离散型随机变量

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概率论与数理统计之离散型随机变量

n
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就能以95%的概率保证下个月该种商品不会脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里试验

离散型随机变量

P X k a
例1 设随机变量 X 分布律为, 0 为常数，试确定 a .

k
( k 0,1, 2, )
k!
例2 用随机变量描述将一枚硬币连抛三次的试验结果，并写出这个随机变量的分布律和分布函数.
5
二常见的离散型随机变量的分布 1 （0-1 ）分布如随机变量 X 的分布律为
n 1 n 1 k n 1 n k
1
(1 p ) C n k 1 p (1 p ) , k 0,1, 2,
23
例10解设 X :一年中死亡人数， : 参保人在一年内死 A 亡 P ( A ) 0.002 则 X ~ B (2500, 0.002) ,
P X k Pn ( k ) C n p n q n
k k nk
, (qn 1 p )
k
P X k lim C n p n q n
k k n
nk
lim
n
n ( n 1)...( n k 1) 1 k! n n
20
例7解事件 T

t
在长为t的时间内没有发生故障
(t ) 0!
N ( t )
0 从而
0
P {T t } P N (t ) 0
e
t
e
t
由此得 T 的分布函数为
1 e t , t 0 F (t ) 0, t 0
4
2 分布律的性质
(1) (2)
(3)
pk 0, pk 1
k 1

F (x)
xk x

离散型随机变量

证设Ai表示"第i次试验中事件A发生", 则
P( Ai ) = p , P( Ai ) = 1 p , 假设事件 A 在前 k 次试验中发生, 后 n k 次试
验中 A 发生 , 有
P A1 A2 L Ak Ak+1 L An
k
n
= P( Ai ) P( Ai ) = pk (1 p)nk
例2.1从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件一件地抽取产品, 每次取出一件产品后总将一件合格品放回该批产品中, 直到取出合格品为止, 求抽取次数的分布律 . 解设 X 表示“抽取次数”，它的可能取值是1,2,3,4 ,
而取每个值的概率为
P X = 1 = 10 ,
13
P X = 2 = 3 g11 = 33
• 或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4. • 以p=1/2代入得
X0 1
2
3
4
P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例: 设随机变量 X 具有分布律
P(X k) ak, k 1,2,3,4,5
（1）确定常数
a
,（2）计算
P(
解
(1)
P( X
3)
P( X
3)
P( X
4)
k 3
5k k!
e5
k 4
5k k!
e -5
0.875348 0.734974 0.140374
(2) P( X 10) 1 P( X 11) 1 5k e5 1 0.013695 0.986305
k 11 k!
(1) p ( xi ) ≥0, (i =1, 2 ,… );

3.2 离散型随机变量

1、已知分布律，求分布函数※
例3：已知X的分布律，
求 X 的分布函数。
X p Pk
1 1 4
2 1 2
3 1 8
4 1 8
F ( x) P( X x)
x 1 0, P X 1 1 , 1 x 2 4 P X 1 P X 2 3 2 x3 4 P X 1 P X 2 P X 3 7 3 x 4 8 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 1 4 x
例2：某人的手枪里有5发子弹，他向一个目标独立地射击，直到首次击中才停止射击。已知每发子弹命中目标的概率为0.6，求消耗子弹数X的分布律。
已知离散型随机变量的分布律, 求出随机事件的概率. 练习：设随机变量 X 的分布律为
求P
X 2 , P 0 X 5/ 2, P 1 X 3
例如，袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个, 以Y表示3个球中的最大号码,则Y服从超几何分布。
本节小结：
知识点与基本要求：（1）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握离散型随机变量的分布律的性质；（2）理解四种常见分布的实际意义，掌握四种分布(两点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布)及其应用；（3）理解泊松定理的结论和应用条件，了解应用泊松分布近似表示二项分布；教学重点：离散型随机变量的分布律性质，四种常见分布的分布律及其应用；教学难点：四种常见分布的分布律及其应用。
2、二项分布
设X表示n重伯努利试验中事件A发生的总次数.
X的分布律为
P( X k ) C p (1 p)
k n k
n k

离散性随机变量的概念

离散性随机变量的概念知识归纳1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做随机变量． 2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的分布列．X 的分布列也可简记为：P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n .(2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．3．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1,如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B∪C |A )＝5．事件的独立性设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立．4．条件概率一般地，设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(2)如果A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，即事件A 的发生与否不影响事件B 的发生． (3)对于n 个事件A 1、A 2、…、A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件的影响，则这n 个事件A 1、A 2、…、A n 相互独立．如果A 1、A 2、…、A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝6．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响．(2)一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率都为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为则称随机变量X 服从参数为n 、P 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．7．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．误区警示1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行．第二：各次试验中的条件是相互独立的．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等．P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，(其中m 是M ，n 中的最小值，n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *)．称分布列一、解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等．第三步，运用公式求概率1、写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)小明要去北京旅游，可能乘火车、乘汽车，也可能乘飞机，旅费分别为100元、60元和600元，将他的旅费记为ξ；(2)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ； (3)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(4)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)． 2、 (09·广东)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，，则a ＝______，b ＝______.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝ ( )A.1225B.2325C.1350D.4625古典概型P (A )＝mn ；互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )；独立事件P (AB )＝P (A )P (B )；n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k.3 一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分、数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．4 从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．5某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．6 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取1件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．7设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．8(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望E (ξ)．9．(2010·甘肃省质检)某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( ) A ．ab －a －b ＋1 B ．1－a －b C ．1－ab D ．1－2ab10．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.9211．(2010·福建福州)在研究性学习的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H，I，J，K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．(1)求甲、乙两人同时承担H任务的概率；(2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(3)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．12．(2010·云南统考)某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．13．(2010·河北唐山)已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．14．(2010·浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E(ξ)．15．(2010·河南调研)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛进行完七局的概率；(3)记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．。

离散型随机变量

1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1n
p i ＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，
m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有下表形式，。

名词解释离散型随机变量

名词解释离散型随机变量
离散型随机变量是指具有有限个值或有限个可能结果中出现的一种变量，它们
具有离散取值，而不是连续变化。

离散型随机变量既可以是定义在连续变量上的变量，也可以是由其他连续随机变量（如随机变量）组成的变量。

离散型随机变量的应用可以追溯到19世纪的统计学家，他们把随机变量分为
连续型变量和离散型变量，以描述发生在概率范畴里的一些事件。

离散型随机变量是一个很强大的数学概念，已被广泛应用于各种科学领域，其中包括金融、经济学、生物统计学等。

离散型随机变量在统计学中可被描述为某一实验，其值依赖于可能观测到的值，本质上是一种概率分布。

它们利用概率论来表示实验结果的不确定性，可用于估计一种实验事件发生的概率。

更重要的是，它可以用来推断概率分布的特性，如正态分布、对数正态分布等，并估计其概率密度函数的参数值。

离散随机变量的另一个重要应用是描述实验结果的统计特性。

比如，使用它们
可以表示实验组与控制组之间的统计频数，识别两者之间的差异，也可以表示实验组间统计频数之间的相关性，同时绘制实验结果的直方图，使用者可清晰地观察不同状态的变化。

离散型随机变量在相关研究中的作用也受到了人们的广泛关注。

它可以用于识
别某一变量和另一个变量之间的相关性，以及可能的关系，这常常可简化研究者在实验中的观察结果，为深入的研究提供必要的信息。

总之，离散型随机变量具有深远的影响力，它们可以用来描述实验结果的统计
特性，估计概率分布的参数，识别不同变量之间的相关性等，因此离散型随机变量当今全球社会中受到的人们的广泛关注和广泛使用，在不断提升社会生活水平的过程中扮演着重要角色。

2.2(离散型随机变量)

2.2.2 注意: 注意
常用离散型分布伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，
但有下述要求：但有下述要求： (1) 每次试验条件相同；每次试验条件相同； (2) 每次试验只考虑两个互逆结果或每次试验只考虑两个互逆结果A或 P(A)=p ， P( A ) = 1− p (3) 各次试验相互独立各次试验相互独立.
k lim Cn p k (1 − p ) n− k = n→ ∞
λk
k!
e −λ
2.2.2
常用离散型分布
定理的条件np = λ（常数）意味着当很大时必常数）意味着当n很大时很大时p必定理的条件定很小．因此，很大p很小定很小．因此，当n很大很小，有下面近似计算公很大很小，式 k ( np) − np k k n− k Cn p (1 − p ) ≈ e , k = 0,1, 2, ⋯ k! 该公式说明，在对二项分布B(n， p)计算概率该公式说明，在对二项分布，计算概率时，如果n很大很小，可以由参数为λ = np的泊松如果很大p很小，的泊松很大很小分布的概率值来近似．分布的概率值来近似．
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验 , 检查 20 只元件相当于做 20 重伯努利试验 .
2.2.2
常用离散型分布
解以 X 记 20 只元件中一级品的只数 ,
则 X ~ B( 20, 0.2),
因此所求概率为
20 P { X = k } = (0.2)k (0.8)20− k , k = 0, 1,⋯, 20. k
2.2.1
离散型随机变量及其分布律
定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全是一个离散型随机变量，定义是一个离散型随机变量的全部可能取值为x 部可能取值为 1 ， x2 ， …，xn ， …，则称取 xi 的，，则称X取概率P{X = xi} = pi，i = 1，2，…为X的概率分布或概率，，为的概率分布或简称分布律也可以称为概率函数分布律，概率函数．简称分布律，也可以称为概率函数． X的分布律也可用如下的表格形式来表示：的分布律也可用如下的表格形式来表示：的分布律也可用如下的表格形式来表示

名词解释离散型随机变量

名词解释离散型随机变量离散型随机变量是指其概率密度服从均匀分布的随机变量。

离散型随机变量的概率密度与数学期望的计算方法有所不同，下面仅就离散型随机变量求数学期望的计算公式进行解释。

(1)二项式定理：设X是一个n维连续型随机向量，当n→∞时，用(X(t)=p(X(t))X(0)))dt 求出其概率密度。

(2)拉普拉斯变换：设X是一个n维连续型随机向量，用拉氏变换的一般形式求出它在一点P的概率密度，然后把这一点P看作新点，记为p(X(P))。

(3)特征函数法：设X是一个n维连续型随机向量，通过它对某个有限值的极限运算而获得的函数F(X)。

离散型随机变量可以分为离散型连续型随机变量，离散型单峰型随机变量和离散型多峰型随机变量。

例如，与X(t)=f(X(t))，有关的问题是：离散型随机变量X(t)=f(X(t))X(0)))dt是否有确定的数学期望值？离散型随机变量离散型随机变量的几个基本性质(1)离散型随机变量可化为与x轴平行的直线，即离散型随机变量X(t)=(f(X(t))X(t))中， f(X(t))是一个常数，当x→∞时，只要有f(X(t))存在， X(t)X(0)))dt也存在，但这两个函数不一定相等。

(2)离散型随机变量x →∞时，其数学期望等于概率密度。

(3)离散型随机变量具有离散型随机变量的全部性质。

(4)离散型随机变量总体上是均匀分布的。

(5)离散型随机变量的概率密度是连续的，也就是说，对任意取值，都有X(t)=f(X(t))X(0)))dt。

二项式定理表明：离散型随机变量可以用两种不同方法求数学期望：(1)用二项式定理；(2)利用拉普拉斯变换。

离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望计算公式为：离散型随机变量的期望公式设X是一个n维连续型随机向量，令G(X)= a X(t)dt(2)，即对X(t)g(X(t))，通过求一次差分dx(t)，使其在x→∞时，一般地， X(t)g(X(t))dt(2)，当x→∞时，若g(X(t))存在，则X(t)g(X(t))dt也存在，并且两者的符号相同。

离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量和连续型随机变量
1 离散型随机变量
离散型随机变量是指取值是定义在有限或者可数集上的随机变量，它的概率分布在若干个确定的可能值上，每个可能值都有精确的概率，比如投掷一枚硬币的正反面的结果：正面和反面就是一个离散型随机
变量，投掷有其中一面时出现的概率都是0.5。

2 连续型随机变量
连续型随机变量是指取值可以是一个连续的集合上的随机变量，
它的概率分布在一个连续的区域内，而且可以无限趋近于它任何一点，例如将一米尺子上每一分厘米上的数量作为变量，每一个取值分布的
概率都是相等的，即是0.01，那么这个变量就是一个连续变量。

离散型随机变量和连续型随机变量是概率论和数理统计中重要的
概念，它们都是包含了获取一组数据的概率性质，都有自己的概率分布，他们的遵循的概率规则是不同的。

离散型随机变量的取值是有限个或者是可数的，可以通过平均纳
入数据来分析，而且每一个可能值都有精确的概率出现，比如投掷硬币、筛子等都属于离散型随机变量。

连续型随机变量的取值多为连续的，而且概率分布是分布在一个连续的区域内，它的取值有一定的分
布规律，并且可以无限趋近于任何一点，用正态分布和卡方分布等来
描述，现实中的温度、物体的质量等都是连续随机变量。

离散型随机变量的概念

数跳越值为相应概率值
例4：已知 X 的分布函数：
0,
F(x)
0.2, 0.5,
1,
解：
x-1 -1x0 0 x2 2 x
求 X分布律.
X -1 0 2 P{X=xi} 0.2 0.3 0.5
例2 : 同时抛掷两颗骰子,观察它们出现的点数,求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布. 解:设两颗骰子中出现最大点数为X,则X的可能取值为:1,2,3,4,5,6 基本事件总数: 36
{X=1}包含1个基本事件 {X=k}包含2k-1个基本事件
X的分布律为
X
1
2
3
4
5
6
p 1/36 1/12 5/36 7/36 1/4 11/36
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
第1 章
知识点名称：离散型随机变量的概念主讲人：杨宇明
第二节离散型随机变量
一. 离散型随机变量的分布律定义：如果随机变量X 至多取可列无穷个数值：x1,
x2, … ,称X 是离散型随机变量.
称pi = P{X = xi }，i = 1,2,…为X 的分布律。
对于离散型随机变量X 从而，由概率可加性得其分布函数为
例3：已知 X 的分布律如下
X 01 P{X=xi} 1-p p
求 X 的分布函数.
解：
0, F(x) 1-p,
1,
x0 0x1 x1
离散型随机变量分布函数具有特点
(1) F(x)是单调不降的阶梯函数; (2) 在定义域内每一点满足右连续; (3) 函数间断点为X的可能取值点，函
解：事件{ X = k }相当于第k 次检查到的产品必为不合格品，而前k – 1 次检查中查出4 件不合格品。

离散型随机变量

当 x1 x x2 时 F(x) P{X x} P{X x1} p1
当 x2 x x3 时
F(x) P{X x} P{X x1} P{X x2} p1 p2

当 xn1 x xn 时
F(x) P{X x} P{X x1} P{X x2} P{X xn1} p1 p2 pn1
例3：设离散型随机变量 X 的概率分布如表：
X 1
34Leabharlann 5Pcc2c
试求：⑴ 常数 c 的值； ⑵ 概率P{X 1}
⑶分布函数并作图
解：（1）由：c c 2c 1 c 1/ 4 （2）P{X 1} P{X 1} 1/ 4
（3）首先将分布函数的定义域划分为下述区间：
15/16
1
x0 0 x 1 1 x 2 2 x3 3 x4 x4
二、几种常见的离散型分布
1、0—1分布（两点分布）
两点分布是最简单的一种分布，它用来描述只有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等，都属于两点分布.
定义：若随机变量X 只可能取1和0两个值，即分布律为：
一、离散型随机变量及其分布律
1、定义
对于随机变量 X ，如果它只可能取有限个或可列无穷个值，则称 X 为离散型随机变量.
2、概率分布或分布律
对于随机变量X的所有可能取值xi , i 1,2, ，称
P{X xi} pi i 1,2,
为离散型随机变量X的概率分布或分布律，其中 pi
X

0 1
“A不发生” “A发生”
于是X服从0—1分布. 记为 X ~ B(1, p)

常见的离散型随机变量

分布列．
第二章第四节常见的离散型随机变量
16
Poisson分布的应用
Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．
例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．
可用 Poisson 分布近似计算．
令 np 600 0.012 7.2 ，则有
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
1 7.20 e7.2 7.21 e7.2 7.22 e7.2 0.9745
0!
1!
2!
第二章第四节常见的离散型随机变量
28
12
例 3（续）
由于 n 1p 300 1 0.44 132.44 不是整数，
所以最可能的射击命中次数
k0 n 1p 132 .44 132 ．其相应的概率为
PX k0 PX 132
C 132 300
0.44132
0.56168
0.04636
第二章第四节常见的离散型随机变量
第二章第四节常见的离散型随机变量
17
例4
设随机变量 X 服从参数为的 Poisson 分布，而且
PX 1 PX 2，试求 PX 4．
解：
由于随机变量 X 服从参数为的 Poisson 分布，故 X
的分布列为
PX k k e
k!
k 0, 1, 2, 3, , n,
第二章第四节常见的离散型随机变量

离散型随机变量

P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
泊松资料
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,
他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子
数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
1.
0, x 0,
得
F
(
x)
1 2
,
0 x 1,
1, x 1.
二、常见离散型随机变量及其概率分布
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(X C) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~b(1,p) 说明：两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽
P{公司亏本} 1 14 e5 5k 0.0002

离散型随机变量

离散型随机变量离散型随机变量是概率论中的一个重要概念，它是指随机变量取值为有限个或可数个的情况。

对于离散型随机变量，我们可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述其取值与相应概率的关系。

下面将对离散型随机变量的定义、特点以及常见的离散型随机变量进行介绍。

一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指其取值为有限个或可数个的随机变量。

具体来说，对于一维离散型随机变量X，其取值集合可以表示为{X1, X2,X3, ... , Xn}，而不是一个连续的区间。

离散型随机变量的特点是，它的每个取值都有一个概率与之相对应，即P(X = Xi)。

这意味着我们可以通过概率质量函数（PMF）来描述离散型随机变量的取值与相应概率的对应关系。

二、离散型随机变量的特点离散型随机变量有几个重要特点，包括有限性、不连续性、可数性和非负性。

1. 有限性：离散型随机变量的取值集合是有限个或可数个，即有限可数。

这与连续型随机变量不同，后者的取值集合是无限个且无法一一列举。

2. 不连续性：离散型随机变量的取值是离散的，即不存在取任意实数的情况。

相应地，其概率质量函数在取值点之间可以是零，而在取值点上为正。

3. 可数性：离散型随机变量的取值集合是可数的，即可以用自然数进行一一对应。

这也意味着我们可以将概率质量函数表示为一个概率分布列。

4. 非负性：离散型随机变量的概率质量函数的取值是非负的，即P(X = Xi) ≥ 0。

这是因为概率是一个非负实数。

三、常见的在概率论与数理统计中，有一些常见的离散型随机变量。

下面将介绍几个常见的离散型随机变量以及它们对应的概率分布。

1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利变量是最简单的离散型随机变量之一，其概率分布只有两个取值。

伯努利分布常用于表示一次试验只有两个可能结果的情况，如抛硬币、赛马比赛等。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种重要的离散型随机变量，它描述了一系列相互独立的伯努利试验中成功次数的分布情况。

2.2离散型随机变量

用 ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数；
场合
④ 某地区发生的交通事故的次数.
⑤ 放射性物质发出的粒子数；
⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；

30 September 2019
概率统计教研室
2.2 离散型随机变量
第29页
例设某地区每年发表有关“利用圆规与直尺三
2.2 离散型随机变量
第27页
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
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概率统计教研室
2.2 离散型随机变量
第28页
在某个时段内：
应
① 大卖场的顾客数； ② 市级医院急诊病人数；

xn pn

(4) 图形: 在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相应概率值的线段。
P{X k}
O 123 4
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x
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2.2 离散型随机变量
第6页
分布律的形象化解释
设想有一单位质量的物质(如一克面粉),被分配在
随机变量X的所有可能取值
2.2 离散型随机变量
第1页
第二节离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、小结
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2.2 离散型随机变量
第2页
一、离散型随机变量的分布律
定义设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为

离散随机变量名词解释

离散随机变量名词解释从概率论的角度看，离散型随机变量可分为两大类：第一类是连续型随机变量，即服从正态分布;另一类是离散型随机变量，即服从正态分布或t分布。

下面就是有关这些随机变量的名词解释：1。

离散型随机变量假设对于服从标准正态分布，且均值为1的离散型随机变量X，随机变量的样本均值，即样本均值P(x)通常称为均值或均值函数。

如果设定x(t)为自变量，记作X(t)，则相应的随机变量称为X的函数，记作X。

在统计学中，用Y表示X的函数，是经常采用的简便写法，或者在数学上， Y= X，也能得到统一的结果。

在正态分布理论中，通常假定随机变量的形式服从正态分布，即相应的自变量和因变量均服从正态分布。

1。

离散型随机变量假定变量取值范围为[-1， 1]，而统计上又希望在某一区间([0，1])X(t)的置信水平为1/2时，就说这个变量是离散型随机变量，以下列举了几个例子：(1)样本期望与总体期望；(2)样本方差与总体方差；(3)抽样分布。

从统计学观点出发，所谓离散型随机变量X是指：(1)取值介于[-1， 1]；(2)其概率密度函数为f(x)；(3)服从正态分布或t分布。

2。

离散型随机变量样本的方差与总体方差的比称之为“方差齐性”，若该比值超过100%，说明所考察的变量属于随机变量的离散型随机变量，反之则为连续型随机变量。

这个名词来源于经验，也就是对于总体方差的估计不必事先知道它的绝对值。

在对一个随机变量进行分析时，最好能预测未知参数的值，这就需要假定随机变量服从正态分布或t分布。

当然，也可以把数据分成若干组，每一组对应于某种特定的概率分布，例如按分组资料、非正态总体等等。

这样，就可以用样本方差估计总体方差，而这两个估计值是相等的。

1。

离散型随机变量假定随机变量x，它的总体分布为f(x)时，称之为已知分布，当存在未知分布时，可以先求出它的一个近似分布，将此近似分布代入公式求出。

这样所确定的分布称之为待定分布，可以用待定分布表示所研究的随机变量的数值。

离散型随机变量

离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）是概率论中的重要概念，指的是在一系列离散值中取值的随机变量。

与连续型随机变量不同，离散型随机变量的取值是有限或可数的。

离散型随机变量在很多实际问题中都有广泛的应用，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。

在这些问题中，变量的取值只能是确定的几个值，并且每个值的出现概率也可以通过统计得到。

离散型随机变量的特征可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。

PMF给出了随机变量取某个值的概率，通常表示为P(X=x)，其中X代表随机变量，x代表其取值。

如果将所有可能的取值及其对应的概率列出来，就得到了离散型随机变量的概率分布表。

举个例子来说明离散型随机变量。

假设我们有一个骰子，骰子有六个面，上面分别标有1到6的数字。

我们掷骰子100次，记录每次掷骰子的点数。

这里的随机变量就是骰子的点数，取值范围为1到6。

通过统计，我们可以得到每个点数出现的次数及其概率。

对于离散型随机变量，我们还可以计算其期望值（Expectation）和方差（Variance）。

期望值表示随机变量的平均值，可以用来描述其集中趋势；方差表示随机变量取值的波动程度，可以用来描述其离散程度。

离散型随机变量在实际问题中的应用非常广泛。

比如在金融领域，股票价格的涨跌、汇率的波动等都可以视为离散型随机变量；在工程领域，电路中的信号传输、网络中的数据包传输等也可以视为离散型随机变量。

总结起来，离散型随机变量是概率论中的重要概念，用来描述在一系列离散值中取值的随机变量。

它可以通过概率质量函数来描述其概率分布，通过期望值和方差来描述其特征。

离散型随机变量在实际问题中有广泛的应用，是概率论和统计学的基础知识之一。

通过了解和掌握离散型随机变量的概念和特征，我们可以更好地理解和分析概率问题，并在实际应用中做出准确的决策和预测。