北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
【精选高中试题】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos 2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥； ② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.b dacbD C证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三高点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）P 21B表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.ACBB 1C 1A 1D18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +)4x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分 （Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-= 当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=. 由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())4f B B π=+， 则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为A DAC D =，所以BC ⊥平面AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ， 因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩)ACBB 1C 1A 1DE 1再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值0()f x .当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得. ……………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+.所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2017 2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)， 4.“sin α=cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD .点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()0180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③ D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcac a cbC BA16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN ； （Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分 （Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D = ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E = ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B = , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ACB B 1C 1A 1DE设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =- ，()2,0,0CB = ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --…………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n nn n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
【精品】2017-2018年北京市首师大附中高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率（）A．75，0.25B．80，0.35C．77.5，0.25D．77.5，0.35 2．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1B．2C．3D．53．（5分）已知点F（﹣6，0）是椭圆（m＞0，n＞0）的一个焦点，且椭圆经过点P（5，2），那么n=（）A．3B．6C．9D．124．（5分）给出下列命题：①若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2，其中正确的命题序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．3C．D．6．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1B．C．3D．68．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ的条数为（）A．3B．4C．7D．13二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．10．（5分）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是，气温波动较大的城市是．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是．12．（5分）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为．13．（5分）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：得出下面三个结论：①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前④乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前则所有正确结论的序号是．14．（5分）直线与x，y轴的交点分别是A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．给出下面三个结论：①；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③．则所有正确结论的序号是．三、解答题（共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，（注：s2=[（x）2+（xx n的平均数）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．17．（12分）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18．（12分）正方形ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点．（Ⅰ）求二面角P﹣RQ﹣C1的余弦值；（Ⅱ）以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，求这个正三棱柱的高．2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率（）A．75，0.25B．80，0.35C．77.5，0.25D．77.5，0.35【解答】解：由频率分布直方图，得在此路段上汽车行驶速度的众数为77.5，行驶速度超过80km/h的概率：p=（0.05+0.02）×5=0.35．∴估计在此路段上汽车行驶速度的众数为77.5，行驶速度超过80km/h的概率为0.35．故选：D．2．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．3．（5分）已知点F（﹣6，0）是椭圆（m＞0，n＞0）的一个焦点，且椭圆经过点P（5，2），那么n=（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：由已知可得，c=6，且m＞n，则m2=n2+36，①又椭圆经过点P（5，2），∴，②联立①②解得：n=3（n＞0）．故选：A．4．（5分）给出下列命题：①若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2，其中正确的命题序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③【解答】解：若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x ﹣1≥0，故①正确；若p∧q为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故②错误；命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”，故③错误；故选：A．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．3C．D．【解答】解：作出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD．由三视图可知PA⊥平面ABC，AB=AD=1，CD=PA=2，∴BC=3，PD==．AC==，AB=．BC ⊥PD．∴S ABC==，S△ABP==，S△ACP==，S△==．BCP∴三棱锥P﹣ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大．故选：C．6．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个【解答】解：由题意，a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成，∴满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有=15．故选：A．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1B．C．3D．6【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，∵，∴cos∠CBF==，∵|BF|=3，∴|AF|=1，故选：A．8．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ的条数为（）A．3B．4C．7D．13【解答】解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如图所示；当P，Q为正方体的体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时的直线共有4条；当P，Q为正方体两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条；综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．10．（5分）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是乙，气温波动较大的城市是乙．【解答】解：由茎叶图可知，==16，==19=（49+9+1+1+4+36）=；=（49+25+4+1+25+64）==28∴＜，＜故答案为：乙，乙11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是．【解答】解：如图，不等式对应的区域为△DEF及其内部，其中D（﹣6，﹣2），E（4，﹣2），F（4，3），求得直线DF、EF分别交x轴于点B（﹣2，0），C（4，0），∵当点D在线段BC上时，点D到直线y+2=0的距离等于2，∴要使点D到直线的距离大于2，则点D应在△BCF中（或其边界）因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率为．故答案为：12．（5分）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为60．【解答】解：①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有=36种．②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有=24种．故所有的出场顺序的排法种数为36+24=60，故答案为：60．13．（5分）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：得出下面三个结论：①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前④乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前则所有正确结论的序号是③④．【解答】对于①，甲同学的逻辑思维能力比较靠前，但是总成绩比较靠后，说明阅读表达能力排名比逻辑思维能力更靠后，故①错误．对于②，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故②错误．对于③，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙，乙，故甲同学最靠前．故③正确．对于④，丙同学的阅读表达和逻辑思维排名居中，故总成绩排名也居中，但是乙同学的总成绩比居中靠前，故乙同学的总成绩比丙同学的总成绩排名更靠前，故④正确．故答案为③④14．（5分）直线与x，y轴的交点分别是A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．给出下面三个结论：①；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③．则所有正确结论的序号是①③．【解答】解：令y=0，代入ax+y﹣1=0得x=，则A（，0），令x=0代入ax+y﹣1=0得y=a，则B（0，a），当a≥1时，如图，=×a×=，故结论①正确；①S△AOB②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d==，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；=|OD||OC|sin∠DOC=sin∠DOC≤，③S△COD故∃a≥1，使得S＜，结论③正确．△COD∴所有正确结论的序号是①③．故答案为：①③．三、解答题（共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2=[（x）2+（x﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有：1000×=750人．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由题意，得P（A）=1﹣=1﹣，∴至少有1人体育成绩在[60，70）的概率是．（3）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，∴当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，因为，所以．…．（1分）又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）又BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）所以CF∥平面PAB．…．（5分）（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．设平面BPD的一个法向量为，平面APD的一个法向量为，因为，所以，即，…．（7分）取x=1得到，…．（8分）同理可得，…．（9分）所以，…．（10分）因为二面角B﹣PD﹣A为锐角，所以二面角B﹣PD﹣A为．…．（11分）（Ⅲ）假设存在点M，设，所以，…．（12分）所以，解得，…．（13分）所以存在点M，且．…．（14分）17．（12分）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，令y=0，得x=±4，所以a=4．…．（1分）又离心率为，所以，所以，…．（2分）所以b2=a2﹣c2=4，…．（3分）所以W的方程为．…．（4分）（Ⅱ）法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），…．（5分）与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，…．（6分）因为﹣4为上面方程的一个根，所以，所以．…．（7分）所以．…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以，…．（10分）因为，…．（11分）代入得到．…．（13分）显然，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（5分）与椭圆方程联立得化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0．…．（6分）显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即．…．（7分）由，…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以．…．（10分）因为，…．（11分）代入得到，…．（13分）若，则m=0，与m≠0矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法三：假设存在点P，使得，则，得．…．（5分）显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（6分）由，得（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0，…．（7分）所以．…．（9分）同理可得，…．（11分）所以由得，…．（13分）则m=0，与m≠0矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）18．（12分）正方形ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点．（Ⅰ）求二面角P﹣RQ﹣C1的余弦值；（Ⅱ）以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，求这个正三棱柱的高．【解答】解：（Ⅰ）以D为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则点D（0，0，0），，，．∴，．设平面RPQ的法向量为，∴，即，取z=1，可得．平面CPQ的法向量为．∴．由图可知，二面角为钝角，∴二面角P﹣RQ﹣C1的余弦值为；（Ⅱ）连接D1C，B1C，AC1，分别取它们中点记为O1，O2，O3，分别连接O1O2，O2O3，O1O3，∵O1O2是△CB1D1的中位线，∴，且O1O2∥B1D，，且RQ∥B1D1，∴O1O2∥RQ且O1O2=RQ．同理可证O1O3∥RP且O1O3=RP，O2O3∥PQ且O2O3=PQ，此时PO 3即为三棱柱高．∵，∴．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
北京市朝阳区2017届高三上学期期末考试数学理试题(全WORD版含答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类）2017．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U R ，集合12xx A ，20Bx x ，则()U A Be A ．{|2}x xB ．2x xC ．{|02}x xD ．{|2}x x2．在复平面内，复数21i对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos yxB ．2y xC ．1()2xyD ．|sin |yx 4．若0a ，且1a，则“函数xy a 在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x在R 上是增函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．126．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A ．223B ．43C ．2D ．412俯视图正视图侧视图17．在Rt ABC 中，90A ，点D 是边BC 上的动点，且3AB，4AC,ADAB AC (0,0)，则当取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23B ．20C ．21D ．19第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b的一条渐近线方程为320x y ，则b 等于．10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a ，32a S ，则2a =，10S ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为．12．在△ABC 中，已知45,2BAC BC ，则C．13．设D 为不等式组0,0,+33xyx yxy表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y的最大值是_______；22x y xy的取值范围是．14．若集合M 满足：,x y M ，都有,x y M xy M ，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （MR ），f ：MM 是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M 都有()()()f x y f x f y ，就称f 是保加法的；②如果,x yM 都有()()()f xy f x f y ，就称f 是保乘法的；开始0,1Si是否6?i输出S结束2ii 2SSi③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的．在上述定义下，集合3,m n m n Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x 在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求的分布列及数学期望E ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE 平面ABCD 平面,ABEFAB 22ABBEAF.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）若二面角DABE 为直二面角，（i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP平面DEF ?若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由．FADCBE18．（本小题满分13分）已知椭圆22:132xyC 上的动点P 与其顶点(3,0)A ,(3,0)B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN 的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x axx ，2()(1)exg x x ax ，R a ．（Ⅰ）当1a 时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；（Ⅲ）证明()()f x g x ．20．（本小题满分13分）设(3)m,n mn 是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a im 是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j ijm （）使i ja a n ，总存在1kkm （）有i j k a a a ，则称数列m A 是“好数列”．（Ⅰ）当6100m,n时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b cd ，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212ma a a n mL ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类）2017．1一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDDACBCB二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案34,1103010594，[2,0]是，(),f x x x Q（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()23sin cos 2cos 1f x x x x xx2cos 2sin 32sin(2)6x．所以)(x f 的最小正周期为．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7分（Ⅱ）因为2,2.64663xx所以-当2,626x x 即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666xxf x 即时取得最小值1．,,,,,,,,,,13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：,,,,,,,,,,,,,4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：1x 70280490289124835858甲，1x 7018049035003525858乙，甲乙9884215350035257892222221s 788579858185828584858甲22288859385958535.5，2222221s 758580858085838585858乙22290859285958541.因为x 甲x 乙，22s s 乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．,,,,,,,,,,8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f ，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ．因为21f f ，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，63A 84P ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9分随机变量的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ～．∴3331C44kkk P k ，k 0,1,2,3．所以变量的分布列为：1 2 3 P16496427642764,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11分19272790123646464644．（或393.44nP）,,,,,,,,,,,,,,,,,,13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OGBE ．由已知//AF BE ，且12AFBE ，所以//,AF OG OG AF ．所以四边形AOGF 为平行四边形．所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC平面DEF ，FG平面DEF ，所以AC //平面DEF ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE ABBE ，所以AFAB ．因为二面角D ABE 为直二面角，所以平面ABCD平面ABEF ．所以AF 平面ABCD ，所以,AF AD AFAB ．四边形ABCD 为正方形，所以ABAD ．所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为22ABBE AF ，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z n ，FADCBEOGxyzP．FAD CBE由0,0CD CEn n 得20,220.y xz即0,0.y xz取1x ，得(1,0,1)n．设直线AC 与平面CDE 所成角为，则21sincos ,2222AC n，因为090，所以30．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30．,,,,,,,,,,,,9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ．设(01)DP DE，则DPDE ．设(,,)P x y z ，则(2,,)DP xy z ，因为(2,2,2)DE，所以(2,,)(2,2,2)x y z ．所以22,2,2x yz，所以P 点坐标为(22,2,2)．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP ．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF解得23．因为2[0,1]3，所以DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ，且23DP DE．（另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ．设(01)DP DE，则DPDE ．设(,,)P x y z ，则(2,,)DP xy z ，因为(2,2,2)DE，所以(2,,)(2,2,2)x y z ．所以22,2,2x yz，所以P 点坐标为(22,2,2)．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP ．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z m，则0,0m DF m EF由(2,0,1),(0,2,1)DF EF ，得00020,20.x z y z 取01x ，得(1,1,2)m．由m BP ，即(22,22,2)(1,1,2)，可得22,22,22.解得23．因为2[0,1]3，所以DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ，且23DP DE．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则22132x y ．所以直线PA 与PB 的斜率乘积为220022062233(3)333y y y x xxx x ．,,4分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23．①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON 的斜率为63，设直线OM 的方程是63yx ，由22236,6,3xy yx 得62x，1y ．取6(,1)2M ，则6(,1)2N ．所以OMN 的面积为62．②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kxm ,由22,2360y kx m xy得222(32)6360kxkmx m．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m km，解得22320km．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632km x x k，21223632m x x k．22222121222636(1)[()4](1)[()4]3232km m MN kx x x x kk k222226(1)(32)2(32)kk m k ．设点O 到直线MN 的距离为d ，则21mdk．所以OMN 的面积为2222216(32)2(32)OMNm kmS d MNk①．因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23，所以121223y y x x ．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x mx x x x x x 2222636m k m．由222262363m km ，得22322k m ．②由①②，得2222222246(32)6(2)6(32)42OMNm km m m m S k m．综上所述，62OMNS ．,,,,,,,,,,,,,13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)，(221)()1x ax a f x x ．当1a时，(2)426f a，(2)437f a ．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)yx．即65yx ．,,,,,,,,,,,,,4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)x g x xa ．①当0a 时，函数()(1)e xg x x 只有一个零点；②当0a ，因为e20xa ，当(,0)x 时，()0g x ；当(0,)x时，()0g x ．所以函数()g x 在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增．又(0)1g ，(1)g a ，因为0x，所以10,1xx e ，所以(1)1xe x x ，所以2()1g x axx 取01142a x a，显然0x 且0()g x 所以(0)(1)0g g ，0()(0)0g x g ．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当0a时，由()(e2)0xg x x a ，得0x，或ln(2)x a ．ⅰ)当12a ，则ln(2)0a ．当x 变化时，(),()g x g x 变化情况如下表：x(,0)0(0,ln(2))a ln(2)a (ln(2),)a ()g x + 0－0+ ()g x ↗1↘↗注意到(0)1g ，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．ⅱ)当12a，则ln(2)0a ，()g x 在(,)单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．若12a ，则ln(2)0a ．当x 变化时，(),()g x g x 变化情况如下表：x(,ln(2))a ln(2)a (ln(2),0)a 0(0,)()g x + 0－0+ ()g x ↗↘1↗注意到当0,0x a时，2()(1)e0xg x x ax，(0)1g ，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).,,,,,,,,,,,,,,,,9分（Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x ．设()(1)eln(1)1xh x x x x ，其定义域为(1,)，则证明()0h x 即可．因为1()e(e)11xxx h x x x x x ，取311e x ，则1311()(ee )0x h x x ，且(2)0h ．又因为21()(1)e0(1)xh x x x ，所以函数()h x 在(1,)上单增．所以()0h x 有唯一的实根0(1,2)x ，且001e1x x ．当01xx 时，()0h x ；当0xx 时，()0h x ．所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以0000()()(1)e ln(1)1x h x h x x x x 00110x x ．所以()().f xg x ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）89100x ,y ，或10089x ,y ；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”．,,,,,,,,,,,,,3分（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C 种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个，有10种；若取6877a ，则791188a ，902299a ，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a ，则61178a A ，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a，则671178a，782289a，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a，则67b ，符合条件，若取56a ，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值．,,,,,,,,,,,,,,,7分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a L ．把数列配对：121122m m mm a a ,a a ,,a a L ，只要证明每一对和数都不小于1n 即可．用反证法，假设存在12m j，使1j mja a n ，因为数列单调递增，所以111211mj m j m j j m j a a a a a a a n L，又因为“好数列”，故存在1km ，使得1(1)imjk a a a ij ，显然1>k mja a ，故1k m j ，所以k a 只有1j个不同取值，而1i mja a 有j个不同取值，矛盾．所以，121122m m mm a a ,a a ,,a a L 每一对和数都不小于1n ，故12(1)2mm a a a n L ，即1212m a a a n mL ．,,,,,,,13分。
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
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12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
北京市朝阳区2017-2018学年第一学期期末高二理科数学试题(Word版无答案))
2018朝阳区第一学期期末考试高二数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.命题“,sin 0x R x x ∀∈+”的否定是A. ,sin 0x R x x ∀∈+≤B. 000,sin 0x R x x ∃∈+≤C. 000,sin 0x R x x ∃∈+D. ,sin 0x R x x ∀∈+≥2.设,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题为假命题．．．的是A. 若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥B. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγC. 若//αβ，m α⊂，则//m βD. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥3.“3a =”是“直线40x y -+=与圆22()(3)8x a y -+-=相切”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，在三棱锥P ABC -中，,,D E F 分别是侧棱,,PA PB PC 的中点，给出下列三个结论：①//BC 平面DEF ；②平面//DEF 平面ABC ；③三棱锥P DEF -与三棱锥P ABC -的体积比为1:4. 其中正确的个数是A. 0B. 2C. 2D.3 5.已知圆221:4241O x y x y +-++=，圆222:(1)4O x y -+=，则两圆的位置关系为A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切6.已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为A. 1 7.设F 是抛物线2:8C y x =的焦点，P 是抛物线C 上一点，点M 在抛物线C 准线上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为A. 2)y x =±-B. 2)y x =±-C. 2)y x =-D.2)y x =-8.已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=（,a b 不同时为0）的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为1 C. 1 D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 4：2：3 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O是△ABC的重心，故S△AOB=S△BOC=S△AOC，得出答案；（2）延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，结合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O是△ABC的重心，∴S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=1：1：1．若2+3+4=，延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：则，∴O是△DEF的重心，∴S△DOE=S△EOF=S△DOF．∴S△AOB==×OD×sin∠AOB=S△DOE，S△BOC==OFsin∠BOC=S△EOF，S△AOC==OFsin∠BOC=S△DOF，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=：： =4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。
北京市第二中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
p
3 4
3 4
1 1
3 4
.
本题选择 C 选项.
11.若 1
1 3
x
2018
a0
a1x
a2 x 2 a2018x ( 2018 x
R)
，则
3a1
32 a2
33 a3
3 a 2018 2018
的值为
5
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（ ）．
A. 2
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】
令 x 0 可得： a0 1 ，令 x 3 可得： a0 3a1 32 a2 33 a3 32018 a2018 0 ，
Tr1 Cnr
3x3
nr
1 x
r
3nr
Cnr
3n
x
7 2
r
，
展开式中含有常数项，则： 3n 7 r 0 有正整数解， 2
满足题意的最小的正整数为： r 6, n 7 .
D. 7
本题选择 D 选项. 点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含 条件，即 n，r 均为非负整数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二 步是根据所求的指数，再求所求解的项．
D. 60
6.将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（ ）．
5
A.
16
B. 13 16
C. 21 32
【答案】B
【解析】
由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：
1 2
5
北京朝阳2017-2018学年上学期高二期中试卷数学(理科)试题
…○…………装………学校:___________姓名：________…○…………装………绝密★启用前北京朝阳2017-2018学年上学期高二期中试卷数学（理科）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为−1且倾斜角为3π4的直线方程为（）． A ．x +y +1=0 B ．x +y −1=0 C ．x −y +1=0 D ．x −y −1=0 2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为（）．A ．B ．C ．D ．3．下列命题中，正确的是（）．①若一平面内有两条直线都与另一平面平行，则这两个平面平行； ②若一平面内有无数条直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ③若一平面内任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行； ④若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则这两个平面平行． A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④4．已知三点A (1,0)，B (0, 3)，C (2, 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）．○…………外…………………○…………订………在※※装※※订※※线※※内※※答※※题○…………内…………………○…………订………5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： ①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ③若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β． 上述四个命题中，正确命题的序号是（）． A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④6．向量a =(1,1,0)，b =(0,1,1)，c =(1,0,1)，d =(1,0,−1)中，共面的三个向量是（）． A ．a ，b ，c B ．b ，c ，d C ．c ，d ，a D ．d ，a ，b7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）．A ．2 5B ．2 6C ．2 7D ．4 28．己知k ∈R ，点P (a ,b )是直线x +y =2k 与圆x 2+y 2=k 2−2k +3的公共点，则ab 的最大值为（）．A ．15B ．9C ．4D ．19．如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD = BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面A ′−BCD ．使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（）．A ．∠BA ′C =90°B ．AC ′⊥BD○…………线……___○…………线……C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′−BCD 的体积为13 10．如图，正方体中，，分别为棱，上的点. 已知下列判断：①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个1111ABCD A BC D -E F 1DD AB 1AC ^1B EF 1B EF D 11BCC B1111A B C D 1B EF 1B EF ABCD E F○…………外……装…………○………订…………○……※不※※要※※在※※装※※订※※内※※答※※题※※○…………内……装…………○………订…………○……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．若方程x 2+y 2−2ax +4y =5a 表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 12．如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1和B 1D 1所成角的大小为___________，直线BC 1和平面B 1D 1DB 所成角的大小为___________．13．如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，∠BAD =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，则AC 1=___________．14．己知圆x 2−2ax +y 2=0与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点．O 是坐标原点，且∠AOB ≥120°，则实数a 的取值范围是___________．15．“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而水平面上积聚的深度，降水量以m m 为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为__________m m ．○…………外…………○………○…………线………：___________○…………内…………○………○…………线………16．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱长均为2．点M 是侧棱AA 1的中点，点P 、Q 分别是侧面BCC 1B 1，底面ABC 的动点，且A 1P ∥平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q 的轨迹的长度为___________．三、解答题17．已知圆C :(x −a )2+(y −2)2=4(a >0)及直线l :x −y +3=0，直线l 被圆C 截得的弦长为2 2． （1）求实数a 的值．（2）求过点P (3,5)并与圆C 相切的切线方程．18．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形．D 为线段AC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面ACC 1A 1． （2）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ．（3）设M 为线段BC 1上任意一点，在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ?请说明理由．………○…………线※※题※※………○…………线19．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ⊥AD ，AD =CD =2AB =2，E 、F 分为PC 、CD 的中点，DE =EC ． （1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ． （2）若PA =1，求四面体BDEF 的体积．（3）设PA =a ，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角θ∈ π4，π3 ，求a 的取值范围．参考答案1．A【解析】由题意可得，直线的斜率k=−1，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y=−x−1，即x+y+1=0，故选A．2．D【解析】【分析】根据三视图的特点，画出几何体的正视图，即可得到答案．【详解】该几何体的正视图如下所示：故选：D．【点睛】本题考查空间图形的三视图的做法，属于基础题，易错点：对角线的方向可能出错．3．C【解析】【分析】分别根据面面平行的定义和面面平行的判定定理进行判定．【详解】①根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不平行．②根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不平行．③根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，正确．④根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了面面平行的定义和面面平行的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．4．C【解析】【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【详解】因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=1+(p−3)2，得p=233圆心坐标为P（1，233），所以圆心到原点的距离|OP|=(233)=1+129=213，故选：C．【点睛】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，理解外接圆的性质并灵活运用是解决本题的关键．5．C【解析】【分析】根据线面平行（或垂直）的判定定理与性质定理逐一进行判断即可.【详解】若m⊂β，α⊥β，则m⊥α或者m∥α或者m与α相交，所以①错误．②若n⊥α，n⊥β则α∥β，又因为m⊥α，所以根据线面垂直的定义可得m⊥β，所以②正确．③若α∥β，m⊂α，则m∥β，由线面平行的定义可得③是正确的．④若α⊥γ，β⊥γ则α与β可能平行也可能相交，只有当α∥β，且m⊥α时有m⊥β，当α与β相交时不满足m ⊥β，所以④错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，主要考查了线面垂直的判定与线面平行及面面垂直的性质定理．需要答题者有一定的空间想像能力及根据条件做出正确联想的能力． 6．D 【解析】 【分析】假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面． 【详解】对于A ，设a →、b →、c →三向量共面，则a →=x b →+y c →，∴（1，1，0）=x （0，1，1）+y （1，0，1）=（y ，x ，x +y ）； ∴ x =1y =1x +y =0 ，此方程组无解， ∴a →、b →、c →三向量不共面； 同理，C 、D 中三向量也不共面；对于B ，设a →、b →、d →三向量共面，则a →=x b →+y d →，∴（1、1、0）=x （0、1、1）+y （1、0、﹣1）=（y 、x 、x ﹣y ）； ∴ x =1y =1x −y =0 ，此方程组有唯一的解， ∴a →、b →、d →三向量共面． 故选：D ． 【点睛】本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题． 7．C 【解析】试题分析：画出该四面体D −ABC 的直观图如下图所示由三视图及直观图可知，CD⊥CB,CD⊥AC,CD=CB=CE=2,AE=2AC= 22+(23)2=4AD= AC2+CD2=25,BD= CD2+CB2=22,AB=42+(23)2=27，故选C．考点：三视图．视频8．B【解析】【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【详解】由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=2≤2−2k+3解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+13）2﹣103，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．9．A【解析】【分析】根据题意，依次分析命题：对于A可利用反证法说明真假；对于B△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于C由CA'与平面A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知C的真假；，对于D利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【详解】由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，故A正确；若B成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故B不正确；由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知C不正确；，D不正确．V A′﹣BCD=V C﹣A′BD=16故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是折叠前后那些垂直关系保持不变．10．B【解析】分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可解答：解：如图对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E 与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确综上，②③是正确的故选B11．(−∞,−4)∪(−1,+∞)【解析】方程x2+y2−2ax+4y=5a表示圆，则4a2+16=20a>0，即a2+5a+4>0，解得a<−4或a>−1，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪(−1,+∞),故答案为(−∞,−4)∪(−1,+∞)．12．60°30°【解析】【分析】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，由B1D1∥BD，得∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，由此能求出直线BC1和B1D1所成角的大小；推导出C1O⊥平面B1D1DB，从而∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，由此能求出直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小．【详解】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，∵B1D1∥BD，∴∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，∵BD=BC1=DC1，∴∠DBC1=60°，∴直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1D1⊥A1C1，BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1=B1，∴C1O⊥平面B1D1DB，∴∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，∵OC1=12BC1，∴sin∠OBC1=OC1BC1=12，∴∠OBC1=30°．∴直线BC1和平面B1D1DB所成角为30°．故答案为：60°，30°．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．13． 23【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合AC 1→=AC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，∵AB=1，AD=2，AA 1=3，∵AC 1→=AC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→∴|AC 1→|2=（AB →+AD →+AA 1→）2=|AB →|2+|AD →|2+|AA 1→|2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→=1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|AC 1→|= 23，∴AC 1等于 23．故答案为： 23．【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．14．(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】【分析】由题意可知，若∠AOB ≥120°，则 AB ≥2 3，即O 到直线AB 的距离小于等于1.【详解】∵圆x 2−2ax +y 2=0与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，∴直线AB ： x 2−2ax +y 2 − x 2+y 2 =−4，即ax =2若若∠AOB ≥120°，则 AB ≥2 3，即O 到直线AB 的距离小于等于1.∴ 2a ≤1∴实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)故答案为：(−∞,−2]∪[2,+∞)【点睛】本题考查了两圆间的位置关系，解题关键是把两圆间的关系转化为直线与圆间的关系，进而转化为垂径定理问题即可.15．1 【解析】设圆锥形液面的底面半径为r ，则圆锥容器的底面半径为2r ，圆锥形液面的体积，设降水量为x ，则()224ππ2r r x =⋅，解得1x =,故答案为1. 16．43 【解析】【分析】根据已知可得点Q 的轨迹是过△MBC 的重心，且与BC 平行的线段，进而根据正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，可得答案．【详解】∵点P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，则P 点的轨迹是过A 1点与平面MBC 平行的平面与侧面BCC 1B 1的交线，则P 点的轨迹是连接侧棱BB 1，CC 1中点的线段l ，∵Q 是底面ABC 内的动点，且PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与平面ABC 的线段m ，故线段m 过△ABC 的重心，且与BC 平行，由正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，故线段m 的长为：23×2=43，故答案为：43【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．17．（1）a=1；（2）5x−12y+45=0或x=3【解析】试题分析：（1）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（2）把（1）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由3,5和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.试题解析：（1）根据题意可得圆心C(a,2)，半径r=2，则圆心到直线l:x−y+3=0的距离d=22=2，由勾股定理可以知道d2+2222=r2，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=−3，又a>0，所以a=1．（2）由（1）知圆C:(x−1)2+(y−2)2=4，圆心为(1,2)，半径r=2，点(3,5)到圆心的距离为4+9=13>r=2，故点(3,5)在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为y−5=k(x−3)，则圆心到切线的距离d=k2+1= r=2，化简得：12k=5，故k=512．∴切线方程为y−5=512(x−3)，即5x−12y+45=0，当切线方程斜率不存在时，直线方程为x=3与圆相切，综上，过点P(3,5)并与圆相切的切线方程为5x−12y+45=0或x=3．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可；（2）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得；（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明．【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥平面ABC，又∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上，证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（1）可知，BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，得CE⊥平面BC1D，∵DM⊂平面BC1D，∴CE⊥DM．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．（1）见解析；（2）16；（3）255,2155【解析】【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）明确锥体的高为DF，即可得到几何体的体积；（3）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF，又∵DE=EC，F是CD中点，∴CD⊥EF，∵AB∥CD，∴AB⊥EF，∵BF∩EF=F，∴AB⊥平面BEF，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）∵AB⊥平面BEF，AB∥DF，∴DF⊥平面BEF，∵AB=CD=2AB=2，∴△BEF中，BF=2，EF=12PD=52，BE=12PD=52，∴△BEF的面积S=12×2×54−1=12×2×12=12，∴四面体BDEF的体积V=13S⋅DF=13×12×1=16．（3）∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，又AB⊥PD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,a)，C(2,2,0)，E1,1,a2，∴BD=(−1,2,0)，BE=0,1,a2，平面BCD的法向量n1=(0,0,1)，设平面EBD的法向量为n2=(x,y,z)，则n2⋅BD=0n2⋅BE=0，即−x+2y=0y+az2=0，取y=1，得x=2，z=−2a，则n2=2,1,−2a，∴cosθ=2a4+1+42=5a2+4，∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈π4,π3，∴cosθ∈12,22，即2∈12,22，由5a2+4≥12，得：−2155≤a≤2155，由5a2+4≤22得：a≤−255或a≥255，∴a的取值范围是255,2155．【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。
北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．圆（x﹣2）2+y2=4被直线x=1截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．2．抛物线y2=2x上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（）A．1 B．2 C．D．3．已知p：“x＞2”，q：“x2＞4”，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件4．已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ，下列说法正确的是（）A．若a∥α，b⊥a，则b∥αB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若α⊥β，a⊥α，则a∥βD．若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β5．在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）A．B．x2+y2=4 C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C． D．﹣﹣+7．若由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A．或B．b≥2或b≤﹣2 C．﹣2≤b≤2 D．8．设O是坐标原点，若直线l：y=x+b（b＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点P1、P2，且，则实数b的最大值是（）A．B．2 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）A．πB．2πC．4πD．16π二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定¬p：；判断¬p 是．（后一空中填“真”或“假”）12．已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则△AOB的外接圆的方程是．13．中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为．14．过椭圆C： +=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若=，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=．15．如图为四棱锥P﹣ABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形，，AD=1．已知顶点P在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为，则在四棱锥P﹣ABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点，（M不与B，C1重合）有四个：①CD1⊥平面BMN；②MN∥平面AB1D1；③平面AA1CC1⊥平面BMN；④三棱锥D﹣MNC的体积有最大值．其中真的序号是．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N 分别为棱DD1，A1D1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN∥平面A1DE；（Ⅱ）求证：平面A1DE⊥平面A1AE．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）．（Ⅰ）求证：CD⊥DP；（Ⅱ）若PA∥平面BME，求k的值；（Ⅲ）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．19．已知椭圆W：，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1，k2≠0），过O 作直线PA，PB的平行线l2，l3，分别交椭圆W于C，D和E，F．（Ⅰ）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使∠APB=90°？说明理由．（Ⅱ）求k1•k2的值；（Ⅲ）求|CD|2+|EF|2的值．2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．圆（x﹣2）2+y2=4被直线x=1截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】算出已知圆的圆心为C（2，0），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d=1，由垂径定理加以计算，可得直线l被圆截得的弦长．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（3，0），半径r=2，∵点C到直线直线x=1的距离d=1，∴根据垂径定理，得圆（x﹣2）2+y2=4被直线x=1截得的弦长为2=2故选：D．2．抛物线y2=2x上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（）A．1 B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=2x的焦点为（，0），准线方程为x=﹣．设所求点P的坐标为（x0，y0），利用|PF|=3，结合抛物线的定义即可得出．【解答】解：由抛物线方程y2=2x的焦点为（，0），准线方程为x=﹣．设所求点P的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义可得，|PF|=x0+=3．解得x0=．故选：C．3．已知p：“x＞2”，q：“x2＞4”，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2＞4，解得x＞2或x＜﹣2，即可判断出结论．【解答】解：由x2＞4，解得x＞2或x＜﹣2，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ，下列说法正确的是（）A．若a∥α，b⊥a，则b∥αB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若α⊥β，a⊥α，则a∥βD．若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a∥α，b⊥a，则b∥α，b与α相交或b⊂α，不正确；对于B，若a∥α，a∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；对于C，若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，不正确；对于D，若α⊥γ，β∥γ，在β内存在直线与α垂直，根据平面与平面垂直的判定，可得α⊥β，正确．故选：D．5．在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）A．B．x2+y2=4 C．D．【考点】轨迹方程．【分析】设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x2+y2=16整理得线段PD的中点M的轨迹．【解答】解：设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．又∵P（x，y1）在圆x2+y2=16上，∴x2+y12=16，∴x2+4y2=16，即=1．∴点M的轨迹方程为=1．故选：C．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C． D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+ [﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．7．若由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A．或B．b≥2或b≤﹣2 C．﹣2≤b≤2 D．【考点】曲线与方程．【分析】由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，直线与x2+（y﹣b）2=2相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，x2﹣y2=0表示两条直线x±y=0．∵由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，∴直线与x2+（y﹣b）2=2相切或相离，∴≥，∴b≥2或b≤﹣2，故选：B．8．设O是坐标原点，若直线l：y=x+b（b＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点P1、P2，且，则实数b的最大值是（）A．B．2 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P1P2中点为D，则OD⊥P1P2，确定||2≤2，即可求出实数b的最大值．【解答】解：设P1P2中点为D，则OD⊥P1P2，∵，∴||≥2||，∵||2+||2=4∴||2≤2∵直线l：y=x+b（b＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点P1、P2，∴||2＜4∴||2≤2∴（）2≤2∵b＞0∴b≤2．∴实数b的最大值是2．故选：B．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图，根据三视图中的数据计算棱锥的体积．【解答】解：由三视图可知三棱锥是从边长为4的正方体中截出来的M﹣ADD′，其中M为BC的中点．∴三棱锥的体积V===．故选：C．10．已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）A．πB．2πC．4πD．16π【考点】抛物线的简单性质．【分析】设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，利用4﹣2b=0，求出b，即可求出动圆C的周长的最大值．【解答】解：设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，∴4﹣2b=0，∴b=2，∴动圆C的周长的最大值是2π×2=4π．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定¬p：存在两个等腰直角三角形，它们不相似；判断¬p是假．（后一空中填“真”或“假”）【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称进行求解即可．【解答】解：是全称，则的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似，∵任意两个等腰直角三角形都是相似的为真．，∴原为真，则的否定为假，故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似假12．已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则△AOB的外接圆的方程是（x﹣4）2+（y ﹣3）2=25．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，△AOB是以AB为斜边的直角三角形，因此外接圆是以AB为直径的圆．由此算出AB中点C的坐标和AB长度，结合圆的标准方程形式，即可求出△AOB的外接圆的方程．【解答】解：∵△AOB的顶点坐标为A（8，0），B（0，6），O（0，0），∴OA⊥OB，可得△AOB的外接圆是以AB为直径的圆∵AB中点为C（4，3），|AB|=10∴圆的圆心为C（4，3），半径为r=5可得△AOB的外接圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25故答案为：（x﹣4）2+（y﹣3）2=2513．中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a=1，可得双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得2b=4，即b=2，又e==3，c2=a2+b2，解得a=1，可得双曲线的方程为y2﹣=1，即有渐近线的方程为y=±x．故答案为：y=±x．14．过椭圆C： +=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若=，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，右焦点坐标，由=，可得F2为AB的中点，即有AB ⊥x轴，令x=1，可得|AF2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．【解答】解：椭圆C： +=1的a=2，b=，c=1，右焦点F2为（1，0），由=，可得F2为AB的中点，即有AB⊥x轴，令x=1，可得y=±•=±，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2a=4，可得|AF1|=4﹣|AF2|=4﹣=．故答案为：．15．如图为四棱锥P﹣ABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形，，AD=1．已知顶点P在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为，则在四棱锥P﹣ABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】作出四棱锥的直观图，根据PA⊥平面ABCD即可得出∠PCA为所求角，利用勾股定理计算AC，即可得出线面角的正切值．【解答】解：作出四棱锥的直观图如图所示：∵顶点P在底面ABCD上的射影为点A，∴PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角，PA=．∵四边形ABCD为矩形，，AD=1，∴AC=，∴tan∠PCA=．故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点，（M不与B，C1重合）有四个：①CD1⊥平面BMN；②MN∥平面AB1D1；③平面AA1CC1⊥平面BMN；④三棱锥D﹣MNC的体积有最大值．其中真的序号是②③．【考点】棱柱的结构特征．【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断4个得答案．【解答】解：①∵CD1与BM成60°角，∴CD1与平面BMN不垂直，①错误；②∵平面BMN∥平面AB1D1，∴MN∥平面AB1D1，②正确；③∵平面BMN与平面BC1D重合，而平面AA1CC1⊥平面BC1D，③正确；④∵M与B重合时，三棱锥D﹣MNC的体积最大，而M不与B，C1重合，④错误．∴z正确的序号为②③．故答案为：②③．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N 分别为棱DD1，A1D1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN∥平面A1DE；（Ⅱ）求证：平面A1DE⊥平面A1AE．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（I）由中位线定理可得MN∥A1D，由长方体的结构特征可得四边形A1ECN是平行四边形，故CN∥A1E，从而平面CMN∥平面A1DE；（II）由AA1⊥平面ABCD可得AA1⊥DE，由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出AE ⊥DE，故DE⊥平面A1AE，从而平面A1DE⊥平面A1AE．【解答】解：（Ⅰ）∵M，N分别为棱DD1，A1D1的中点，∴MN∥A1D，∵A1D⊂平面A1DE，MN⊄平面A1DE，∴MN∥平面A1CD．∵E是BC中点，N是A1D1的中点，∴A1N=CE，A1N∥CE，∴四边形A1ECN是平行四边形，∴CN∥A1E，∵A1E⊂平面A1DE，CN⊄平面A1DE，∴CN∥平面A1CD，又∵MN∩CN=N，MN⊂平面MCN，CN⊂平面MCN，∴平面CMN∥平面A1DE．（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴AA1⊥DE．∵AB=1，AD=2，E为BC的中点，∴，∴EA2+ED2=AD2，即AE⊥DE．∵AA1⊂平面AA1E，AE⊂平面AA1E，AE∩AA1=A，∴DE⊥平面A1AE．又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1AE．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）．（Ⅰ）求证：CD⊥DP；（Ⅱ）若PA∥平面BME，求k的值；（Ⅲ）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PE⊥AD，从而PE⊥平面ABCD，进而PE⊥CD，再由CD⊥DA，得CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥DP．…..（Ⅱ）连接AC交BE于N，连接MN，推导出PA∥MN，从而∠CBN=∠AEN=90°，进而△CNB≌△ANE．由此能求出k=1．（Ⅲ）法一：连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG，则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，由此能示出k．法二：以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，利用和量法能求出k．【解答】（本题满分14分）证明：（Ⅰ）因为△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．又CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD．由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．双DP⊂平面PAD，所以CD⊥DP．…..解：（Ⅱ）连接AC交BE于N，连接MN．因为PA∥平面BME，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．因为AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．所以CN=NA，则M为PC的中点，k=1．…..（Ⅲ）方法一：依题意，若二面角M﹣BE﹣A的大小为150°，则二面角M﹣BE﹣C的大小为30°．连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG．因为PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．又BE⊂平面ABCD，所以MF⊥BE．又MF∩FG=F，MF⊂平面MFG，FG⊂平面MFG，所以BE⊥平面MFG，从而BE⊥MG．则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，即∠MGF=30°．在等边△PAD中，．由于，所以．又，所以．在△MFG中，解得k=3．…..方法二：由于EP⊥EA，EP⊥EB，EA⊥EB，以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，如图．∵，∠BAD=60°，∴A（0，1，0），，，D（0，﹣1，0），E（0，0，0），平面ABE即xoy平面的一个法向量为=（0，0，1）．设M（x，y，z），由条件可知：（k＞0），即，∴，解得：即，．设平面MBE的一个法向量为=（x'，y'，z'），则，x'=0，令，则z'=k．即=（0，）．因为二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，所以|cos＜＞|=|cos150°|，即==，解得k=±3．因为k＞0，所以k=3．…..19．已知椭圆W：，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1，k2≠0），过O 作直线PA，PB的平行线l2，l3，分别交椭圆W于C，D和E，F．（Ⅰ）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使∠APB=90°？说明理由．（Ⅱ）求k1•k2的值；（Ⅲ）求|CD|2+|EF|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）不存在点P，使∠APB=90°．理由如下：设P（x P，y P），运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断；（Ⅱ）设P（x P，y P），A（x A，y A），运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值；（Ⅲ）方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，求得直线方程，联立椭圆方程，求得弦长，化简整理，即可得到所求值；方法二、设C（x C，y C），E（x E，y E），由直线l2，l3都过原点，则D（﹣x C，﹣y C），F（﹣x E，﹣y E）．由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，由平行的条件，求得直线方程，代入椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）不存在点P，使∠APB=90°．说明如下：设P（x P，y P）．依题意，此时A（﹣2，0），B（2，0），则，．若∠APB=90°，则需使，即． (1)又点P在椭圆W上，所以，把代入（1）式中解得，x P=±2，且y P=0．显然与P为椭圆上异于A，B的点矛盾，所以不存在；（Ⅱ）设P（x P，y P），A（x A，y A），依题意直线l1过原点，则B（﹣x A，﹣y A）．由于P为椭圆上异于A，B的点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率．即．椭圆W的方程化为x2+4y2=4，由于点P和点A都为椭圆W上的点，则，两式相减得，因为点P和点A不重合，所以，即；（Ⅲ）方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，则直线l2的斜率k CD=k1，直线l3的斜率k EF=k2．设直线l2的方程为y=k1x，代入到椭圆方程中，得，解得．设C（x C，y C），由直线l2过原点，则D（﹣x C，﹣y C）．则=．由于y C=k1x C，所以|CD|2=，即|CD|2=．直线l3的方程为y=k2x，代入到椭圆方程中，得，解得．同理可得．则|CD|2+|EF|2=．由（Ⅱ）问，且k1≠0，则．即|CD|2+|EF|2=16化简得|CD|2+|EF|2=16．即|CD|2+|EF|2=20．方法二：设C（x C，y C），E（x E，y E），由直线l2，l3都过原点，则D（﹣x C，﹣y C），F（﹣x E，﹣y E）．由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，则直线l2的斜率k CD=k1，直线l3的斜率k EF=k2，由（Ⅱ）得，可得．由于k CD=k1≠0，则．由于点C不可能在x轴上，即y C≠0，所以，过原点的直线l3的方程为，代入椭圆W的方程中，得，化简得．由于点C（x C，y C）在椭圆W上，所以，所以，不妨设x E=2y C，代入到直线中，得．即，则．|CD|2+|EF|2===．又，所以|CD|2+|EF|2=20．2016年8月1日。
7—18学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)(2)
长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试数学试题（理科）组题人：高二数学组 2018.1.10一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数iiz 2131+-=，则=z （ ） A. 2B.2C.10D. 52.若原命题为：“若21,z z 为共轭复数，则21z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ） A. 真、真、真 B. 真、真、假 C. 假、假、真D. 假、假、假3.“x x x sin 2,0>>∀”的否定是（ ）A. x x x sin 2,0<>∀B. x x x sin 2,0≤>∀C.000sin 2,0x x x ≤≤∃D. 000sin 2,0x x x ≤>∃4.“52>m ”是“方程131222=+-y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率是5，则其渐近线的方程为（ ）A.02=±y xB.02=±y xC. 02=±y xD. 02=±y x6.已知点)1,2,1(-A ，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则=BC （ ）A. 72B. 52C. 22D. 47.由曲线1xy =与直线y x =， 3y =所围成的封闭图形面积为（ ） A. 2ln3-B. ln3C. 2D. 4ln3-8.若),0(,,321+∞∈x x x ，设133221,,x x c x xb x x a ===，则c b a ,,的值（ ） A. 至多有一个不大于1 B. 至少有一个不大于1 C. 都大于1D. 都小于19.点),(y x P 在椭圆191622=+y x 上，则y x 2-的最大值为（ ） A.6B. 132C.134D.1010.设函数x x x f ln 1621)(2-=在区间[]2,1+-a a 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A. )3,1(B. )3,2(C. (]2,1D. []3,211.在ABC Rt ∆中，1==AC AB ，若一个椭圆经过B A ,两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的离心率为（ ）A.3632-B.23-C.36-D.12-12.已知函数32)(-=x e x f ，2ln 41)(xx g +=，若)()(n g m f =成立，则n m -的最小值为（ ）A. 2ln 21+B. 2lnC.2ln 221+ D. 2ln 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在极坐标系中，圆θθρsin 32cos 2-=的圆心的极坐标．．．是____________. 14.观察下列各式：125355=，6251556=，7578125=，则20165的末四位数字为____________.15.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为_________________. 16.设21,F F 分别为双曲线124:22=-y x C 的左、右焦点，P 为双曲线C 在第一象限上的一点，若4521=PF PF ，则21F PF ∆内切圆的面积为______________________. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1=ρC ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx C 221221:2（t 为参数）. （1）求曲线1C 上的点到直线2C 距离的最小值；（2）若把1C 上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线3C .设)1,1(-P ，直线2C 与曲线3C 交于B A ,两点，求PB PA +.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，︒=∠90ABC ，ABC ∆≌ADC ∆，22===AB AC PA ，E 是线段PC 的中点．（1）求证：DE ∥平面PAB ；（2）求二面角B CP D --的余弦值．19.（本题满分12分）已知x xax x f ln )(-+=.R a ∈ （1）若2=a ，求)(x f 的单调区间；（2）当41-≤a 时，若2ln )(-≥x f 在[]e x ,2∈上恒成立，求a 的取值范围. 20.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设)0,2(P ，过椭圆C 左焦点F 作斜率k 直线l 交C 于B A ,两点，若2ABP S ∆=求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知抛物线G ：)0(22>=p px y ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于B A ,两点，线段AB 的中点为M .（1）当直线l 的倾斜角为4π时，16=AB ．求抛物线G 的方程； （2）对于（1）问中的抛物线G ，设定点)0,3(N ，求证：MN AB 2-为定值.22.（本小题满分12分）已知)ln()(2a x ex f x++=.（1）当1=a ，0≥x 时，求证：x x x f ++≥2)1()(；（2）若存在[)+∞∈,00x ，使得2000)ln(2)(x a x x f ++<成立，求实数a 的取值范围.体验 探究 合作 展示长春市十一高中2017-2018学年度高二上学期期末考试数学试题（理科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、选择题（每题5分，共20分）13. )3,2(π- 14. 3125 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221,21πe 16.π748三、解答题17.解（1）1:221=+y x C ，圆心为)0,0(，半径为1；2:2+=x y C圆心到直线距离222==d --------3分 所以1C 上的点到2C 的最小距离为12-.--------5分（2）伸缩变换为⎩⎨⎧='='yy x x 32，所以134:223='+'y x C --------7分 将2C 和3C 联立，得0102272=-+t t .因为021<t t --------8分72124)(212212121=-+=-=+=+∴t t t t t t t t PB PA --------10分18.解：（1）证明：以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，过点B 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．则B (0,0,0)，C (0，3，0)，P (1,0,2)，D )0,23,23(，A (1,0,0)，E )1,23,21(，∴)1,0,1(-=，)2,0,1(=，)0,0,1(=． 显然平面PAB 的法向量为)0,1,0(=n ， 由0=⋅，⊄DE 平面PAB ， ∴DE ∥平面PAB .（2）由（1）知)0,3,0(=，)2,23,21(--=DP ，)0,23,23(-=DC ，设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅0203z x y m BC ，取2=x ，则1,0-==z y∴)1,0,2(-=为平面PBC 的一个法向量．同理：平面DPC 的法向量为)1,3,1(=p∴515512,cos =-=>=<p m ，故二面角B CP D --的余弦值为51.19.解（1）当2=a 时，x x x x f ln 2)(-+=，则2222121)(xx x x x x f --=--='，0>x 令0)(>'x f ，解得2>x ，令0)(<'x f ，解得20<<x ，所以)(x f 增区间为),2(+∞，减区间为)2,0(.（2）由22211)(xa x x x x a x f --=--='，[]e x ,2∈，当41-≤a 时，02>--a x x 故)(x f 在[]e x ,2∈上为增函数，若2ln )(-≥x f ，则只需2ln 2ln 22)2()(min -≥-+==af x f ， 即：4-≥a ，综上有：414-≤≤-a20.解（1）依题意，221,1,2a b c b a =+==,解得1,222==b a ，所以椭圆C 的标准方程为1222=+y x . （2）设直线l ：1+=x ty ，代入椭圆消去x 得：012)2(22=--+ty y t ，设),(),,(2211y x B y x A ，则21,22221221+-=+=+t y y t t y y 所以：2102121=-=∆y y FP S ABP ， 即：2104)(32121221=-+⨯⨯y y y y ，即：10)24)2(4(92222=+++t t t解得：42=t ，即2±=t ，所以l ：012=+±y x21.解（1）由题意知)0,2(p F ，设直线l 的方程为2px y -=，),(),,(2211y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧-==222p x y pxy 得：04322=+-p px x ，所以：p x x 321=+ 又由1621=++=p x x AB ，所以4=p ，所以：抛物线G 的方程为x y 82= （2）由（1）抛物线G 的方程为x y 82=，此时设2:-=x ty AB消去x 得：01682=--ty y ，设),(),,(2211y x B y x A ， 则：16,82121-==+y y t y y所以：)1(88)(422121+=++=++=t y y t x x ABt y t y y tx M M 4,242)(2221=+=++=，即 )4,24(2t t M + 所以：222216)14(2)1(82t t t MN AB +--+=-6)14(2)1(822=+-+=t t22.解（1）设)0()1()1ln()(22≥-+-++=x x x x e x F x ，1)1(2112)(2-+-++='x x e x F x ，由)0(1≥+≥x x e x 所以：122+≥x e x，故3211)12(21)1(2112)(2--+++≥-+-++='x x x x x e x F x01211122≥++=++-=x xx x x ，所以，)(x F 在[)+∞,0上递增，所以0)0()(=≥F x F（2）由条件知[)+∞∈∃,00x ，02200ln()0,0,x e x a x a -+-<>易知设22)ln()(x a x ex g x-+-=，0≥x ，则21()22x g x e x x a'=--+02)(14)(22>-++=''a x e x g x ， 所以)(x g '在[)+∞,0上单调递增，ag x g 12)0()(-='≥' （ⅰ）当21≥a 时，012)0(≥-='ag )(x g 在[)+∞,0上为单调递增函数，故0ln 1)0()(min <-==a g x g ，e a >所以：e a > （ⅱ）当102a <<时，21)21ln()ln(-<+<+x x a x 设)0(),21()(22>---=x x x ex h x01212)12(2122)(2>+=--+>--='x x x x e x h x所以：)(x h 在[)+∞,0上为单调递增函数，所以：023)0()(>=≥h x h )ln()21ln(2122a x x x x e x +>+>->-∴ ∴当21<a 时，2)ln(2)(x a x x f ++>恒成立，不合题意综上所述：e a >。
2017_2018学年北京朝阳区北京市朝阳外国语学校高二上学期理科期末数学试卷解析
答案 （1）
．
（2） 当 当 当
时， 时，
时，
， ，
．
解析 （1）
，
，
，
，
∴
，即
，
．
（2）
，
令
，
，
，
①
， ， 在 单调递增，
∴
，
②
Байду номын сангаас
，
，
在
单调递减，
单调递增，
，
③
，
，
在 单调递减，
，
综上：① ，
，
②
，
，
③
，
．
考点
函数与导数 导数及其应用 导数概念及其几何意义
导数的运算
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的极值与最值
2017~2018学年北京朝阳区北京市朝阳外国语学校 高二上学期理科期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1 已知 ：
，
，则 是（ ）．
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案 D
解析 已知 ：
，
，则 是
，
．
故选： ．
考点
集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
2“
”是“方程
，
，
，∴
，
，
∴椭圆方程为：
．
（2） 设
，
，
∵线段 的垂直平分线经过点 ，
∴
，
∴
，
，
∴直线 的方程为： （3） 点 在椭圆 上，设
∵
，
∴
北京市第二中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
北京市第二中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的）∈，则“”是“”的（）.1.设a RA. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：22或，所以“”是“”的充分非必要条件，>⇒>>⇒><-11,111a a a a a选A.【考点】充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等.【此处有视频，请去附件查看】2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（）．A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰有一个黑球与恰有2个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任意取2个球A至少有1个黑球包含都是黑球，故至少有1个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，B至少有1个黑球包含1黑1红，至少有1个红球包含1黑1红，两者不是互斥事件，故B错误，C 恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故C 正确D 至少有1个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故D 错误，故答案为C3.某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（ ）． A. 30种 B. 31种 C. 35种D. 60种【答案】A 【解析】由题意，7门课程选3门有37C 种方法， 若选择的课程均为A 课程，有33C 种方法， 选择的课程均为B 课程，有34C 种方法，满足题意的选择方法有：333734351430C C C --=--=种.本题选择A 选项.4.已知命题:p x ∃∈R ，使sin x =；命题:q x ∀∈R ，都有210x x ++>，给出下列结论：（ ）．A. 命题p 是真命题B. 命题“p q ⌝∧”是真命题C. 命题“p q ∧”是真命题D. 命题“p q ⌝∧⌝”是真命题【答案】B 【解析】51>，而[]sin 1,1x ∈-，据此可得命题p 是假命题； 22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，则命题q 为真命题；据此可得：命题“p q ⌝∧”是真命题， 命题“p q ∧”是假命题，命题“p q ⌝∨⌝”是真命题. 本题选择B 选项.5.在二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项的系数是（ ）．A. 15-B. 15C. 60-D. 60【答案】D 【解析】二项式展开式的通项公式：()()6212316622rrr rr rr T Cx C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令1236r -=可得：2r =，则含6x 的项的系数是()226241560C -=⨯=.本题选择D 选项.6.将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（ ）． A.516B.1316C.2132D.2732【答案】B 【解析】由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：512⎛⎫ ⎪⎝⎭， 一次正面朝上的概率为：14151122C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则至少出现两次正面朝上的概率是5141511113122216C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择B 选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．7.2(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）．A. 100B. 100-C. 120D. 120-【答案】D 【解析】()512x -展开式的通项公式为：()()5522rrrr r C x C x -=-，当3r =时，()512x -展开项为()335280C -=-， 当2r =时，()512x -展开项为()225240C -=，则()()5122x x -+的展开式中3x 的项的系数是()28040120⨯-+=-.本题选择D 选项.点睛：二项展开式的通项1C k n k kk n T a b -+=是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）． A. 72 B. 60 C. 36 D. 24【答案】A 【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ,(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名女生记作B ，将A ,B 插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有()2222323272C A A A =种， 本题选择A 选项.9.若33nx ⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】D由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：()7332133rn r n rrn r r r n n T C x C x ---+==，展开式中含有常数项，则：7302n r -=有正整数解，满足题意的最小的正整数为：6,7r n ==. 本题选择D 选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．10.在[1,1]-上随机的取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为（ ）． A.12B.14C.34D.916【答案】C 【解析】3<，解得：3344k -<<，结合长度型几何概型公式可得满足题意的概率为：()33344114p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--. 本题选择C 选项.11.若201822018012201811()3x a a x a x a x x ⎛⎫-=++∈ ⎪⎝⎭R ，则23201812320183333a a a a +++的值为（ ）． A. 2B. 0C. 1-D. 2-【解析】令0x =可得：01a =，令3x =可得：2320180123201833330a a a a a +++++=，则：2320181232018033331a a a a a ++++=-=-.本题选择C 选项.12.有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形； ②“若0xy =，则||||0x y +=”的逆命题； ③“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆命题，其中真命题为（ ）． A. ①② B. ②③C. ①③D. ②④【答案】B 【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;②“若0xy =,则0x y +=”的逆命题为“若0x y +=,则0xy =”，该命题正确; ③“若a b >,则a c b c +>+”的否命题为“若a b ≤,则a c b c +≤+”，该命题正确; ④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③. 本题选择B 选项.13.在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个，它们大小相同，现在从盒中任意摸出3个小球，每个小球被摸出的可能性都相等，则找出的三个小球颜色都互不相同，这样的摸法种数为（ ）． A. 36B. 108C. 216D. 648【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：34333427108C ⨯⨯⨯=⨯=种.本题选择B 选项.14.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的两个数字之积是0的概率为（ ）． A.14B.12C.23D.34【答案】D 【解析】满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零， 两次数字均不为零的概率为：111224⨯=， 则满足题意的概率值：13144p =-=. 本题选择D 选项.二、填空题。
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北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试
数学(理)试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
2. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为
假命题的是
A．若，，，则B．若，，则
D．若，，，则C．若，，则
3. “”是“直线与圆相切”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4. 如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点. 给出下列三个结论：①平面；②平面平面；③三棱锥与三棱锥的体积比为．其中正确的个数是
A．B．
C．D．
5. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为
A．外离B．外切C．相交D．内切
6. 已知如图为某三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为
A．
B．
C．
D．
7. 设是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，点在抛物线的准线上，若，则直线的方程为
A．B．
C．D．
8. 已知点，过点作直线，不同时为的垂线，垂足为，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题
9. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____________．
10. 若直线与圆相交于A,B两点，且
（O为坐标原点），则=_____.
11. 设双曲线的—个焦点为，虚轴的—个端点为，
如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_______.
12. 如图，已知正方体的棱长为，，，分别为棱
，和的中点，则三棱锥的体积为
_________．
13. 已知平面内圆心为的圆的方程为，点是圆上的动点，点是平面内任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹可能是_________．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）
①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.
三、双空题
14. 设平面内到点和直线的距离相等的点的轨迹为曲线，则曲线的方程为_______；若直线与曲线相交于不同两点，，与圆
相切于点，且为线段的中点．在的变化过程中，满足条件的直线有条，则的所有可能值为____________．
四、解答题
15. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，底面．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，分别为线段，的中点，求证：平面
．
16. 在平面直角坐标系中，设动点到两定点，的距离的比值为的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程，并判断直线与曲线的位置关系．
17. 如图1，在中，，，，分别为，
的中点．将沿折起到的位置，使，如图2，连结，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理
由．
18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．过定点的直线交椭圆于不同的两点，（点在点，之间）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值．。