2020届高三4月份数学(理科)月考试卷 含答案

所以“ a2 b
=
2
ba
”为“
a
a
=
b
b
”的充分必要条件．
7．答案：C
解析：
f
(x)
=
sin 2
x
=
1−
cos 2x 2
向右平移 个单位
⎯⎯⎯⎯12 ⎯⎯→
g(x)
=
1−
cos
2
2
x
−
12
=
−
1 2
cos
2x
−
6
+
1 2
，
cos
2x
−
6
[−1,1]
，
g
(
x)
的值域为
[0,1]
，①错误；
当 x = 时， 2x − = 0 ，所以 x = 是函数 g(x) 的一条对称轴，②正确；
12
6
12
当
x
=
3
时，
2x
−
6
=
2
，所以
g(x)
的一个对称中心是
3
,
1 2
，③正确；
g(x)
=
sin
2x
−
6
[−1,1]
，则
x1,
x2
R,
2020 届高三年级4月份月考试卷 理科数学
组题人：高三理数备课组 审题人：高三理数备课组 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为 R
，集合
A=
x
y
=
(
x
−
−1)
1 2
,
B
= {x |
x2
− 2x
0} ，则 (
=
2
ba
”为“
a
a
=
b
b ”的（
）
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．把函数 f (x) = sin2 x 的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x) 的图象．给出下列四个命题 12
① g(x) 的值域为 (0,1]
② g(x) 的一个对称轴是 x = 12
a9 )
=
9(a2 + 2
a8 )
=
9 (−2 2
+10)
=
36
．
4．答案：A
解析：设
f (x) =
ex
x + e−x
，则
f (−x) =
−x e−x + ex
= − f (x) ，所以函数
f
(x) 是奇函数，其
图象关于原点对称，排除 B，C，且当 x
→ + 时，
f
(x)
=
ex
x + e−x
→ 0 ，排除
D，选 A．
5．答案：C
解析：由
f
=1 T
=
2
，可知若
f1
= nf2
(n N ) ，则必有1
= n2
(n N ) ，故选 C．
6．答案：B
解析：若 a2 b
=
2
b
a
成立，则
a
源自文库
2b
=
2
b
a
，则向量 a
与b
的方向相同，且
a
2
b
=
2
b
a
，
2
2
从而 a = b ，所以 a = b ；若 a a = b b ，则向量 a 与 b 的方向相同，且 a = b ，从而 a = b ，所以 a = b ．
（1）求证：平面 PCD ⊥ 平面 PAD ；
（2）若 AB = AD ，求直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值的最大值；
（3）设直线 AM 与平面 PBD 相交于点 N ，
若 AN = PM ，求 AN 的值．
P
AM PC AM
M D
C
A
B
19．（本小题满分 12 分）某精密仪器生产车间每天生产 n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取 50
y2 b2
= 1(b
a
0) 的焦距为 2c ，若 M
的渐近线上存在点 T
，使得经过点 T
所作
的圆 (x − c)2 + y2 = a2 的两条切线互相垂直，则双曲线 M 的离心率的取值范围是（
）
A． (1, 2]
B． ( 2, 3]
C． ( 2, 5]
D． ( 3, 5]
12．点 M 在曲线 G : y = 3ln x 上，过 M 作 x 轴垂线 l ，设 l 与曲线 y = 1 交于点 N ， OP = OM + ON ，
4
3
（1）求 cos A 的值； （2）点 D 为边 BC 上的动点（不与 C 点重合），设 AD = DC ，求 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）在四棱锥 P − ABCD 中， AB ⊥ PA, AB // CD, AB = 1 CD, △PAD 是等边三角 2
形，点 M 在棱 PC 上，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．
（2）小张某天恰好从 50 个零件中检查出 2 个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已
知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元．假设 n 充分大，为了
使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量 服从正态分布 N (, 2 ) ，则
率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数 y = 0.06 sin180000t 构成乐音的是（ ）
A． y = 0.02sin 360000t
B． y = 0.03sin180000t
C． y = 0.02sin181800t
D． y = 0.05sin 540000t
6．已知 a,
b
为非零向量，“ a2 b
R A)
B=（
）
A． (0, 2)
B． (1, 2]
C．[0,1]
D． (0,1]
2．复数满足 z + z = 4 + 8i ，则复数 z 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 = −2, a8 = 10 ，则 S9 = （
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
D
A
C
B
C
D
A
C
B
C
13
2
14
−
1 2
n−1
15
−,
−
13 2
，
−
13 2
16
①②③④
17
2 2 − 10
(1)
6
(2)
2 3
,
+
18 (1)证明过程略
2 19
(2)
19
(3) AN = 1 AM 2
19 (1) P( X ≥ 2) = 0.003, EX = 0.065
．
15．对任意正整数 n ，函数 f (n) = 2n3 − 7n2 cos n − n −1，若 f (2) ≥ 0 ，则 的取值范围是
；若不等式 f (n) ≥ 0 恒成立，则 的最大值为
．
16．正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 是侧面 CDD1C1 上的动点，且 B1F / / 平面 A1BE ，
（2）记 g(x)
=
f
(x) +
x2
−
m
ln
x
x
1 2
，若存在实数
t
，使直线
y
=t
与函数 g(x) 的图象交于不同的
两点 A(x1, t), B(x2 , t) ，求证： m 2x1x2 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
③
g
(
x)
的一个对称中心是
3
,
1 2
④ g(x) 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神
兽人们喜爱．右图即是一副窗花，是把一个边长为 12 的大正方形在四个角处都剪去边长为 1 的小正方形
其中正确命题的序号是
．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）在△ABC 中， B = , cos C = 5 ．
2．答案：B 解析：设 z = a + bi (a,b R) ，则 z + z = a + bi + a2 + b2 = 4 + 8i ，
a
+
a2
b = 8
+ b2
=
4
a = −6 b = 8 , z
=
−6 + 8i ，所以复数 z
在复平面内所对应的点在第二象限．
3．答案：D
解析：
S9
=
9(a1 + 2
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 a b ≥ 0, a ≥ c ≥ d ，且 ab ≥ cd ．
（1）请给出 a, b, c, d 的一组值，使得 a + b ≥ 2(c + d ) 成立； （2）证明不等式 a + b ≥ c + d 恒成立．
2020 届高三年级月考试卷理科数学参考答案
记 B1 与 F 的轨迹构成的平面为 ．
① F ，使得 B1F ⊥ CD1 ；
②直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是
2 4
,
1 2
；
③ 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的正切值为 2 2 ；
④正方体 ABCD − A1B1C1D1 的各个侧面中，与 所成的锐二面角相等的侧面共四个．
A．45
B．42
4．函数
y
=
ex
x + e−x
的图象大致为（
）
C．25
） D．36
5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐
声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如 a sin bx 的简单正弦函数的和，
其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频
P( − 3 + 3 ) = 0.9987, 0.998750 = 0.9370, 0.998749 0.0013 = 0.0012 ．
20．（本小题满分
12
分）已知椭圆 M
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 经过点 A(0, −2) ，离心率为
3． 3
（1）求椭圆 M 的方程；
后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为 1 的一些小正方形．若在这个窗花内部随机
取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）
A． 3 7
B． 4 7
C． 5 7
D． 6 7
9．已知三棱锥 P − ABC, AC = 2, BC = 1, AC ⊥ BC 且 PA = 2PB, PB ⊥ 平面 ABC ，其外接球体积
(2) 证明过程略
1．答案：D
解析： A =
x
y
=
(
x
−
−
1)
1 2
=
x
y
=
1
= {x | x
x −1
1},
R A = {x | x ≤1}，
B = {x | x2 − 2x 0} = {x | x(x − 2) 0} = {x | 0 x 2}，( R A) B = (0,1] ．
已知曲线 M
的参数方程为
x
y
= =
1 cos 2 1 sin 2
（
为参数），以坐标原点为极点， x
轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 N 的极坐标方程为 = 2 ． 2 − sin 2
（1）写出曲线 M 的极坐标方程； （2）点 A 是曲线 N 上的一点，试判断点 A 与曲线 M 的位置关系．
为（ ）
A． 4 3
B． 4
C． 32 3
D． 4 3
10．一个盒子里有 4 个分别标有号码为 1，2，3，4 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子
中，共取 3 次，则取得小球标号最大值是 4 的取法有（ ）
A．17 种
B．27 种
C．37 种
D．47 种
11．已知双曲线 M
:
x2 a2
−
个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经
验，这些零件的长度服从正态分布 N (10, 0.12 ) （单位：微米 m ），且相互独立．若零件的长度 d 满足
9.7m d 10.3m ，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为 X ，求 P( X ≥ 2) 及 X 的数学期望 EX ；
（2）经过点 E(0,1) 且斜率存在的直线 l 交椭圆于 Q, N 两点，点 B 与点 Q 关于坐标原点对称．连接
AB, AN ．求证：存在实数 ，使得 kAN = kAB 成立．
21．（本小题满分 12 分）已知 f (x) = kx2 + e−kx (k 0)
（1）当 x 1 时，判断函数 f (x) 的极值点的个数； 2
(2) 所以为了使损失尽量小， 小张需要检查其余所有零件．
20 (1) x2 + y2 = 1 64
(2) 存在实数 = 3 ，使 kAN = kAB 成立．
21 (1) 函数 f (x) 没有极值点
(2) 证明过程略
22 (1) = 1 2
(2) 点 A 在曲线 M 外
23 (1) a = 2, b = 1, c = 1, d = −1．（答案不唯一）
x
3
且 P 点的纵坐标始终为 0，则称 M 点为曲线 G 上的“水平黄金点”，则曲线 G 上的“水平黄金点”的个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．抛物线 y2 = 4x 上到其焦点 F 距离为 5 的点有
个．
14．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 Sn + an = −2 ，则数列{an} 的通项 an =