九年级数学上册圆单元测试题之欧阳学创编

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数学九年级上学期《圆》单元检测卷(带答案)

[详解]作PE⊥OA于E，
∵OP=1，∠POE=45°，
∴OE=PE= ，即点P的坐标为（，），
则第2秒P点为（0，1），
根据题意可知，第3秒P点为（- ，），第4秒P点为（-1，0），第5秒P点为（- ，- ），第6秒P点为（0，-1），
第7秒P点为（，- ），第8秒P点为（1，0），
2018÷8=252……2，
A. B. πC. πD. π
11.如图，A B是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接A C，B C，A D，C D．若∠C A B=55°，则∠A D C的度数为（）
A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°
12.如图，在矩形A B C D中，A B=3，B C=4，O为矩形A B C D对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）
A. 44°B. 54°C. 62°D. 72°
3.如图，A B、C D分别与半圆OO切于点A，D，B C切⊙O于点E，若A B=4，C D=9，则⊙O 半径为（）
A. 12B. C. 6D. 5
4.如图，△A B C是⊙O的内接三角形，A B为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠A C D＝40°，则∠B A D的大小为（）
16.如图，Rt△A B C中，A B⊥B C，A B=6，B C=4，P是△A B C内部的一个动点，且满足∠PA B=∠PB C，则线段CP长的最小值为_____．
17.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接A D，则图中阴影部分面积是_____．

九年级上学期数学《圆》单元检测题含答案

8.如图,△A B C是⊙O的内接三角形,∠C＝30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△A BP中,PB＝A B,则PA的长为()
A.5B. C.5 D.5
[答案]D
[解析]
试题解析：连接OA、OB、OP,
∵∠C=30°,∴∠APB=∠C=30°,∵PB=A B,∴∠PA B=∠APB=30°
A.π+1B.π+2C.2π+2D.4π+1
8.如图,△A B C是⊙O的内接三角形,∠C＝30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△A BP中,PB＝A B,则PA的长为()
A. 5B. C. 5 D. 5
9.如图是某公园的一角,∠AOB=90°,弧A B的半径OA长是6米,C是OA的中点,点D在弧A B上,C D∥OB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是()
23.如图,点I是△A B C的内心,AI的延长线和△A B C的外接圆相交于点D,与B C相交于点E．
(1)求证：DI=D B；
(2)若AE=6Cm,ED=4Cm,求线段DI的长．
24.如图,已知扇形AOB的圆心角为直角,正方形OC DE内接于扇形AOB．点C、E、D分别在OA、OB、弧A B上,过点A作AF⊥DE交ED的延长线于F,如果正方形的边长为1,求阴影部分M、N的面积和．
点睛：本题考查了圆周角定理,圆周角的度数等于它所对的弧所对的圆心角度数的一半,圆的弦所对的圆周角分两种,一种是优弧所对的圆周角,一种是劣弧所对的圆周角,它们是互补的关系.
4.⊙O的半径r＝5Cm,直线l到圆心O的距离D＝4,则l与⊙O的位置关系是( )
A.相离B.相切C.相交D.重合
[答案]C
[解析]
3.正六边形内接于圆,它的边所对的圆周角是( )

九年级数学上册圆单元测试的题目(含答案详解)

圆单元测试题一、选择题：1.已知☉O的半径为6,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与☉O的位置关系为( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不确定2.已知⊙O半径为3,M为直线AB上一点,若MO=3,则直线AB与⊙O的位置关系为（）A.相切B.相交C.相切或相离D.相切或相交3.若用一种正多边形瓷砖铺满地面，则这样的正多边形可以是()A．正三角形或正方形或正六边形B．正三角形或正方形或正五边形C．正三角形或正方形或正五边形或正六边形D．正三角形或正方形或正六边形或正八边形4.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°5.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A.40°B.45°C.50°D.55°6.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）A.EF∥CDB.△COB是等边三角形C.CG=DGD.的长为π7.如图,圆锥的底面半径r为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm28.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A.50°B.60°C.70°D.70°9.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC的度数是（）A.120°B.135°C.150°D.165°10.⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm11.如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）12.如图,从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B,C 在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是（）A.12cmB.6cmC.3cmD.2cm二、填空题：13.如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=．14.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为．15.已知⊙O的直径为10cm，若直线AB与⊙O相切．那么点O到直统AB的距离是．16.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=，则阴影部分图形的面积为17.如图,AC是半圆O的一条弦,以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O,⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为．18.如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是（填序号）．三、解答题：19.已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.20.如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，2AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．21.如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长．22.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）填空：①当∠CAB= °时，四边形ADFE为菱形；②在①的条件下，BC= cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．参考答案1.C2.D3.A4.B5.D6.D7.C8.B9.C10.D11.C12.解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=45°，AC=2AD，∴AC=2（OA×cos45°）=12cm，∴=6π∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．故选C．13.答案为：15°．14.答案为4．15.答案为：516.答案为：17.解：过点O作OE⊥AC，交AC于D，连接OC，BC，∵OD=DE=0.5OE=0.5OA，∴∠A=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=60°，∵OB=OC=2，∴△OBC是等边三角形，∴OC=BC，∴弓形OC面积=弓形BC面积，∴阴影部分面积=S△OBC=0.5×2×=．故答案为：18.答案为：②③．19.答案：.20.（1）证明：如图，连接OA；∵OC=BC，2AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．21.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．22.证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．23.（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．证明：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．故答案为60．（3）解：∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF=∠CAB=60°，∴△AEF、△AFD都是等边三角形，由题意：2×a2=6，∴a2=12，∵a＞0，∴a=2，∴AC=AE=2，在RT△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC==6．故答案为6．。

九年级上册数学《圆》单元测试卷(附答案)

A. 勾股定理
B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
[答案]B
[解析]
分析]
由作图痕迹可以看出A B是直径,∠A C B是直径所对的圆周角,即可作出判断．
[详解]由作图痕迹可以看出O为A B 中点,以O为圆心,A B为直径作圆,然后以B为圆心B C=A为半径花弧与圆O交于一点C,故∠A C B是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠A C B是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.已知弦A B把圆周分成1∶5的两部分,则弦A B所对的圆心角的度数为.
A.20°B.40°C.60°D.80°
3.如图,弦A B⊥OC,垂足为点C,连接OA,若OC＝2,A B＝4,则OA等于（）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 2
4.如图,在⊙O中, ＝ ,∠AOB＝40°,则∠A D C的度数是（）
A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°
5.如图,四边形A B C D是⊙O的内接四边形,若∠B＝75°,∠C＝85°,则∠D－∠A＝（）
故选D.
点睛：P与C D相切应有两种情况,一种是在射线OA上,另一种在射线OB上,设对应的圆的圆心分别在P1,P2两点．当P在P1点时,根据切线的性质,在直角△O P1E中,由30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得O P1的长,进而求得P P1的长,从而求得由P到P1移动的时间；根据O P2=O P1,即可求得P P2,也可以求得求得由P到P2移动的时间．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.已知弦A B把圆周分成1∶5的两部分,则弦A B所对的圆心角的度数为.

数学九年级上册《圆》单元检测带答案

21.如图,A B是半圆O的直径,C是半圆O上的一点,CF切半圆O于点C,B D⊥CF于为点D,B D与半圆O交于点E,
(1)求证：B C平分∠A B D
(2)若D C=8,BE=4,求圆的直径．
22.如图,正方形A B C D的边长为2,点E在边A D上(不与A,D重合),点F在边C D上,且∠EBF=45°,若△A BE的外接圆⊙O与C D边相切．
A 24B.14C.10D.7
3.下列语句,错误的是( )
A.直径是弦
B.弦的垂直平分线一定经过圆心
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦
4.已知,如图A B,A D是⊙O的弦,∠B=30°,点C在弦A B上,连结CO并延长交⊙O于点D,∠D=35°,则∠B A D的度数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
[答案]C
[解析]
[分析]
利用确定圆的条件得到对角互补的四边形有外接圆可对①进行判断；利用切线的性质对②进行判断；根据正多边形中心角的定义和多边形外角和对③进行判断；根据切线长定理对④进行判断．
[详解]解：对角互补的四边形是圆内接四边形,所以①正确；
圆的切线垂直于过切点的半径,所以②错误；
6.如图,A B是⊙O的直径,点P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,连接B C、PA．若∠P=36°,PA与⊙O相切,则∠B等于( )
A.20°B.27°C.36°D.42°
[答案]B
[解析]
[分析]
由A B是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,∠P=36°,可求得∠POA的度数,又由圆周角定理,可求得∠B的度数,根据等边对等角的性质,即可求得答案．
2.如图,C D为圆O的直径,弦A B⊥C D,垂足为E,CE=1,半径为25,则弦A B的长为( )

九年级上册圆几何综合单元测试题(Word版含解析)

九年级上册圆几何综合单元测试题（Word版含解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB 于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，ACOOBDSS=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．【答案】（1）2；（2）2825x x x-+（0＜x＜8）;（3）AD=145或6．【解析】【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.【详解】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，AC=12AB=4，在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，∴22AO AC-，∴OD=5，∴CD=OD﹣OC=2；（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3，∵AC=x，∴CH=|x﹣4|，在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴22HO HC+223|x4|+-2825x x-+∴CD=OD ﹣OC=5过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OCDG CD=， ∴DG=OH CD OC⋅35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣x ）×（335）=32（8﹣x ）∴y=ACO OBDS S=()323582x x -（0＜x ＜8）（3）①当OB ∥AD 时，如图3，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ，则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245=OF ，在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，∴75∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD=2AF=145．②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得DG=BM=245，在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185，在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，∴AD=22AG DG +=6综上得AD=145或6．故答案为（1）2；（2）y=()2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.2．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设x BP =，PC y =.（1）求证：PE //DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605R <<【解析】【分析】()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据平行线的判定定理即可得到结论；()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到223PH x =，13BH x =，求得163CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218655PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论．【详解】()1证明：梯形ABCD ，AB CD =，B DCB ∠∠∴=，PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=， //PE CD ∴；()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．梯形ABCD 中，//AD BC ，，BC DG ⊥，BC PH ⊥，∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，在Rt ABF 中，22226242AF AB BF =-=-=，//PH AF ，PH BP BHAF AB BF∴==6242x BH ==，PH ∴=，13BH x =， 163CH x ∴=-，在Rt PHC中，PC =y ∴=9)y x =<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．//PE DC ，∴四边形PDME 是平行四边形．PE DM x ∴==，即 6MC x =-，PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=，又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，PB BEEC MC ∴=，即232663xx x x =--，解得：185x =，即125BE =，1218655PD EC ∴==-=，当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)；当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365R =；即两圆相交时，3605R <<．【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.3．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1，在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案；（3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BPBP BC=，∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =；（2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =，在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4， ∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．4．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．5．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．6．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.【答案】（1）83（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交【解析】试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,∴解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2×ˆA=(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交考点：直线与圆的位置关系点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大7．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝8．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OC；（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF 是⊙O 的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x ，OC=3x ，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD ，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF ∽△BDM ，由相似三角形的性质，得到FM 为中位线，即可求出FM 的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1） ∵DF ＝2OD ，∴OF ＝3OD ＝3OC ，∴13OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ，∴△COE ∽△FOE ， ∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°，∴CF 是⊙O 的切线；（2）∵∠COD ＝∠BAC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝13OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ，∵BC ＝8，∴CE ＝4，∵CE ⊥AD ，∴OE 2+CE 2＝OC 2，∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32，∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠，∵BC ⊥AD ，∴AC AB =，∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ；∵点F 是OC 的中点，∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ，∴DM=CM ，∴FM 为中位线，∴FM=322， ∴S △AOF : S △BDM =(32:26)2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯-=； ∴S △AOF =3424⨯=32；【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．【答案】（1）45°；（2）EA 2+CF 2＝EF 2，理由见解析；（3）2【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系为：EA 2+CF 2=EF 2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B 作BN ⊥BE ，使BN=BE ，连接NC ，判定△AEB ≌△CNB （SAS ）、△BFE ≌△BFN （SAS ），然后在Rt △NFC 中，由勾股定理得：CF 2+CN 2=NF 2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA 2+CF 2＝EF 2；（3）如图3，延长GE ，HF 交于K ，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2，∴12EA 2+12CF 2＝12EF 2， ∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，即S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴12S △ABC ＝12S 矩形BGKH ， ∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM 平分∠GBH ，∴BG ：BH ＝9：8，设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝2，∴CF 2（k+3），EF 2（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2，∴222(32)2(3)]2(83)]k k ++=-，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，∴AO 2AB ＝2， ∴⊙O 的半径为2．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．9．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】（1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =．【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．10．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．（1）求AC的长；（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）4105EF=；（3）03CE≤<或58CE<≤．【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC于点G，由cos45B=，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：在Rt△ABG中，AB=5，4 cos5BGBAB==，∴BG=4，∴AG=3，∴844CG=-=，∴点G是BC的中点，在Rt△ACG中，22345AC+=；（2）当点E 与点G 重合时，AE 与圆C 相切，过点F 作FH ⊥CE ，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB ，∴4cos cos 5CH B ACB CF =∠==， ∴CH=3.2，在Rt △CFH 中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt △EFH 中，由勾股定理，得 224100.8 2.45EF =+=；（3）根据题意，圆C 与线段AD 没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C 与AD 相离时，则CE<AE ，∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．。

九年级上册数学《圆》单元综合检测卷(带答案)

（3）若⊙O的半径为3，∠B A C=60°，求DE的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.半径为5的圆的一条弦长不可能是()
A.3B.5C.10D.12
[答案]D
[解析]
∵圆的半径为5，
∴圆的直径为10，
又∵直径是圆中最长的弦，
∴圆中任意一条弦的长度 .
故选D.
2.如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠A D C的度数是（）
6.如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框A B C D变形为以A为圆心，A B为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形D A B的面积为（）
A.12B.14C.16D.36
[答案]D
[解析]
解：
∵扇形A B D的弧长D B等于正方形两边长的和B C＋D C＝12，
扇形A B D的半径为正方形的边长6；
九年级上册数学《圆》单元测试卷
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.半径为5的圆的一条弦长不可能是( )
A.3B.5C.10D.12
2.如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠A D C的度数是（）
A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°
3.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）
18.如图所示，本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得B C长为120米，A到B C的距离为4米，请你帮他们求出该湖的半径．

九年级上学期数学《圆》单元测试题附答案

19.如图,⊙O中,直径C D⊥弦A B于点E,AM⊥B C于点M,交C D于点N,连接A D.
(1)求证：A D＝AN；
(2)若A B＝8,ON＝1,求⊙O的半径．
20.如图,A B是⊙O的直径,点C是的中点,CE⊥A B于E,CE交B D于F．
(1)求证：BF=CF；
(2)若C D=3Cm,A C=4Cm,求⊙O的半径及CE的长．
A.30°B.45°C.60°D.80°
7.如图,A B是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,OD⊥B C于点D,A C=6,则OD的长为()
A. 2B. 3C. 3.5D. 4
8.如图,点B,C,D在⊙O上,若∠B C D＝130°,则∠BOD的度数是()
A.50°B.60°C.80°D.100°
9.已知⊙O的直径C D=10Cm,A B是⊙O的弦,A B=8Cm,且A B⊥C D,垂足为M,则A C的长为()
A 2 CmB.4 CmC.2 Cm或4 CmD.2 Cm或4 Cm
10.正方形A B C D中,对角线A C、B D交于O,Q为C D上任意一点,AQ交B D于M,过M作MN⊥AM交B C于N,连AN、QN．下列结论：①MA=MN；②∠AQD=∠AQN； ③S△AQN= S五边形A BNQD；④QN是以A为圆心,以A B为半径的圆的切线．其中正确的结论有()
A.60°B.30°C.35°D.45°
5.如图,已知平行四边形A B C D中,A B=5,B C=8,CosB= ,点E是B C边上动点,当以CE为半径的圆C与边A D不相交时,半径CE的取值范围是()
A. 0＜CE≤8B. 0＜CE≤5
C. 0＜CE＜3或5＜CE≤8D. 3＜CE≤5
6.如图,正方形A B C D内接于⊙O,点E是弧A B上任一点,则∠DEC的度数是()

九年级上册数学《圆》单元综合测试附答案

所以四边形OAMH是矩形,
根据矩形的性质可得AM=OH,
因MH⊥B C,
由垂径定理得HC=HB=6,
所以OH=AM=10,
在RT△AOM中,由勾股定理可求得OM==2 ．
故答案选D．
[点睛]本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是正确添加辅助线,构造直角三角形．
5. 如图,A,B,C是⊙O上三点,∠A C B=25°,则∠B AO 度数是（）
15.如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是__．
16.如图,A B切⊙O于点B,OA=2,∠OA B=30°,弦B C∥OA,劣弧弧长为．（结果保留π）
17.如图,P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,PA＝ ,∠P＝60°,则图中阴影部分的面积为____．
A.40°B.45°C.50°D.60°
[答案]A
[解析]
试题解析：
∵点C是的中点,
故选A.
点睛：垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的两条弧.
4.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0)．与y轴分别交于点B(0,4)与点C(0,16)．则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A.10；B.8 ；C.4 ；D.2 ；
A.24CmB.48CmC.96CmD.192Cm
[答案]B
[解析]
[分析]
利用底面周长=展开图的弧长可得．
[详解]设这个扇形铁皮的半径为rCm,由题意得 ,解得r=48．
故这个扇形铁皮的半径为48Cm,
故选B．
考点：圆锥的计算．
10.如图,扇形AOB中,半径OA＝2,∠AOB＝120°,C是弧A B的中点,连接A C、B C,则图中阴影部分面积是( )

数学九年级上学期《圆》单元测试卷(带答案)

19.如图,⊙O是△A B C的外接圆,A B为直径, ,C D⊥A B于D,且交⊙O于G,AF交C D于E．
(1)求∠A C B 度数；
(2)求证：AE＝CE
20.如图,PA,PB是圆O的切线,A,B是切点,A C是圆O的直径,∠B A C=25°,求∠P的度数.
21.如图,在△A B C中,A B=A C,以A B为直径的圆O交B C于点D,作DE⊥A C于点E,求证：DE为圆O的切线.
解：∵A B为⊙O的直径,弦C D⊥A B,
∴CE＝C D,弧B C＝弧B D,弧A C＝弧A D,
∴∠B A C＝∠B A D,A C＝A D,
故选D．
2. 如图,在⊙O中,∠A B C=50°,则∠AOC等于()
A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°
[答案]D
[解析]
试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍,即∠AOC=2∠A B C=100°．
P′Q′= ．
故选B．
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,B D是⊙O的直径,∠A=30°,则∠C B D=_________．
[答案]60°
[解析]
∵B D是⊙O的直径
∴∠D C B=90°
∵∠D=∠A=30°
∴∠C B D=60°．
12.如图,∠BOD=140°,则∠B C D的度数为__________.
14.如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦是小圆的切线．若大圆半径为 ,小圆半径为 ,则弦的长为．
15.∆A B C的三边长分别为6,8,10,则∆A B C的外接圆的半径为_______.
16.如图,△A B C的内切圆O与B C、A C、A B分别相切于点D、E、F,且A B=9,B C=14,A C=13,则AF=_____,B D=_____,CE=______.

人教版九年级上册数学《圆》单元测试卷(含答案)

人教版九年级上册数学《圆》单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知与的半径分别为和3，若两圆相交，则两圆的圆心距满足（）A ．B ．C ．D ．2.已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．73.如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（）A ． 070B ． 035C ． 030D ．20︒4.在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定5.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（）A ．115︒B ．105︒C ．100︒D ．95︒ 6.Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是1O 2O 2m 5m =1m =5m >15m <<EDC BA（）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个7.在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（）A ．B ．cmC ．cmD ．cm8.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．D ．9.在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图所示，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（） A ．6分米 B ．8分米 C ．10 分米 D ．12 分米10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O 的直径等于（）Rt ABC △90C ∠=︒4BC cm =3AC cm =ABC △A 90︒11AB C △B 54π52π5π△22-2A．B． C． D ．７二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且1212O O =，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是___________．12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是．13.如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．14.如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm ，母线长为15cm ，那么纸杯的侧面积为 cm 2．（结果保留π）15.已知正六边形的边心距为，则它的周长是．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；B（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．17.如图⊙O 半径为2，弦BD ＝，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD上。

数学九年级上册圆几何综合单元测试卷(含答案解析)

数学九年级上册圆几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．（1）分别求点E 、C 的坐标；（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；（3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切【解析】试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3cot60232EO OB =⋅︒==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒==，∴点C 的坐标为（－3，0）．（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0），点C 与点F （－1，0）都在抛物线上．设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得 ()()30103a =++，∴33a =． ∴()()313y x x =++，即 2343333y x x =++．（3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下：∵ME ∥y 轴，∴MED B ∠=∠．∵B BDA MDE ∠=∠=∠，∴MED MDE ∠=∠．∴ME MD =．∵MA MD AD ME AD =+=+，∴⊙M 与⊙A 外切．2．如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在AB 边上，CD 与OB 交于点E ，∠ACD ＝∠OBC ；（1）如图1，求证：CD ⊥AB ；（2）如图2，当∠BAC ＝∠OBC +∠BCD 时，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF ⊥BC 于点F ，交CD 于点G ，作OH ⊥CD 于点H ，连接FH 并延长，交OB 于点P ，交AB 边于点M ．若OF ＝3，MH ＝5，求AC 边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC ＝485 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F ，再根据已知条件得∠3=90°，得CD ⊥AB ；（2）延长BO 交AC 于K ，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO 平分∠ABC ；（3）延长BO 交AC 于点K ，延长CD 交⊙O 于点N ，联结BN ，由条件可得CH=NH ，BF=CF ，从而HF 是△CBN 的中位线，HF ∥BN ，得出∠OEH=∠EHM 又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt △OBF 中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．3．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求ADCD的值．【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）ADCD62+6【解析】【分析】(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD=，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∴△ABC和△ACD是同族三角形.（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，∵OA=OB=32，AB=6，∴OA 2+OB 2=AB 2，∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，∴∠C=∠AOB=45°， ∵∠BAC=30°，∴BE=AB=3，∴AE=22AB BE -=33，∵CE=BE=3，∴AC=AE+CE=33+3.（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC ﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，如图2，当CD=CB 时，∠DAC=∠BAC=30°，∴∠ACD=75°，∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32，∴AD 333CD 32+==622+；如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，则∠DAC=∠ACB=45°，∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°，∴DF=CD•sin60°=6×323∴AD=2DF=36，∴AD 36CD ==6．综上所述：AD CD =62+或6. 【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形；（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为18629322x -==-（秒)．【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形；（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)，综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.5．已知：ABC 内接于O ，过点B 作O 的切线，交CA 的延长线于点D ，连接OB ．（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，BM AM AD =+，求证：BN CN =；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，12ON OQ =，10PQ OQ +=求CF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF【解析】【分析】（1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．【详解】解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90°∴∠DBC ＋∠CBG=90°∵BG 为直径∴∠BCG=90°∴∠CBG ＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四边形ABGC 为O 的内接四边形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH∴DM 垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵BM AM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD由（1）知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC =2∠HBD∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC ＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上∵点O 也在BC 的垂直平分线上∴AO 垂直平分BC∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四边形OBPE 为正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=12∠BOE==45° ∴△NQC 为等腰直角三角形∴NC=NQ=3a ，∴BC=2NC=6a在Rt △CFN 中，=∵PQ OQ ⊥∴PQ ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE ∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE ∽△BCG ∴=PQ PE BC BG即126=+PQ r r a r 解得：PQ=4a∵PQ OQ +=∴4a ＋2a=解得：∴=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点G ，E 是CD 上一点，且BE ＝DE ，延长EB 至点P ，连接CP ，使PC ＝PE ，延长BE 与⊙O 交于点F ，连结BD ，FD ．（1）连结BC ，求证：△BCD ≌△DFB ；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）若tan F ＝23，AG ﹣BG，求ED 的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1339．【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据AG-BG=53求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE ＝PC ，所以∠PEC ＝∠PCE ，所以∠PCE ＝∠COB ，因为AB ⊥CD 于G ，所以∠COB+∠OCG ＝90°，所以∠OCG+∠PEC ＝90°，即∠OCP ＝90°，所以OC ⊥PC ，所以PC 是圆O 的切线．（3）因为直径AB ⊥弦CD 于G ，所以BC ＝BD ，CG ＝DG ，所以∠BCD ＝∠BDC ，因为∠F ＝∠BCD ，tanF ＝23，所以∠tan ∠BCD ＝23＝BG CG，设BG ＝2x ，则CG ＝3x ．连接AC ，则∠ACB ＝90°，由射影定理可知：CG 2＝AG•BG ，所以AG ＝229922x C x G x G B ==，因为AG ﹣BG ，所以2392x x -=，解得x ＝3，所以BG ＝2x CG ＝3x ＝所以BC =，所以BD ＝BC ＝3，因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ，所以BDB DC DE D =，因为CD ＝2CG ＝所以DE ＝21339DB CD =．【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．7．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ；（3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝．【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.8．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132- 【解析】【分析】（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中22228610AB AC BC=+=+=，1122ABCS AC BC AB CP ∆=•=•，∴684.810AC BCCPAB•⨯===，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP-=-=．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，1 tan3AEF∠=，∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1， ∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 13313BC BAC AC ∠===，在Rt △ACH 中，313913sin 3GH AG BAC =•∠== ∴119131F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯-=；∴四边形ADCF 面积最小值是：27313813132722--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵229131F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是21191327313313(1)22AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是27313813132722+++=；综上所述，四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132-．【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22m AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =-；（3）①112；②1153762+ 【解析】【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DP AO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可. ②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EP EBF EB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可.【详解】（1）2222DP m AO =+=+，8BP AB AP m =-=- （2）情况1：与AC 相切时，Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒ ∴2AO OH =∴22m m +=解得4m =情况2：与BC 相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒ ∴3cos 2ON B OB ==即32282mm =- 解得32348m =- （3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒，∴3cos30cos30FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553102AC BC EP AB ⨯===．在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP ==∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233AF AE EF AD PE =-=-==, 2532CF CP ==，故1212235311353326F F AC AF CF =--=-=， 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒． ∴tan EF EP EBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ．在2Rt F BC 中，222222535752BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.10．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A 点出发，到笔直的河岸l 去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则PA +PB ＝A ′B 的值最小．解答问题：（1）如图2，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，求PA +PC 的最小值；（2）如图3，已知菱形ABCD 的边长为6，∠DAB ＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿A →C 的方向，向点C 运动．当到达点C 后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x 轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B 时，整个运动停止．①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．【答案】（1）PA+PC的最小值是23；（2）①点M的位置是（3，0）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当33＜t≤43时，S＝183﹣3t；当0＜t≤33时，S ＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．【解析】【分析】（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（3，0）以及到B 的解析式．【详解】解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，∵AM是直径，∠AOC＝60°，∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，∴AC＝12AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM22AM AC3答：PA+PC的最小值是3（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝12AP，由勾股定理得：AP＝3，BP＝3，∴点M30）时，用时最少．②当0＜t3AP＝2t，∵菱形ABCD，∴∠OAB＝30°，∴OB＝12AB＝3，由勾股定理得：AO＝CO＝3，∴S＝12AP×BO＝12×2t×3＝3t；③当3t3AP＝32t﹣332t，∴S＝12AP×BO＝12×（32t）×3＝3﹣3t．当3t3S＝12AB×BP＝123﹣（t﹣3]＝﹣3t3答：S与t之间的函数关系式是当3＜t3时，S＝33t；当0＜t3S＝3t．当3t3S＝﹣3t3【点睛】本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．。

数学九年级上册《圆》单元综合检测(带答案)

10.如图,已知点E是圆O上的点,B、C分别是劣弧A D的三等分点,∠BOC=46°,则∠AED的度数为度．
[答案]69
[解析]
∵B、C分别是劣弧A D的三等分点,∠BOC=46°,∴∠AOD="3∠BOC" =3×46°=138°,
∴∠AED= ∠AOD= ×138°=69°．
11.如图, 是半圆的直径,点是半圆上一点,过点作切线 , 于点 , 交半圆于点．已知 , ．那么直线与以点为圆心, 为半径的圆的位置关系是________．
[答案]4 + π.
[解析]
[分析]
连接OD、OC,根据切线的性质可得OD⊥A C；已知EO=DO=2,OA=OC=4,由此可得∠OA D=∠OC D=30°,A D=C D；根据直角三角形两锐角互余求得∠AOD=∠COD=60°,由平角的定义求得∠COB=60°；在Rt△OA D中,由勾股定理求得A D=2 ,即可得A C=4 ,根据S阴影=S△AOC+S扇形BOC-S小半圆即可解答.
2.已知⊙O的半径为4,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与⊙O的位置关系为（）
A.点A在⊙O上B.点A在⊙O外C.点A在⊙O内D.不能确定
[答案]B
[解析]
∵当OP=10厘米时,OA=5Cm>4Cm,
∴根据点到圆心的距离>半径的性质,可知点A在⊙O外．
故选B.
3.如图,⊙O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,∠B A C=36°,则劣弧B C的长是（）
九年级上册数学《圆》单元测试卷
（满分120分,考试用时120分钟）
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.☉O的半径为10Cm,弦A B=12Cm,则圆心到A B的距离为( )

数学九年级上册《圆》单元综合测试题(带答案)

关A C对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线与点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2
③当A D＝2时,EF与半圆相切；④当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过面积是16 ．其中正
确的结论（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题3分,共18分）
11.如图,⊙O是△A B C的外接圆,若∠OC B＝40°,则∠A=度．
∵A B是半圆的直径,
∴∠A C B=90°．
∵A B=8,∠C B A=30°,
∴∠C A B=60°,A C=4,B C=4 ．
∵C D⊥A B,∠C B A=30°,
∴C D= B C=2 ．
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得：
6.已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则该圆锥的侧面积是（）
A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π
[答案]C
[解析]
[分析]
运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半解题．
[详解]圆锥的侧面积=5×8π÷2=20π．
故选C．
[点睛]查了圆锥的侧面积的计算公式．解题关键是运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．
[答案]C
[解析]
[分析]
先根据勾股定理求出A B的长,再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半,可得出外接圆的半径,进而得出其面积
[详解]如图所示：
∵A C＝6Cm,B C＝8Cm,
∴A B=
∴外接圆的半径r=
∴外接圆的面积为25πCm²
故选C.
[点睛]考查了直角三角形外接圆半径与斜边的关系,解题关键是由题意画出图形,再运用直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解.
15.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六变形的顶点称为格点．已知每个正

人教版九年级上学期数学《圆》单元综合检测卷含答案

九年级上册数学《圆》单元测试卷(满分120分，考试用时120分钟)一．选择题(每小题3分，共36分)1.设⊙O的直径为12C m，点A 在直线l上，若A O=6C m，则直线l与⊙O的位置关系是( )A . 相离B . 相切C . 相交或相切D . 以上都不对2.如图，C D 是⊙O的弦，A B 是⊙O的直径，A B ⊥C D 垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A .B .C . EO=EBD . EC =ED3.钟面上的分针长为2C m，从8点到8点40，分针在钟面上扫过的面积是( )C m2．A .B .C .D .4.如图，在⊙O中，∠A B C =51°，则∠A OC 等于( )A . 51°B . 80°C . 90°D . 102°5.已知点I为△A B C 的内心，若∠A =40°，则∠B IC =( )A . 80°B . 110°C . 130°D . 140°6.如图，⊙O中，弦A B 、C D 相交于点P，∠A =35°，∠B =40°，则∠A PD 的大小是( )A . 45°B . 55°C . 65°D . 75°7.有一圆内接正八边形A B C D EFGH，若△A D E的面积为8，则正八边形A B C D EFGH的面积为( )A . 32B . 40C . 24D . 308.如图，⊙O的半径为3，四边形A B C D 内接于⊙O，连接OB ，OD ．若∠B OD =∠B C D ，则的度数为( )A . 60°B . 90°C . 120°D . 150°9.如图，A B 是⊙O的直径，点C 在A B 的延长线上，C D 与⊙O相切，切点为D ，如果∠A ＝28°，那么∠C 为( )A . 28°B . 30°C . 34°D . 35°10.如图，A B 是⊙O的直径，C D 是⊙O的弦，连结A C 、B C 、B D 、A D ，若C D 平分∠A C B ，∠CB A =30°，BC =3，则AD 的长为( )A . 3B . 6C . 4D . 311.如图，A D 是半圆的直径，点C 是弧B D 的中点，∠B A D =70°，则∠A D C 等于( )A . 50°B . 55°C . 65°D . 70°12.如图，A B 是半圆O的直径，C 、D 两点在半圆上，C E⊥A B 于E，D F⊥A B 于F，点P是A B 上的一个动点，已知A B =10，C E=4，D F=3，则PC +PD 的最小值是( )A . 7B . 7C . 10D . 8二．填空题(每小题3分，共24分)13.如图，在Rt△A B C 中，∠A C B =90°，A C =3，B C =4，以点C 为圆心，C A 为半径的圆与A B 交于点D ，则B D 的长为_____．14.如图，在四边形A B C D 中，A B =A D =5，B C =C D 且B C ＞A B ，B D =8．当A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为_____．15.如图，PA 、PB 、D E切分别切⊙O于点A 、B 、C ，若∠P=50°，则∠D OE=_____°．16.如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A 、B 两点，P是以C (0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PA B 面积的最小值是_____．17.如图，在⊙O中，P为直径A B 上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB ＝45°，若A P＝2C m，B P＝6C m，则MN的长是_____C m．18.如图，在矩形A B C D 中，A B =6，A D =8，E是B C 上的一动点(不与点B 、C 重合)．连接A E，过点D 作D F⊥A E，垂足为F，则线段B F长的最小值为_____．19.如图，点A 、B 、C 在⊙O上，∠O=44°，则∠C =_____°．20.如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A 、B 两点，P是以C (0，2)为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PA B 面积的最小值是_____．三．解答题(每题10分，共60分)21.如图，A B 是⊙O的直径，C 是的中点，C E⊥A B 于点E，B D 交C E于点F．(1)求证:C F=B F;(2)若C D =5，A C =12，求⊙O的半径和C E的长．22.如图，四边形A B C D 内接于⊙O，∠A B C =60°，B D 平分∠A D C ．(1)试说明△A B C 是等边三角形;(2)若A D =2，D C =4，求四边形A B C D 的面积．23.如图，A B 是⊙O的直径，D 、E为⊙O上位于A B 异侧的两点，连接B D 并延长至点C ，使得C D =BD ，连接A C 交⊙O于点F连接A E、D E、D F．(1)证明:∠E=∠C ;(2)若∠E=58°，求∠B D F的度数．24.如图所示，已知在△A B C 中，∠B =90°，O是A B 上一点，以O为圆心，OB 为半径的圆与A B 交于点E，与A C 切于点D ．(1)求证:D E∥OC ;(2)若A D =2，D C =3，且A D 2=A E•A B ，求的值．25.如图，在△A B C 中，A B =A C ．(1)如图1，若O为A B 的中点，以O为圆心，OB 为半径作⊙O交B C 于点D ，过D 作D E⊥A C ，垂足为E．①试说明:B D =C D ;②判断直线D E与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)如图2，若点O沿OB 向点B 移动，以O为圆心，以OB 为半径作⊙O与A C 相切于点F，与A B 相交于点G，与B C 相交于点D ，D E⊥A C ，垂足为E，已知⊙O的半径长为4，C E=2，求切线A F的长．26.如图，△A B C 中，∠A C B =90°，⊙O是△A B C 的内切圆，切点分别为D 、E、F．连接D F并延长交B C 的延长线于点G．(1)求证:A F=GC ;(2)若B D =6，A D =4，求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下，求图中由弧EF与线段C F、C E围成的阴影部分面积．参考答案一．选择题(每小题3分，共36分)1.设⊙O的直径为12C m，点A 在直线l上，若A O=6C m，则直线l与⊙O的位置关系是( )A . 相离B . 相切C . 相交或相切D . 以上都不对[答案]C[解析][分析]根据直线与圆的位置关系的判定方法，分OA ⊥l和圆心O到直线l的距离小于A O两种情况判断即可解答. [详解]已知⊙O的直径为12C m，则半径为6C m，又已知A O=6C m，所以A O为半径，则A 在⊙O上．当A O⊥l时，有1个公共点，即相切．当圆心O到直线l的距离小于A O时，有2个公共点，即相交．故选C ．[点睛]本题考查了直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离D 与圆半径大小关系完成判定．2.如图，C D 是⊙O的弦，A B 是⊙O的直径，A B ⊥C D 垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A .B .C . EO=EBD . EC =ED[答案]C[解析][分析]根据垂径定理解答即可.[详解]∵A B 是直径，A B ⊥C D ，∴，，EC =D E，选项A ，B ，D 正确，不能判断EO=EB ，选项C 错误.故选C ．[点睛]本题考查了垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解决问题的关键.3.钟面上的分针长为2C m，从8点到8点40，分针在钟面上扫过的面积是( )C m2．A .B .C .D .[答案]C[解析][分析]分针1小时(60分钟)转1周，扫过的面积是一个圆的面积，40分钟分针扫过的面积是圆面积的，根据圆的面积公式s=πr2，把数据代入公式进行求解即可．[详解]依题意，得×π×22=π(C m2);答:分针所扫过的面积是πC m2．故选C ．[点睛]本题考查了扇形面积的计算和旋转的性质．解答本题的关键是明确分针的尖端40分钟扫过的面积是圆面积的．4.如图，在⊙O中，∠A B C =51°，则∠A OC 等于( )A . 51°B . 80°C . 90°D . 102°[答案]D[解析][分析]根据圆周角定理即可解答.[详解]由圆周角定理得，∠A OC =2∠A B C =102°，故选D ．[点睛]本题考查了圆周角定理，熟知圆周角定理的内容是解决问题的关键.5.已知点I为△A B C 的内心，若∠A =40°，则∠B IC =( )A . 80°B . 110°C . 130°D . 140°[答案]B[解析][分析]根据三角形的内角和定理求得∠A B C +∠A C B =140°，由内心的定义可求得∠IB C +∠IC B =70°，再由三角形的内角和定理即可求得∠B IC 的度数.[详解]∵∠A +∠A B C +∠A C B =180°，∠A =40°，∴∠A B C +∠A C B =140°，∵I是△A B C 的内心，∴∠IB C =∠A B C ，∠IC B =∠A C B ，∴∠IB C +∠IC B =×140°=70°，∴∠B IC =180°﹣(∠IB C +∠IC B )=110°.故选B ．[点睛]本题考查了三角形的内心，熟知三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点是解决问题的关键.6.如图，⊙O中，弦A B 、C D 相交于点P，∠A =35°，∠B =40°，则∠A PD 的大小是( )A . 45°B . 55°C . 65°D . 75°[答案]D[解析][分析]根据等弧所对的圆周角相等可知∠B =∠C ，故根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可以求出∠A PD 的大小.[详解]由于∠C 和∠B 所对应的弧都是,故∠C =∠B =40°,∴∠A PD =∠C +∠A =75°,故答案选D . [点睛]本题主要考查了等弧所对应的圆周角相等以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，灵活应用这些是解答本题的关键.7.有一圆内接正八边形A B C D EFGH，若△A D E的面积为8，则正八边形A B C D EFGH的面积为( )A . 32B . 40C . 24D . 30[答案]A[解析][分析]取A E中点O，则点O为正八边形A B C D EFGH外接圆的圆心，连接OD ，即可得△OD E的面积=×△A D E的面积，由此求得△OD E的面积，再由圆内接正八边形A B C D EFGH是由8个与△OD E全等的三角形构成，即可求得正八边形A B C D EFGH的面积.[详解]取A E中点O，则点O为正八边形A B C D EFGH外接圆的圆心，连接OD ，∴△OD E的面积=×△A D E的面积=×8=4，圆内接正八边形A B C D EFGH是由8个与△OD E全等的三角形构成．则圆内接正八边形A B C D EFGH为8×4=32，故选A ．[点睛]本题考查了正多边形和圆的知识，一般的，任何一个正n边形都有一个外接圆，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形.8.如图，⊙O的半径为3，四边形A B C D 内接于⊙O，连接OB ，OD ．若∠B OD =∠B C D ，则的度数为( )A . 60°B . 90°C . 120°D . 150°[答案]C[解析][分析]根据圆内接四边形的性质、圆周角定理即可求得∠A =60°，∠B OD =120°，由此即可求得的度数. [详解]∵四边形A B C D 内接于⊙O，∴∠B C D +∠A =180°，∵∠B OD =2∠A ，∠B OD =∠B C D ，∴2∠A +∠A =180°，解得:∠A =60°，∴∠B OD =120°，∴的度数为120°故选C ．[点睛]本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，正确求得∠B OD =120°是解决问题的关键.9.如图，A B 是⊙O的直径，点C 在A B 的延长线上，C D 与⊙O相切，切点为D ，如果∠A ＝28°，那么∠C 为( )A . 28°B . 30°C . 34°D . 35°[答案]C[解析][分析]连接OD ，已知C D 与⊙O相切，根据切线的性质定理可得∠OD C =90 °，由OA =OD ，根据等腰三角形的性质可得∠A =∠OD A ，由三角形外角的性质可得∠C OD =∠A +∠OD A =2∠A =56°，由此即可求得∠C =34°.[详解]如图，连接OD ，∵C D 是⊙O的切线，∴OD ⊥C D ，即∠OD C =90 °，∵OA =OD ，∴∠A =∠OD A ，∴∠C OD =∠A +∠OD A =2∠A =56°，∴∠C =90°﹣56°=34°，故选C ．[点睛]本题考查了切线的性质定理、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.10.如图，A B 是⊙O的直径，C D 是⊙O的弦，连结A C 、B C 、B D 、A D ，若C D 平分∠A C B ，∠CB A =30°，BC =3，则AD 的长为( )A . 3B . 6C . 4D . 3[答案]B[解析][分析]由直径所对的圆周角为直角可得∠A C B =∠A D B =90°，再利用特殊角的三角函数值求出A B 的值，再根据等弧所对的弦相等结合勾股定理可得出结果.[详解]∵A B 是⊙O的直径, ∴∠A C B =∠A D B =90°, ∵∠C B A =30°, B C =,∴A B ==6，∵C D 平分∠A C B ，∴∠B C D =∠A C D , ∴A D =B D ,∴A D =,∴2A D ²=72, ∴A D =6.故选B .[点睛]本题考查了圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,解题的关键是得出A D =B D .11.如图，A D 是半圆的直径，点C 是弧B D 的中点，∠B A D =70°，则∠A D C 等于( )A . 50°B . 55°C . 65°D . 70°[答案]B[解析][分析]连接B D ，根据直径所对的圆周角为直角可得∠A B D =90°，即可求得∠A D B =20°，再由圆内接四边形的对角互补可得∠C =110°，因，即可得B C =D C ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠B D C =∠D B C =35°，由此即可得∠A D C =∠A D B +∠B D C =55°．[详解]解:连接B D ，∵A D 是半圆O的直径，∴∠A B D =90°，∵∠B A D =70°，∴∠C =110°，∠A D B =20°，∵，∴B C =D C ，∴∠B D C =∠D B C =35°，∴∠A D C =∠A D B +∠B D C =55°．故选B ．[点睛]本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键.12.如图，A B 是半圆O的直径，C 、D 两点在半圆上，C E⊥A B 于E，D F⊥A B 于F，点P是A B 上的一个动点，已知A B =10，C E=4，D F=3，则PC +PD 的最小值是( )A . 7B . 7C . 10D . 8[答案]B[解析][分析]作点C 关于A B 的对称点C ′，连接C ′D 交A B 于点P，则此时PC +PD 最小，为C ′D 的长，求得C ′D 的长即可求得PC +PD 的最小值.[详解]解:作点C 关于A B 的对称点C ′，连接C ′D 交A B 于点P，则此时PC +PD 最小，连接OC ，OD ，由勾股定理得，OE==3，OF=4，∴EF=EO+OF=7，作C ′H⊥D F交D F的延长线于H，则四边形EC ′HF为矩形，∴FH=C ′E=C E=4，C ′H=EF=7，∴D H=D F+FH=7，∴PC +PD =C ′D =.故选B ．[点睛]本题考查了轴对称-线路最短的问题，确定使PC +PD 的值最小时动点P的位置是解题的关键．二．填空题(每小题3分，共24分)13.如图，在Rt△A B C 中，∠A C B =90°，A C =3，B C =4，以点C 为圆心，C A 为半径的圆与A B 交于点D ，则B D 的长为_____．[答案]．[解析][分析]先根据勾股定理求出A B 的长，过C 作C M⊥A B ，交A B 于点M，由垂径定理可知M为A D 的中点，由三角形的面积可求出C M的长;再在Rt△A C M中，根据勾股定理可求出A M的长，然后再由A D =2A M 即可得出结论.[详解]∵在Rt△A B C 中，∠A C B =90°，A C =3，B C =4，∴过C 作C M⊥A B ，交A B 于点M，如图所示，∵C M⊥A B ，∴M为A D 的中点，∵且A C =3，B C =4，A B =5，∴在Rt△A C M中，根据勾股定理得:A C 2=A M2+C M2，即解得:∴故答案为:[点睛]考查勾股定理，垂径定理及推论，掌握垂径定理是解题的关键.注意辅助线的作法.14.如图，在四边形A B C D 中，A B =A D =5，B C =C D 且B C ＞A B ，B D =8．当A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为_____．[答案][解析][详解]如图，设A C 交B D 于点E，当A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上时，∵A B =A D =5，C B =C D ，∴A C 垂直平分线段B D ，A C 为圆的直径，设该圆的半径为r，圆心为O．连接OD ．∴B E=D E=4，A E==3，在Rt△OD E中，则有r2=(r﹣3)2+42，得r=．故答案为:．[点睛]本题考查了线段垂直平分线的性质、垂径定理及勾股定理，求得B E =4，A E=3是解决问题的关键.15.如图，PA 、PB 、D E切分别切⊙O于点A 、B 、C ，若∠P=50°，则∠D OE=_____°．[答案]65[解析][分析]连接OA 、OC 、OB ，根据切线的性质定理可得∠D A O=∠EB O=90°，由是必须的内角和为360°可得∠P+∠A OB =180°，由此求得∠A OB =130°，由切线长定理可得∠A OD =∠D OC ，∠C OE=∠B OE，从而得∠D OE=∠A OB =65°.[详解]连接OA 、OC 、OB ，∵OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OC ⊥D E，∴∠D A O=∠EB O=90°，∴∠P+∠A OB =180°，∴∠A OB =180°﹣50°=130°;∵∠A OD =∠D OC ，∠C OE=∠B OE，∴∠D OE=∠A OB =×130°=65°．故答案为:65．[点睛]本题考查了切线的性质定理及切线长定理，求得∠A OB =130°是解决问题的关键.16.如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A 、B 两点，P是以C (0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PA B 面积的最小值是_____．[答案][解析]试题解析:∵直线与x轴、y轴分别交于两点，∴A 点的坐标为(4,0),B 点的坐标为(0,−3)，∴OA =4，OB =3，过C 作C M⊥A B 于M，连接A C ，MC 的延长线交C 于N，则由三角形面积公式得,圆C 上点到直线的最小距离是∴△P A B 面积的最小值是故答案为:17.如图，在⊙O中，P为直径A B 上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB ＝45°，若A P＝2C m，B P＝6C m，则MN的长是_____C m．[答案]2[解析][分析]作OH⊥MN于H，连接ON，由已知条件可得OA =OB =ON=4，OP =2，再求得OH=;在Rt△OHN中，利用勾股定理求得NH=，再利用垂径定理即可求得MNN=2 C m.[详解]解:作OH⊥MN于H，连接ON，A B =A P+PB =8，∴OA =OB =ON=4，∴OP=OA ﹣A P=2，∵∠NPB =45°，∴OH=OP=，在Rt△OHN中，NH=，∵OH⊥MN，∴MN=2HN=2(C m)，故答案为:2.[点睛]本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．18.如图，在矩形A B C D 中，A B =6，A D =8，E是B C 上的一动点(不与点B 、C 重合)．连接A E，过点D 作D F⊥A E，垂足为F，则线段B F长的最小值为_____．[答案]2﹣4[解析][分析]由∠A FD =90°可得点F的运动轨迹是以A D 为直径的⊙O，连接OB ，OF，根据勾股定理求得OB =2，由B F≥O B ﹣OF即可求得B F的最小值为2﹣4.[详解]如图，∵A E⊥D F，∴∠A FD =90°，∴点F的运动轨迹是以A D 为直径的⊙O，连接OB ，OF．∵四边形A B C D 是矩形，∴∠B A O=90°，∵A B =6，A O=4，∴OB ==2，FO=A D =4，∵B F≥O B ﹣OF，∴B F的最小值为2﹣4，故答案为2﹣4．[点睛]本题考查了圆周角定理的推论及勾股定理，明确点O、B 、F在一条直线上时B F的值最小是解决问题的关键.19.如图，点A 、B 、C 在⊙O上，∠O=44°，则∠C =_____°．[答案]22[解析][分析]根据圆周角定理即可求解.[详解]由圆周角定理可得:∠C = ∠O=×44°=22°;故答案为:22;[点睛]本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决本题的关键.20.如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A 、B 两点，P是以C (0，2)为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PA B 面积的最小值是_____．[答案]5[解析][分析]求出A 、B 的坐标，根据勾股定理求出A B ，求出点C 到A B 的距离，即可求出圆C 上点到A B 的最小距离，根据面积公式求出即可．[详解]∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为(4，0)，B 点的坐标为(0，﹣3)，3x﹣4y﹣12=0，即OA =4，OB =3，由勾股定理得:A B =5．过C 作C M⊥A B 于M，连接A C ，则由三角形面积公式得:×A B ×C M=×OA ×OC +×OA ×OB ，∴5×C M=4×2+3×4，∴C M=4，∴圆C 上点到直线y=x﹣3的最小距离是:4－2=2，∴△P A B 面积的最小值是×5×2=5．故答案为:5．[点睛]本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解答此题的关键是求出圆上的点到直线A B 的最小距离．三．解答题(每题10分，共60分)21.如图，A B 是⊙O的直径，C 是的中点，C E⊥A B 于点E，B D 交C E于点F．(1)求证:C F=B F;(2)若C D =5，A C =12，求⊙O的半径和C E的长．[答案](1)证明见解析;(2)C E=．[解析][分析](1)由A B 是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠A C B =90°，又由C E⊥A B ，根据同角的余角相等可证得∠B C E =∠A ，又由C 是的中点，证得∠D B C =∠A ，继而可证得C F﹦B F;(2)由C 是的中点和C D =5可求得B C =5，利用勾股定理求得A B =13，即可求得⊙O的半径为6.5;在Rt△A C B 中，利用三角形面积的两种表示方法即可求得EC 的长.[详解](1)∵A B 是⊙O的直径，∴∠A C B =90°．∴∠A +∠A B C =90°．又∵C E⊥A B ，∴∠C EB =90°．∴∠B C E+∠A B C =90°．∴∠B C E=∠A ，∵C 是的中点，∴=．∴∠D B C =∠A ，∴∠D B C =∠B C E．∴C F=B F;(2)∵=，C D =5，∴B C =C D =5，∴A B ==13，∴⊙O的半径为6.5，∵ C E•A B = A C •B C ，∴C E===．[点睛]本题考查了圆周角定理、勾股定理及直角三角形的面积求法，熟练运用相关知识是解决本题的关键.22.如图，四边形A B C D 内接于⊙O，∠A B C =60°，B D 平分∠A D C ．(1)试说明△A B C 是等边三角形;(2)若A D =2，D C =4，求四边形A B C D 的面积．[答案](1)见解析;(2)四边形A B C D 的面积为.[解析][分析](1)据已知条件和圆周角定理即可得到结论;(2)过点A 作A E⊥C D ，过点B 作B F⊥A C ，得∠A ED =90°,∠A D E=60°,∠D A E=30°,D E =1，,CE= 5,从而求出,再求出,即可求出结论. [详解]解:(1)∵ 四边形A B C D 内接于⊙O∴∠A B C ＋∠A D C =180°∵∠A B C =60°，∴∠A D C =120°∵ D B 平分∠A D C ，∴∠A D B =∠C D B =60°∴∠A C B =∠A D B =60°，∠B A C =∠C D B =60°∴∠A B C =∠B C A =∠B A C∴△A B C 是等边三角形⑵ 过点A 作A E⊥C D ，垂足为点E;过点B 作B F⊥A C ，垂足为点F.∴∠A ED =90°∵∠A D C =120°∴∠A D E=60°∴∠D A E=30°∴ D E==1，∵ C D =4∴ C E=C D ＋D E=1＋4=5∴Rt△A EC 中，∠A ED =90°∴ A C =∵ △A B C 是等边三角形∴ A B =B C =A C =∴ A F=FC =∴∴∴ 四边形A B C D 的面积=.[点睛]本题考查勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.如图，A B 是⊙O的直径，D 、E为⊙O上位于A B 异侧的两点，连接B D 并延长至点C ，使得C D =BD ，连接A C 交⊙O于点F连接A E、D E、D F．(1)证明:∠E=∠C ;(2)若∠E=58°，求∠B D F的度数．[答案](1)证明见解析;(2)∠B D F=116°.[解析][分析](1)连接A D ，已知A B 是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠A D B =90°，即A D ⊥B C ;由C D =B D 可得A D 垂直平分B C ，根据线段垂直平分线的性质可得A B =A C ，所以∠B =∠C ;根据同弧所对的圆周角相等可得∠B =∠E，由此即可证得∠E=∠C ;(2)已知四边形A ED F是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得∠A FD =180°﹣∠E，由邻补角的定义可得∠C FD =180°﹣∠A FD ，从而求得∠C FD =∠E=58°，再由∠B D F=∠C +∠C FD 即可求得∠B D F的度数.[详解](1)连接A D ，∵A B 是⊙O的直径，∴∠A D B =90°，即A D ⊥B C ，∵C D =B D ，∴A D 垂直平分B C ，∴A B =A C ，∴∠B =∠C ，又∵∠B =∠E，∴∠E=∠C ;(2)∵四边形A ED F是⊙O的内接四边形，∴∠A FD =180°﹣∠E，又∵∠C FD =180°﹣∠A FD ，∴∠C FD =∠E=58°，又∵∠E=∠C =58°，∴∠B D F=∠C +∠C FD =116°.[点睛]本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，熟知圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质是解决问题的关键.24.如图所示，已知在△A B C 中，∠B =90°，O是A B 上一点，以O为圆心，OB 为半径的圆与A B 交于点E，与A C 切于点D ．(1)求证:D E∥OC ;(2)若A D =2，D C =3，且A D 2=A E•A B ，求的值．[答案](1)证明见解析;(2) .[解析]试题分析:(1)首先连接OD ，由在△A B C 中，∠B =90°，以O为圆心，OB 为半径的圆与A B 交于点E，与A C 切于点D ，易证得Rt△O D C ≌Rt△O B C (HL)，然后由等腰三角形与三角形外角的性质，证得∠OE D =∠B OC ，继而证得D E∥O C ;(2)由A D 、D C 的长可得A C 、B C 的长，再根据勾股定理即可得A B 的长，再根据A D 2=A E•A B ，从而可得A E的长，继而得到OB 的长，问题得以解答.试题解析:(1)连接OD ，∵A C 切⊙O点D ，∴O D ⊥A C ，∴∠O D C =∠B =90°，在Rt△O C D 和Rt△O C B 中，，∴Rt△O D C ≌Rt△O B C (HL)，∴∠D OC =∠B OC ，∵O D =OE，∴∠O D E=∠OE D ，∵∠D OB =∠O D E+∠OE D ，∴∠B OC =∠OE D ，∴D E∥O C ;(2)由A D =2，D C =3得:B C =3，A C =5，由勾股定理得A B = =4，又∵A D 2=A E·A B ，∴A E=1，∴B E=3，OB =B E=，∴=．[点睛]本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．解题的关键是恰当添加辅助线，解题过程中要注意掌握数形结合思想的应用．25.如图，在△A B C 中，A B =A C ．(1)如图1，若O为A B 的中点，以O为圆心，OB 为半径作⊙O交B C 于点D ，过D 作D E⊥A C ，垂足为E．①试说明:B D =C D ;②判断直线D E与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)如图2，若点O沿OB 向点B 移动，以O为圆心，以OB 为半径作⊙O与A C 相切于点F，与A B 相交于点G，与B C 相交于点D ，D E⊥A C ，垂足为E，已知⊙O的半径长为4，C E=2，求切线A F的长．[答案](1)①证明见解析;②直线D E与⊙O相切，理由见解析;(2)A F=3．[解析][分析](1)①连接A D ，已知A B 是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠A D B =90°，即A D ⊥B C ;再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论;(2)直线D E与⊙O相切，连接OD ，已知A B =A C 、OB =OD ，根据等腰三角形的性质可得∠OD B =∠B =∠C ，即可判定OD ∥B C ，由D E⊥A C 可得D E⊥OD ，由此即可判定D E与⊙O相切;(2)根据已知条件易证四边形OD EF是矩形，即可得OD =EF=4;设A F=x，则A B =A C =x+6，A O =x+2，在Rt△A OF中，利用勾股定理列出方程(x+2)2=x2+42，解方程求得x的值，即可求得A F的长.[详解](1)①连接A D ，∵A B 为⊙O的直径，∴∠A D B =90°，即A D ⊥B C ，∵A B =A C ，A D ⊥B C ，∴B D =C D ;②直线D E与⊙O相切，理由:连接OD ，∵A B =A C ，OB =OD ，∴∠OD B =∠B =∠C ，∴OD ∥B C ，∵D E⊥A C ，∴D E⊥OD ，∴D E与⊙O相切;(2)由(1)同理得，D E与⊙O相切，连接OF，∵EF与⊙O相切，D E⊥A C ，∴∠OD E=∠OFE=∠ED F=90°，即四边形OD EF是矩形，∴OD =EF=4，设A F=x，则A B =A C =x+6，A O=x+6﹣4=x+2，在Rt△A OF中，(x+2)2=x2+42，解得，x=3，即A F=3．[点睛]本题考查了切线的判定与性质，解决第(2)问构造直角三角形利用勾股定理作为相等关系列方程是解决问题的关键．26.如图，△A B C 中，∠A C B =90°，⊙O是△A B C 的内切圆，切点分别为D 、E、F．连接D F并延长交B C 的延长线于点G．(1)求证:A F=GC ;(2)若B D =6，A D =4，求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下，求图中由弧EF与线段C F、C E围成的阴影部分面积．[答案](1)详见解析;(2)2;(3)4﹣π．[解析][分析](1)连接OD 、OE、OF、OA ，证明四边形OFC E为正方形，根据正方形的性质得到OF=C F，证明△GFC ≌△A OF，根据全等三角形的性质证明结论;(2)根据切线长定理得到B E=B D =6，A F=A D =4，C F=C E，根据勾股定理列出方程，解方程即可;(3)根据正方形的面积公式和扇形面积公式计算．[详解](1)证明:连接OD 、OE、OF、OA ，∵⊙O是△A B C 的内切圆，切点分别为D 、E、F，∴OE⊥B C ，OF⊥A C ，又∠A C B =90°，OE=OF，∴四边形OFC E为正方形，∴OF=C F，∵A F=A D ，OF=OD ，∴OA ⊥D F，又∠A FD =∠GFC ，∴∠G=∠OA F，在△GFC 和△A OF中，，∴△GFC ≌△A OF(A A S)，∴A F=GC ;(2)解:由切线长定理得，B E=B D =6，A F=A D =4，C F=C E，则A B =A D +B D =10，由勾股定理得，A C 2+B C 2=A B 2，即(4+C F)2+(6+C E)2=102，解得，C F=2，即⊙O的半径为2;(3)解:图中由弧EF与线段C F、C E围成的阴影部分面积=22﹣=4﹣π．[点睛]本题考查的是三角形的内切圆与内心，扇形面积计算，掌握切线长定理，扇形面积公式，全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

九年级上学期数学《圆》单元综合测试题(含答案)

(1)求证：B C与⊙O相切；
(2)求阴影部分面积．
21.如图,四边形A B C D内接于⊙O,A B是⊙O的直径,A C和B D相交于点E,且D C2＝CE•C A．
(1)求证：B C＝C D；
(2)分别延长A B,D C交于点P,过点A作AF⊥C D交C D 延长线于点F,若PB＝OB,C D＝ ,求圆O的半径．
A.130°B.65°C.50°或130°D.65°或115°
7.边长分别等于6Cm、8Cm、10Cm的三角形的内切圆的半径为()Cm.
A. B. C. D.
8.如图,已知⊙O是等腰Rt△A B C的外接圆,点D是上一点,B D交A C于点E,若B C=4,A D= ,则AE的长是()
A.1B.1.2C.2D.3
[答案]4π
[解析]
[分析]
根据弧长的计算公式计算可得答案.
[详解]解：由弧长计算公式为:
可得： = =4 ,
故本题正确答案为4 .
[点睛]本题主要考查弧长的计算,其中弧长公式为： .
11.用一个半径为3Cm,圆心角为120 的扇形围成一个圆锥的侧面,则圆锥的高为______Cm.
[答案]
[解析]
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]
试题分析：过点O作OD⊥A B,则OD= ,∴A D= ,∴PD=AP－A D=x－；
∴ = ,根据垂径定理可得： = －4= ,即y= (0≤x≤5)
考点：二次函数的应用、勾股定理、切线的性质
二、填空题
10.在半径为6Cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为_____Cm．
22.如图,已知四边形A B C D内接于⊙O,点E在C B 延长线上,连结A C、AE,∠A C B=∠B AE=45°．

初三数学圆测试题及答案之欧阳美创编

九年级上册圆单元测试时间：2021.01.01 创作：欧阳美一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)1．下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是( )A.外离B.相切C.相交D.内含3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )A.35°B.70°C.110°D.140°4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围( )A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜55．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于( )A.42 °B.28°C.21°D.20°6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有( )A.2个B.4个C.5个D.6个9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线的距离OP=m，且m使得关于x的方程有实数根，则直线与⊙O的位置关系为( )A.相离或相切B.相切或相交C.相离或相交D.无法确定10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )A. B. C.D.二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共计20分)11．(山西)某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________的包装膜(不计接缝，取3).12．(山西)如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经被攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.13.如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.14．(北京)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_____________.15．如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S1-S2|=__________.三、解答题(16～21题，每题7分，22题8分，共计50分)16．(丽水)为了探究三角形的内切圆半径r与周长、面积S 之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长和面积S.(结果精确到0.1厘米)AC BC AB r S 图甲0.6图乙 1.0(2)观察图形，利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r 与、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立?17．(成都)如图，以等腰三角形的一腰为直径的⊙O 交底边于点，交于点，连结，并过点作，垂足为.根据以上条件写出三个正确结论(除外)是：(1)________________；(2)________________；(3)________________.18．(黄冈)如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？19．(山西)如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用表示) .20．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O 交AB于点P，Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由.21．(武汉)有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O 的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP 的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明：RP=RQ.请探究下列变化：变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA 的延长线上一点，且RP=RQ.说明：RQ为⊙O的切线.变化二：运动探求.(1)如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断) 答：_________.(2)如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？22．(深圳南山区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F.(1)求OA、OC的长；(2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形.由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.答案与解析：一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 提示：易证得△AOC≌△BOD，8.D 9.B 10.B二、填空题11.12000 12.第二种13.6cm 14.(2，0) 15.24(提示：如图，由圆的对称性可知，等于e的面积，即为4×6=24)三、解答题16.(1)略；(2)由图表信息猜测，得，并且对一般三角形都成立.连接OA、OB、OC，运用面积法证明：17.(1)，(2)∠BAD=∠CAD，(3)是的切线(以及AD⊥BC，弧BD=弧DG等).18.设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形OAO′C为正方形，OO′+O′B=25，所以圆形凳面的最大直径为25(-1)厘米.19.扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44.解：设扇形OAB的圆心角为n°弧长AB等于纸杯上开口圆周长：弧长CD等于纸杯下底面圆周长：可列方程组，解得所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即S纸杯表面积==20.连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.由题意知△ACP是直角三角形，又Q是AC的中点，因此QP=QC，∠QPC=∠QCP.而∠OCP+∠QCP=90°，所以∠OPC+∠QPC=90°即OP⊥PQ，PQ与⊙O相切.21.解：连接OQ，∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP又∵QR为⊙O的切线，∴OQ⊥QR即∠OQP+∠PQR=90°而∠OBP+∠OPB=90°故∠PQR=∠OPB又∵∠OPB与∠QPR为对顶角∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR∴RP=RQ变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；变化二、(1)结论成立 (2)结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR. 22.(1)在矩形OABC 中，设OC=x 则OA=x+2，依题意得解得：(不合题意，舍去) ∴OC=3， OA=5(2)连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=∴△OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2在⊙O′中，∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE，∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′切线.(3)不同意. 理由如下：①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵AP1=OA=5∴AH=4，∴OH =1求得点P1(1，3) 同理可得：P4(9，3)②当OA=OP时，同上可求得：P2(4，3)，P3(4，3)因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形.时间：2021.01.01 创作：欧阳美。

初三圆的经典练习题之欧阳治创编

圆的概念和性质例2．已知，如图，CD是直径，︒∠84EOD，AE交= Array⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm，最大为8cm，则这圆的半径是例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2，求BAC∠的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P 在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.211.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，以点A 为圆心，AC 的延长线于点D ，求CD 的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

初三圆专题训练之欧阳育创编

圆专题训练时间：2021.02.04创作：欧阳育一、河南省近4年中招圆专题1.河南省2010年中招11．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是⌒CmA 上异于点C 、A 的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC 的度数是______________．14．如图矩形ABCD 中，AD=1，AD=，以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为______________________． 2.河南省2011年中招10. 如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 的一点.若∠C=40°，则∠E 的度数为.3.河南省2012年中招 8．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A,EC CB ，则下列结论不一定正确的是【】D（第11题）AA ．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC4.河南省2013年中招7. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB⊥CD 于点G ，直线EF 与⊙O 相切于点D ，则下列结论中不一定正确的是A. AG=BGB. AB//EFC. AD//BCD. ∠ABC=∠ADC一、圆中线段的最值专题1. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为．2. （2013湖北省咸宁市，1，3分）如图，在Rt△AOB 中，OA=OB=3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为．3.（2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PBOFC DB G A 第7题的最小值是（）A.13B.5C. 3D.24. （2007•常州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A.24 B.4.75 C.5 D.4.8二、圆中阴影面积计算专题1.（2012广东汕头4分）如图，在□ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．2. （宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．3.（河南省）如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）（A ）π （B ）1.5π （C ）2π （D ）2.5π4.（2012山东枣庄4分）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若AB 的长为8cm ，则图中阴影部分的面积为cm2．5.如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD叠放在一起，连AC 、BD 。