sinx、cosx展开成幂级数：这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，它们都是泰勒公式的一种特殊形式。

虽然读者可能看到这里不懂得为什么，但你只要知道这三个式子是通过上面的初等函数展开定理得来的就行了，不必自己算。

当e的指数x替换成ix，即实数变量变成了纯虚数变量时，可写出：
所以结合虚数单位和上面的正余弦函数展开式得到一般形式的欧拉公式：
当x=π时，因为cosπ=-1，sinπ=0，所以就这样在没有利用高等数学中微积分知识和复平面圆周运动知识的情况下便证明出了欧拉恒等式：。

牛顿欧拉动力学方程

牛顿欧拉动力学方程
牛顿欧拉动力学方程是研究牛顿力学系统的一种重要方法，它是由英国数学家和物理学家Isaac Newton和欧拉提出的。

牛顿欧拉动力学方程表示为:
F=m*a
其中 F 是物体受力的矢量,m 是物体的质量,a 是物体的加
速度矢量。

牛顿欧拉动力学方程可以用来描述物体在外力作用下的运
动轨迹，可以用来解决牛顿力学中的各种问题。

它是牛顿力学的基础方程之一，在物理学、力学、天体物理学、分子动力学、流体动力学、统计物理学等学科中有广泛的应用。

例题1:
一个物体质量为10kg,受到30N的推力,物体的加速度为多少?
解:
根据牛顿欧拉动力学方程F=m*a
可得 a = F/m = 30N/10kg = 3m/s^2
所以物体的加速度为3m/s^2
例题2:
一个小球质量为2kg,在水平面上运动,受到水平方向上40N 的摩擦力,小球的速度是多少?
解:
F = -40N (摩擦力为抵消力)
m=2kg
a=F/m = -40N/2kg = -20m/s^2
根据牛顿欧拉动力学方程F=m*a,我们可以知道小球的加速度为-20m/s^2.由于这个加速度是负值，所以小球的速度会不断减小。

如果我们想要知道小球的速度，可以使用速度的一阶积分公式v = at + v0 (v0为初始速度)。

欧拉方程推导

1 p dvx X x dt
在y、z轴上也可以得到同样的关系，即得到欧拉方程
dv x 1 p x dt dv y 1 p Y y dt dv z 1 p Z z dt X
欧拉方程由欧拉于1755年首次提出，是流体力学中的一个重要方程：①建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间的关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。 ②对可压缩及不可压缩理想流体的稳定流或非稳定流都是适用的，在不可压缩流体中的密度ρ为常数：在可压缩流体中密度是压力和温度的函数，即ρ=f（p , T）。
推导理想流体运动微分方程即欧拉方程
dvx 1 p X x dt dv y 1 p Y y dt dv z 1 p Z z dt
以X轴为例，进行受力分析，微元体受的力为表面力（压力）和质量力 a
n
dy
d
.A
??xxmaf4dtdtdvdvdxdydz??dxdydz??dydzdydzdxdxxxppppdydzdydzdxdxxxppppdxdydz?dxdydzx?xxx????????????????????????????????22112211????5dxdydz??dxdydz?dxdydz?dxdydz?得单位质量流体的得单位质量流体的得单位质量流体的得单位质量流体的运动方程为运动方程为运动方程为等式两边除以微元体质量dxdydzdtdvxpxx????1在yz轴上也可以得到同样的关系即得到欧拉方程111xyzdvpxxdtdvpyydtdvpzz??????????????zdt??欧拉方程由欧拉于1755年首次提出是流体力学中的一个重要方程
dx
m
.
p
h g x
1 p dx 2 x

最美公式欧拉公式是如何得到的？来看看它的数学证明过程

欧拉公式将三角函数与复指数函数关联起来。

本文我将利用不同的方法去推导欧拉公式，并解释，为何欧拉公式被誉为最美的数学公式。

涉及的知识泰勒公式拉格朗日中值定理积分法正文：数学史上被公认为最伟大的数学家有阿基米德、牛顿、欧拉、高斯四人。

拉普拉斯曾经说，读读欧拉吧，他是所有人的老师。

在北大未名BBS中，ukim（北大数院学生于品，现在在清华任教）曾经说过一个很好玩的故事：John 和 Jacobi 这两个 Bernoulli家族的人，都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler 从他老师 John那里知道的，并且给出了π2/6 这个正确的答案。

Euler（欧拉）是他那个时代最伟大的数学家。

法国有一个很著名的哲学家，叫做 Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请 Euler来教育一下Diderot，其实 Euler 本来是弄神学的，他老爸就是的，后来是好几个叫 Bernoulli的去劝他父亲，才让 Euler 做数学了。

Euler邀请 Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot 自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日)，瑞士数学家、自然科学家。

欧拉本人得到欧拉公式后也非常喜欢。

另一位大数学家高斯也说，“一个人第一次看到这个公式而没感觉到它的魅力，他不可能成为数学家。

”接下来我们就来看看欧拉公式的证明方法。

证明方法1——泰勒级数法首先，我们可以把复数转换一下：就可以非常简单的泰勒公式推导欧拉公式：证明方法2——求导法这个证明方法本质是构造函数，利用中值定理可以得到欧拉公式。

接下来我们看看为何它被誉为最美公式：自然对数的“e”含于其中。

卫星动力学方程

卫星动力学方程卫星动力学方程是描述卫星在空间中运动的数学模型。

它是由牛顿运动定律和万有引力定律推导而来的，可以用来计算卫星的轨道、速度和加速度等参数。

卫星动力学方程的求解对于卫星的轨道设计、控制和导航等方面具有重要的意义。

卫星动力学方程的基本形式是牛顿-欧拉方程，它描述了卫星在空间中的运动状态。

牛顿-欧拉方程可以用向量形式表示为：m(dv/dt) = F + G其中，m是卫星的质量，v是卫星的速度，t是时间，F是卫星所受的非重力力，G是卫星所受的重力力。

这个方程可以进一步简化为：a = -GM/r^2其中，a是卫星的加速度，G是万有引力常数，M是地球的质量，r是卫星与地球的距离。

这个方程可以用来计算卫星的轨道。

卫星动力学方程的求解需要考虑多种因素，如地球的引力、大气阻力、太阳辐射压力、地球自转等。

这些因素会影响卫星的轨道和速度，因此需要对卫星进行精确的建模和计算。

卫星动力学方程的求解可以采用数值方法或解析方法，其中数值方法更为常用。

卫星动力学方程的应用非常广泛，包括卫星轨道设计、卫星导航、卫星控制等方面。

在卫星轨道设计中，卫星动力学方程可以用来计算卫星的轨道参数，如轨道高度、轨道倾角、轨道周期等。

在卫星导航中，卫星动力学方程可以用来计算卫星的位置和速度，从而实现卫星导航。

在卫星控制中，卫星动力学方程可以用来计算卫星的姿态和角速度，从而实现卫星的控制。

总之，卫星动力学方程是描述卫星在空间中运动的重要数学模型，对于卫星的轨道设计、控制和导航等方面具有重要的意义。

卫星动力学方程的求解需要考虑多种因素，可以采用数值方法或解析方法。

卫星动力学方程的应用非常广泛，是现代卫星技术的基础之一。

(完整版)牛顿—欧拉方程

牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ω⃗b=I b−1[M⃗⃗ b−Ω⃗b×( I b Ω⃗b)]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩M与角加速度Ω′的关系式，大多时候可简写成:Ωx′=[M x+(I yy−I zz)ΩyΩx]/I xxΩy′=[M y+(I zz−I xx)ΩxΩz]/I yyΩx′=[M z+(I zz−I yy)ΩxΩy]/I zz其中，M x,M y,M z分别为刚体坐标系S b下三个轴的所受的外力矩，I xx,I yy,I zz分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b)。

欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F(t)=ma(t)M⃗⃗ b=Ω⃗b×( I b Ω⃗b)+ I b Ω⃗b这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。

1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理：F=d(mv ) dt对两边叉乘质点位置矢量r：r×F=r×d(mv ) dt观察：d(r×mv )dt =r×d(mv )dt+drdt×mv因为：drdt×mv=v×mv=0故有：d(r×mv )dt =r×d(mv )dtr×F=d(r×mv )定义角动量L⃗=r×mv，可以看出r×F为外力矩M⃗⃗ 故有单质点的角动量定理：M⃗⃗ =dL⃗dt2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：L⃗G=∫L⃗i dm其中：L⃗G下标G表示该向量为大地坐标系S G下的，L⃗i的下标i表示该向量为大地坐标S G下各个质量元的向量。

欧拉公式的证明(整理)

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。

原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。

特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy)用牛顿幂级数展开式e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......把 e^(iy) 展开，就得到e^z/e^x = e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)即 e^(iy) = (cosy+isiny)方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。

着个才是根基。

由来缘于此。

方法一是不严格的。

再请看这2个积分∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;上式左边相当于下式左边乘以i于是上式右边相当于下式右边乘以i然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t θЄR,ρЄR+,a^(it)Єz有:a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1因共轭解适合方程,用-i替换i有:a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为:a^(it)=cosθ+isinθ 3设t=u(θ),对3微商有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ整理有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有: u'(θ)=logae 44取积分有:T=(logae)*θ+Ψ 5θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有:a^(iΨ)=1 即:Ψ=0 66代入5有:T=(logae)*θ 77代入3有:[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ化简得欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+isinθ（后两者才是真正让我震惊的）欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

机器人动力学--牛顿-欧拉方程

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山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比矩阵。
解：由例1知：

33 22

0 0
及

3 v3

l1c
l1s 21 21 l2 (1
2 )

1 2
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
一、惯量矩阵（张量）
如图所示，设刚体的质
量为m ，以质心为原点的
随体坐标系 Cxyz下的惯量
矩阵 IC由六个量组成，表
示为： Ixx
Ic I xy
Ixy I yy
Ixz

I
yz

式中：
I xz I yz I zz
Y
y y’
0
Iy
0

0 0 Iz
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
平行轴定理（Parallel-axis theorem）:
已知相对于某一原点位于物体质心坐标系{C}的惯量张量，坐标系{A}平行于坐标系 {C}，则相对于{A}坐标系的惯量张量为：
P
m
r
p c
C
z’
z
O
x x’ X
Z
图3.1
Ix mi ( yi2 zi2 ) ( y2 z2 )dm
Ixy I yx mi xi yi xi yi dm
Iy mi (zi2 xi2 ) (z2 x2 )dm Iz mi (xi2 yi2 ) (x2 y2 )dm

牛顿运动力学方程推导详述

牛顿运动力学方程推导详述牛顿运动力学是物理学中研究物体运动的重要分支，对于描述物体在运动过程中的行为非常关键。

牛顿运动力学方程是牛顿力学的核心内容，它描述了物体的运动状态以及物体所受的力与加速度之间的关系。

本文将详述如何推导牛顿运动力学方程。

在推导牛顿运动力学方程之前，我们需要明确几个基本概念。

首先是质点的概念，对于一个物体而言，如果它的大小和形状对我们研究问题影响不大，我们可以将其视为质点，也就是一个没有大小的点。

其次是力的概念，牛顿第二定律告诉我们，物体所受的合外力等于该物体的质量乘以其加速度。

最后是匀加速直线运动的概念，这种运动下物体的速度随时间成等差数列增加。

牛顿运动力学方程可以分为一维运动和二维运动两种情况进行推导。

首先我们来看一维运动的推导。

一维运动中，物体只能沿直线方向运动。

设物体的质量为m，受力为F，加速度为a，速度为v，位移为s，所受力与加速度之间的关系可以表示为 F = ma。

首先我们可以应用运动学中的公式，根据匀加速直线运动的公式 v = u + at，其中u是物体的初速度，t是时间，将初速度设为0，可以得到 v = at。

接下来应用另一个运动学公式 s = ut + 1/2at^2，其中s为位移，代入v = at，可得 s = 1/2at^2。

将位移s除以时间t得到 v = (2s)/t，将其代入F = ma中得到 F = m(2s)/t，进一步简化为 F = (2ms)/t。

上述推导过程是在假设物体始终受到恒定的力作用下进行的。

如果物体所受的力随时间变化，我们需要引入一个关于时间的函数来描述力的变化。

式中的 F 可以表示为 F(t)。

为了确定物体在给定时间区间内的运动情况，我们需要知道物体所受力与时间的关系。

设物体所受力随时间的变化率为dF/dt。

根据物理学基本原理，力的变化率等于力对时间求导数，即 dF/dt = ma(t)。

对于一维情况下的牛顿运动力学方程，在考虑变化力的情况下，我们可以将F(t) 表示为力的初始值 F0 加上力的变化率与时间 t 的乘积，即 F(t) = F0 + (dF/dt) * t。