因式分解常见错误与不等式常见考题类型

现对因式分解常见错误：分解不彻底、局部分解、忘记变号、重新还原为多项式、误用等式的性质等进行分析，查漏补缺，期望对同学们有所帮助.

一、分解不彻底：1、分解因式16a 4-b 4

错解：原式=（4a 2+b 2）（4a 2-b 2）；剖析：结果分解不彻底，4a 2-b 2还能分解，应分解到不能再分解为止. 正解：原式=（4a 2+b 2）（4a 2-b 2）=（4a 2+b 2）（2a+b ）(2a-b)

二、局部分解：2、分解因式a 2-4+3a

错解：原式=(a+2)(a-2)+3a

剖析：只把多项式的一部分分解，结果没有化成几个整式积的形式，中间还有和，要正确理解因式分解的意义. 正解：原式=a 2+3a-4=(a+4)(a-1)

三、忘记变号：3 、把-4x 2y+2xy 2-12xy 分解因式

错解：原式=-2xy(2x-y-6)

剖析:多项式首项系数若为“-”号，要把“-”号提出，在提“-”号时，括号内的多项式各项都要变号，本题第三项忘记变号. 正解：原式=-2xy(2x-y+6) 四、公式运用错误：4、分解因式-

49x 6+81

16y 2 错解：原式=-(23x 3)2+(94y)2=(23x 3-94y)(23x 3+94y) 剖析:没有搞清符号关系，以为是用第一项减第二项，平方差公式与位置无关而只与符号有关，因此，应先将题整理成减号在中央的形式.

正解：原式=(94y)2 -(23x 3)2=（94y+23x 3）(94y-2

3x 3) 五、重新还原为多项式：5、分解因式(a 2+b 2)2-4a 2b 2

错解：原式=(a 2+b 2+2ab)(a 2+b 2-2ab)=(a+b)2(a-b)2 =[(a+b)(a-b)]2=( a 2-b 2)2=a 4-2a 2b 2+b 4 剖析:本题实际上到第2个等号就分解到低了，不能在向下计算了！但由于受整式乘法的影响，又进行了整式乘法运算，不再是因式分解了！

正解：原式=(a 2+b 2+2ab)(a 2+b 2-2ab)=(a+b)2(a-b)2

六、误用等式的性质：6、 分解因式x 2-y 2+xz-

41z 2 错解：原式= 4x 2-4y 2+4xz-z 2=4x 2-(4y 2-4xz+z 2)=(2x)2-(2y-z)2=(2x+2y-z)(2x-2y+z) 剖析:上述解混淆了等式的恒等变形与解方程的区别，显然，第一步的两边并不相等，问题处在误用等式的性质去分母.

正解：原式= x 2-（y 2-xz+41z 2）= x 2-(y-21z)2=(x+y-21z)(x-y+2

1z). 不等式常见考题类型

1、当x 为何值时，代数式213x +－1的值不小于354

+x 的值？ 思考：1.“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？2.解此类问题首先应干什么？

思路分析：解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．

解：依题意，得:

213x +－1≥354

+x , ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )， 8x －15x ≥9＋12－4, －7x ≥17, ∴x ≤－177，所以，当x ≤－177

时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值． 2、如图，直线l 是函数132y x =+的图象．若点()P x y ，满足5x <，且132y x >+，则P 点的坐标可能是（ ） Ａ．(75)， Ｂ．(46)， Ｃ．(34)， Ｄ．(21)-，

思路点拨：结合图象，由于点P 的坐标需满足两个条件：5x <，132

y x >+； 如果把两个不等式联立起来解不等式组的话，则不易求出y x ,的取值范围，

可以由5x <发现，A 选项不符合题意，再把后三个选项中的x 分别代入后一个

不等式，看该点的纵坐标是否满足这个不等式。不难发现，B 选项符合要求。解：

选B 3、已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩

，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112k -<<- Ｂ．102k << Ｃ．01k << Ｄ．112

k << 思路点拨：注意到题目中y x ,的值同时满足一个方程组和一个不等式，如果先解关于y x ,的方程，再代入后面的不等式中求k ，是可行的，不过这个方法不够简便。可把原方程组的下面一个式子减去上一个式子，则有12+-=-k y x ，从而可得0121<+-<-k ，∴12

1<

(1)求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；(2)指出A 与C 哪个大？说明理由．

思路点拨：（1）根据题意，先作差，用含a 的代数式表示B －A ，然后由条件

a ＞2进行判断。（2）方法与（1）基本相似，先作差，再进行因式分解，依条件进行判断。

解：(1)B －A ＝（a －1）2+2 ∵ a ＞2，∴（a －1）2＞0，则（a －1）2+2 ＞0∴B ＞A

（2）C －A ＝（a ＋7）(a －3) 因为a ＞2，所以a ＋7＞0 从而当2＜a ＜3时，A ＞C ，

当a ＝2时， A ＝C ，当 a ＞3时，A ＜C

5、某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，•现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，•已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求，有望加工这批产品．

解：（1）设甲工厂每天加工x 件，则乙公司每天加工（x+8）件 由题意得：960960208

x x -=+，解之得：x 1=-24，x 2=16．经检验，x 1、x 2均为所列方程的根，但x 1=-24不合题意，舍去．此时x+8=24．

答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．

（2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天，乙工厂要40天．所以甲工厂的加工总费用为60×（800+50）=51000（元）．

设乙工厂报价为每天m 元，•则乙工厂的加工总费用为40×（m+50）元．

由题意得：40×（m+50）≤51000，解得m ≤1225．

答：•乙工厂所报加工费每天最多为1225元，可满足公司要求，有望加工这批产品．