专题突破练4从审题中寻找解题思路2021届高考全国通用理科数学二轮复习

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2021年高考数学二轮专题突破(新高考)-专题六第3讲母题突破4 探索性问题(解析版)

即－(m－1)· ＝－2k· ，解得m＝2，
∴存在定点Q(0,2)，使得＝恒成立．
2．在平面直角坐标系xOy中．
①已知点Q( ，0)，直线l：x＝2 ，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为 .
②已知点H(－，0)，G是圆E：x2＋y2－2 x－21＝0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.
假设在x轴上存在一点A(a,0)，使得x轴平分∠MAN，
∴kAM＋kAN＝0，∴ ＋＝0，
∴ ＝0，
又y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，
∴ ＝0，
把(*)式代入上式化简得4a＝－8，
∴a＝－2，∴点A(－2,0)，
综上所述，在x轴上存在一点A(－2,0)，使得x轴平分∠MAN.
规律方法探索性问题的求解策略
当切线方程为x＝时，M( ， )，N( ，－ )，
以MN为直径的圆的方程为(x－ )2＋y2＝2.①
当切线方程为x＝－时，M(－， )，N(－，－ )，
以MN为直径的圆的方程为(x＋ )2＋y2＝2.②
由①②联立，可解得交点为(0,0)．
当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋m，即＝，即m2＝2(k2＋1)．
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝＋ .
(1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
(2)设圆O：x2＋y2＝2上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】解设Q(x0，y0)，则P(－x0，－y0)，
可知0<x0<2,0<y0<1.

新教材高考生物二轮复习专题突破练4光合作用与细胞呼吸含解析

专题突破练4 光合作用与细胞呼吸一、单项选择题1.(2021内蒙古包头一模)在玻璃瓶底部铺一层潮湿的土壤,播下一粒种子,将玻璃瓶密封,放在靠近窗户能照到阳光的地方,室内温度保持在30 ℃左右。

不久,这粒种子萌发长成幼苗。

若要预测这株植物幼苗能够生存多长时间,下列叙述错误的是( )A.要预测植物生存的时间,需要知道土壤含水量和土壤中各种无机盐的含量B.瓶中植物生存时间的长短,与植物种类无关C.植物体内有机物积累速率是影响植物生存时间的重要因素D.瓶中CO2总量会影响植物生存时间的长短2.(2021山东德州一模)癌细胞在氧含量正常的情况下,利用葡萄糖转变为乳酸来产生ATP作为能量的主要来源。

研究发现,线粒体中产生的NO,一方面可与O2竞争性结合,另一方面扩散到细胞质基质中促进葡萄糖转变为乳酸。

下列说法错误的是( )A.NO能抑制线粒体中葡萄糖的氧化分解过程B.细胞发生癌变时,线粒体中的NO水平升高C.与正常细胞相比,癌细胞中丙酮酸的生成速率高D.与正常细胞相比,癌细胞中葡萄糖的能量利用率低3.(2021湖南模拟)金鱼能在严重缺氧的环境中生存若干天,其肌细胞和其他组织细胞无氧呼吸的产物不同。

下图表示金鱼在缺氧状态下,细胞中的部分代谢途径。

下列叙述错误的是( )A.金鱼的肌细胞和其他组织细胞中与无氧呼吸有关的酶不完全相同B.物质X是丙酮酸,该物质产生于细胞质基质C.肌糖原能够水解成葡萄糖,以补充血糖D.金鱼肌细胞的有氧呼吸和无氧呼吸均可产生CO24.(2021浙江稽阳联谊学校联考)细胞呼吸过程中,葡萄糖和水分子脱去的氢可与氧化型辅酶Ⅰ(NAD+)结合形成还原型辅酶Ⅰ(NADH)。

研究发现,人和哺乳动物的衰老过程与组织中NAD+水平的下降直接相关。

细胞外烟酰胺磷酸核糖转移酶(eNAMPT)的催化产物NMN是合成NAD+的原料,下列叙述正确的是( )A.促进小鼠体内eNAMPT的产生可能会缩短其寿命B.eNAMPT的合成加工过程经过的细胞器有核糖体、内质网、高尔基体和线粒体C.人体细胞有氧呼吸产生的NADH中的氢来自水和葡萄糖D.人和哺乳动物无氧呼吸过程中会有NADH的积累5.下图表示光合作用和有氧呼吸过程中C、H、O三种元素的转移途径以及能量转换过程,图中序号表示相关的生理过程。

2021-2022年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破二小题妙解-选择题、填空题的得分策略选

2021年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破二小题妙解-选择题、填空题的得分策略选择填空巧练4 文一、选择题(每小题5分，共50分)1．设P 和Q 是两个集合，定义集合P ＋Q ＝{x |x ∈P 或x ∈Q 且x ＝∉P ∩Q }．若P ＝{x |x 2－3x －4≤0}，Q ＝{x |y ＝log 2(x 2－2x －15)}，那么P ＋Q 等于( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C ．(－3,5)D ．(－∞，－3)∪[－1,4]∪(5，＋∞) 答案：D解析：由题意可知P ＝{x |－1≤x ≤4}，Q ＝{x |x <－3或x >5}．所以P ＋Q ＝{x |x <－3或－1≤x ≤4或x >5}．故选D. 2．下列命题中是假命题的是( )A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin xB ．∀x ∈R,3x >0C ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 答案：C解析：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以函数的最大值为2，所以C 错误．故选C.3. (xx·吉林长春质检)图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( ) A ．6 B ．10 C ．91 D ．92 答案：B解析：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.4. (xx·广西三市模拟)已知Ρ是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且ΡF 1→·ΡF 2→＝0，若△ΡF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：C解析：双曲线的离心率e ＝c a ＝54，由ΡF 1→·ΡF 2→＝0可得ΡF 1→⊥ΡF 2→，则△ΡF 1F 2的面积为12|ΡF 1→||ΡF 2→|＝9，即|ΡF 1→||ΡF 2→|＝18，又在Rt △ΡF 1F 2中，4c 2＝|ΡF 1→|2＋|ΡF 2→|2＝(|ΡF 1→|－|ΡF 2→|)2＋2|ΡF 1→||ΡF 2→|＝4a 2＋36，解得a ＝4，c ＝5，b ＝3，所以a ＋b ＝7.5．已知函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，则函数g (x )＝1ln x ＋1＋f (2x)的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案：B解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln x ＋1≠0，14≤2x≤4，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤2，x >－1，x ≠0，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．故选B.6．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12 B.12 C ．－34 D ．0答案：A解析：在三角形OAB 中，cos ∠AOB ＝12＋12－322×1×1＝－12，所以∠AOB ＝2π3，所以OA →·OB →＝||OA →·||OB →cos ∠AOB ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.故选A.7．(xx·甘肃河西五市第一次联考)抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( )A ．64B ．42C ．32D ．21 答案：B解析：因为y ＝2x 2(x ＞0)，所以y ′＝4x .所以x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线方程是y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，整理，得4a i x －y －2a 2i ＝0，因为切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1，所以a i ＋1＝12a i .所以{a 2k }是首项为a 2＝32，公比q ＝14的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42.故选B.8．(xx·四川南充适应性考试)若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)满足约束条件⎩⎨⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，且最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94 C ．1 D ．4答案：B解析：不等式组表示的平面区域为阴影部分，如图，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8,10)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，而5a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋1b 4a ＋5b 20＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝94.故选B. 9．(xx·广东茂名一模)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数f p (x )＝⎩⎨⎧f x ，f x ≤p ，p ，f x ＞p ，则称函数f p (x )为f (x )的“P 界函数”．若给定函数f (x )＝x 2－2x －2，p ＝1，则下列结论成立的是( )A ．f p (f (0))＝f (f p (0))B ．f p (f (1))＝f (f p (1))C ．f p (f (2))＝f p (f p (2))D ．f (f (－2))＝f p (f p (－2)) 答案：C解析：由f (x )≤1，即x 2－2x －2≤1，解得－1≤x ≤3，当p ＝1时，f 1(x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －2，－1≤x ≤3，1，x ＜－1或x ＞3，f 1(2)＝22－2×2－2＝－2，f 1(－2)＝1，f (2)＝22－2×2－2＝－2，则f 1(f (2))＝f 1(－2)＝1， f 1 (f 1(2))＝f 1(－2)＝1.故选C.10．(xx·广东深圳市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点，则∠B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案：D解析：函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2＋2bx ＋(a 2＋c 2－ac )，由函数f (x )有极值点，则Δ＝(2b )2－4(a 2＋c 2－ac )≥0，得a 2＋c 2－b 2≤ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac≤12，则B ≥π3.故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)11．(xx·广东深圳一调)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1，1，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1y (x >0，y >0)，若a ⊥b ，则x ＋4y 的最小值为________．答案：9解析：由a ⊥b ，得1x －1＋1y ＝0，1x ＋1y＝1，x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋4y x ＋x y≥24yx·x y＋5＝9.12．(xx·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝13x 3－(a －1)x 2＋b 2x ，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3}，则函数f (x )在R 上是增函数的概率为________．答案：34解析：f ′(x )＝x 2－2(a －1)x ＋b 2，若函数f (x )在R 上是增函数，则对于任意x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．所以Δ＝4(a －1)2－4b 2≤0，即(a －1)2≤b 2，全部试验结果为：4×3＝12，满足(a －1)2≤b 2的有当a ＝1时，b ＝1,2,3；当a ＝2时，b ＝1,2,3；当a ＝3时，b ＝2,3；当a ＝4时，b ＝3.共有3＋3＋2＋1＝9，所以所求概率为912＝34.13．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象的一段，O 是坐标原点，P 是图象的最高点，点M 坐标为(5,0)，若||OP →＝10，OP →·OM →＝15，则此函数的解析式为____________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4解析：设P ()m ，n ，因为||OP →＝10，OP →·OM →＝15，所以⎩⎨⎧m 2＋n 2＝10，5m ＋0＝15，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，所以P ()3，1，所以A ＝1，ω＝2πT ＝2π8＝π4.把点P ()3，1代入函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，得1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4×3＋φ.因为－π<φ<π，所以φ＝－π4.所以函数的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.14．定义平面向量的一种运算：a b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则下列命题：①a b＝b a ；②λ(a b )＝(λa )b ；③(a ＋b )c ＝(a c )＋(b c )；④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ab ＝|x 1y 2－x 2y 1|.其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案：①④解析：由定义可知b a＝|b|·|a|sin〈a，b〉＝a b，所以①正确．②当λ<0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以(λa)b＝|λa|·|b|sin〈λa，b〉＝－λ|a|·|b|·sin〈a，b〉，而λ(a b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，a＋b的长度不一定等于||a＋||b，所以②不成立．③因为||所以③不成立．④(a b)2＝|a|2·|b|2sin2〈a，b〉＝|a|2·|b|2(1－cos2〈a，b〉)＝|a|2·|b|2－|a|2·|b|2cos2<a，b>＝ |a|2·|b|2－(a·b)2＝ (x21 ＋y21 )(x22 ＋y22 )－(x1 x2 ＋y1 y2 )2＝ (x1 y2 －x2 y1 )2，所以a b＝|x1y2－x2y1|，所以④成立．因此真命题是①④.。

2021-2022年高考数学二轮复习第4部分专题二命题专家支招--轻松迎战高考

2021年高考数学二轮复习第4部分专题二命题专家支招--轻松迎战高考经过二轮针对高考的重点、热点、难点，以专题的形式进行知识与方法的横、纵向联系，强化练习了综合能力、思维能力、运算能力和应试能力.接下来就要“在积累中归纳，在归纳中提炼，在提炼中升华.”在课堂的例题中、在平时的练习中、在每次考试中……都是我们积累经典好题的时机．平时做一个有心人，注意积累，并进行有效的分类归纳，可避免陷入“题海”，从而学得从容，学得轻松，学得高效．1．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：构造函数y ＝g (x )＝f xx，通过研究g (x )的图象的示意图与性质得出使f (x )＞0成立的x 的取值范围．设y ＝g (x )＝f x x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1，当x＜0，g(x)＜0时，f(x)＞0，x＜－1，∴使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.答案：A知识：函数的单调性与奇偶性，导数在研究函数中的应用，不等式的解法等.能力：通过构造函数g x，考查化归思想的应用，通过画g x的图象的示意图考查数形结合思想的应用，通过对x>0与x<0的讨论考查分类讨论思想的应用.方法：有关抽象函数与不等式问题，常用函数性质结合图象求解.2．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝__________.解析：利用a n＋1＝S n＋1－S n和a n＋1＝S n S n＋1消去a n＋1，转化为S n与S n＋1之间的递推关系求解．∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n S n＋1，∴S n＋1－S n＝S n S n＋1.∵S n≠0，∴1S n －1S n＋1＝1，即1S n＋1－1S n＝－1.又1S1＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1 Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴S n＝－1n.答案：－1n知识：等差数列的定义、通项公式以及a n与S n之间的互化.能力：通过构造数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n，考查化归思想的应用，通过S n的求解考查运算求解能力.方法：看到数列中a n与S n的关系，就联想a n＝⎩⎨⎧S1S n－S n－1n＝1n≥2，即作差S n－S n－1运算.[在归纳中提炼]二轮专题复习中知识是基础，方法是关键，能力是核心．每一道数学题目的解决都渗透着数学知识和数学思想方法的内涵，所以在训练中要注意解题规律的总结，解题方法的提炼和归纳，从而有意识地培养解题能力，提升训练效率．3．如图，已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R则BQ→·CP→的最大值为__________．解析：本题考查向量的几何运算和坐标运算．法一：(几何法)BQ→·CP→＝(BA→＋AQ→)·(CA→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→]·(CA→＋λAB→)＝(λ－λ2＋1)cos 60°－λ＋λ－1＝－12⎝⎛⎭⎪⎫λ－122－38(0≤λ≤1)，所以当λ＝12时，BQ →·CP →取得最大值－38.答案：－38法二：(坐标法)以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，过点B 且垂直于BA 的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设Q (x ，y )，由AQ →＝(1－λ)AC →，可得(x －1，y )＝(1－λ)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－121－λ，y ＝321－λ，从而得Q 错误!，同理可得P (1－λ，0)．所以BQ →·CP →＝错误!·错误! ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122－38(0≤λ≤1)，从而当λ＝12时，BQ →·CP →取得最大值－38.答案：－38平面几何图形中的向量问题，一般可以用两种方法解决：一是通过向量加法和减法运算，将未知向量转化为以一组已知向量为基底的两个向量之和，然后处理问题；二是根据题设条件，建立适当的平面直角坐标系，通过向量的坐标表示和坐标运算解决问题.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：由约束条件可画出可行域，利用y x的几何意义求解．画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x的最大值为3.答案：3在可行域中求目标函数的最值，其最优解往往是区域的边界点，对于线性目标函数z ＝mx ＋ny ，采取平移法对于非线性目标函数z ＝y －mx －n，利用其几何意义：表示点x ，y 与点n ，m 连线的斜率，数形结合求解.[在提炼中升华]不要以为“高考以能力立意”，就一味去钻研难题、偏题、怪题．这里的能力是指思维能力，对现实生活的观察分析能力，创造性的想象能力，探索性的实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情境、新问题的应变理解能力，因此要注重数学概念观的形成和对数学规律的认识过程．在求解简约而富有创意的题目过程中，我们要深入挖掘提炼，并在不断的提炼中升华，使自己对高中数学的认识达到总揽全局、高屋建瓴的境界．5．已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域M 由所有满足AP →＝λ AB →＋μ AC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则M 的面积为__________．解析：法一：(数形结合法)由向量的平行四边形法则，可知点P 构成的区域为图中阴影部分的平行四边形BDEF 及其内部，它与平行四边形ABDC 是全等的，于是易求得其面积为3.答案：3法二：(线性规划法)设P (x ，y )，由AP →＝λ AB →＋μ AC →，可得(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，所以⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝132x －y －3，μ＝13－x ＋2y ＋3.由1≤λ≤2,0≤μ≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤132x －y －3≤2，0≤13－x ＋2y ＋3≤1.画出区域即可求出其面积为3. 答案：3向量在平面中是可以自由平移的，平行的向量总可以平移到同一条直线上，因此，“平移不改变自身”“伸缩不改变共线”是向量的两个重要特性.对于一维基底，有共线向量基本定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是b ＝λa 其中λ是常数.这个定理将平面上与向量a 共线的所有向量都囊括其中，即都可以表示为b ＝λa其中λ是常数.对于二维基底，有平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.这个定理将平面上的任意一个向量都与两个基底向量建立联系.特别是当向量e 1和e 2是互相垂直的单位向量时，就得到了向量a 的坐标表示.支招二众里寻她千百度，蓦然回首教材中xx 年的高考即将到来，考前一个月为总复习和模拟测试阶段，即进行高考实战演习，考生要有针对性地进行查漏补缺，积累考试经验，优化解题策略，并进行归纳整理、消化吸收，进一步提高应试能力.如何在最后10天的复习中提高自己的数学成绩？《考纲》中抓“考点”，运筹帷幄之中，决胜千里之外.备考首先要明确xx年高考要考什么，此时，考纲要求及考试说明已经公布，可认真通读一遍，考生在阅读时要把握考点及要求，把考点及相关的定义、公式以及定理等在大脑中过一遍，做到心中有数，还应把相关知识联系在一起，忘记的或记不清的考点可通过查阅课本进行核对，并用特殊符号标记，以便强化记忆.,教材中必记的考点：考点1 集合必须熟知的基本结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)含有n个元素的有限集有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．(3)若A∩B＝A，则A⊆B，反之也成立；若A∪B＝B，则A⊆B，反之也成立．利用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A＝∅这个特例．(4)∅和{∅}，前者代表空集∅，后者表示含有一个元素∅的集合，∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确．(5)交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[临考必记] (1)注意A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，如果存在x∈B 且x∉A，说明A≠B，只能A B.(2)注意∈和⊆的区别，前者表示元素与集合之间的关系，后者表示集合与集合之间的关系．考点2 复合命题的真假判断[快速记忆] 确定p∧qp∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与綈p→真假相反．考点3 充分必要条件与集合的对应关系A BA B 考点4小于不小于至多有n个至少有n＋1个对所有x，成立存在某x，不成立p或q綈p且綈q对任何x，不成立存在某x，成立p且q綈p或綈q考点5 函数的周期性(约定a>0)(1)f(x)＝f(x＋a)，则f(x)的周期T＝a.(2)f(x＋a)＝1f x (f(x)≠0)，或f(x＋a)＝－1f x(f(x)≠0)，则f(x)的周期T＝2a.(3)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，且关于直线x＝b对称，则f(x)的周期T ＝2|b－a|(b≠a)．考点6 指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象考点7 对数的四则运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )；(4)log am N n ＝n mlog a N (n ，m ∈R ，m ≠0)．考点8 用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε. 第二步：求区间[a ，b ]的中点c . 第三步：计算f (c )．①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a 或b ，否则重复第二步到第四步．[快速记忆] 二分法求函数零点近似值的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．考点9 基本初等函数的导数公式 (1)C ′＝0(C 为常数)． (2)(x n )′＝nx n －1(n ∈N *)．(3)(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .(4)(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a (x >0，a >0，且a ≠1)．(5)(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． [临考必记] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2.(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (3)(ln|x |)′＝1x.考点10 导数的四则运算法则(1)(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．(2)(uv )′＝vu ′＋v ′u ⇒(cv )′＝c ′v ＋cv ′＝cv ′(c 为常数)．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝vu ′－v ′uv 2(v ≠0)．[注意] (1)u ，v 必须是可导函数．(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．[临考必记] (1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ≠0且n ∈Q ，(cos x )′＝－sin x .(2)注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.(3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±ω(x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±ω′(x )．(4)一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠f ′x g ′x ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x ′≠f ′(x )－g ′(x )．考点11 判断极大(小)值的方法当函数f (x )在点x 0处连续时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)是极小值．[临考必记] (1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，当x ＝0时就不是极值点，但f ′(0)＝0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值；在x 0处有f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．(3)函数f (x )在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f (x )在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．考点12 最值与极值的区别与联系(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值大小的比较，具有相对性；“最值”是整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不一定唯一．(3)极值只能在定义域内部取得，而最值还可能在区间端点处取得． (4)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．考点13 空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积：S 侧＝cl (c 是底面周长，l 为侧棱长)．正棱锥的侧面积：S 侧＝12ch ′(c 是底面周长，h ′为斜高)．正棱台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ，c ′分别是上、下底面周长，h ′为斜高)．圆柱的侧面积：S 侧＝cl ＝2πrl (c 是底面周长，l 为母线长)．圆锥的侧面积：S 侧＝12cl ＝πrl (c 是底面周长，l 为母线长)．圆台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋R )l (c ，c ′分别是上、下底面周长，l 为母线长)．球的表面积：S ＝4πR 2.(2)柱体的体积：V 柱＝Sh (S 为底面积，h 是柱体的高)．锥体的体积：V 锥＝13Sh (S 为底面积，h 是锥体的高)．球的体积：V 球＝43πR 3＝13S 表R .[临考必记] 柱体、锥体、台体侧面面积公式间的关系(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，由此可得：S ＝chc ′＝c,S ＝12(c ＋c ′)hc ′＝0,S ＝12ch .(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S ＝2πrlr ′＝r,S ＝π(r ＋r ′)lr ′＝0,S ＝πrl . 考点14 球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体内切球的直径是正方体的棱长，正方体棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ，外接球的半径为64a . 考点15 证明空间位置关系的方法(1)线面平行：⎭⎬⎫a ∥bb ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎬⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α，⎭⎬⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α. (2)线线平行：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ，⎭⎬⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b .(3)面面平行：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎬⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ.(4)线线垂直：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . (5)线面垂直：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α，⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β，⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β，⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (6)面面垂直：⎭⎬⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎬⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β. [临考必记] 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化．考点16 直线方程的5种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0)(x 0，y 0)是直线上一定点，k是斜率不垂直于x 轴斜截式 y ＝kx ＋b k 是斜率，b 是直线在y 轴上不垂直于x 轴k ，但要注意直线垂直于x 轴，即斜率k 不存在的情况．(2)为了研究方便，经过定点P (x 0，y 0)的直线也可以有如下设法：当直线与y 轴垂直时，可设为y －y 0＝0；当直线与y 轴不垂直时，可设为x －x 0＝m (y －y 0)，这样直线方程与曲线方程联立时消去x 比较方便．考点17 两条直线的位置关系(1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，A 2，B 2全不为0)，则l 1，l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2，l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1，l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2.当A 1，B 1，A 2，B 2中有0时，应单独讨论．(2)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 21＋B 21≠0，且A 22＋B 22≠0)垂直⇔A 1A 2＋B1B2＝0.[临考必记] (1)讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，它们也垂直．(2)已知直线l：Ax＋By＋C＝0，则与直线l平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线l垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.考点18 四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(除直线x＝x0)，其中k是待定系数；或者经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，其中A，B是待定系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(除l2)，其中λ是待定系数．(3)平行直线系方程：直线y＝kx＋b中，当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0，λ是参变量．考点19 圆的3种方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．考点20 椭圆的标准方程及几何性质(1)标准方程：若焦点在x 轴上，其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；若焦点在y 轴上，其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． (2)几何性质：①离心率e ＝ca＝1－b 2a2∈(0,1)；②过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为2b 2a.[临考必记] (1)满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a 的点P 的轨迹不一定是椭圆，当2a >|F 1F 2|时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，点P 的轨迹不存在．(2)经过已知两点的椭圆方程可以设为Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A >0，B >0，且A ≠B . (3)椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，且c 2＝a 2－b 2.[特别提示] 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，b a越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，椭圆变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2.所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．考点21 椭圆焦点三角形的三个规律规律1 三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率．规律2 如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，设P (x 0，y 0)，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.规律3 椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .考点22 双曲线的标准方程及几何性质(1)标准方程：若焦点在x 轴上，其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；若焦点在y 轴上，其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)几何性质：①离心率e ＝ca＝1＋b 2a2∈(1，＋∞)；②过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为2b 2a；③双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，焦点到渐近线的距离等于b .[临考必记] (1)离心率e 的取值范围：e >1.当e 越接近1时，双曲线开口越小；e 越接近＋∞时，双曲线开口越大．(2)满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的点P 的轨迹不一定是双曲线，当2a ＝0时，点P 的轨迹是线段F 1F 2的中垂线；当0<2a <|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，点P 的轨迹不存在．考点23 抛物线的标准方程及几何性质(1)焦点在x 轴正半轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线方程为x ＝－p 2；焦点在y 轴正半轴上的抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2.(2)已知CD 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的弦，且点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．①焦半径|CF |＝x 1＋p 2，|DF |＝x 2＋p2；②过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(其中α为直线CD 的倾斜角)，1|CF |＋1|DF |＝2p (定值)；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；④以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与准线相切．考点24 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必要求“判别式Δ≥0”，尤其在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦长公式：|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 1－y 2|(k 为直线l 的斜率)．(3)如果有三个或三个以上的点在一条直线上，那么可选择以斜率为桥梁进行转化．考点25 圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F (x ，y )＝0关于点P (x 0，y 0)成中心对称的曲线是F (2x 0－x,2y 0－y )＝0. (2)曲线F (x ，y )＝0关于直线Ax ＋By ＋C ＝0成轴对称的曲线是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2A Ax ＋By ＋CA 2＋B 2，y －2B Ax ＋By ＋C A 2＋B 2＝0. 特别地，曲线F (x ，y )＝0关于原点O 成中心对称的曲线是F (－x ，－y )＝0；曲线F (x ，y )＝0关于直线x 轴对称的曲线是F (x ，－y )＝0；曲线F (x ，y )＝0关于直线y 轴对称的曲线是F (－x ，y )＝0；曲线F (x ，y )＝0关于直线y ＝x 轴对称的曲线是F (y ，x )＝0；曲线F (x ，y )＝0关于直线y ＝－x 轴对称的曲线是F (－y ，－x )＝0. 考点26 算法三种基本逻辑结构的对比分析顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体程序框图[临考必记] (1)循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要用条件结构来作出判断，因此循环结构中一定要包含条件结构．(2)一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加变量；计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加变量用于表示每一步的计算结果．计数变量和累加变量一般同步执行，累加一次，计数一次．考点27 三种抽样方法的对比区分表[特别提醒] 使用三种抽样方法时的注意事项(1)用随机数表法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当位数不等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添加“0”，凑齐位数．(2)用系统抽样法抽样时，如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝N n；如果总体容量N 不能被样本容量n 整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔k＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n .(3)用分层抽样法抽样时，各层抽样标准要一致，互不重叠；各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即n N.考点28 独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如下：若要推断的论述为H 1：可以利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度，具体做法是：根据观测数据，由公式K2＝n ad－bc2a＋b a＋c b＋d c＋d计算得到K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度．[临考必记] (1)在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱．(2)若要求判断X与Y无关，先假设X与Y有关系．(3)K2与k的关系并不是k＝K2，而是k是K2的观测值，或者说K2是一个随机变量，它在a，b，c，d取不同的值时，K2可能不同，而k是取定一组数a，b，c，d后的一个确定的值．考点29 互斥事件与对立事件(1)互斥事件若A∩B为不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥．如右图．[临考必记] ①事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不可能同时发生，A与B发生与否有三种可能：A发生，B不发生；A不发生，B发生；A不发生，B不发生，即A与B两个事件同时发生的概率为0.②两个事件互斥的定义可以推广到n个事件中，如果事件A1，A2，A3，…，A n中的任意两个事件互斥，就称事件A1，A2，A3，…，A n彼此互斥．(2)对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件．事件A的对立事件对应的集合，是全集中由事件A包含的结果组成的集合的补集．[临考必记] ①若事件A，B为对立事件，则在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中一个，并且必然发生其中之一．②若两个事件对立，那么这两个事件一定是互斥事件．若两个事件是互斥事件，但这两个事件不一定是对立事件．考点30 几何概型与古典概型的差异考点31 三角函数的诱导公式公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.推算公式：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α.[临考必记] 奇变偶不变，符号看象限“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π2±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．考点32 三角函数的图象变换(1)y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)．(2)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω倍，得到y ＝sinωx 的图象．(3)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y ＝A sinx 的图象．[临考必记] ①由y ＝sin ωx 的图象经过平移变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，平移的单位不是|φ|，而是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.②函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化，所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律，一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析．考点33 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β(平方正弦公式)． cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－sin 2β.[临考必记] (1)两角和的余弦和正弦公式是本章各类公式的基础，在这两个公式中，两角和的余弦公式又是基础中的基础，因为两角和的正弦公式是由它与诱导公式导出的． (2)公式S (α±β)，C (α±β)具有一般性，即α，β可为任意角，公式T (α±β)也具有一般性，但应明确：公式T (α±β)在α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，α±β≠k π＋π2，k ∈Z 时成立，否则不成立．当tan α，tan β或tan(α±β)不存在时，不能用此公式，而只能改用诱导公式或其他方法．考点34 半角公式、二倍角公式 (1)半角公式sin α2＝±1－cos α2.cos α2＝±1＋cos α2. tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[临考必记] 若给出角α的范围(即某一区间)时，可先求出α2的范围，再根据α2所在的范围来确定符号；如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． (2)二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[临考必记] ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2. ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.③a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2(0≤φ<2π)．考点35 三角形面积公式表S △ABC ＝p p －a p －bp －c ⎝⎛⎭⎪⎫p ＝a ＋b ＋c 2考点36 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ是实数，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(3)平面向量共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.(4)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，要证三点共线，只需证明AB →∥BC →.又AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，BC →＝(x 3－x 2，y 3－y 2)，所以只需证明(x 2－x 1)(y 3－y 2)－(x 3－x 2)(y 2－y 1)＝0即可．(5)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 考点37 平面向量的数量积若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则|a |2＝a 2＝a ·a ，a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22，a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. [临考必记] (1)〈a ，b 〉为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不同向，〈a ，b 〉为直角⇔a ·b ＝0且a ，b ≠0，〈a ，b 〉为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不反向，a ·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．(2)对于一个向量等式，可以移项、两边平方、两边同乘以一个实数、两边同时取模、两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能同时约去一个向量；向量的乘法不满足结合律，即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c . 考点38 数列的前n 项和与通项的关系数列的前n 项和通常用S n 表示，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则通项a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.若当n ≥2时求出的a n 也适合n ＝1时的情形，则用一个式子表示a n ，否则分段表示．[临考必记] 很多数列试题是以a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2为出发点设计的，求解时要考虑两个方面：一是根据S n ＋1－S n ＝a n ＋1，利用数列和的关系求通项，二是根据a n ＋1＝S n ＋1－S n ，把数列的通项转化为和的关系，先求S n ，再求a n . 考点39 等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．a n ＝a 1＋(n －1)d (其中a ，d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．(3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．。

【高三】2021届高考理科数学第二轮高考中的解答题的解题策略复习教案

【高三】2021届高考理科数学第二轮高考中的解答题的解题策略复习教案2021届高考数学二轮复习专题十二高考中的解答题的解题策略【重点知识回顾】解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．解答题的解题步骤1.分析条件，弄清问题2.规范表达，实施计划3.演算结果，回顾反思解答题的解题策略1.从条件入手�D�D分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；2.从结论入手�D�D执果索因，搭好联系条件的桥梁；．3.回到定义和图形中来；4.换一个角度去思考；5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；6.注重通性通法，强化得分点。

【典型例题】1.从定义信息入手定义信息型题是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．例1、根据定义在集合A上的函数，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，计算出；②若，则数列发生器结束工作，若，则输出x1,并将x1反馈回输入端，再计算出，并依此规律继续下去，现在有，，（Ⅰ）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；（Ⅱ）若，记，求数列的通项公式．【解析】（Ⅰ）证明：当，即0x>0，∴ ，又，∴ ，∴ ，即．故对任意有；由有，由有；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列．（Ⅱ）由，可得，∴ ，即，令，则，又，∴数列是以为首项，以为公比的等差数列，∴ ，于是．【题后反思】本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（Ⅱ）问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底．2. 由巧法向通法转换巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．例2、已知，求的取值范围．【解析】由，得，∴ ，∴，从而得．【题后反思】本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一�D�D消元法上来，则解法通俗、思路清晰．3. 常量转化为变量转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．例3、设，求证：．【解析】令，则有，若，则成立；若，则，∴方程有两个相等的实数根，即，由韦达定理，，即，又，∴ ，∴ ，∴ ．【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决．4. 主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．例4、对于满足的所有实数p，求使不等式恒成立的x的取值范围．【解析】把转化为，则成为关于p的一次不等式，则，得，由一次不等式的性质有：，当时，，∴ ；当时，，∴ ，综上可得：．【题后反思】视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决．5. 正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”例5、若椭圆与连接A（1，2）、B（3，4）两点的线段没有公共点，求实数a的取值范围．【解析】设线段AB和椭圆有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为，，则方程组，消去y得：，即，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴当椭圆与线段AB无公共点时，实数a的取值范围为．【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．6. 数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．例6、已知是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，解不等式．【解析】由在上为增函数，且是定义域上的奇函数，∴ 在上也是增函数．∵ ，∴ ，∴ 或，由函数的单调性知：或，∴原不等式的解集为：【题后反思】由已知，是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，由，则可得的大致图像如下图，可知7．自变量与函数值的转化函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题．例7、设是定义在上的增函数，且对于定义域内任意x、y，都有，求使不等式成立的x的取值范围．【解析】∵ 的定义域是，∴ ，即，由于，得，由，得，∴由题设条件得：，∵ 是定义在上的增函数，∴ ，解之得：，又，∴适合题意的x的取值范围为[3，4]．【题后反思】这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将，根据等价转化为；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x的不等关系，求出x的取值范围．8. 类比归纳类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力．因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点．例8、如下图所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界（提示：下图①②中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零．）（Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；（Ⅱ）具有图②所示特征的函数称为在D上有上界，请你类比函数有下界① ②的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否有上界，并说明理由．【解析】∵ ，由，得，∵ ，∴x=2,∵当0当x>2时，，∴函数在（2，）上是增函数；∴x=2是函数在区间（0，）上的最小值点，，于是，对任意，都有，即在区间（0，）是存在常数A=32，使得对任意，都有成立，所以，函数在上有下界．（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常B，都有成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界．设x<0，则-x>0，则（Ⅰ）知，对任意，都有，∴ ，∵函数为奇函数，∴ ，∴ ，即，即存在常数B=-32，对任意，都有，所以，函数在上有上界．【题后反思】本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题．数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力．【模拟演练】（1）已知函数（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）若对于恒成立，求实数m的取值范围．（2）设函数，曲线通过点（0，2a+3）且在点（-1，）处的切线垂直于x轴．用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间．（3）在直角坐标系xOy中，点P到两点（），（）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A、B两点，（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有．（4）已知函数，，，（Ⅰ）将函数化简成的形式；（Ⅱ）求函数的值域．（5）已知曲线C1：所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为，记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，是线段AB的垂直平分线，M是上异于椭圆中心的点，①若（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是与椭圆C2的交点，求面积的最小值．（6）已知元素为实数的集合S满足下列条件：① ；②若，则．若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测．（7）已知椭圆的右准线与x轴相交于点P，右焦点F到上顶点的距离为，点C(m,0)是线段OF上的一个动点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线，其与椭圆交于A、B两点，且使得？亲说明理由．（8）设函数，函数，，其中a为常数且，令函数为函数和的积函数．（Ⅰ）求函数的表达式，并求其定义域；（Ⅱ）当时，求函数的值域；（Ⅲ）是否存在自然数a，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合，若不存在，试说明理由．（9）已知函数，当点在的图像上移动时，点在孙函数的图像上移动．（Ⅰ）若点P坐标为（1，-1），点Q也在的图像上，求t的值；（Ⅱ）求函数的解析式；（Ⅲ）当时，试探索一个函数，使得在限定域内为时有最小值而没有最大值．（10）矩形钢板的边长分别为，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使其底面边长为矩形边长的一半，表面积为ab，试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论．答案：1．（1）；（2）2．（1）c=2a+3，b=2a；（2）的单调减区间为，单调增区间为（-2，2）；3．（1），（2），（3）略；4．（1），（2）的值域为；5．（1），（2）① ，② ．6. S的元素的个数为3的倍数；7. （Ⅰ）；（Ⅱ）当时，，即存在这样的直线；当时，k不存在，即不存在这样的直线．8，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），且．9. （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，有最小值0，但没有最大值． 10．如下图：易证：，即最大，最小．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训四42

中难提分突破特训(四)1 •在△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,其面积S= b2sin A(1)求c的值;⑵设内角A的平分线AD交BC于D, AD- #, a= 3，求b.1 2 c解(1)由S^ -bc sin A= b sin A,可知c = 2b,即卩=2.2 b⑵由角平分线定理可知，BD= 甘,C**3,4b2+ 3- b2在厶ABC中, cos B=--- —•2b • 24 44b + -- 亠亠 3 3在厶ABD中, cos B= -----------3 2・2b・丁2 4 44b + 一一4b2+ 3-b2T 3 3即= ，解得b= 1.•2b • 3 2 2•2b •2 •现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中, 10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标.(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下:实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?323334353637(2)实验过程中测得时间t(分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y(Hz) 的9 组对应数据(t , y)为(0,87) , (20,84) , (40,86) , (60,79) , (80,78) ,(100,78) , (120,76), (140,77) , (160,75).建立y关于时间t的线性回归方程;(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析,使用鼠标多少分钟就该进行休息了?9参考数据：耳=i ( t i— t )( y i— y ) =— 1800;A A A参考公式：回归方程y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:nA召 t i — t y i—y A — A_ b =——n , a = y — b t .2召(t i- t )解(1)根据题意得到茎叶图如下图所示，― 1由图中数据可得 x 1 = 10 X (346 + 357 + 358 + 360 + 362 + 362 + 364 + 372 + 373 + 376)=363,— 1X 2 = 10X (313 + 321 + 322 + 324 + 330 + 332 + 334 + 343+ 350 + 361) = 333, /• x 1 — X 2= 363 — 333 = 30(N), •••故实验前后握力的平均值下降了 30 N.1(2)由题意得 t = - X (0 + 20 + 40 + 60 + 80+ 100 + 120+ 140+ 160) = 80, —1y = -X (87 + 84 + 86 + 79+ 78 + 78 + 76 + 77 + 75) = 80,9 __ _ - 2 2 2 2 2 2 2召(t i — t ) = (0 — 80) + (20 — 80) + (40 — 80) + (60 — 80) + (80 — 80) + (100 —80) +(120 — 80) 2+ (140 — 80) 2+ (160 —80) 2= 24000,9____ 又葛(t i —T)( y i—y) =— 1800,9___A召 ti— tyi—y— 1800 _• b= — — = 2^000 =—0.075,=ti—tA A二 a = y —b t = 80 — ( — 0.075) X 80= 86, • y 关于时间t 的线性回归方程为y =— 0.075 t + 86.⑶9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.n 13.如图，四棱锥 P — ABCD 中, AB// DC / ，AB= AD= g C* 2, PD= PB=y/6, PD实脸后3124 0243丄BC(1) 求证：平面PBDL平面PBCn(2) 在线段PC上是否存在点M使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为—?若存在，求CM勺值；若不存在，说明理由.解(1)证明：因为四边形ABC西直角梯形，n且AB// DC AB= AD-2,Z ADC=—,所以BD- 2 2,又因为CD-4，/ BD(--.4根据余弦定理得BO 2 2,所以cD= B D + BC,故BCL BD又因为BCL PD PDA BD- D,且BD PD?平面PBD所以BCL平面PBD又因为BC?平面PBC所以平面PBC L平面PBD(2)由(1)得平面ABC丄平面PBD设E为BD的中点，连接PE因为PB= PD- 6 ,所以PE L BD PE= 2 ,又因为平面ABC丄平面PBD平面ABC A平面PB—BD所以PE!平面ABCD如图，以A为坐标原点，分别以AD AB, E~P的方向为x , y , z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ,则 A (0,0,0) , B (0,2,0) , C (2,4,0) , D (2 , 0,0) , P (1,1,2), 假设存在Ma , b , c )满足要求，设當入(o 三入三1)，即CM=入S P(a — 2, b — 4, c )=入(—1, — 3,2)，得 a = 2 —入，b = 4 — 3 入，c =2 入，贝U M2 —入，4 -3入，2入),易得平面PBD 勺一个法向量为B C = (2,2,0). 设n = (x , y , z )为平面ABM 勺一个法向量，XB= (0,2,0) , AM= (2 -入，4 - 3入，2 入),n • AB= 0,2y = 0,由得n • AM= 0,2—入 x + 4 -3 入 y+ 2 入 z= 0,不妨取n = (2入，0,入一2).n因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为 §，所以S|4入丨1|C0S 〈 B C, n〉1= 2 2= 2 , 2p 2X p 4 入 +(入—2)22解得入=3,入=-2(不符合题意，舍去).CM 2故存在点M 满足条件，且Cp= 3.x = 2t — 1, 4.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为＜ (t 为参数) |y =- 4t — 2原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为 p =—1 — (1) 求曲线C 的直角坐标方程；(2) 设M 是曲线C 上的点，M 是曲线Q 上的点，求|MM |的最小值. ” 2解⑴.=1,，以坐标2 __cos 厂•'•p — p cos 0 = 2，即卩 p = p cos 0 + 2.2 2 2x = p cos 0 , p = x + y ,• x 2+ y 2= (x + 2)2,化简得 y 2_ 4x - 4 = 0.•曲线C 2的直角坐标方程为 y 2— 4x -4= 0.x = 2t - 1,⑵•••• 2x + y + 4 = 0.|y = - 4t - 2,•曲线C 的普通方程为2x + y + 4= 0,表示直线2x + y + 4 = 0. •/ M 是曲线C 上的点，M 是曲线C 2上的点，• | MM |的最小值等于点 M 到直线2x + y + 4 = 0的距离的最小值.2不妨设M (r - 1,2 r )，点M 到直线2x + y + 4 = 0的距离为d ,当且仅当r = -*时取等号.3」5105 .已知函数 f (x ) = | x - 1|.(1) 求不等式f (2x ) -f (x + 1) >2的解集；(2) 若 a >0， b >0且 a + b = f (3)，求证：；a + 1 + .」b + 1W2「2. 解(1)因为 f (x ) = |x - 1|，所以 f (2x ) -f (x + 1) = |2x - 1| - |x |.1 - x ，x W 0，11 - 3x ，0<x <2,A 1x - 1，x >-，2 *由 f (2x ) - f (x + 1) >2 得 r 1 1x < 0, 0<x <；,x >；,或2，或21-x >2J - 3x >2iX —解得x <- 1或x € ?或x >3,22| r + r +1|10，所以不等式的解集为(一8, —1] u [3 ,+^).⑵证明：a+ b= f(3) = 2,又a>0, b>0,所以要证-...£+ 1 + ：jb+ 1W2 J2成立，只需证(0+1 + b + l)2< (2 2)2成立，即证a+ b+2 + 2；£a+ 1 b+ 1 <8,只需证計:a+ 1 b+ 1 W2成立，因为a>0, b>0,所以根据基本不等式a+ 1 b+ 1 w a +1；b+1■ = 2成立，故命题得证.。

高考物理二轮复习专题分层突破练4万有引力定律及其应用含解析

专题分层突破练4 万有引力定律及其应用A组1.(多选)(2020辽宁高三月考)下列说法正确的是()A.牛顿发现了万有引力定律,卡文迪许测得了引力常量B.根据表达式F=可知,当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大C.在由开普勒第三定律得出的表达式=k中,k是一个与中心天体有关的常量D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反,是一对平衡力2.(2021安徽黄山高三质检)有一颗中高轨道卫星在赤道上空自西向东绕地球做圆周运动,其轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一。

某时刻该卫星正好经过赤道上某建筑物,已知同步卫星的周期为T0,则下列说法正确的是()A.该卫星的周期为B.该卫星的向心力为同步卫星的C.再经的时间该卫星将再次经过该建筑物D.再经的时间该卫星将再次经过该建筑物3.脉冲星实质是快速自转的中子星,每自转一周,就向外发射一次电磁脉冲信号,因此而得名。

若观测到某个中子星发射电磁脉冲信号的周期为T,该中子星的半径为R,已知引力常量为G,则以下物理量可以求出的是()A.该中子星的质量B.该中子星的第一宇宙速度C.该中子星表面的重力加速度D.该中子星赤道上的物体随中子星转动的线速度4.(2021广东韶关始兴中学高三模拟)一颗科学资源探测卫星的圆轨道经过地球两极上空,运动周期为T=1.5 h,某时刻卫星经过赤道上A城市上空。

已知,地球自转周期为T0,地球同步卫星轨道半径为r,引力常量为G,根据上述条件()A.可以计算地球的半径B.可以计算地球的质量C.可以计算地球表面的重力加速度D.可以断定,再经过12 h该资源探测卫星第二次到达A城市上空5.(多选)(2021广东梅州高三质检)2020年6月23日,我国第55颗北斗导航卫星成功发射,该卫星为地球同步轨道卫星。

已知同步卫星围绕地球做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r,地球半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是()A.地球的质量为B.地球自转的角速度为C.同步卫星的加速度为D.地球的平均密度为6.2020年12月6日,我国成功将高分十四号卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动。

2021高考数学统考二轮复习学案：板块2 应试技巧必备

活用4招巧解“中高档"解答题高考数学解答题的答题方式不同于选择题和填空题，解答题既要结果又要过程，考生必须严格按照推理的方式按部就班地进行解答和表述．因此对于基础性的解答题要做到“对而全”，防止被扣“步骤分”；对于中高档题目要学会“踩点得分”，也就是我们常说的“缺步解答、跳步解答、逆向解答和退步解答".妙招1 缺步解答——化繁为简，能解多少算多少如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”。

结合示例：本例第1问是椭圆离心率的求解问题，难度较小，而第2问有一定难度，如果不能拿全分,可采用缺步解答，尽量多得分.首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,若需要设直线方程,应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l的斜率不存在时，求出点Q的坐标为错误!,这是每位考生都应该能做到的。

其次,联立直线方程与椭圆方程并设出M,N,Q的坐标，通过错误!，得到错误!＝错误!＝错误!，然后由x1＋x2及x1x2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到x2＝错误!是完全可以做到的，到此已经可以得到9分。

另外，考虑到点Q在直线l上，将点Q坐标代入所设直线方程就能得到10y－22－3x2＝18，到此便可以得到10分.到此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了.同学们可以根据此法求解下面的例题.C错误!错误!a b点分别为F1（－1,0)，F2（1，0),且椭圆C经过点P错误!。

(1)求椭圆C的离心率；(2）设过点A(0,2）的直线l与椭圆C交于M,N两点，点Q是线段MN上的点，且错误!＝错误!＋错误!，求点Q的轨迹方程．[规范解答］(1）由椭圆定义知，2a＝｜PF1|＋|PF2|＝错误!＋错误!＝2错误!，所以a＝ 2. 2分又由已知,c＝1，所以椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!. 4分（2)由（1）知，椭圆C的方程为错误!＋y2＝1。

2021-2022年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破一数学思想方法的贯通应用专项突破训练4

2021年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破一数学思想方法的贯通应用专项突破训练4 文一、选择题(每小题5分，共30分)1．(xx·广东广州测试)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] 答案：D解析：由函数f (x )的定义域为R ，得不等式x 2＋ax ＋1≥0在R 上恒成立，于是Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2.故选D.2．(xx·马鞍山质检)在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A ．4－2 3 B.3＋1 C.3－1 D.3 答案：C解析：设点P (x ，y )，则由动点P 满足|CP →|＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1.根据OA →＋OB →＋OP →的坐标为(2＋x ，y ＋1)，可得|OA →＋OB →＋OP →|＝x ＋22＋y ＋12，表示点P (x ，y )与点M (－2，－1)之间的距离．又点M 在圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1的外部，求得|MC |＝3，|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为|MC |－1＝3－1.故选C.3．(xx·开封二模)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )< 0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b ＞cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案：B解析：由函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，得函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数y ＝f (x )是奇函数．设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0，得F (x )在(－∞，0)上是减函数，则F (x )在(0，＋∞)上也是减函数，又F (x )在原点有定义，则F (x )在R 上也是减函数．∵30.3＞1,0＜log π3＜1，log 319＝－2，∴F (－2)＞F (log π3)＞F (30.3)，即c >a >b .故选B.4. (xx·上海六校联考)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝AC ，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1；②A 1B ⊥AM ；③平面AMC 1∥平面CNB 1，其中正确的结论个数为( )A.0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D解析：如题图所示，由于ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，BC ＝AC ，AC 1⊥A 1B ，M 分别为A 1B 1的中点，得C 1M ⊥A 1B 1 ，所以C 1M ⊥平面A 1ABB 1，①正确；又因为AC 1⊥A 1B ，且C 1M ⊥平面A 1ABB 1，所以可证得AM ⊥A 1B ，所以②正确；因为M ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点．所以由AM ∥B 1N ，C 1M ∥CN 得平面AMC 1∥平面CNB 1，所以③正确．故选D.5．(xx·福建厦门质检)已知函数f (x )＝13x 2＋mx 2＋(2m ＋3)x (m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，记圆(x ＋1)2＋y 2＝15上的点到直线l 的最短距离为g (m )，g (m )的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，355答案：C解析：函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2＋2mx ＋(2m ＋3)，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两根，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m ＋3，Δ＝(2m 2)－4(2m ＋3)＞0，解得m ＜－1或m ＞3.由直线l 经过点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则直线l 的方程为y －x 21x 22－x 21＝x －x 1x 2－x 1，化简得(x 1＋x 2)x －y －x 1x 2＝0，即2mx ＋y ＋(2m ＋3)＝0.圆心C (－1,0)到直线l 的距离d ＝|－2m ＋0＋2m ＋3|2m 2＋12＝34m 2＋1＜355，圆(x ＋1)2＋y 2＝15上的点到直线l 的最短距离g (m )＝d －55，故g (m )的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.故选C.6．(xx·甘肃兰州诊断)己知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)答案：B解析：∵f (x ＋2)为偶函数， ∴f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， ∴f (x )的图象关于x ＝2对称，∴f (4)＝f (0)＝1，设g (x )＝f xe x(x ∈R )，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x e x2＝f ′x －f xe x.又∵f ′(x )<f (x )， ∴g ′(x )<0(x ∈R )，∴函数g (x )在定义域上单调递减．∵f (x )<e x⇔g (x )＝f xe x<1，而g (0)＝f 0e 0＝1，∴f (x )<e x ⇔g (x )<g (0)，∴x >0.故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)7．(xx·安徽江南十校联考)命题存在x >1，x 2＋(m －3)x ＋3－m <0为假命题，则m 的取值范围是________．答案：[－1，＋∞)解析：由题意知，对任意的x >1，x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0 为真命题，而由x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0变形得(x －1)2－(x －1)＋1＋(x －1)m ≥0.由于x －1>0则m ≥ －⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1＋1对任意x >1恒成立，而－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1＋1≤－2x －1·1x －1＋1＝－1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，因此m ≥ －1.8．(xx·河北石家庄二模)已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案：{m |m ≤－4或m ≥4}解析：∵綈q 是綈p 的充分不必要条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，∴{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意，当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎨⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4，解得m ≤－4.当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎨⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4，解得m ≥4.综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．9. (xx·辽宁沈阳质检)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案：323(1－4－n )解析：因为数列{a n }的公比q ＝3a 5a 2＝12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝23－n .所以a n a n ＋1＝23－n ·22－n ＝25－2n .所以数列{}a n a n ＋1的公比q ′＝25－2n ＋125－2n ＝14.又a 1a 2＝22×2＝8，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323()1－4－n.10．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PA →·PB →的最小值为________．答案：22－3解析：如图，连接OP ，OA ，OB ，设∠APB ＝θ，0＜θ＜π，则PA →·PB →＝|PA ||PB |cos θ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1tan θ22cos θ ＝cos 2θ2sin2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin2θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2sin2θ2.换元：令x ＝sin 2θ2，则0＜x ＜1，则PA →·PB →＝1－x 1－2xx＝2x ＋1x －3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22∈(0,1)时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3.三、解答题(每题10分，共30分)11．(xx·甘肃兰州诊断)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C .(1)求证：AD 1⊥BC ；(2)在AB 上是否存在点M ，使得C 1M ∥平面ADD 1A 1？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．解： (1)证明：连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ， ∴D 1C ⊥BC ，在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，∴BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AD 1C ，∴AD 1⊥BC ，(2)设M 是AB 上的点 .证明如下：∵AB ∥CD ， ∴AM ∥D 1C 1.因经过AM ，D 1C 1的平面与平面ADD 1A 1相交与AD 1，要是C 1M ∥平面ADD 1A 1，则C 1M ∥AD 1，即四边形AD 1C 1M 为平行四边形，此时D 1C 1＝DC ＝AM ＝12AB ，即点M 为AB 的中点．所以在AB 上存在点M ，使得C 1M ∥平面ADD 1A 1，此时点M 为AB 的中点．12.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3.又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝18，∴cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，∴a ＝3 2.13．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x＋2ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)当a ＜0时，求f (x )的单调区间；(3)若对任意a ∈(－3，－2)及任意x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3＞|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x (x ＞0)，f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增，所以f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，无极大值．(2)因为f ′(x )＝2－ax －1x2＋2a ＝2ax 2＋2－ax －1x2＝2x －1ax ＋1x2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x 2，当－1a ＜12，即a ＜－2时，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜－1a 或x ＞12.令f ′(x )＞0得－1a ＜x ＜12；当－1a ＞12，即－2＜a ＜0时，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12或x ＞－1a ，令f ′(x )＞0, 得12＜x ＜－1a ；当a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －12x 2≤0. 综上所述，当a ＜－2时，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12；当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a . (3)由(2)可知，当a ∈(－3，－2)时，f (x )在区间[1,3]上单调递减．当x ＝1时，f (x )取得最大值；当x ＝3时，f (x )取得最小值． |f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (3)＝(1＋2a )－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ln 3＋f(13＋6a )＝23－4a ＋(a －2)ln 3.因为(m ＋ln 3)a －2ln 3＞|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，即(m ＋ln 3)a －2ln 3＞23－4a ＋(a －2)ln 3，整理得ma ＞23－4a ，又a ＜0，所以m ＜23a －4恒成立.由－3＜a ＜－2，得－133＜23a －4＜－389，所以m ≤－133.即m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪ m ≤－133.。

2021新高考数学二轮复习：专题突破练4 从审题中寻找解题思路

专题突破练4 从审题中寻找解题思路一、单项选择题1.已知sin π4-2x =35,则sin 4x 的值为( )A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2020山东济南6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是( ) A.14B.516C.38D.123.已知△ABC 中,sin A+2sin B cos C=0,√3b=c ,则tan A 的值是( ) A.√33B.2√33C.√3D.4√334.(2020天津河东区检测,8)已知实数a ,b ,ab>0,则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为( )A.16 B.14C.17D.65.(2020广东江门4月模拟,理12)四棱锥P-ABCD ,AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分6.(2020湖北高三期末,12)已知函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4,若方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时,不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则实数k 的最小值为( )A.9B.25C.2-√3D.√3−1二、多项选择题7.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,如图,则下列等式成立的是( )A.|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |28.函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,对不同x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)=√3,则( ) A.a+b=π B.b-a=π2 C.φ=π3D.f (a+b )=√3 9.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e 2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=110.(2020山东历城二中模拟四,12)已知函数f (x )=2sin (ωx -π6)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(0,1),则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为3πB.将函数f (x )的图象向左平移π6所得图象关于原点对称 C.函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增 D.函数f (x )在区间(0,100π)上有66个零点三、填空题11.若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),则∠B= .12.(2020天津河东区检测,15)函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3,若存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),n ∈N *,则n 的最大值为 .四、解答题13.(2020山东青岛二模,19)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,2S n+n+1=a n+12,n∈N*.(1)证明:当n≥2时,a n+1=a n+1;(2)若a4是a2与a8的等比中项,求数列{2n·a n}的前n项和T n.专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析由题意得cosπ2-4x=1-2sin2π4-2x=1-2×925=725,sin 4x=cosπ2-4x=725.故选C.2.B解析在经过6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或者向右两种选择,共有26=64种可能;要回到初始位置,则只需6次中出现3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能有C63=20种可能.故恰好回到初始位置的概率P=2064=516.故选B.3.A解析∵sin A+2sin B cos C=0,∴sin(B+C)+2sin B cos C=0.∴3sin B cos C+cos B sin C=0.∵cos B≠0,cos C≠0,∴3tan B=-tan C.∵√3b=c,∴c>b,∴C>B.∴B为锐角,C为钝角.∴tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC 1-tanBtanC =2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤2√3=√33,当且仅当tan B=√33时取等号.∴tan A的最大值是√33.故选A.4.A解析由于a2+b2≥2ab>0,所以aba2+b2+a2b2+4≤ab2ab+a2b2+4,故ab2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab ·4ab=16,当且仅当a=b 时,等号成立,故其最大值为16.5.B 解析在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),则由题意可得A (-3,0),B (3,0).∵AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB , ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ,∴APBP =ADBC =48=12.即BP 2=4AP 2,故有(x-3)2+y 2=4[(x+3)2+y 2], 整理得(x+5)2+y 2=16,表示一个圆.由于点P 不能在直线AB 上,故点P 的轨迹是圆的一部分,故选B . 6.C 解析函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4的图象如下图所示:当方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时, |ln x 1|=|ln x 2|,即x 1•x 2=1,x 1+x 2>2√x 1x 2=2,|ln(4-x 3)|=|ln(4-x 4)|,即(4-x 3)·(4-x 4)=1,且x 1+x 2+x 3+x 4=8,若不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则k ≥11-(x 12+x 22)x 3x 4-1恒成立,由11-(x 12+x 22)x 3·x 4-1=11-(x 1+x 2)2+2x 1x 24(x 3+x 4)-16=13-(x 1+x 2)216-4(x 1+x 2)=14[(x 1+x 2)-4+3(x 1+x 2)-4+8]≤2-√32,故k ≥2-√32,故实数k 的最小值为2-√32,故选C.7.ABD 解析由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 正确;由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项B 正确; 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-∠ACD )<0,又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>0,故选项C 错误;由题图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ,所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,由选项A,B 可得|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故选项D 正确. 故选ABD .8.BD 解析根据函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,所以函数的周期为2π2=π,即b-a=T2=π2,故B 正确.由图象知A=2,则f (x )=2sin(2x+φ),在区间[a ,b ]中的对称轴为x=a+b2, 由f (x 1)=f (x 2)得,x 1,x 2也关于x=a+b2对称,则x 1+x 22=a+b2,即x 1+x 2=a+b ,则f (a+b )=f (x 1+x 2)=√3,故D 正确,故选BD .9.BD 解析因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,∠F 1PF 2=π3,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a',则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y2-xy-xy=8c 23,所以(a')2=2c 23,即e 2=√62,故e 2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.故选BD .10.AC 解析由函数f (x )=2sin ωx-π6的图象的一条对称轴为x=π,得ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),因为ω∈(0,1),所以k=0,ω=23,则f (x )=2sin 23x-π6,所以周期T=2π23=3π,A 正确; 将函数f (x )的图象向左平移π6,得g (x )=f (x +π6)=2sin 23x+π6-π6=2sin (23x -π18),显然g (x )的图象不关于原点对称,B 错误;由2k π-π2≤23x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ),即k=0,得-π2≤x ≤π,即[-π2,π]是函数f (x )的一个单调递增区间,又[-π6,π2]⊆[-π2,π],所以函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增,C 正确;由f (x )=0,得23x-π6=k π(k ∈Z ),解得x=32(kπ+π6),由0<32k π+π6<100π,得-16<k<66.5,因为k ∈Z ,所以k=0,1,2,…,66,所以函数f (x )在区间(0,100π)上有67个零点,D 项错误.11.π3解析由三角形面积公式可得,S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b 22ac=√34cos B ,∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.12.8 解析函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3.f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),即为x 1+x 2+…+x n-1+x n 2-x n +3=x 12-x 1+3+x 22-x 2+3+…+x n -12-x n-1+3+x n ,化为x n 2-2x n +3=x 12-2x 1+3+x 22-2x 2+3+…+x n -12-2x n-1+3,设h (x )=x 2-2x+3,可得存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1),故h (x )在x=1处取得最小值2,在x=92处取得最大值574,即有574≥h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1)≥2(n-1),即为n ≤658,可得n 的最大值为8.13.解 (1)因为2S n +n+1=a n+12,所以2S n-1+n=a n 2(n ≥2).两式相减得2a n +1=a n+12−a n 2(n ≥2),所以a n 2+2a n +1=a n+12,即(a n +1)2=a n+12(n ≥2).因为数列{a n }的各项均为正数, 所以当n ≥2时,a n+1=a n +1.(2)由(1)得a4=a2+2,a8=a2+6,因为a4是a2与a8的等比中项,所以a42=a2·a8,即(a2+2)2=a2·(a2+6),解得a2=2.又2a1+2=a22,所以a1=1.所以a2-a1=1,从而a n+1-a n=1对n∈N*恒成立.所以数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n,所以2n·a n=n·2n,所以T n=1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,2T n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,两式相减得-T n=2+22+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以T n=(n-1)·2n+1+2.。

2021新高考数学二轮总复习学案：第4讲从审题中寻找解题思路含解析

第4讲从审题中寻找解题思路审题亦即提取有效信息，挖掘隐含信息,提炼关键信息•条件是题目的“泉眼二为考核学生的观察、理解、分析.推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式，精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系，隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需耍掌握的基本技能.事实上，审题能力的培养并未引起应有的重视, 很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练，把数学学习等同于解题训练，一味地机械模仿导致应变能力不强，遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入课区. 审题与解题的关系审题和解题是解答数学试题的重耍两步，其中，审题是解题的前提，详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍，正确把握数学试题中的己知条件和所求，从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路，最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件•解题作为审题活动的升华，是全面解答数学试题的核心.怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息，需耍我们去做什么，从题目本身获取“如何解这道题"的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源，为了从中获取尽可能多的信息，我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求手段与目标的统一.审题典例示范一、审清条件信息审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等儿方面. 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响，看似相同，就按过去同类型题目进行求解，要审出同还是不同，不能似是而非.【例1] （1）（2019 r 东广州二模，文12）若函数.心）二-"（”+祇+历的图象关于直线2-1对称，则・心）的最大值是（） A. -2 C.0（2）（2019河北衡水高三联考，理 ⑵如图，在ZkABC 中,ZABC 二90° AB 二匹BC=\、P 为△ABC 内一点，ZBPC=90° ・若J!lj tan ZPBA=( )£3 V3 £3 A.2 B.-2 C.4D.-4（1）|审题指导一|从題目条件中只能看到图象关于直线*-1对称，但从已知中找不到与函数 ./U ）的零点的关系，所以应注意到方程血•）二0隐含有重根0.根据对称性，发现重根-2,确定函数/U ）的解析式，从而求出最大值.审题指导二|根据对称性可知八-2）二人0）,且2-1是函数7U ）的极值点，得到/（-1）二0.联立得到关于a,b 的方程组，从而求出几0的解析式，从而求出最大值.B.-1 D.1吏蹩鱼吕对于函数对称性问题，可以运用特殊值法•若函数/U)关于*d对称剧满足.心ja)=y(a・x);芋函数./U)关于(d,b)对称，则满足J{x+a)+f{a-x)=2l)・⑵审题指导T利用RtAABC和RtABPC的边角关系，求得ZPCB二ZABP二8,进而推出PC 二cos&同理根据ZPCB十ZPCA= ZACB= ZPCA+ APAC,推出ZPAC=0y将已知条件转化为已知两边及其对氛解△/!"?,由正弦定理及同角三角函数关系，求得tanZPBA.审题指导二|借助平面几何知识，过A点作BP延长线的垂线，构造RtAADB,利用RtA/ABC 和RtABPC 的边角关系，求得ZPCB二ZABP二&解Rt^ADB. Rt^BPC. RtA/WPJk出AD. BD、PD、BP之间的关系,并用与&有关的正、余弦表示出来，利用BD二BP+PD建立等量关系求解tanZPBA・二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显，审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工，只有这样，方可避免因忽视隐含条件而出现错课•要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息，关注问题中易丁•疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异，要清晰定理成立、公式存在的前提.l依必+刁Io i【例2] (1)已知函数•心)二、47+1的图象在L刃上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数Q的取值范围为()3ai 5n V s T.(2)(2020 浙江考前模拟,10)若对圆(x-l)2+(y.l)2=l 上任意一点P(xj),l3x-4y+dl+l3”4y・9l 的取值与xj无关,则实数“的取值范围是()A・(-oc,4]C・(-8,4] U [6,+oc) D・[6,+oo)<.壘愛嘶a象小社”是揩弓.：2材£ %+耳设，函数上的对称轴为匸]匸2 ,…,对称中心为(兀0),(2儿0),…几¥)的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，隐含着z" 知机W咗二但厶咗知(2)|审题指导一|看到I3x-4y+«l+l3x-4y-9l联想点到直线的距离公式，能审出其表示的是点、P(x,.y)到两条平行直线3x-4y+a=0和3J-4V-9=0的距离之和；审题指导二|由距离之和与XJ无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧，从而圆心(1,1)到每条直线的距离都大于或等于半径1,由此得到a的取值范围是或dW-4;审题指导三|由直线3A-4V-9二0的表达式，能审出该直线在圆的下方，所以另一直线必须在圆的上方，从而舍去aW-4.三、审条件中的结构特征审题指导根据题目所给的甲.乙两企业污水排放量W与时间/的函数关系图象,能审出砂㈣两函数图象在不同的时间段的变化特征,但企业污水治理能力的強弱是用-"4来表示的,所以.此的几何意狡是解题的关键所在，若能审出.此表示区间端点连线斜率的负数，问题迎刃而解.五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一•此类问题关注现实生活，试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，也往往暗示着解决问题的目标和方向，要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识來分析、解决•在审题时，耍认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系，为解决问题提供有效的途径.【例5】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理7 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下而柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数』表示1台机器在购买易损零件上所需的费用弹位:元)，"表示购机的同时购买的易损零件数.⑴若川二19,求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大丁- F的频率不小于0.5,求”的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？审题指导|把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大.⑴当"二19时，探求y与x的函数解析式，由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同，需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较，自然应用分类讨论思想对xW 19与x> 19,分别探求y与x的函数解析式；(2)本題的统计图表不是鬲频考查的频率分布直方图，而是统计图表中的柱状图；(3)许多考生没有读懂题意，本问是判斷购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件，而判断的决罠依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，为此需计算两种方案时的平均数•每一种方案，在求解其平均数时自然需要借助于柱状图.六、审结论善转换结论是解题的最终目标，解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的. 审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，可以从结论中捕捉解题信息，确定解题方向•有些问题的结论看似不明确或不利丁•解决，我们可以转换角度，达到解决问题的目的.1【例6】（2020山东济南三模,16）己知函数y（x）=21n x^（x）=ax2-x^（a>0）.若直线y=lx-b与函数二g⑴的图象均相切，则a的值为 _________________ ;若总存在直线与函数y=7U）j=g（x）的图象均相切，则a的取值范围是_______ .审题指导T将条件两函数几丫）与g（Q的图象都与直线相切，转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率，从而得到方程组，解出参数d的值.审题指导三|将条件总存在直线与函数y=M，y=fi（x）的图象均相切，首先转换成函数fix）的图象的切线与函数g⑴的图象相切，其次再转换成由・心）的图象的切线方程与函数g（x）的解析式组成的方程有两相等实根，然后将有两相等实根转换成判别式等于0,从而得出关于参数a的表达式,最后转换成求a的最小值.七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的•弄清问题不仅要弄清条件，弄清结论，还耍弄清条件与所求结论的相互联系，以求手段与目标的统一.【借IJ 7】（2020 山东济南6 月模扌以,8）在AABC 中,COS A+COS B二二2。