平面几何中几个重要定理的证明
平面几何地几个重要地定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE//BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ ''''''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆ C BA1A 1B 1C 三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习Z Y X 2ABC Z Y X 1ZBAZYA CY XC BX BDEAZB AZ AF DC YA CY CEFBXC BX AF AE 1FBAFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆∆ =⋅⋅==⋅⋅共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VBUC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆MQRACPB；相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’‘M CR BQ AP R R AB R R RB ARB R AR BR AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB ARQA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCMACMABMBCMACM ABMCMP BMP ACP ABP 111=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1交于一点；成立，即而显然有：我们只须证明，，，的中线证明：记ABC AB CBC A BA B C AC A B CB C A BA B C AC AB CBC A BA B C AC CC BB AA ABC ∆∴=⋅⋅====⋅⋅∆1,,1111111111111111111111分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2ABCP P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ⊥∠∆，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2CB A1A 1B 1C CBA1A 1B 1CABCP P AN BM CK BLBCAC AL BLBCAC AL BLBCNB BK BKC BNL ACALAK AM AKC AML NBBKAK AM CNMC AKBKNB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK ABCK ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒∆≅∆=⇒∆≅∆=⋅==⋅⋅⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1111FDAEDA ANAM BF BD AF CE CD AE FBAFEA CE DC BD P CF BE AD BFBDAF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF ANF CDE AME BC MN BCAD ∠=∠∴=∴⋅=⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴∆≅∆∆≅∆⊥1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故三线共点；、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=∠=∠=∠=∠=∠∆,,3K LNMCBAFDAEDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3ANAM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。
平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）AD FA因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BEC F ，即得 AD C FEC FA DB EC FA2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若二、 塞瓦定理3 .塞瓦定理及其证明定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC不是ABC 的顶点，则有AD BECF 1DB EC由（1）宁（2） DB可得兀AD BE CF DB EC FA1，那么，D E 、F 三点共线.证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有AD /BE CF 丽EC FA因为AD Bl CF DB EC FA1，所以有誥段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.证明：运用面积比可得 ADDB S ADP S BDPS ADC S BDC根据等比定理有S ADP S ADCSADC S ADP S APCSSBDPBDCSBDCSBDPS的顶点，则有AD BE CF “1 DB EC FA .所以AD S A PC .同理可得BE SDB S BPCAPB, CFEC S APC FA SBPCS APB三式相乘得竺吏 DB EC CF i FA 4.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边AB BC CA 上各有一点 H 1，那么直线CD AE BF 三线共点. DE 、F ,且 D E 、 F 均不是 ABC 的顶点,AD BE若 DB EC证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D ,则 据塞瓦定理有 AD Z DBBE EC CA1 -1,所以有 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得 因为竺 DB EC CF FA AD DB D DDB •由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.三、西姆松定理 5.西姆松定理及其证明 定理：从 ABC 外接圆上任意一点 F ,则D E 、F 三点共线. 证明：如图示，连接PC ,连接EF P 向BC CA AB 或其延长线引垂线, 垂足分别为DE、交BC 于点D ，连接P D• 因为PE 因为A 、 所以， 共圆. 所以， 即 PD BC 由于过点 F D E 、 四、 6 AE,PF AF,所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得B 、P 、C 四点共圆，所以 FEP = BCP 即 DEP = CDP + CEP = 180°。
平面几何的著名定理
平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。
即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
平面几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
高中平面几何常用定理总结
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b ma -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r r r r r r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。
平面几何的26个定理
高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。
若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。
证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。
∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
平几竞赛中三个重要定理：梅氏、塞瓦、托勒密
平面几何几个重要定理 1.ZA YC = 根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上。
证明（1）必要性：即若X 、Y 、Z 三点共线，则1.CX BZ AY XB ZA YC =设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ，则,,CX c BZ b AY a XB b ZA a YC c === 三式相乘即得 1.CX BZ AY c b a XB ZA YC b a c== （2）充分性：即若 1.CX BZ AY XB ZA YC =则X 、Y 、Z 三点共线。
设直线XZ 交AC 于Y'，由已证必要性得' 1.'CX BZ AY XB ZA Y C =又已知1CX BZ AY XB ZA YC =，所以'.'AY AY Y C YC=因为Y'和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，且能分得比值相等，所以Y'和Y 必重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线。
梅内劳斯定理的应用：一是求共线线段的比，即已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。
1.YA ZB=（连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）证明(1)必要性：即设△ABC 中，AX 、BY 、CZ 是三条塞瓦线，如果 1.XC YA ZB =则AX 、BY 、CZ 三线共点。
（如图）假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连结CP 交AB 于Z'，则CZ'也是一条过P 点的△ABC 的塞瓦线。
根据已证充分性命题，可得' 1.'BX CY AZ XC YA Z B =但已知 1.BX CY AZ XC YA ZB =比较两式可知''AZ AZ Z B ZB=，因此AZ' = AZ .所以Z'点与Z 点重合，从而CZ'与CZ 重合，于是得出AX 、BY 、CZ 共点。
平面几何中几个重要定理的证明
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
因为CG // AB，所以 ————（1）
因为CG // AB，所以 ————（2）
由（1）÷（2）可得 ，即得 ．
注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE∽ ACD．即得
，即 ————（2）
由（1）+（2）得
．
所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．
注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．
三、托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有
AB·CD + BC·AD = AC·BD．
证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得 DAE = BAM．
因为 ADB= ACB，即 ADE = ACB，所以 ADE∽ ACB，即得
，即 ————（1）
五、欧拉定理
9．欧拉定理及其证明
定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足 ．
证明（向量法）：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则
———①
因为CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH // CD．同理CH // DA．
另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．
平面几何的几个重要的定理
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE//BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ ''''''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆ C BA1A 1B 1C 三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习Z Y X 2ABC Z Y X 1ZBAZYA CY XC BX BDEAZB AZ AF DC YA CY CEFBXC BX AF AE 1FBAFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆∆ =⋅⋅==⋅⋅共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VBUC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆。
平面几何等几个重要定理
1.萊莫恩(Lemoine)線：設三角形ABC的∠A的外角平分線與BC的延長線交於P，∠B的平分線與AC交於Q，∠C的平分線和AB交於R。
求證P、Q、R三點共線。
註：直線PQR稱為三角形ABC的萊莫恩(Lemoine)線。
2.戴沙格定理：設三角形ABC和A'B'C'對應頂點的連線AA'、BB'、CC'交於一點S，這時如果對應邊BC和BC、CA和CA、AB和AB(或它們的延長線)相交，則它們的交點D、E、F在同直線上。
註：戴沙格定理是射影幾何中等一個重要定理。
3.牛頓定理：設四邊形ABCD的一組對邊AB和CD的延長線交於點E，另一組對邊AD和BC的延長線交於F，則AC中點L、BD中點M及EF中點N三點共線。
註：直線LMN稱為四方形ABCD的牛頓線。
4.斯特瓦爾特定理：設P為三角形ABC的邊BC上一點，且BP：PC=m：n，則有 nAB2 + m AC2 =(n+m)AP2 + mn BC2/(m+n)。
註：1.當m=n時，即P是BC的中點時，可得AB2 + m AC2 = 2( AP2 + BP2)，此即三角形的中線定理，亦稱巴布斯定理。
2.當AP為三角形ABC中∠A的平分線時，則由角平線的性質得m/n=AB/AC。
此時BP =ac/(b+c)，CP=ab/(b+c)。
所以AP2=4bcp(p-a)/(b+c)2。
這公式亦可用sinA/2，及三角形面積公式得到。
5.在三角形ABC中，設c>b，AD是∠A的平分線，E為BC上一點且BE=CD。
求證：AE2-AD2=(c-b)2。
6.設G為三角形的重心，M是平面上任意一點，求證：MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2。
7.在三角形ABC的邊BC上任取一點D，設ADB和ADC的角平分線分別交AB、AC於E和E，求證AD、BE、CF交於一點。
8.已知AD是三角形ABC的邊BC上等高，P為AD上任意一點，直線BP、CP分別交AC、AB於E、F，求證∠FDA=∠ADE。
平面几何的几个重要的定理
证：在 EBC 中，作 B 的平分线BH贝U: EBCACKHBCACE HBC HCB ACEHCB 90即：BH CE作BC 上的高EP ，贝U: CK EP对于ACK 和三点D 、 E 、 F 依梅涅劳斯定理有: CD 胆 KF i DA EKFCKF__ EK CK FC — AE AC EP BP BK AC BC BE即KF _ BK FC _ BE依分比定理有: KF _ BKKC _ KE平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:定理1若直线I 不经过 ABC 的顶点，并且与 的延长线分别交于 P 、Q 、R ，贝VBP CQ AR 1PC QA RB证：设h A 、h B 、h C 分别是A 、B 、C 到直线I 的垂线的长度，贝y ： BP CQ AR h B h e h A , 1PC QA RB h C h A h B注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;在AK 上, D 是AC 的中点， F 是DE 与CK 的交点，证明： BF // CE例1：若直角 ABC 中，CK 是斜边上的高, CE 是 ACK 的平分线， E 点ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们EBC 为等腰三角形FKB CKE BF //CEA 1 C 1 A 1 D 1B 1C 1 B 1D 1【练习1从点K 引四条直线，另两条直 AC 和 A 1 > B 1> C 1> D 1，试证： --BC线分别交这四条直线于 A 、B 、C 、DAD BD依梅涅劳斯定理可知 A 1> B 1> 6三点共线; .下载可编辑.CA 、AB 上或它们的延长线上的P 、Q 、R 三点中，位于 ABC 边上的点的个数为 0或2,这时若 聖PC 定理2：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的三边BC 、 三点，并且CQ AR QA RB1,求证：P 、Q 、R 三点共线;证：设直线PQ 与直线AB 交于R '，于是由定理BP CQ AR ' PC QA R ' B又 BP CQ AR PC QA RB由于在同一直线上的 ABC 边上的点的个数也为 0或2,AR AR 1,贝 U : - L =R B RBP 、Q 、R '三点中，位于因此R 与R '或者同在AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上；若R 与R '同在AB 线段上，则R 与R '必定重合，不然的话， 设AR AR ',AR AR 'BR BR '这时AB AR AB AR '，即卩BR BR ',于是可得AR AR 这与 =——T 矛盾BR BR 类似地可证得当 R 与R'同在AB 的延长线上时, 综上可得：P 、Q 、R 三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用R 与R 也重合再相乘;例2点P 位于 ABC 的外接圆上；A 1>C 1是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足,证明点A 1> B 1> BA 1 BP cos PBC CA 1 CP cos PCB CB 1 CP cos PCA AB 1 AP cos PAC AC 1 AP cos PABC i 共线;证：易得:PB cos PBABC 1将上面三条式子相乘，且 PAC PBC , PAB PCB , BA 1 CB 1 AC 1—1 , CA [ AB 1 BC 1PCAPBA 180可得【练习4在一条直线上取点E 、C 、B 、F 、D ，记直线AB 和ED ，【练习2】设不等腰 ABC 的内切圆在三边 BC 、CA 、AB 上的切点分别为 D 、E 、F ，则EF 与BC , FD 与CA ，DE与AB 的交点 X 、Y 、Z 在同一条 直线上；【练习3】已知直线 AA i ，BB 1，CC i 相交于0,直线AB 和 A 1B 1的交点为 C 2，直线 BC 与B 1C 1的交点是 A 2，直 线AC 与A i C i 的交点是B 2，试证：A 2、B 2、C 2三点共线;CD 和AF ，CD 和AF ，EF 和BC 的交点依次为 L 、M 、N ，证明：L 、M 、N 共线练习1的证明证：若AD // A 1D 1,结论显然成立; 若AD 与A 1 D 1相交与点AD LD LD BDLD j A 1K A 1D 1 AK BKBQ B 1K LD 1 将上面四条式子相乘可即:也：如 BC BD A 1C 1B 1C 1L ,则把梅涅劳斯定理分 LC AK A 1C 1 AC A 1K 得.AD 得： -ACA 1 D 1B 1 D 1LC 1别用于 A 1AL 和B 1BL 可得: BCLC L B 1KB 1C 1 LC BK 1BC A 1C 1 BD A 1D 1B 1D 1 B 1C 1证：ABC 被直线 XFE 所截，由定理 1可得：BXCE XCEA 又 AE AF 代人上式可得： BX FB XC CECY DC AZ EA同理可得： -YA AF ZBBD将上面三条式子相乘可得：BX 得： CY AZ d1XC YA ZB又 X 、 Y 、 Z 都不在 ABC 的边上 .，由定理 2可得 练习2的证明 X 、YAF FBZ 三点共线练习3的证明证：设A 2、B 2、C 2分别是直线 BC 和B 1C 1,对所得的三角形和在它 C 1 ,A 2 ),OAC 和(A 1, AA 1 OB 1 BC 2 1 AC? AC 和 A 1C 1, 们边上的点：OAB 和(A" C 1,B 2)应用梅涅劳斯定理有： OC 1 BB 1 CA 2 . OA CC 1 OB 1 BA 2 可得：B C 2 A B 2AC 2 CB 2 由梅涅劳斯定理可知 A 2 , B 2 ,C 2共线 AB 和A 1B 1的交点， B 1 ,C 2 ),OBC 和(B“ i OA 1 BB 1 BB 1 CA 2 将上面的二条式子相乘 1 AA 1 CA 2BA 2 1练习4的证明 CC 1 AB 2 i OC 1 CB 2 证：记直线 EF 和CD ，EF 和AB ，AB 和CD 的交点分别为 U 、V 、W ，对 UVW ，应用梅 涅劳斯定理于五组三元 点(L,D,E ),( A,M ,F ),(B,C,N ),( A,C,E ),( B,D,F )，则有UE VL WD VE WL UD WA UC VE VA WC UE,VA UF WM 1WA VF YM ,WB UD VF 1VB WD UF,UN WC VB1VN UC WB将上面五条式子相乘可得益晋赭1, 点L,M ,N 共线平面几何的几个重要定理塞瓦定理：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的 BC 的充要条件是：聖3塑1PC QA RB------ 塞瓦定理CA 、AB 边上的点，则AP 、BQ 、CR 三线共点BMPACP SCMPSBCMSABMSACMSBCM以上三式相乘，得：C2竺=iPC QA RB证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，贝BP S ABP S BMP S ABM PC S ACP S CMP S ACM同理：BQAARRBBP CQ AR再证充分性：若 ------------ 1,设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PC QA RB由塞瓦定理有：圧竺翌1,PC QA R B于是：竺=纯R B RB因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M; 例1:证明：三角形的中线交于一点；证明：记ABC的中线AA,, BB,, CC,，我们只须证明型-BA1 1C, B A,C B, A而显然有：AC, C, B, BA, A1C,CB1B, AAC, BA, CB,即 1 1 1 1成立，ABC父于一点;C, B A,C B, A【练习1】证明：三角形的角平分线交于一点;【练习2】证明：锐角三角形的高交于一点；例2:在锐角ABC中，角C的平分线交于AB于L，从L作边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CP AB又 MC 即要证AMLAKCAM AL A K ACBNLBKCBK BC NB BL即要证AC 匹1BL 证：作CK AB下证CK 、BM 、AN 三线共点，且为P 点， 要证CK 、BM 、AN 三线共点，依塞瓦定理AM CN BK ,即要证：-1MC NB AK CN AM BK A K NBBBC BL FDA ,AD BC 故MN //BC ，可得 AME AM CDAD 、 CDE ， Af ，于是AMBDFANF AE CD “ ,AN CECF 共点于P ,根据塞瓦定理可得：-BDDCAE AN CE ，BDBE、 AF BD BF CE AF , 1EA FBAE CD CE AM AN EDAAF BD BF FDA【练习创已知 CAN BCMABC 外有三点M 、N 、R ,且BAR ,CBM ABR , ACN ，证明：AM 、BN 、CR 三线共点；依三角形的角平分线定 理可知：昱ACCK 、BM 、AN 三线共点，且为P 点 CP AB例3.设AD 是 ABC 的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任一点，BP 、CP 分别与AC 、 AB 交于 E 和 F ，贝U EDA = FDA证：过A 作AD 的垂线，与DE 、DF 的延长线分别 交于M 、N 。
第19讲 平几中的几个重要定理(二)
第19讲 平几中的几个重要定理（二）上节我们研究了平面几何中的Ptolemy 、Ceva 、Menelaus 等定理，本节将主要研究Euler 线、Simson 线、Fermat 点等定理及应用．定理5（Euler line ）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．定理6 (Simson line ) P 是ΔABC 的外接圆⊙O 上的任意一点，PX ⊥AB ，PY ⊥BC ，PZ ⊥CA ，垂足为X 、Y 、Z ，求证： X 、Y 、Z 三点共线．定理7 (Fermat point )分别以ΔABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向形外作正三角形ABD ，BCE ，CAH ，则此三个三角形的外接圆交于一点．此点即为三角形的Fermat point ．A 类例题例1 证明定理5（Euler line ）．已知：ΔABC 的外心，重心，垂心分别为O ，G ，H ，求证：O ，G ，H 三点共线，并且GH =2GO ． 分析 若定理成立，则由AG =2GM ，知应有AH =2OM ，故应从证明AH =2OM 入手．证明：如图，作直径BK ，取BC 中点M ，连OM 、CK 、AK ，则∠KCB =∠KAB =90︒，从而KC ∥AH ，KA ∥CH ，⇒□CKAH ，⇒AH =CK =2MO ．由OM ∥AH ，且AH =2OM ，设中线AM 与OH 交于点G ，则⊿GOM ∽⊿GHA ，故得MG ∶GA =1∶2，从而G 为⊿ABC 的重心．且GH =2GO ．说明 若延长AD 交外接圆于N ，则有DH =DN ．这一结论也常有用． 例2 证明定理6 (Simson line ) ．已知：P 是ΔABC 的外接圆⊙O 上的任意一点，PX ⊥AB ，PY ⊥BC ，PZ ⊥CA ，垂足为X 、Y 、Z ，求证： X 、Y 、Z 三点共线．分析 如果连ZX 、ZY ，能证得∠1=∠3，则由∠AZB =180︒得∠YZX =180︒，即可证此三点共线．证明 ∠PXB =∠PZB =90︒⇒P 、Z 、X 、B 四点共圆⇒∠1=∠2． ∠PZA =∠PYA =90︒⇒P 、Z 、A 、Y 四点共圆⇒∠3=∠4． 但∠2+∠5=90︒，∠4+∠6=90︒，而由P 、A 、C 、B 四点共圆， 得∠5=∠6．故∠2=∠4，从而∠1=∠3．故X 、Y 、Z 共线． 说明 本题的证法也是证三点共线的重要方法．A BCPXY ZF A B DECHABC MDO HG F KABCPXYZ123456例3 证明定理7(Fermat point )．若分别以ΔABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向形外作正三角形ABD ，BCE ，CAH ，则此三个三角形的外接圆交于一点．此点即为三角形的Fermat point ．分析 证三圆共点，可先取二圆的交点，再证第三圆过此点．证明：如图，设⊙ABD 与⊙ACH 交于(异于点A 的)点F ，则由A 、F 、B 、D 共圆得∠AFB =120︒，同理∠AFC =120︒，于是∠BFC =120︒，故得B 、E 、C 、F 四点共圆．即证．情景再现1. (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．2. 从一点P 向ΔABC 的三边（或它们的延长线）作PX ⊥AB ，PY ⊥BC ，PZ ⊥CA ，垂足X 、Y 、Z 在同一直线上，求证：点P 在ΔABC 的外接圆上．（Simson 定理的逆定理）3．求证：三角形的三条高的垂足、三条边的中点以及三个顶点与垂心连线的中点，共计九点共圆．(这就是Nine point round ，九点圆的圆心在三角形的Euler 线上，九点圆的直径等于三角形外接圆的半径．)B 类例题例4 设A 1A 2A 3A 4为⊙O 的内接四边形，H 1、H 2、H 3、H 4依次为⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的垂心．求证：H 1、H 2、H 3、H 4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．（1992年全国高中数学联赛）分析 H 1、H 2都是同一圆的两个内接三角形的垂心，且这两个三角形有公共的底边．故可利用定理5证明中的AH =2OM 来证明．证明 连A 2H 1，A 1H 2，取A 3A 4的中点M ，连OM ，由上证知A 2H 1∥OM ，A A A A H H H H OM12341234M O 11F ABDECN HA 2H 1=2OM ，A 1H 2∥OM ， A 1H 2=2OM ，从而H 1H 2A 1A 2是平行四边形，故H 1H 2∥A 1A 2 ，H 1H 2=A 1A 2．同理可知，H 2H 3∥A 2A 3，H 2H 3=A 2A 3； H 3H 4∥A 3A 4，H 3H 4=A 3A 4； H 4H 1∥A 4A 1，H 4H 1=A 4A 1． 故 四边形A 1A 2A 3A 4≌四边形H 1H 2H 3H 4．由四边形A 1A 2A 3A 4有外接圆知，四边形H 1H 2H 3H 4也有外接圆．取H 3H 4∥的中点M 1，作M 1O 1⊥HH ，且M O =MO ，则点O 即为四边形H H H H 的外接圆圆心．例5 在筝形ABCD 中，AB =AD ，BC =CD ，经AC 、BD 交点O 作二直线分别交AD 、BC 、AB 、CD 于点E 、F 、G 、H ，GF 、EH 分别交BD 于点I 、J ，求证：IO =OJ ．（1990年冬令营选拔赛题）分析 由于本题中显然AC ⊥BD ，因此可以建立以O 为原点的直角坐标系，用解析几何方法来解．下面提供一种利用面积的解法．证明：如图，由S ⊿AOB =S ⊿AOG +S ⊿GOB 得 12(at 1cos α+bt 1sin α）=12ab ． ∴ t 1=ab a cos α+b sin α．即1t 1=cos αb +sin αa ；同理得，1t 2=cos βb +sin βc ；1t 3=cos αb +sin αc ；1t 4=cos βb +sin βa ．再由S ⊿GOF =S ⊿GOI +S ⊿IOF ，又可得sin(α+β)IO =sin αt 2+sin βt 1；同理，得sin(α+β)OJ =sin αt 4+sin βt 3．∴ IO =OJ ⇔(1t 4－1t 2)sin α=(1t 1－1t 3)sin β．A BCDEFGHOI J αβab ct t t t 1234以1t 4、1t 2的值代入左边得，(1t 4－1t 2)sin α=(1a －1c )sin αsin β，同样得右边．可证．例6 设H 为ΔABC 的垂心，P 为ΔABC 的外接圆上一点，则从点P 引出的三角形的西姆松线平分PH ．A BCX YZ PKDHEM 12345F67分析 考虑能否用中位线性质证明本题：找到一条平行于Simson 线的线段，从PX ∥AH 入手．连PE ，得∠1=∠2，但∠2=∠3，再由四点共圆得∠3=∠4，于是得∠6=∠7．可证平行．证法一 连AH 并延长交⊙O 于点E ，则DE =DH ，连PE 交BC 于点F ，交XY 于点K ，连FH 、PB ．∵ PX ∥AE ，∴ ∠1=∠2，又∠2=∠3， ∵ P 、Z 、X 、B 四点共圆， ∴∠3=∠4，∴ ∠1=∠4． ∴ K 为PF 中点．∵ DE =DH ，BD ⊥EH ，∴ ∠2=∠5． ∴ FH ∥XY ． ∴ XY 平分PH ．证法二 延长高CF ，交圆于N ，则F 是HN 的中点，若K 为PH 中点，则应有FK ∥PN ．再证明K 在ZX 上．即证明∠KZF =∠XZB ．设过P 作三边的垂线交BC 、CA 、AB 于点X 、Y 、Z ．连KZ 、KF 、ZX ，延长CF 交⊙O 于点N ，连PN ．由PZ ⊥AB ，CF ⊥AB ，K 为PH 中点知，KZ =KF ． ∴ ∠KZF =∠KFZ ．易证HF =FN ，故KF ∥PN ．∴ ∠PNC =∠KFH ． 但∠PNC +∠PBC =180︒， ∴ ∠KFZ +∠ZFH +∠PBC =180︒． 即∠KFZ +∠PBC =90︒．又PX ⊥BC ，PZ ⊥BZ ⇒P 、Z 、X 、B 共圆． ∴ ∠XZB =∠XPB ，而∠XPB +∠PBC =90︒． ∴ ∠KZF =∠KFZ =∠XZB ．∴ ZK 与ZX 共线．即点K 在⊿ABC 的与点P 对应的Simson line 上．情景再现4．凸六边形ABCDEF ，AB =BC =CD ，DE =EF =F A ，∠BCD =∠EF A =60︒，Ｇ、Ｈ在形内， 且∠AGB =∠DHE =120︒．求证：AG +GB +GH +DH +HE ≥CF ．..5PCQ FME M FG DE Q P ABC ABC Q P ∠∠＝，则交于和的西姆松线、关于，若外接圆上的两点，求证为、设∆∆C 类例题例7 设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2-2Rr ．(1992年江苏省数学竞赛)分析 改写此式，得：d 2-R 2=2Rr ，左边为圆幂定理的表达式，故可改为过I 的任一直线与圆交得两段的积，右边则为⊙O 的直径与内切圆半径的积，故应添出此二者，并构造相似三角形来证明．证明：如图，O 、I 分别为⊿ABC 的外心与内心．连AI 并延长交⊙O 于点D ，由AI 平分∠BAC ，故D 为弧BC 的中点．连DO 并延长交⊙O 于E ，则DE 为与BC 垂直的⊙O 的直径．由圆幂定理知，R 2-d 2=(R +d )(R -d )=IA ·ID ．（作直线OI 与⊙O 交于两点，即可用证明）但DB =DI （可连BI ，证明∠DBI =∠DIB 得），故只要证2Rr =IA ·DB ，即证2R ∶DB =IA ∶r 即可．而这个比例式可由⊿AFI ∽⊿EBD 证得．故得R 2-d 2=2Rr ，即证．说明 本题结论实际上是Euler 定理．例8 (Steiner 问题)在三个角都小于120°的ΔABC 所在平面上求一点P ，使P A +PB +PC 取得最小值．证明：设P 为平面上任意一点，作等边三角形PBM （如图）连ME ， 则由BP =BM ，BC =BE ，∠PBC =∠MBE =60︒-∠MBC ． 得⊿BPC ≌⊿BME ， 于是ME =PC ，故得折线APME =P A +PB +PC ≥AE =F A +FB +FC ． 即三角形的Fermat point 就是所求的点．说明:本题也可用Ptolemy 的推广来证明:由PB ·CE +PC ·BE ≥PE ·BC ，可得，PB +PC ≥PE ．于是P A +PB +PC ≥P A +PE ≥AE ． F ABDECHP M A BCDOIEF情景再现6．(评委会，澳大利亚，1989)锐角 ABC的内角平分线分别交外接圆于点A1、B1、C1，直线AA1与∠ABC的外角平分线相交于点A0，类似的定义B0，C0，证明：⑴S AB0C0=2S A1CB1AC1B；⑵S AB0C0≥4S ABC．7．求证：到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心．8．三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心．习题19.:.1在同一直线上、、、，求证、、、的垂线，其垂足分别为、、、作；从点、、的垂足分别为、、的三条垂线设S R Q P S R Q P AC CF BE AB D F E D CF BE AD ABC ∆..2BD EF F E AD AC B D ABCD 平分线段，则直线、分别为的垂线，垂足、作直线是直角，若从是圆内接四边形，且四边形∠..3一条直线上直线所作垂线的垂足在且由该点向四条的外接圆相交于一点，交所构成的四个三角形求证：四条直线两两相..5BD EF F E AD AC B CDA ABCD 或其延长线平分，求证：、垂足分别为的垂线，、点作直线是直角，若从是圆内接四边形，且四边形∠7．C 是直径AB =2的⊙O 上一点，P 在△ABC 内，若PA +PB +PC 的最小值是7，求此时△ABC 的面积S ．..4的的西姆松线是互相垂直、，则关于的外接圆的任意直径为设Q P PQ ABC∆8．(Fagnano问题)给定锐角三角形，求其内接三角形中周长最小者．9．(Polya问题)两端点在给定圆周上且把圆面积二等分的所有线中，以直径最短．10．(等周问题)这是由一系列的结果组成的问题：1︒在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大．2︒在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大．3︒在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小．4︒在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小．πa．11．设正三角形ABC的边长为a，若曲线l平分⊿ABC的面积，求证：曲线l的长l≥243 12．(1995全国高中数学联赛) 菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作⊙O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q．求证：MQ//NP．本节“情景再现”解答：1. 证明：作点F 关于OM 的对称点F ’，连FF ’，F’M ，F’Q ，F’D ．则 MF =MF ’，∠4=∠FMP =∠6．圆内接四边形F ’FED 中，∠5+∠6=180︒，从而∠4+∠5=180︒，于是M 、F ’、D 、Q 四点共圆，∴ ∠2=∠3，但∠3=∠1，从而∠1=∠2，于是⊿MFP ≌⊿MF ’Q ．∴ MP =MQ ． 2. 证明略．3．证明：取BC 的中点M ，高AD 的垂足D ，AH 中点P ，过此三点作圆，该圆的直径即为MP ．由中位线定理知，MN ∥AB ，NP ∥CH ，但CH ⊥AB ，故∠PNM =90︒，于是，点N 在⊙MDP 上，同理，AB 中点在⊙MDP 上．再由QM ∥CH ，QP ∥AB ，又得∠PQM =90︒，故点Q 在⊙MDP 上，同理，CH 中点在⊙MDP 上．由FP 为Rt ．⊿AFH 的斜边中线，故∠PFH =∠PHF =∠CHD ，又FM 为Rt ．⊿BCF 的斜边中线，得∠MFC =∠MCF ，但∠CHD +∠DCH =90︒，故∠PFM =90︒．又得点F 在⊙MDP 上，同理，高BH 的垂足在⊙MDP 上．即证．4．证明 连BD 、AE 、BE ，作点G 、H 关于BE 的对称点G '、H '，连BG '、DG '、G 'H '、AH '、EH '．由于BC =CD ，∠BCD =60︒；EF =F A ，∠EF A =60︒⇒⊿BCD 、⊿EF A 都是正三角形，⇒AB =BD ，AE =ED ，⇒AEDB 为筝形⇒⊿ABG ≌⊿DBG '，⊿DEH ≌⊿AEH '．由∠BG 'D=120︒，∠BCD =60︒⇒B 、C 、D 、G '四点共圆．由Ptolemy 定理知CG '=G 'B +G 'D ，同理，H 'F =H 'A +H 'E ，于是AG +GB +GH +DH +HE =G 'B +G 'D +G 'H '+H 'A +H 'E =CG '+G 'H '+H 'F ≥CF ．5.，＝＝＝，＝，＝分别四点共圆、、、和、、、和、、、由题设可知，图中，＝证明：设PCQ FME PCQ RCB FCQ DCP NLC NGL DEP MNE MEN FME DCP DEP GCE NLQ FCQ EGQ P D E C C G L E C G F Q L QG PE N FG PE ∠∠∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠∠∴∠∠∠∠∠∠∴=..., 6．证明：⑴ 设∆ABC 的内心为I ，则A 1A 0=A 1I ，则S A 0BI =2S A 1BI ；同理可得其余6个等式．相加⑴即得证．⑵ 连OA 、OB 、OC 把六边形A 1CB 1AC 1B 分成三个四边形，由OC 1⊥AB ，OA 1⊥BC ，OB 1⊥CA ，得∴ S A 1CB 1AC 1B =S OAC 1B + S OB 1A 1C + S OCB 1A =12AB ·R +12BC ·R +12CA ·R =Rp ．但由Euler 定理，R 2－2Rr =R (R －2r )=d 2≥0，知R ≥2r ，故Rp ≥2rp =2S ∆ABC ．故得证．又证：记A =2α，B =2β，C =2γ．0<α，β，γ<π2．则S ABC =2R 2sin2αsin2βsin2γ，S A1B 1C 1=2R 2sin(α+β)sin(β+γ)sin(γ+α)．又sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β≥2sin αcos β cos αsin β =sin2αsin2β ，同理，sin(β+γ)≥sin2βsin2γ ，sin(γ+α)≥sin2γsin2α ，于A BCD EF MF'123456OPQFH DMCBAPQ N H'G'H G FEDCBAC 0是S A 1B 1C 1≥S ABC 得证．又证：α+β+γ=π，故sin(α+β)=cos γ，sin(β+γ)=cos α，sin(γ+α)=cos β．于是，sin(α+β)sin(β+γ)sin(γ+α)=cos αcos βcos γ，故sin(α+β)sin(β+γ)sin(γ+α)≥sin2αsin2βsin2γ，⇔cos αcos βcos γ≥8sin αsin βsin γcos αcos βcos γ，由0<α、β、γ<π2，故cos αcos βcos γ≥8sin αsin βsin γcos αcos βcos γ，⇔sin αsin βsin γ≤18．而最后一式可证．7．先证明：P 为三角形形内任意一点，重心为G ，则PA 2+PB 2+PC 2=GA 2+GB 2+GC 2+3PG 2． 证明：取中线BG 中点M ，则2(PA 2+PC 2)=AC 2+4PE 2， ①2(PB 2+PG 2)=BG 2+4PM 2， ② 2(PE 2+PM 2)=ME 2+4PG 2， ③①+②+③×2得：2(PA 2+PB 2+PC)=AC 2+GB 2+2ME 2+6PG2= 2GB 2+6PG 2+AC 2+ 4GE 2 =2GB 2+6PG 2+2GA 2+2GC 2．∴ PA 2+PB 2+PC 2=GA 2+GB 2+GC 2+3PG 2．于是PA 2+PB 2+PC 2≥GA 2+GB 2+GC 2．等号当且仅当P 与G 重合时成立． 亦可用解析几何方法证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)．P(x ，y)， 则S=(x －x 1)2+(y －y 1)2+(x －x 2)2+(y －y 2)2+(x －x 3)2+(y －y 3)2=3x 2－2(x 1+x 2+x 3)x+(x 12+x 22+x 32)+3y 2－2(y 1+y 2+y 3)y+(y 12+y 22+y 32)显然，当x=13(x 1+x 2+x 3)，y=13(y 1+y 2+y 3)时，S 取得最小值．即当P 为∆ABC 的重心时，S 取得最小值．8．证明：设三角形ABC 的三边长为a 、b 、c ，点P 到三边的距离分别为x ，y ，z ．则2∆=ax+by+cz ≥33ax ·by ·cz ．即xyz ≤2∆33abc ．等号当且仅当ax=by=cz ，即∆PAB 、∆PBC 、∆PCA 的面积相等时成立．此时P 为∆ABC 的重心．本节“习题19”解答：1. .,,,.四点共圆、、、三点共线、、且由西姆松定理有：四点共圆、、、又三点共线、、由西姆松定理有：四点共圆、、、，则的垂心为证明：设S R Q P R Q P D B F O S R Q D C E O O ABC ∴ ∆2....90,BD FG BFDG DGB FDG BFD G E F DC BG 平分另一条对角线对角线为矩形四边形又共线，、、由西姆松定理有：证明：作∴∴︒=∠=∠=∠⊥ 3.....180.,在同一条直线上、、、故在一条直线上，、、在一条直线上，、、，由西姆松定理可知、、、、所作垂线的垂足分别为、、、向若点交于同一点、圆圆、、圆圆也过点同理圆过点，即圆的另一个交点为与圆，于点交，于点交中，、、、线证明：如图，设四条直P N M L P N M N M L P N M L E DA CD BC AB G G AED ABF CDF BCE G AED G ABF A BGF CDA BEC CGF BGC BGF G CDF BCE F AD BC E CD AB AD CD BC AB ∴︒=∠+∠∴∠+∠=∠+∠=∠∴ 4.AO A P QQ PP QP A Q A P Q P BC Q P ''''''''⊥是矩形，则的西姆松线平行，再证、分别与点、，先证、于点作垂线并延长交外接圆向、提示：由5..90,所平分被另一对角线是矩形，四边形共线、、，由西姆松定理可知的垂线作证明：由FG BD BGDF FDG BFD G F E BG DC B ︒=∠=∠∴6.略．7．解：如图，P 为费马点，可用旋转变换证得，从而S =32.8．证明 (Fejer 方法)分成几部分来证明：1︒ 先在BC 上任取一点D ，固定D ，求出以D 为一个顶点⊿ABC 的内接三角形中周长最小者．作D 关于AB 、AC 的对称点D ’、D”，连D’D”交AB 、AC 于点F 、E ，连DF 、D’F ，DE 、D”E ，对于任一以DD 一个顶点的⊿ABC 的内接三角形XPQ ，连Q D’、QD ，PD ”、PD ，于是可证DE +EF +FD =D ’D”≤D ’Q +QP +PD”=DQ +QP +PD ． 即⊿DEF 为固定点D 后周长最小的内接三角形．2︒ 当点D 的BC 上运动时，对每一点D ，都作出1︒中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．连AD 、AD ’、AD ”，则AD =AD ’=AD ”，且∠D ’AB =∠DAB ，∠D”AC =∠DAC ，于是∠D’AD”=2∠A ．所以D’D”=2AD sin A ．当点D 在BC 上运动时，以点D 为BC 边上高的垂足时AD 最小．3︒ 说明此时的最小三角形就是⊿ABC 的垂足三角形．由于D 为BC 边上的垂足．对于垂足三角形DEF ，由∠DEC =∠AEF ，而∠DEC =∠CED"，故点E 在D ’D”上，同理，F 在D ’D”上，即⊿DEF 为所求得的周长最小三角形．注：(Schwarz 解法)这是一个非常奇妙的证法：如图，⊿DEF 为⊿ABC 的垂足三角形，⊿PQR 为⊿ABC 的任一内接三角形．作⊿ABC 关于AC 的对称图形⊿ACB 1，由∠DEC =∠FEA ，故EF 的关于AC 的对称线段EF 1应与DE 共线．再作⊿ACB 1关于AB 1的对称三角形AB 1C 1，…，这样连续作五次对称三角形，就得到下图：ABCDD'D"E FABCDD'D"EFA21A BCDD'D"E F P Q在此图中的DD 4=⊿DEF 的周长的两倍．而折线PQR 1P 2Q 2R 3P 4也等于⊿PQR 的周长的两倍． 但易证∠BDE +∠B 2D 4F 3=180︒，于是DP ∥D 4P 4，且DP =D 4P 4，从而线段PP 4=DD 4=⊿DEF 周长的两倍．显然，折线PQR 1P 2Q 2R 3P 4的长>线段PP 4的长．即⊿PQR 的周长>⊿DEF 的周长． 9．证明：连AB ，作 与AB 平行的直径CD ，作直径AB ’，则B 与B ’关于CD 对称．CD 与曲线AB 必有交点，否则曲线AB 全部在CD 一侧，不可能等分圆面积．设交点为E ，连AE 、BE 、B ’E ，则AE +EB =AE +EB ’>AB’，故曲线AB 的长大于直径AB ’．10．(Steiner 解法）1︒ 周长一定的封闭曲线中，如果围成的面积最大，则必为凸图形．若为该图形凹，可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线，作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线，则可得一个与之等周且面积更大的图形．2︒ 周长一定的面积最大的封闭曲线中，如果点A 、B 平分其周长，则弦AB 平分其面积．若AB 不平分其面积，则该图形必有在AB 某一侧面积较大，如图，不妨设N >M ，则去掉M 作N 的关于AB 的对称图形N ’，则由N 、N ’组成的图形周长与原来的相等，但面积更大．3︒对于既平分周长与又平分面积的弦AB ，只考虑该图形在AB 的任一侧的一半，若C 为此段弧上任一点，则∠ACB =90︒．否则可把此图形划分为三块M 、N 、P ，只须改变∠ACB 的大小，使∠ACB =90︒，则M 、N 的面积不变，而P 的面积变大．这说明，此半段曲线必为半圆，从而另一半也是半圆． 11．证明 设曲线PQ 平分⊿ABC 的面积，其长度为l ．若此曲线与三角形的两边AB 、AC 相交于点P 、Q ，作⊿ABC 关于AC 、AC 的对称图形，得⊿ACD 、⊿ABG ，再作 此图形关于DG 的对称图形，得到一个正六边形BCDEFG ．则曲线PQ 相应的对称曲线围成的封闭曲线平分正六边形BCDEFG 的面积．以A 为圆心，r 为半径作圆，使此圆的面积等于正六边形面积的一半．则此圆的夹在AB 、AC 间的弧段MN 平分⊿ABC 的面积．由于正六边形面积=6·143a 2=323a 2．故得πr 2=12·133a 2，解得r =4332π a ，433.从而弧MN 的长=16·2πr =πa 243，由等周定理，知l ≥πa243．12．提示：由AB ∥CD 知：要证MQ ∥NP ，只需证∠AMQ =∠CPN ，结合∠A =∠C知，只需证△AMQ ∽△CPN ,←AM AQ =CPCN ，AM ·CN =AQ ·CP ．连结AC 、BD ，其交点为内切圆心O ．设MN 与⊙O 切于K ，连结OE 、OM 、OK 、ON 、OF ．记∠ABO =φ，∠MOK =α，∠KON =β，则∠EOM =α，∠FON =β，∠EOF =2α+2β=180°-2φ.∴∠BON =90°-∠NOF -∠COF =90°-β-φ=α.∴∠CNO =∠NBO +∠NOB =φ+α=∠AOE +∠MOE =∠AOM 又∠OCN =∠MAO ，∴△OCN ∽△MAO ，于是AM CO =AOCN，∴AM ·CN =AO·CO .同理，AQ·CP =AO·CO ．BNM N'AABC MNPA BCP QM N DEFGA B CD B'EO。
平面几何中的几个重要定理
平面几何中的几个重要定理自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何学的历程.这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理塞瓦（G ．Ceva 1647—1743），意大利著名数学家．塞瓦定理 设为三边所在直线外一点，连接分别和的边或三边的S ABC ∆CS BS AS ,,ABC ∆延长线交于（如图1），则．R Q P ,,1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 证明 （面积法）考虑到△ABS 与△ACS 有公共底边AS ，因此它们面积之比等于分别从顶点B 、C 向底边AS所引垂线长的比，而这个比又等于BP 与PC 之比，所以有P174同理可得三式相乘，即得··=··=1ABCSPQRBACSPQR1图与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理．塞瓦定理逆定理 设为的边或三边的延长线上的三点（都在三边R Q P ,,ABC ∆R Q P ,,上或只有其中之一在边上），如果有，则三直线交于一点或互相平行． 1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP CR BQ AP ,, 证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。
若BQ 与CR 相交，设交点为S ，又设AS 和BC 的交点为P’，由塞瓦定理，应有··=1与已知条件中的式子比较，得=但由于点P 和P’同在BC 边上，所以P 和P ’重合，即三直线AP 、BQ 、CQ 交于一点。
P175若BQ 与CR 平行，则=.把它代入已知条件的式子中，**=1，RB AB QC AC PC BP QA CQ QCAC∴;BQ//PA 。
平面几何四大定理
平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯（Meｎelaus）定理（梅氏线）△AＢＣ得三边BＣ、ＣA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线得充要条件就是.塞瓦(Cｅvａ）定理（塞瓦点）△ＡBC得三边BＣ、CA、AB上有点P、Ｑ、R，则ＡP、BQ、ＣR共点得充要条件就是。
托勒密(Pｔｏlemy）定理四边形得两对边乘积之与等于其对角线乘积得充要条件就是该四边形内接于一圆。
西姆松（Ｓｉmson）定理（西姆松线)从一点向三角形得三边所引垂线得垂足共线得充要条件就是该点落在三角形得外接圆上。
例题：1．设AD就是△AＢC得边BC上得中线，直线CF交AD于F。
求证:。
【分析】CEF截△AＢD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明:过Ａ、Ｂ、D之一作C Ｆ得平行线。
2．过△AＢC得重心G得直线分别交AB、AＣ于Ｅ、F,交CB于D。
求证:。
【分析】连结并延长AＧ交ＢＣ于M，则M为BC得中点。
ＤEG截△ＡＢM→（梅氏定理）DGＦ截△ＡCＭ→(梅氏定理)∴===１【评注】梅氏定理3．D、E、Ｆ分别在△ABC得BＣ、ＣA、AB边上，,ＡD、BＥ、CF交成△LMＮ。
求S△ＬMN。
【分析】【评注】梅氏定理4．以△ABC各边为底边向外作相似得等腰△BCE、△ＣAF、△ABＧ。
求证：AE、BF、CＧ相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5．已知△ＡBC中,∠B＝２∠C。
求证：ＡC2=AB2+ＡB·BＣ。
【分析】过Ａ作BC得平行线交△ABC得外接圆于Ｄ,连结BD。
则CD＝ＤA=AB，AC=ＢＤ。
由托勒密定理，AC·BD＝AD·ＢC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6．已知正七边形A１A2A3A4A5A6Ａ７.求证:。
(第21届全苏数学竞赛)【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC得BC边上得高AD得延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交ＡC延长线于F.求证：BC·ＥF=BＦ·CE+BE·CＦ。
平面几何中的几个重要定理.doc
S 二 CASS.1CBS=1平面几何中的几个重要定理自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容 和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了 毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们， 人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了儿何 学的历程.这里我们介绍儿何学中的儿个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理塞瓦（G. Ceva 1647—1743）,意大利著名数学家.塞瓦定理 设S 为A/WC 三边所在直线外一点，连接AS,BS,CS 分别和\ABC 的边或三边的 延长线交于P,Q,R （如图1）,则 竺.丝.坐=1.PC QA RB证明 （面积法）考虑到ACS 有公共底边AS,因此它们面积之比等于分别从顶点 B 、C 向底边AS 所引垂线长的比，而这个比乂等于BP 与PC 之比，所以有P174BP _ S^ABS PC Smcs同理可得CQ _ S 〉BCS QA S^BAS AR S^CAS . RB S^CBS三式相乘，即得BP . £Q . AR S 二A 〉- . S 隽usPC QA RB S iACS S^BASA平行.点或互相与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.塞瓦定理逆定理 设P,Q,R 为AABC 的边或三边的延长线上的三点（P,0R 都在三边证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。
若BQ 与CR 相交，设交点为S,又设AS 和BC 的交点为P',由塞瓦定理，应有BP CQ AR_ PC # QA # RB"1与已知条件中的式子比较，得BP BP ， PC"PrC但由于点P 和P'同在BC 边上，所以P 和P'重合，即三直线AP 、BQ 、CQ 交于一点。
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
v1.0可编辑可修改高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证SA PAB=(S\ PAM SA PMB)=(SAPAM/SXPMB1) X SAPMB=(AM/BM1) X SXPMB等高底共线，面积比=底长比)同理，SXQAB=(AM/BM1) X SXQMB所以，SXPAB/SXQAB=XPMB/S\QMB=PMQM等高底共线，面积比=底长比)定理得证！特殊情况：当PB// AC时，易知△ PAB与△ QAB的高相等，从而SX PAB=X QAB 反之，SX PAB=X QAB 贝U PB// AQ2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即卩a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R (r为外接圆半径，R为直径) 有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q, AB与PQ的连线交于点M则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积=PM QM.证明：A现将△ ABC做其外接圆，设圆心为Q我们考虑/C及其对边AB 设AB长度为c。
若/C为直角，贝U AB就是。
0的直径，即c= 2r。
•••sBC二1 （特殊角正弦函数值）•••盒皿若/C为锐角或钝角，过B作直径BC'交O 0于C'，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若/C为锐角，贝U C'与C落于AB的同侧，此时/ C'= / C （同弧所对的圆周角相等）•••在Rt△ ABC'中有= =若/C为钝角，贝U C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a,此时/ C'= / A,亦可推出sin匸■ - 5inA _。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得a b c^A = ^B=^C=2r = R。
3.分角定理在厶ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结则有BD/CD=(sin / BAD/sin / CAD)*(AB/AC)。
初中平面几何知识的60个定理
初中平面几何知识的60个定理1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)小学都应该掌握的重要定理2、射影定理(欧几里得定理)重要3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分重要4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
重要7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点重要8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上高中竞赛中会用，不常用12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
高中竞赛的题目，不用掌握13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半重要14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点重要15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2) 初中竞赛需要，重要16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB^2+m×AC^2=(m+n)AP^2+mnm+nBC^2高中竞赛需要，重要17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD显然的结论，不需要掌握18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上高中竞赛需要，重要19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复数后是显然的结论，不需要掌握21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
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1平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDCS S AD DB S S ∆∆∆∆==．根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-，所以APCBPCS AD DB S ∆∆=．同理可得APBAPCS BE EC S ∆∆=，BPCAPBS CF FA S ∆∆=．三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC的顶点，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，所以有ABCD FPABCD EFPD /2//AD AD DB D B=．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理3．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=． 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CG // AB ，所以CG CFAD FA= ————（1）因为CG // AB ，所以CG ECDB BE= ————（2） 由（1）÷（2）可得DB BE CFAD EC FA=⋅，即得1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG ）使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=， 那么，D 、E 、F 三点共线． 证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=．ABCD EFD / ABCD EFG3因为1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律． 三、托勒密定理5．托勒密定理及其证明 定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有A B ·CD + B C ·AD = A C ·BD ．证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD上找一点，使得∠DAE =∠BAM ．因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以∆ADE∽∆ACB ，即得AD DEAC BC=，即AD BC AC DE ⋅=⋅————（1）由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。
而∠ABD =∠ACD ，即∠ABE =∠ACD ，所以∆ABE ∽∆ACD ．即得AB BEAC CD=，即AB CD AC BE ⋅=⋅ ————（2） 由（1）+（2）得AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅．所以A B ·CD + B C ·AD = A C ·BD ．注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．6．托勒密定理的逆定理及其证明 定理：如果凸四边形ABCD 满足AB×CD + BC×AD = AC×BD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆．证法1（同一法）：在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB×CD = BE×AC ———（1）且AE ABAD AC=———（2）则由DAE CAB∠=∠及（2）可得DAE∆∽CAB∆．于是有AD×BC = DE×AC———（3）由（1）+（3）可得AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )．据条件可得BD = BE + DE，则点E在线段BD上．则由EBA DCA∠=∠，得DBA DCA∠=∠，这说明A、B、C、D四点共圆．证法2（构造转移法）延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命题获证）那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆．因此，///A B A DAB BD=，///B C C DBC BD=．可得// ////AB A D BC C D A B B CBD⨯+⨯+=.另一方面，///A C A DAC CD=，即///AC A DA CCD⨯=．欲证//AB A D BC C DBD⨯+⨯=/AC A DCD⨯，即证/// AB CD A D BC CD C D AC BD A D ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯即//()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯．据条件有AC BD AB CD AD BC⨯-⨯=⨯，所以需证//BC CD C D AD BC A D⨯⨯=⨯⨯，即证//CD C D AD A D⨯=⨯，这是显然的．所以，//////A B B C A C+=，45即A /、B /、C /共线．所以//AB B ∠与//BB C∠互补．由于//A B B DAB ∠=∠，//BB C DCB ∠=∠，所以DAB ∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD + BC×AD > AC×BD证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB∆∽DAC ∆．可得AB×CD = BE×AC ————（1）且AE AB AD AC = ————（2）则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是AD×BC = DE×AC ————（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB×CD + BC×AD ≠AC×BD所以BE + DE ≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD ． 所以AB×CD + BC×AD > AC×BD ． 四、西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ．所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。
而∠CEP = 900，所以∠CD /P = 900，即PD /⊥BC ．由于过点P 作BC 的垂线，垂足只有一个，所以点6D 与D /重合，即得D 、E 、F 三点共线．注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法． 五、欧拉定理9．欧拉定理及其证明定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则有G 、O 、H 三点共线（欧拉线），且满足3OH OG=．证明（向量法）：连BO 并延长交圆O 于点D 。
连接CD 、AD 、HC ，设E 为边BC 的中点，连接OE 和OC ．则→→→+=AHOA OH ——— ①因为 CD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以，AHCD 为平行四边形．从而得→→=DC AH ．而→→=OE DC 2，所以→→=OE AH 2．因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OC OB OE 21，所以→→→+=OC OB AH ——— ② 由①②得：→→→→++=OC OB OA OH———— ③另一方面，→→→→→→→→++=+=+=GC GB OA GF OA AG OA OG 2．而→→→→→→+=+=OC GO GC OB GO GB ，，所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⇒+++=→→→→→→→→→OC OB OA OG OB OC GO OA OG 312 —— ④ 由③④得：→→=OG OH3．结论得证．注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；（2）此题也可用纯几何法给予证明． 又证（几何法）：连接OH ，AE ，两线段相交于点G /；连BO 并延长交圆O 于点D ；连接CD 、AD、HC ，设E 为边BC 的中点，连接OE 和OC ，如图．因为 CD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以，AHCD 为平行四边形．可得AH = CD ．而CD = 2OE ，所以AH = 2OE ．因为AH // CD ，CD // OE ，所以AH // OE ．可得∆AHG /∽∆EOG /．所以////21AH AG HG OE G E G O ===． 由//21AG G E =，及重心性质可知点G /就是∆ABC 的重心，即G /与点G 重合． 所以，G 、O 、H 三点共线，且满足3OH OG =．六、蝴蝶定理10．蝴蝶定理及其证明定理：如图，过圆中弦AB 的中点M 任引两弦CD 和EF ，连接CF 和ED ，分别交AB 于P 、Q ，则PM = MQ ． 证明：过点M 作直线AB 的垂线l ，作直线CF 关于直线l 的对称直线交圆于点C /、F /，交线段AB 于点Q /．连接FF /、DF /、Q /F /、DQ /．据圆的性质和图形的对称性可知：∠MF /Q / =∠MFP ，∠F /Q /M =∠FPM ； 且FF / // AB ，PM = MQ /． 因为C 、D 、F /、F 四点共圆，所以 ∠CDF / +∠CFF / = 1800，而由FF / // AB 可得∠Q /PF +∠CFF / = 1800，所以∠CDF / =∠Q /PF ，即∠MDF / =∠Q /PF ．又因为∠Q /PF =∠PQ /F /，即∠Q /PF =∠MQ /F /．所以有∠MDF / =∠MQ /F /．这说明Q /、D 、F /、M 四点共圆，即得∠MF /Q / =∠Q /DM ． 因为∠MF /Q / =∠MFP ，所以∠MFP=∠Q /DM ．而∠MFP =∠EDM ，所以∠EDM=∠Q /DM ．这说明点Q 与点Q /重合，即得PM = MQ ． 此定理还可用解析法来证明：想法：设法证明直线DE 和CF 在x 轴上的截距互为相反数．证：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分A B C D EF P Q M C /F / Q /线为y轴建立直角坐标系，M点是坐标原点．设直线DE、CF的方程分别为x = m1y + n 1，x = m2y + n 2；直线CD、EF的方程分别为y = k1 x，y = k2 x．则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为(y –k1 x )(y–k2 x)+λ(x–m1 y–n1)(x–m2 y–n2)=0．整理得(λ+k1k2)x 2+(1+λm1m2)y 2–[(k1+k2)+λ(m1+m2)]xy–λ(n1+n2)x+λ(n1m2+n2m1)y+λn1n2=0．由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须λ+ k1 k2 = 1 +λm1 m2≠0，且(k1+k2)+λ(m1+m2)=0．若λ=0，则k1k2=1，k1+k2=0，这是不可能的，故λ≠0；又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有λ( n1+ n2 ) = 0，从而得n1+ n2 = 0．这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM = MQ．注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．8。