线性代数第五章课后习题

习题五 (A)

1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：

(1) 123213336⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ； (2) ()121,2,33⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

A ； (3) 310410482⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ； (4) 563101121-⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪⎝⎭

A .

2. 已知0是矩阵10102010t ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

A 的特征值，求参数t 以及A 的特征值和特征向量.

3. 已知2103⎛⎫= ⎪

⎝⎭

A ，问T 130(,)=x ，T

212(,)=x 是否是矩阵A 的特征向量，并说明理由. 4. 设2

32-+=0A A E ，证明A 的特征值只能是1或2. 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为102,,-，求323-+A A E . 6. 证明n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 具有相同的特征值. 7. 设矩阵A 与Λ相似，其中

1241

242

1x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝

⎭A ，5

4y

⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝

⎭

Λ. 求y x ,.

8. 设矩阵20131405x ⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

A 可相似对角化，求x .

9. 设A 与B 都是n 阶矩阵，且0≠A ，证明矩阵AB 与矩阵BA 相似.

10. 试求一个可逆的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：

(1) 22225424

5-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝

⎭A ； (2) 2

202

1202

0-⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪-⎝

⎭

A ； (3)3

242

0242

3⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

A . (B)

1. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，1λ对应的特征向量为T

1)1,1,0(=x ，求矩阵A .

2. 已知T

1)1,1,1(-=x 是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭

A 的一个特征向量. (1) 试确定参数b a ,及特征向量1x 所对应的特征值； (2) 问矩阵A 能否相似于对角阵？说明理由.

3. 设A 是n 阶方阵，n 2,,4,2 是矩阵A 的n 个特征值，E 是n 阶单位阵，计算行列式3-A E .

4..设三阶实对称矩阵A 的特征值为123110,,,λλλ==-=12,λλ对应的特征向量依次为

()()12122212,,,,,,T T

x x ==-求矩阵A .

5.（研2004数一、二）设矩阵12314315a -⎛⎫

⎪-- ⎪ ⎪⎝

⎭

A =的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相

似对角化.

6.（研2004数三）设n 阶矩阵11

1⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

b b b b b b

A . （1）求A 的特征值和特征向量；

（2）求可逆矩阵P ，使得1

-P AP 为对角矩阵.

7.（研2006数一、二）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量T T

12(1,2,1),(0,1,1)=--=-αα是

线性方程组Ax =0的两个解.

(1)求A 的特征值与特征向量.

(2)求可逆矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

ΛQ AQ =.

9.（研2008 数二、三） 设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足

323A ααα=+，

（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1

P AP -.

10.（研2011数一、二、三）A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且

111100001111-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

A

求（1）A 的特征值与特征向量； （2） 矩阵A .

11.（研2014. 数一、二、三）证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

相似. 12.（研2015数一、二、三）设矩阵02313312-⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪ -⎭⎝A a 相似于矩阵12000031-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪

⎭⎝

B b .

（1）求,a b 的值.

（2）求可逆矩阵P ，使得1

P AP 为对角阵.