5-4反常积分04135

ta
t
lim ln(b a) ln(t a 积分发散。 t a
p 1,
b dx
lim
ta t (x a)q
b
1 lim ta (1 q)(x a) p1
t
q 1
1 1 q
lim
t a
(b
1 a)q1
(t
1 a)q1
积分发散，0 q 1 积分收敛
b dx
a (x a)q
0 x2
1
1
lim( 1) lim (1 )
t t 0
0
发散
注意：t <0, >0 是任意取的
作业：P.260 1（单数） 2.
谢 谢!
15
例7
讨论
b dx (q 0, a b)
a (x a)q
敛散性
解
p 1, lim b dx lim ln(x a) b
ta t x a
dx
2 x ln 2 x
lim t
t dx 2 x ln2 x
lim t
t
1
d ln x lim (
1t )
2 ln2 x
t ln x 2
1 ln 2
12
例6 下列做法是否正确？
1 1 dx 1 x2
1 x
1 1
2
正确做法：
11 dx
0
1 dx
11 dx
1 x2
1 x2
1 e px p
0
)
lim xe px
x
lim x e x px
1 [0 p
1 (0 1)] p
1 p2
lim 1 x pe px 0
6
1
arctan x2
xdx
arctan
1
xd
1 x
arctan x
x
1
1 dx 1 x(1 x2 )
4
1
1
x3 (1
1 x2
a
t a
或称f x在[a,)上的无穷积分收敛.
否则称f x在[a,)上的无穷积分发散.
y
百度文库0a
t
x
2
类似有
b
b
f (x)dx lim
t
t
f (x)dx
f (x)dx
lim
a
f (x)dx
lim
f (x)dx
a
注意：上面 <a ,>a, a ， 可以任意取。
由牛顿—莱布尼兹公式
1 x) |t0
lim(2 1 t 2) 2 t 1
a
(2)
dx
0 a2 x2
d(2 1 x)
1 dx 1 x
a
(2)0
dx
a2 x2
lim ta
t 0
dx a2 x2
lim(arcsin x ) t
ta
a0
lim arcsin( t )
ta
a2
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
第五章 定积分
第五节 反常积分 无穷区间上的反常积分 无界函数的反常积分
1
一、无穷区间上的反常积分
定义 设函数f(x)在区间[a,+)上连续，任取t >a，如果极限
t
lim f (x)dx
t a
存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的反常积分
记为：
t
f (x)dx lim f (x)dx
(b a)1q (1 q)
16
b
c
b
y
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
b
lim f (x)dx c a
lim f (x)dx tc t
tbx y=f(x)
a 0 ct
bx
例4
(1)求 1 dx 的值.
0 1 x
解
1
(1)
dx
0 1 x
t dx lim
t1 0 1 x
lim(2 t 1
cot tdt
2
ln sin x 4
2 4
4
ln
2
二、无界函数的反常积分
定义
设函数 f(x) 在区间 (a，b]上连续，且
lim
xa
f (x)
取t>a，如果极限
lim
b
f (x)dx
ta t
a称为f(x)的瑕点
存在，则称此极限为函数f(x)在区间（a，b]上的反常积分
仍记作
b
a f (x)dx
a
f
( x)dx
F (x)
a
lim F (x)
x
F (a)
b
f
( x)dx
F ( x)
b
F (b)
lim F (x)
x
f (x)dx
F ( x)
lim F (x) lim F (x)
x
x
例1
求无穷积分
1 1 x2
dx.
解
1 1 x2
dx
arctan x
＝ lim arctan x － lim arctan x
x
x
( ) ( )
22
y
y
1
1 x2
o
x
4
例2
证明 dx ( p 0, a 0)当p 1收敛，p 1发散。 a xp
解
p 1: dx ln x
ax
a
无穷积分发散。
p 1:
a
dx xp
1
1
p
x1 p
a
1 (1 p
1 p
a1 p )
a
当1 p 0即p 1时，无穷积分收敛；
当1 p 0即p 1时，无穷积分发散；
a
dx xp
a1 p p 1
p 1 p 1
发散
收 敛
5
例3 计算 xe pxdx P 为常数，且 p>0 0
解 xe pxdx 1 xde px .
0
p0
1 (xe px
p
0
e px .dx)
0
1 ( lim xe px p x
11
例5 (1)判断 2 dx 的敛散性. 1 x ln 2 x
解
2 dx
2 dx
1 x ln 2 x
lim t1 t
x ln2 x
21
lim
d ln x
t1 t ln2 x
12 lim ( )
t 1 ln x t
11
lim( ) t1 ln t ln 2
积分发散。
(2)判断 dx 的敛散性. 2 x ln 2 x
y
即 b f (x)dx
lim
b
f (x)dx
a
t a t
y=f(x)
这时，称反常积分
b
f (x)dx
收敛，
a
若极限不存在，则称反常积分发散
0 at
bx
9
y 类似有[a,b)上的反常积分
即 b f (x)dx
t
lim f (x)dx
a
tb a
y=f(x)
0a
[a,b] 内瑕点 x = c 的无界函数的反常积分
dx )
1
42
1
1
(1
1 x2
d )
1
x2
4
1 2
ln(1
1 x2
)
1
1 ln 2.
42
1
arctan x2
x
dx
令arctan x t
2
t
sec2 tdt
4
tan2 t
2 t csc2 tdt 4
2t
4
d (cot t) t cot t
2 4
2
4