两直线的交点坐标和距离公式
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会球两条平行直线间的距离. 命题方向：多与直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系相结合渗透在解答题中 知识梳理：1．两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨
⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．
2.几种距离
1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 1
2
y 2－y 1
2
.
2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋B
2
. 3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
. 规律总结：1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.
2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.。
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
两条直线的交点坐标与距离公式
l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则
{ x + 0 - y - 2-1=0，
22
y +2 ×1
=-1,
x
{ x=-1，
得
即（1，0），
y=-1.
（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
故应选B.）
.
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考点四 直线系方程的应用 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
两直线的交点坐标与 距离公式
.
一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
.
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行≠，0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1,C两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.由题意知
| 2k - 3 + k + 2 | =
| -4k - 5 + k + 2 |
24两直线的交点与距离公式
；
（2）点 P0 x0， y0 到直线 l： Ax+By+C =0 的距离为 （3）两条平行直线 l1：Ax+By+C1=0 、 l2： Ax+By+C2=0 间的距离为
3．对称中心的求法
； 。
若两点 P1 x1，y1 、P2 x2，y2 关于点 P x，y 对称，那么由中点坐标公式有点
4．对称问题
2
2
。
y1 -y2
A -
1
x1-x2 B
1．点 1，-1 到直线 x-y+1=0 的距离是（
）
1
A．
2
3
B．
2
32
C．
2
（理 提高）已知点 a，2 a>0 到直线 l： x-y+3=0 的距离为 1，则 a 的值为（
）
D．
2
2
A． 2
B． 2-1
2．两直线 l1 : 2x-y+1=0 、 l2： x-y-1=0的交点坐标是（
1． 两直线的交点
直线 l1： A1x+B1y+C1=0 与 l2：A2x+B2 y+C2 =0 的公共点的坐标与方程组
A1x+B1 y+C1=0 的解一一对应。 A2x+B2 y+C2 =0
相交 方程组
，方程组的解就是交点的坐标；平行
方程组
；重合 方程组
有
。
2． 距离
（1）点 P1 x1，y1 、 P2 x2，y2 之间的距离为
14．一条光线经过点 P（ 2， 3），射在直线 l： x+y+1=0 上，反射后经过点 （ 1）入射光线方程； （ 2）这条光线从点 P 到点 Q 所经过的路线的长度。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
直线 l1,l2解方程 无 唯 组 穷 一多 解 解 ll11,,ll22重 相合 交
无解
l1,l2平行
举例
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y －2=0；l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
无解
l1,l2平行
3.3.2 两点间的距离
1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
P1P2x2x12y2y12
O P x2 y2
作
课本:P104 2；P106. 2
业
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
M1
O
Q
N1
M2 x P1
P 1 P 2x2x12y2y12
练习P106
P1P2x2x12y2y12
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
பைடு நூலகம்
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
特别地，原点O（0，0）与现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
直线的交点坐标和距离公式教案
直线的交点坐标和距离公式教案介绍直线是平面几何中非常基础且重要的概念，我们常常会遇到需要求直线的交点坐标或者计算点到直线的距离的问题。
本教案将详细介绍直线的交点坐标和距离公式，帮助学生理解并掌握相关知识。
一、直线的交点坐标公式1.1 基本概念在二维平面直角坐标系(x, y)中，一条直线可以用一般式方程表示为：Ax + By +C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
1.2 直线的交点坐标公式两条直线的交点坐标可以通过求解方程组得到。
假设有两条直线L1和L2，它们的一般式分别为：L1: A1x + B1y + C1 = 0L2: A2x + B2y + C2 = 0由于交点的坐标(x, y)满足L1和L2的方程组，所以可以联立方程组求解得到交点坐标。
具体步骤如下：1.将L1和L2的一般式方程转化为标准式方程。
2.根据L1和L2的标准式方程，列方程组。
3.解方程组，得到交点坐标(x, y)。
要注意的是，当L1和L2平行或者重合时，它们没有交点。
二、点到直线的距离公式2.1 基本概念点到直线的距离是指从给定点到直线的最短距离。
对于坐标系中的点P(x0, y0)和一般式方程为Ax + By + C = 0的直线L，点到直线的距离可以通过公式计算得到。
2.2 点到直线的距离公式点P(x0, y0)到直线L: Ax + By + C = 0的距离公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax0 + By0 + C|表示点P到直线L的有向距离，√(A^2 + B^2)表示直线L的斜率的模。
三、示例题目3.1 求直线的交点坐标假设有两条直线L1：2x - 3y + 4 = 0和L2：4x + 5y - 6 = 0，求它们的交点坐标。
解答步骤：1.将L1和L2的一般式方程转化为标准式方程：L1: x - (3/2)y + 2 = 0L2: 4x + 5y - 6 = 02.根据L1和L2的标准式方程，列方程组：x - (3/2)y + 2 = 0 (1)4x + 5y - 6 = 0 (2)3.解方程组，得到交点坐标(x, y)。
两直线交点的坐标与距离公式
两直线交点的坐标与距离公式 知识点：知识点：1. 两相交直线的交点的坐标两相交直线的交点的坐标2. 如果已知平面上两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2), 3. 点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0(A 、B 不同时为0)的距离为距离为 4．已知两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0, l 2:Ax+By+C 2=0 (C 1=C 2).则l 1与l 2之间的距离为：之间的距离为：对称问题：1． 点关于点的对称点点关于点的对称点2． 点关于直线的对称点点关于直线的对称点若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,而且连结P 1,P 2的直线垂直于对称轴l,由方程组: îïíì=++++=--0)2()2(21212121C y y B x x AAB x x y y 其中A ≠0,x 1≠x 2A(x,y) 关于x 轴的对称点A ’ . B(x,y) 关于y 轴的对称点B ’ . 练习:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标. 3. 直线关于点对称的直线直线关于点对称的直线练习:求直线l:y=3x-4关于点M(1,1)对称的直线方程. 4. 关于直线对称的两条直线关于直线对称的两条直线若已知直线l 1与对称轴l 相交,则交点必在与l 1对称的直线l 2上,然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称点P 2,那么经过交点及点P 2的直线就是l 2; 若已知直线l 1与对称轴l 平行,则与l 1对称的直线和l 1到直线l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l 1的对称直线. 练习.求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0的对称直线l ’的方程. 练习. 已知三条直线l 1:2x-y+a=0(a>0),l 2:-4x+2y+1=0, l 3:x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是1057. (1) 求a 的值; (2) 求l 1与l 3的交点A 关于l 2的对称点的坐标; (3) 求l 2关于l 3的对称直线方程. 直线过定点问题及应用1由“y-y 0=k(x-x 0)”求定点”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k(x-x 0)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x 0,y 0）2由“l 1+λl 2=0”求定点”求定点在平面上如果已知两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则过l 1、l 2交点的直线系方程是：直线系方程是：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 其中λ为参数，并简写为l 1+λl 2=0. 根据这一道理，可知如果能把含有参数的直线方程改写成l 1+λl 2=0的形式，这就证明了它表示的直线必过定点，其定点的求法可由îíì=++=++0222111C y B x A C y B x A 解得。
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标
()
√A.－24
C.6
B.24 D.±6
【解析】 (2)设交点坐标为(a，0)，
则有2a＋a－12k＝＝00，，解得ak＝＝－－2142，，故选 A.
第14页
题型二 过两条直线交点的直线系方程应用
例 2 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，且与直线 3x＋y －1＝0 平行的直线 l 的方程.
第9页
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
【解析】 (2)解方程组x2＋x＋y＋2y2＋＝30＝①0，②， ①×2－②得 1＝0，矛盾. 由此可知方程组无解，因此直线 l1 与 l2 平行.
第10页
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 【解析】 (3)解方程组x2－x－y＋2y1＋＝20＝①0，②， ①×2 得 2x－2y＋2＝0. 说明方程②是方程①的 2 倍，方程①的解都是方程②的解. 因此直线 l1 与 l2 重合.
第16页
方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ －3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋ 3 2＝λ1－3≠2λ－－1 3，解得 λ＝121.
A.2
B.3
C.4
√D.5
【解析】 (1)解方程组54xx－ ＋63yy－ ＋127＝＝00，，
得xy＝ ＝－ 1，2，
则直线 x＋by＋9＝0 经过点(1，－2)，
所以 1－2b＋9＝0，解得 b＝5，故选 D.
第13页
(2)直线 2x＋3y－k＝0 和直线 x－ky＋12＝0 的交点在 x 轴上，则 k 的值为
两直线的交点坐标及两点间距离公式
例2.k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2，与直线l2：x＋
4y－4＝0的交点在第一象限?
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
思维拓展
当变化时，方程3x＋4y－2＋(2x＋y＋2)＝0表示什么
(1) 求 | AB | 的值； (2) 在x轴上求一点P，使 | PA || PB | ， 并求 | PA | 的值.
例2.求在x轴上与点A(5, 12)的距离为13的点的坐标. 例3.求函数 y
x 8 x 20 x 1 的最小值.
2 2
两直线的交点坐标
复习引入
：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？
讲授新课
1. 讨论：直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有 什么样的关系？ 2. 完成P.102的表格
几何元素及关系 代数表示 点A A(a, b) 直线l l: Ax＋By＋C＝0 A∈ l 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A l1∩ l2＝A
A1 x B1 y C 1 0 A2 x B2 y C 2 0
(1) 若方程组无解, 则l1// l2;
(2) 若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交; (3) 若方程组有无数解, 则l1与l2重合.
例1. 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交 点坐标. (1) l1: x－y=0，l2: 3x＋3y－10＝0； (2) l1: 3x－y＋4＝0，l2: 6x－2y－1＝0； (3) l1: 3x＋4y－5＝0，l2: 6x＋8y－10＝0.
图形？图形有什么特点？
两点间的距离公式
《直线的交点坐标与距离公式》知识拓展
《直线的交点坐标与距离公式》知识拓展知识要点1.两条直线的交点坐标已知两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交,设这两条直线的交点为P ,则点P 既在直线1l 上,也在直线2l 上.所以点P 的坐标既满足直线1l 的方程1A x +110B y C +=,也满足直线2l 的方程2220A x B y C ++=,即点P 的坐标是方程组1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2.两点间的距离公式()()111222,,,P x y P x y 两点间的距离公式12PP =.特别地,原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 间的距离||OP =3.点到直线的距离公式平面上任意一点()00,P x y 到直线:0(,l Ax By C A B ++=不同时为0)的距离d =.4.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.一般地,两条平行直线(1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C A B ++=++=不同时为0,且1C ≠)2C 的距离d =.问题探究问题1,如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?提示(1)求两条直线的交点坐标,一般思路是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)求过两直线交点的直线方程,一般思路是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.问题2两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应?提示方程组有唯一解⇔两直线相交;方程组无解⇔两直线平行;方程组有无数组解⇔两直线重合.这样可以把两直线的位置关系问题转化为方程组解的个数问题,从而用代数的方法解决几何问题.问题3如果已知直线的斜率为k ,那么直线上的两点()()111222,,,P x y P x y 之间的距离可以怎么表示?提示1212PP x ==-,或1212(0)PP y y k =-≠,这也是以后经常会用到的弦长公式. 问题4利用距离公式应注意的问题有哪些?提示(1)点()00,P x y 到直线x a =的距离0d x a =-,,到直线y b =的距离0d y b '=-;(2)已知点到直线的距离求直线方程时,一般考虑用待定系数法,此时必须讨论直线斜率是否存在;(3)利用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中,x y 的系数要相等.。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式知识要点梳理知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.①若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；②若有，则方程组无解，此时两直线平行；③若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标。
要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数。
知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为。
要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为。
要点诠释：①此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离。
②点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离。
知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为。
要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数要保持一致。
经典例题透析类型一：求交点坐标判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.。
类型二：求两点间的距离在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程。
类型三：求点到直线的距离求点P(3，-2)到下列直线的距离：类型四：求两平行直线间的距离求两条平行线间的距离。
思路点拨： 求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.题组一 两条直线的交点问题1．若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋l 2y x k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2 2．若y ＝a |x |的图象与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A ．0<a ．a ＝1题组二 有关直线的对称问题3．直线l ：4x ＋3y －2＝0 )A ．4x ＋3y －4＝0B ．4x ＋3y －12＝0C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝04．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．题组三 有关距离问题5．已知点A (－3，－4)，B (6,3)则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D ．79或136．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2题组四 综 合 问 题7．若k ，－1，b ( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)8．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 39．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．10．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1<C 2<C 3<…<C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．直线的交点坐标与距离公式练习一、选择题1．两条平行线l 1：3x ＋4y ＋c 1＝0，l 2：6x ＋8y ＋c 2＝0之间的距离是 ( )A ．d ＝|c 1－c 2|5B ．d ＝|2c 1－c 2|10C ．d ＝|2c 1－c 2|5D ．以上皆非 2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为 ( )A.13B.43C.23D.534．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于 ( ) A.m 2＋n 2 B.m 2－n 2 C.－m 2＋n 2 D.m 2±n 25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)二、填空题6．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为______． 7．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________．8．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．三、解答题9．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．10．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．.直线的交点坐标与距离公式练习答案1、解析：l 2：3x ＋4y ＋c 22＝0，∴d ＝|c 1－c 22|5. 答案：B 2、解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1， 因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，所以交点在第二象限． 答案：B3、解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，a ＝23. 答案：C4、解析：因为直线x m ＋y n＝1可化为nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式，得 d ＝|(m －n )n ＋(－m )m －mn |m 2＋n2. 答案：A5、解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B6、解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113， 解得c ＝2或－6，所以c ＋2a ＝±1.7、解析：数形结合所求点即为过P 点垂直于已知直线的交点，可得P ′(5，－3)．答案：(5，－3)8、解析：设所求直线l ：x －y ＋m ＝0，由|m ＋2|2＝22，∴m ＝2或－6.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09、解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k2，解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10、解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k 1＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1. ①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0. ②由①②得43953435x y x x y y -+-⎧'=⎪⎪⎨++⎪'=⎪⎩③ ④ (1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 11、解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x +y -5)+λ(x -2y )=0，即(2+λ)x +(1-2λ)y -5=0， 221055(2)(1)λλλ+-++-=3.即2λ2-5λ+2=0，∴λ=2或12. ∴l 方程为x =2或4x-3y -5=0.(2)由250,20,x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max =|PA 10。
直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式教案引言几何学中的直线是一条无限延伸的连续曲线。
当两条直线相交时，它们会在某一点上相交，这个点被称为交点。
在几何学中，我们常常需要计算直线的交点坐标和直线之间的距离。
本教案将介绍计算直线交点坐标和距离的公式。
一、直线的交点坐标公式当给定两条直线的方程式时，我们可以使用消元法或代入法来求解它们的交点坐标。
下面是两种常用的情况：1.1 垂直直线如果两条直线的斜率乘积为 -1，那么它们是垂直直线。
垂直直线的交点坐标可以通过以下公式来求解：假设第一条直线的方程为y = m1x + c1，第二条直线的方程为y = m2x + c2，其中 m1 和 m2 分别是两条直线的斜率，c1 和 c2 是它们在 y 轴上的截距。
则交点的 x 坐标可以计算为：x = (c2 - c1) / (m1 - m2)。
将 x 的值代入任意一条直线的方程，可以计算出交点的 y 坐标。
1.2 平行直线如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行直线。
平行直线之间没有交点。
二、直线之间的距离公式直线之间的距离可以通过以下公式来计算：假设给定直线的方程为Ax + By + C = 0。
则点 (x0, y0) 到该直线的距离可以计算为：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
其中 |z| 表示取 z 的绝对值，sqrt(z) 表示求 z 的平方根。
三、实例演练3.1 求解两条直线的交点坐标给定两条直线的方程如下：直线 1: y = 2x + 3直线 2: y = -3x + 4分别计算两条直线的斜率和截距：直线 1 的斜率和截距分别为 m1 = 2，c1 = 3。
直线 2 的斜率和截距分别为 m2 = -3，c2 = 4。
计算交点的 x 坐标：x = (c2 - c1) / (m1 - m2) = (4 - 3) / (2 - (-3)) = 1/5将 x = 1/5 代入其中一条直线的方程，计算交点的 y 坐标：y = 2x + 3 = 2 * (1/5) + 3 = 13/5所以两条直线的交点坐标为 (1/5, 13/5)。
直线的交点坐标与距离公式(讲义)
直线的交点坐标与距离公式（讲义）➢ 知识点睛一、两条直线的交点坐标二、对于方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0：当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点，这个点是__________________与_________________的交点．三、距离公式 1. 两点间的距离如图1，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式：12||PP=．2. 点到直线的距离（1）如图2，点P 0(x 0，y 0)到直线Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离：d =．图1 图2（2）使用点到直线的距离公式的前提条件：把直线方程化为一般式方程．3.两条平行直线间的距离（1）两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为：d=．➢ 精讲精练1. 已知直线l 1：Ax +3y +C=0，l 2：2x -3y +4=0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C的值为_____________．2. 已知点M (0，-1)，若点N 在直线x -y +1=0上，且直线MN 垂直于直线则N 点的坐标为（ ）A ．(-2，-1)B ．(2，3)C ．(2，1)D ．(-2，1)3. （1）直线(2k -1)x -(k +3)y -(k -11)=0（k ∈R ）所经过的定点是____________．（2）不论m 取任何实数，直线(3m +2)x -(2m -1)y +5m +1=0必过定点_____________．4. （1）已知点A (5，12)，若点P 在x 轴上，且|P A |=13，则点P到原点的距离为_____________．（2）若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，则 x +y =_____________．5. 点(-3，6)到直线y =3x 的距离为_________，到直线4x -3y +2=0的距离为_________，到直线134x y+=的距离为_________．6.已知点()+=x yM a b，在直线3415是_________．7.到直线3x-4y+5=0与5x-12y+13=0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（）A．x-4y+4=0 B．7x+4y=0C．x-4y+4=0或4x-8y+9=0 D．7x+4y=0或32x-56y+65=08.①两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是______________．②直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则两直线之间的距离为______________．9.①到直线3x-4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程为______________________________．②已知两条平行线3x+2y-6=0与6x+4y-3=0，则与它们等距离的平行线的方程为___________________．10.求函数y 的最小值．11. 直线1l 过点A (0，1)，l 2过点B (5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2求l 1，l 2的方程．12.已知正方形的中心为点M(-1，0)，一条边所在直线的方程为x+3y-5=0，求正方形其他三边所在的直线的方程．【参考答案】 ➢ 知识点睛二、11122200A x B y C A x B y C ++=++=，➢ 精讲精练1. -42. B3. （1）(2，3)；（2）(-1，1)4. （1）0或10；（2）75.28655， 6. 3 7. D8.；②209. ①34160x y -+=或34140x y --= ②128150x y +-=10.11. 12:0:5l x l x ==，或12:12550:125600l x y l x y -+=--=， 12. 370390330x y x y x y ++=-+=--=，，直线的交点坐标与距离公式（随堂测试）1. 方程(14)(23)(214)0k x k y k +--+-=所确定的直线必经过点___________．2. 若经过点(2，1)的直线l 到A (1，1)，B (3，5)两点的距离相等，则直线l 的方程为____________________．3. 若两条平行直线l 1：x -2y +m =0（0m >）与l 2：x +ny -3=0则m +n =___________．【参考答案】1.(2，2)2.x=2或2x-y-3=03. 2。
直线的交点坐标与距离公式的教案
直线的交点坐标与距离公式的教案引言直线是几何学中的基本概念之一，研究直线的特性和交点坐标是几何学的重要内容之一。
了解直线的交点坐标和距离公式有助于学生更好地理解几何学中的相关概念和解题方法。
本教案将介绍直线的交点坐标和距离公式，并提供几个例题进行讲解。
一、直线的交点坐标公式两条直线的交点坐标可以通过联立直线的方程求解。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一元一次方程表示，形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
当两条直线相交时，可将两个方程联立，解出 x 和 y 的值，得到交点的坐标。
例如，给定直线 L1：y = 2x + 1 和直线 L2：y = -3x + 4。
要求求出它们的交点坐标。
解法如下： 1. 将直线方程联立，得到 2x + 1 = -3x + 4。
2. 将方程两边整理，得到 5x = 3，进而得到 x = 3/5。
3. 将 x 的值带入其中一个方程，得到 y = 2(3/5) + 1，进而得到 y = 13/5。
4. 因此，两条直线的交点坐标为 (3/5, 13/5)。
二、直线间的距离公式直线间的距离是指两条直线之间的最短距离，也可以称为垂直距离。
直线间的距离可以通过求解两条直线的垂直距离得到。
设有一条直线 L1 的一般方程为 Ax + By + C1 = 0，另一条直线 L2 的一般方程为Dx + Ey + C2 = 0。
直线 L1 和直线 L2 之间的距离可以通过以下公式求解：d = |(C2 - C1)/√(A^2 + B^2)|其中，|x| 表示取 x 的绝对值。
例如，给定直线 L1：2x - 3y + 4 = 0 和直线 L2：3x - 4y - 5 = 0。
要求求出它们之间的距离。
解法如下： 1. 根据直线一般方程，得到 A = 2，B = -3，C1 = 4，D = 3，E = -4，C2 = -5。
2. 将这些值代入距离公式，得到 d = |(-5 - 4)/√(2^2 + (-3)^2)|。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的一般式方程分别为：Ax + By = C 和 Dx + Ey = F
将两个方程相减或相加，得到一个一元一次方程，解得交点的x或y坐标
将得到的x或y坐标代入任意一个原方程，解得另一个坐标
得到交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)
特殊情况的处理
两条直线平行的情况：此时它们的交点坐标为无穷远点，即坐标为(∞, ∞)。
公式推导过程中涉及到的数学知识点包括向量、三角函数和代数运算
距离公式的应用场景
计算线段的中点坐标
计算两点间的距离
判断点与线之间的距离
计算多边形的面积
距离公式的几何意义
公式适用于平面和三维空间中的两点距离计算
几何意义是将两点的距离量化为一个数值
公式中的平方和表示线段的平方长度
两点间的距离公式是连接两点的线段的长度
公式中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别表示两点的坐标
公式表示点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离
公式可用于计算任意两点间的距离
两点间距离公式的推导
两点间距离公式推导的起始点是欧几里得几何的基本假设
通过勾股定理和三角函数推导出两点间距离公式
公式形式为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
两条直线垂直的情况：此时它们的交点坐标为原点(0, 0)。
两条直线重合的情况：此时它们的交点坐标为无穷多个，即任意坐标点。
两条直线相切的情况：此时它们的交点坐标为切点，需要根据具体情况计算。
03
两点间的距离公式
点坐标的表示方法
两点间的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
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利用求交点坐标的方法，能否判断两条 直线的位置关系？
将两条直线的方程联立 A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
方程组有唯一解 方程组无解 方程组有无数解
两条直线相交
两条直线平行
两条直线重合
例1：判断下列直线的位置关系。 如果相交，求出交点的坐标
两点间距离公式
y
y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1) x1 Q(x2,y1) x2
O
x
| PQ 1 || x2 x1 |
两点间距离公式
y
| PQ 1 || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1 |
P1(x1,y1) O
x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0 2+λ ∴ － ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ－1 因此，所求直线方程为3x－y－10=0
3x 4 y 4 0 l2 : 6 x 2 y 1 0
b1 b2
3 k1 k2 4
所以l1//l2
另一方面
3x 4 y 4 0 6x 2 y 1 0
所以l1//l2
无解 直线l1与l2的无交点
（ 3）
l1 : 3x 4 y 5 0 l2 : 6x 8 y 10 0 l2 : 3x 4 y 5 0
解析几何
3.3.1两条直线交点坐标
复习提问： 1.设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，在什 么条件下有l1//l2？
AB 1 2 A2 B1 0, 且A1C 2 A2C 1 0(或B1C 2 B2C 1 0)
2.设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，在什 么条件下有l1⊥l2？ A1A2+B1B2=0
（ 1）
l1 : x y 0
k1 k2
l2 : 3x 3 y 10 0
解：解方程组
l1和l2相交
得
x y 0 3x 3 y 10 0
5 x 3 y 5 3
5 5 直线l1与l2的交点是 M ( , ) 3 3
（2） l1 : 解：
练习：课本109页 2， 3
直线上的点
y
l
2x y 3 0
(1)点（ 1， 5）在直线上吗？ (2)点（2， 7）在直线上吗？ (3)点（3， 8）在直线上吗？
P(x,y) x
直线的方程就是直线上每一点坐标满足 的一个关系式
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
7 5 , 2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
o
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
直线系方程的定义
直线系： 具有某种共同性质的所有 直线的集合. 它的方程叫直线系方程。
直线系方程的应用:
解法一：解方程组
练习1：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
7 5 故直线恒过 , 2 2
练习2. 求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2：令m=1，m= -3代入方程，得： 7 x 4 y 10 0 2 解得： y 5 4x 14 0 2 又因为: 2.5(m-1)- 3.5(m+3)-(m-11)=0 所以直线恒过定点
几何元素 及关系
代数表示 P（a，b） 方程:Ax+By+c=0
点P的坐标满足方程：Aa+Bb+C=0 点P的坐标满足方程组： 即是其解
点P 直线l
点P在直线l上
直线l1与l2 的交点是P
A2 x B2 y C2 0
A1 x B1 y C1 0
结论：求两条直线交点坐标就是求解相应的联立方程组。
直线l1与l2重合
例2：求直线3x+4y－2=0和2x+y+2=0的交点M的坐标， 并证明方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0（λ为任意 常数）表示过M点的所有直线（不包括直线 y 2x+y+2=0）。
3x+4y－2=0
证明：联立方程
2x+y+2=0
M(-2, 2) x
x=-2
解得： y= 2 代入：3x+4y－2+λ（2x+y+2）= 0 即 M（-2，2）
2
Q(x2,y1) x
2
| PP ( x2 x1 ) ( y2 y 1 ) 1 2 |
两点间距离公式
y
|x|
P (x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OP | x y
2
2
数形结合
直线系方程的应用:
练习2. 求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法1： 将方程变为：
x 3y 11 m(x y 1) 0
解得： x 3y 11 0
x y 1 0
即：
7 x 2 y 5 2