与圆的轨迹方程

与圆的轨迹方程文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

求与圆有关的轨迹方程

[概念与规律]

求轨迹方程的基本方法。

（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问

题，其步骤是：? 设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x

0，y

），

? 求出用x，y表示x

0，y

的关系式，

? 将（x

0，y

）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。

[讲解设计]重点和难点

例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。

例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。

方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC，

当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即

即x2＋y2－4x＝0. ①

当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，

∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)．

方法二：(定义法)

由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，

由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)．

例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长

>

设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|}

∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，

设点M 的坐标为（x ，y ），则√(x 2+x 2−1)=√(x −2)2

+x 2

整理得（x-4）2+y 2

=7．

∴动点M 的轨迹方程是（x-4）2+y 2

=7．

它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为√7

例4 如图，已知两条直线l 1：2x-3y+2=0，l 2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l 1，l 2都相交，并且l 1与l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M 的轨迹方程。

设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M 到直线l 1,l 2的距离分别为d 1和d 2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

即

消去r 得动点M 满足的几何关系为=25,

即

=25.

化简得（x+1）2-y 2=65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程.

练习与作业

1、已知：点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当P 点在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程

2、已知点A （-1，0）与点B （1，0），C 是圆x 2+y 2

=1上的动点，连接BC 并延长到D ，使|CD|=|BC|，求AC 与OD （O 为坐标原点）的交点P 的轨迹方程。 3、求与y 轴相切，且与圆2240x y x +-=也相切的圆P 的圆心的轨迹方程

4、由点P 分别向两定圆221:(2)1C x y ++=及圆222:(2)4C x y -+=所引切线段长度之比为1：2，求点P 的轨迹方程

5、已知与22:2210C x y x y +--+=相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，(),2,2OA a OB b a b ==>>.

(1)求证:()()222a b --=;(2)求线段AB 中点P 的轨迹