【复变函数】 史上最全ppt 上

的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 .
记为Ｕ(z0 ,δ) (U (z0 , ))即，
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
y
P(x,y)
z r

o
x
x
15
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定.
n r (cos 2k i sin 2k )
n
n
38
当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现.
几何上，n z 的n个值是 以原点为中心，n r 为半
1 y
1 i
径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周
2
82
0
的正n边形的n个顶点. 2
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
棣模佛(De Moivre)公式.
zn

1 zn
.
由定义得 z n r nein
37
3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1
z z 2i Im(z)
z2 z2
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1z z | z |2
11
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
3
3
即0

1, 1


1 2

3 2
i, 2


1 2

3 i.
2
40
§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
41
1. 区域的概念
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
10
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
2
2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
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定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差.
证明设 z1 r1ei1 , z2 r2ei2，z1 0， 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵|z||z1|=|z2| 及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
4
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
解 : z1 5 5i 7 i z2 3 4i 5
例2 : 求
1 i 4
1i
1i i 1 i
12
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
13
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则
arctan y
2
x2
17
18
19
20
由向量表示法知
y
(z)
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
z2
z2 z1 z2 z1
3. 三角表示法
由
x y

r r
cos sin
得
z r(cos i sin )
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几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.
y
(z)
z1z2
z2 2
z1
2 1
o
x
定理1可推广到n 个复数的乘积.
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注意： Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个 数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同 的, 也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和 它相等，并且反过来也一样。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2)
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义.
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2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,
o
x
4. 指数表示法
再由Euler公式 :
ei cos i sin得
z rei
21
22
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.
例1 用复数方程表示: y
(z)
（1）过两点 zj=xj+iyj L z1 z
o
x
如 k 4 1 i
2k
2k
3
8 2(cos 4
i sin 4
) (k 0,1,2,3（) 见图）
4
4
39
例2 : 求 3 1
解 : 1 cos 0 i sin0
3 1 cos 0 2k i sin 0 2k , (k 0,1,2).
Re(iz) 3
Re(i z) y
O
x
2 (0, -1)
y3 故 Re(i z) 3图 形 为 平行于实轴的直线
24
25
注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.
例3. 求 (1) 1 i (2) i (3) 3 (4) 1
3i 2
的模, 辐角及辐角主值.
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•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流 体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.
o
x
解 （1） z=z1+t (z2-z1)
（-∞<t <+∞）
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例2 方程 Re(i zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 表示
(2) z (i) 2
什么图形？
解设 z x iy
y (z)
i z i( x iy)
y ix
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
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2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
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例1.设z1 1, z2 i,则 z1z2 i
Argz1 2m m 0, 1, 2,
Argz2


2

2n
n 0, 1, 2,
Arg ( z1 z2
)


2

2k
k 0, 1, 2,
代入上式 3 2m n 2k
6
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
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1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
复变函数与积分变换（B）
教材 《复变函数》(四版)
清华大学 数学教研室 编
2013-2014学年第一学期
1
2013年9月3日
第一章 复数与复变函数
2
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅立叶变换和拉普 拉斯变换等
Argz=Argz2-Argz1
即 z z2 r e 2 i(2 1 ) z1 r1
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2.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，
记作z n，即z n=zzz（共n个）.
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ.
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2

x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
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•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
例4. 求 (1) e2i (2) 3ei 的模,辐角.
例5.
将z


sin
i cos
化 为 三 角 形 式 与 指 数 形式.
5
5
26
2013年9月4日
27
28
29
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§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根
31
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.
计算
argz(z≠0) 的公式



arg
z


arctan y x
2
arctan
y x



x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
16
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
复数ω. 当z≠0时，有n个不同的ω值与 n z 相对应，每一
个这样的ω值都称为z 的n次方根，记 n z
设 e i ,由 n z, 有 ne in re i
n r, n 2k (k Z )


n
z

n
i 2k
re n
(k 0,1,2, , n 1)