数学期望在生活中的应用
浅谈数学期望在生活中的应用
浅谈数学期望在生活中的应用浅谈数学期望在生活中的应用一、数学期望的定义引例某射手在一次射击比赛中共发射了10发子弹,其中有一发中7环,有二发中8环,有三发中9环,有4发中10环,求该射手在此次射击比赛中每发子弹击中的平均环数. 解平均环数这里的平均环数并不是这10发子弹击中的4个值的简单平均,而是以取这些值的次数与射击总次数的比值为权重的加权平均.在某种程度上说,这个加权平均可以用来衡量该射手的射击水平.二、数学期望的应用1.数学期望在疾病普查中的应用在一个人数为N的人群中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,如果将每个人的血分别检验,那么共需检验N次,为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按k个人一组进行分组,把同组k个人的血样混合检验,如果这混合血样呈阴性反响,就说明此k个人的血都呈阴性反响,此k个人都无此疾病,因而这k个人只需要检验一次就够了,相当于每个人检验1/k次,检验的工作量明显的减少了.如这混合血样呈阳性反响,就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反响,那么在对这k个人的血样分别进行检验,因而这k个人的血要检验1+k次,相当于每个人检验1+1/k 次,此时增加了检验次数,假设该疾病的发病率为р且得此病相互独立,试问此种方法能否减少平均检验次数? 分析看能否减少平均检验次数,可以求出每个人检验次数的数学期望,根据数学期望大小再判断.解设以k个人为一组时,组内每个人检验次数为x,那么x是一个随机变量,其分布规律为所以每人平均检验次数为 .由此可知,只要选择k使就可减少验血次数,而且也可以通过不同的发病率р计算出最正确分组人数,此外,也得知:发病率越小,分组检验的效益越大.在二战期间,美国对新兵验血就是使用这种方法来减少工作量的.2.数学期望在揭开赌场骗局中的应用在我国南方流行一种称为“捉水鸡〞的押宝,其规那么如下:由庄家摸出一只棋子放在密闭的盒中,这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一.赌客把钱押在一块写有上述12个字(六个红字,六个黑字)的台面的某一个字上,押定后,庄家揭开盒子露出原来的棋子,凡押中者(字和颜色都对)以一比十得奖金,不中者其押金归庄家,此押宝赌博对谁有利? 分析这道题的思想简单,与0-1分布一样.解不妨设一个赌徒押了10元,而收回奖金X元,假设押中,X=100;假设不中,X=0.X的概率分布列为因此数学期望元.由于支付10元,和期望收入8.33元不等.因此这是不公平的赌博,明显对庄家有利,事实上,当赌徒进入赌场,他面临的都是这种不公平的赌博,否那么赌场的巨额开支业主的高额利润从何而来.3.数学期望在通信中的应用设无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,信号每隔5秒钟拍发一次,直到收到对方的答复为止.假设发出信号到收到对方答复信号之间至少要经过16秒时间,求在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数.分析明显,此题是考查几何分布数学期望的求法,但是又隐藏陷阱“假设发出信号到收到对方答复信号之间至少要经过16秒时间〞,意味随机变量X最小取值为4.×0.8k-4,k=4,5,... X的期望为因此在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数为8次.这个例题虽是很简单的一个求数学期望的问题,但是“假设发出的信号到收到对方答复信号之间至少要经过16秒时间〞这个条件极易被忽略.上面这几题都是关于离散型随机变量数学期望一些性质应用的例子,接下来的4、5两个例子都是关于连续型随机变量数学期望一些性质,还要注意函数是分段函数. 4.数学期望在交通上的应用地铁列车到达某一站时刻为每个整点的第5分,25分,45分,设某一乘客在早上8点到9点之间随时到站候车,求他的平均候车时间.分析此题主要考查分段函数求期望的方法,必须先求出分段函数的表达式及X的密度函数.解设他到达地铁站的时刻为X,他候车时间为Y,那么由题意知X～U(0,60),那么有又知Y是变量X的函数, 由期望的性质知利用此例题可准确地对乘客的平均等待时间进行了预测,可以更好地指导实际,为人民群众效劳. 5.数学期望在决策中的应用设某种商品每周需求量是区间[10,30]上的均匀分布随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元,假设供大于求时那么削价处理,每处理一单位商品亏损100元,假设供不应求时,可从外部调剂供给,此时每一单位商品获利300元,为使商品获利润值不少于9280元,试确定最少进货多少?分析此题主要考查分段函数数学期望的求法,但是此处应注意分段函数的求法及均匀分布的密度函数的表达式. 解设进货数量为a,利润为g(X),那么 X的密度函数为得21≤a≤26.故所获利润期望值不少于9280元,最少进货为21单位. 接下来继续看6、7两个应用随机变量的和式分解这个性质解题的例子.这种方法可以解决用期望的定义不能直接求,甚至无法求解的题目,大大降低了求期望的难度,即使随机变量不是同分布也可以运用这一性质. 6.数学期望在电梯运行中的应用一架电梯载有8位乘客,从一楼上升,每位乘客在20层的每一层都可以下电梯,如果没人下,那一层电梯就不停.设每位乘客在各层楼下电梯是等可能的,且各乘客是否下电梯是相互独立的.以X表示电梯停下的次数,求E(X).分析显然X是一个离散型的随机变量,X=1,2,…,20,直接不易求出.不妨转换思想,假设电梯在i层停,那么Xi=1,否那么Xi=0,那么 .现在用数学期望的性质易求出E(X). 解设随机变量那么即xi(i=1,2,...,20)的分布规律为由此可知本例将随机变量分解为多个相互独立的随机变量之和的形式,再利用数学期望的性质.这个处理方法在实际应用中具有普遍意义.如果不用和式分解法几乎无从着手. [。
数学期望
5000 1000 100 10 0 2 105 10 105 100 105 1000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1
2
E( X ) 10000 105 5000 105 0 p0
0.5(元),
每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
17:39
分析:
设这个人一次购物得奖金X元，X的分布 列为：
X 500 100
10
20
p 1 105 10 105 102 105 103 105 0
17:39
X的数学期望为：
( X ) 500 1/105 100 10 /105 10 102 /105 2103 /105 0 0 0.045（元）
设头等奖1个， 奖金 1万元, 二等奖2个，奖金各 5 千元；三等奖 10个， 奖金各1千元； 四等奖 100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各 10 元。每张彩票的成本费为 0.3 元， 请计算彩 票发行单位的创收利润。
分析：设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
17:39
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
17:39
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
AABiblioteka ABBABB
A胜B负 A胜B负
A胜B负 B胜A负
而
B
1
只能获得赌金的4
.
因此, A 能“期望”得到的数
数学期望在生活中的应用-最新资料
数学期望在生活中的应用
数学期望（mathematicalexpectation）简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。
本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。
1.决策方案问题
决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。
它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。
具体做法为：如果知道任一方案Ai（i=1，2，…m）在每个影响因素Sj（j=1，2，…，n）发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。
1.1投资方案
假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票；二是存入银行获取利息。
买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。
试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？
1/ 1。
高二数学概率与统计中的期望与方差的应用
高二数学概率与统计中的期望与方差的应用概率与统计作为数学的重要分支之一，在高中数学课程中占据着重要的地位。
而其中的期望与方差更是概率与统计中的重要概念，具有广泛的应用价值。
本文将探讨高二数学概率与统计中的期望与方差的应用。
一、期望的应用期望是指一个随机变量所有可能取值的加权平均值。
在实际生活中，期望有许多应用。
首先，期望可以用来计算平均值。
例如，在一次掷骰子的实验中，骰子有6个面，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，每个数字出现的概率相等。
那么，掷一次骰子，出现的数字的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
这意味着在多次重复的实验中，出现的数字的平均值接近于3.5。
其次，期望可以用来评估投资的回报率。
假设某股票有两种可能的收益，收益1的概率为0.6，收益2的概率为0.4，对应的收益分别为100元和200元。
那么，这只股票的期望收益就是0.6 * 100 + 0.4 * 200 = 160元。
这意味着在多次投资中，每次投资的平均回报为160元。
此外，期望还可以应用于赌博的分析。
例如，在轮盘赌中，轮盘共有36个数字，其中18个为红色，18个为黑色。
假设赌徒每次下注5元，并且下注的数字与轮盘最终停在的数字相同，则赌徒获胜，获得10元的收益；反之，输掉下注的5元。
那么，赌徒在一次下注中的期望收益就是(18/36 * 10) + (18/36 * (-5)) = 0元。
这意味着在多次下注中，赌徒每次下注的平均回报为0元。
二、方差的应用方差是衡量随机变量离其期望值有多远的统计量。
在实际问题中，方差也有着广泛的应用。
首先，方差可以用来度量一个样本的离散程度。
例如，在某考试中，某班级的学生总成绩对应的随机变量为X，其期望值为E(X)，方差为Var(X)。
在这个班级中，学生的总成绩越分散，说明学生之间的差异越大，方差就越大。
而方差越小，则说明学生的总成绩越接近平均水平，差异性越小。
其次，方差可以用于风险评估。
[整理版]数学期望在实际生活中的应用
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摘要在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。
通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。
通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。
所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。
关键词：数学期望随机变量性质实际应用AbstractIn the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience "mathematics really useful". So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific.Key words: Mathematical Expectation; Stochastic V ariable; quality; Practical Application目录摘要 (1)Abstract (2)第一章绪论 (4)1.1数学期望的起源及定义 (4)1.2数学期望的意义 (5)第二章数学期望前瞻 (5)2.1离散型 (5)2.2连续型 (6)2.3随机变量的数学期望值 (7)2.4单独数据的数学期望的算法 (8)2.5数学期望的基本性质 (8)第三章数学期望在实际中的应用 (9)3.1 经济决策中的应用 (9)3.2 彩票、抽奖问题 (10)3.2.1彩票问题 (10)3.2.2抽奖问题 (11)3.3 求职决策问题 (12)3.4医疗问题 (13)3.5体育比赛问题 (15)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)第一章 绪论1.1数学期望的起源及定义早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
数学期望在生活中的运用
数学期望的性质及其在实际生活中的应用●数学期望的概念：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。
●数学期望的定义E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
●数学期望的应用：例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。
设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。
每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。
E（X）＝10000×＋5000×＋ 0＝0.5（元）每张彩票平均可赚2－0.5－0.3＝1.2（元），因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为100000×1.2＝120000（元）小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。
例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。
买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。
数学期望在生活中的应用
参考文献
[1] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教 育出版社,2004.
[2] 陈方樱,徐赐文,郑更新.概率论与数理统计[M].机械工业出 版社,2006.
[3] 沈恒范.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社,2003.
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余的东西需要去掉,保持干净,表达能够更加清晰,这个道理十分 的简单。有时短小舞蹈的表达是意境和感觉的表达,他们比较适 合简洁的内容。除此之外,对素材进行重复利用也有助于表达,但 是重复利用的度要掌控好,太多太长了会显得冗余,太短了又会 有所不足,所以分寸的掌握至关重要。创作的方法是多种多样的, 有的先立意,有的先选材,有的是有了灵感和欲望。不管是什么的 方法,都可以创作出好的作品,但是素材的选择仍然是要恰当。
35
258Z
258 13983816
42Z
1 13983816
187041536901982 Z 13983816
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0
在这一情形中,出现的数量比较庞大,但是可以从上述中看
出,这个事件也恒小于0,也说明了与之前1,2,3的情形一样的道
理,平均来说,买这个六合彩是亏本的。
2 结语
通过了解民间六合彩赌博的方式,列举出民间一般的4种买六 合彩方式,通过概率原理说明了,即使中奖的号码是不确定的,但是 中奖事件的数学期望是可以求的,也就是说,尽管不知道中奖的号 码,中奖的机会,但从数学期望角度上,六合彩的庄家必定是赢家。 希望还沉寂在地下六合彩赌博中的人能够清醒过来,不再盲目。
论概率中数学期望在实际生活中的应用研究
约 定 谁 先 赢 ５局 ，谁 就获 得 全 部 赌 金 ，赌 了 一 点 。
等奖 ｌｏ０个 ，奖金 各 １ｏ０元 ｝五等 奖 ｌ０００个 ，奖
半 天 ，Ａ赢 了４局 ，Ｂ赢 了 ３局 ，忽 然 ，由于 意 ２．２工 资待遇 问题
金 各 ｌＯ元 。每 张 彩 票 的 成 本 费 为 ０．３元 ，请
试 问 哪 个 射 手 技 术 较 好 ？
轻 而 易举 购 买 的 。
计算 下他 们的 数 学 期望 就 知 道答 案 了， ２．４ 彩票发 行 中心 的利 润 问题
早 些 时 候 ，法 国有 两 个 数 学 家 帕斯 卡
Ｅｆ １＝８×０．３＋９Ｘ０．１＋１０Ｘ０．６＝ ９．３
某 一 彩 票 中 心 发 行 彩票 ｌ０万 张 ，每 张 ２
！！！！ ：！！
Ｃｔｌｌｎ８ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖｅｔｊｏｒｌ Ｈｅｒａｌｄ
科 教 研 究
论概 率中数学期望在实际生活 中的应 用研 究
苗 慧 （浙江 长征职业 技术学 院 浙 江杭州 ３１ ００２３）
摘 要 ：数 学期望是概 率 中的一个 重要的概念 ，它反映 了随机 变量取 值的平 均水平 ，是 研究随机 变量 的一个重要 的数字特征 ，本文通过研
随机 变 量总 体 取 值 的 平 均 水 平 的一 个重 要 的数 字 特 征 。
击 中环数 概 率
８ ９ １Ｏ ０．２ Ｏ．５ ０．３
还 是 蛮 大 的 ，就 是 因 为 很 多 人 缺 乏 数 学 期 望 常识 ，如 果 懂 数 学 期 望 的 人 就 不 这 些 复 杂 的 问题 变
中去 ，这 就 是学 习知 识 的价 值 和 意 义 。教 师 ３局 的 拿 这 个 钱 的 ｌ／４，这 就 是 数 学 期 望 的 得 简 单 易 解 。
数学期望值的概念和意义
数学期望值的概念和意义数学期望值是概率论中的一个重要概念，它是每个可能结果的概率与其对应的值的乘积的总和。
数学期望值可以用来描述一个随机变量所具有的平均水平，它反映了随机变量的中心位置。
在统计学和概率论中，数学期望值有着重要的意义和应用。
首先，数学期望值可以用来描述一个随机事件的平均结果。
在离散型随机变量的情况下，数学期望值是每个可能取值乘以其概率的总和。
例如，掷骰子的随机变量X的取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，那么X的数学期望值为(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)=3.5。
这表示在长期实验中，掷骰子的平均结果将接近于3.5，即我们可以预期掷出的点数在平均意义下接近于3.5。
其次，数学期望值还是一个随机变量的重要性质之一。
在随机变量的分布中，数学期望值属于一个固定的值，它是随机变量所在分布的特征之一。
通过计算随机变量的数学期望值，我们可以获得关于随机变量的重要信息，比如该随机变量的平均值、期望值等。
例如，对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，那么X的数学期望值可以通过积分计算得到，即E(X)=∫xf(x)dx。
数学期望值能够提供关于随机变量的重要特征，帮助我们更好地理解和分析随机变量。
此外，数学期望值还可以用来评估不同概率分布下的随机变量性质。
对于给定的随机变量X，其数学期望值与方差密切相关。
方差是随机变量与其期望之间的离散程度的度量，方差越大表示随机变量的值离期望值越远。
因此，数学期望值可以通过方差来衡量随机变量的离散程度。
如果随机变量的方差较大，那么数学期望值可能不能很好地反映其平均水平。
通过比较不同概率分布下随机变量的数学期望值和方差，我们可以评估其分布特征的不同，选择适合的概率分布模型来描述随机变量的性质。
此外，数学期望值还在实际问题中具有广泛的应用。
数学期望在实际生活中的应用
摸 子 情 况 ５枚 白 ４枚 白 ３枚 白
其 它
彩 金 ２Ｏ元 ２元 ０．５元 无 奖 同 乐 一 次
看 有 １０００次 摸 奖 ，摊 王 赌 钱 逊 是 挣 钱 ？
解 ：记参 加者 随意摸 一次 ，摊 主付 给参加 者 的彩 金 为 元 ，则 的可能取 值为 ２０，２，０．５，０，则
．···．·Ｅ（ ）＝２× ＋ 十３× 荑＋４× ＋５× ＋６×
场 内促销 活 动可获 得 经 济 效益 ２万 元 ；商 场外 促 销 活动若不 遇 到有雨 天气 可获 得经济 效益 ｌ０万 ，若 促 销 活动 中遇 到有雨 天 气 则 带来 经 济 损 失 ４万 元．据 天 气预报 知 ，此 节 日当 地 有 雨 的 概 率 为 ４０％ ，商 场
圆
圆 回
圆 圆囫
聒圈 圆 圆
Ａ
Ｂ
处 理第 １问 ，先点 击 显 示 圆 按 钮 ，验证 Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ 四个 点在 同一 个 圆上 ，增 加 了问题 的直观性 ．再 引
的说 理过 程显得 更 自信 而具 用 说 服力 ，于是 这 个 难 导学生 找 出定 点 ０，证 明 ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．
《数 学 之 友 》
２００８年第 ２３期
建 模
数
学
期
望
在
实
际
生
活
中
的
应
用
与
应 用
武 瑞 雪
（江 苏 省 睢 宁县 城 北 中学 ，２２１２００）
高 中数学 课程 改 革 注 重数 学 知 识 的实 际 应 用．
尸（ ＝４）＝ｃ × ３ × １ ＋ ２ × ２： １０；
在 现实生 活 中 ，很 多 问题 与 数学 期 望 即随机 变 量 的 平 均值有关 ．所 以在 高 中数 学 中新增数 学期 望 内容 ，
数学期望在现实生活中的应用
数学期望在现实生活中的应用发布时间：2021-03-29T15:28:18.083Z 来源：《中国教工》2020年32期作者：杨付贵[导读] 在我们的日常生活中有许多随机现象和规律，需要用概率统计的方法对其进行研究。
杨付贵广州工商学院基础教学部广东佛山三水 528138摘要：在我们的日常生活中有许多随机现象和规律，需要用概率统计的方法对其进行研究。
由于数学期望是判断变量规律的基本依据之一，是概率论与数理统计课程中一个非常重要的数字特征，在我们生活中起到了至关重要的作用。
本文通过一些现实生活中的实际例子，简介数学期望在我们现实生活中的具体应用。
关键词：数学期望；概率统计；应用所谓数学期望就是随机变量的平均值，简称为均值。
它是在研究现实生活中各种随机现象和统计规律中，经常会用到的重要一个因素。
下面通过现实生活中的一些具体实例，阐述数学期望在实际经济生活中的作用和数学期望的价值意义。
1.在商店进货问题中的应用随着我国经济的不断增长，各个生产企业的管理者以及商品销售商店的经营者一直都在追求利润的最大化，为此，生产企业的管理者和商品销售商店的经营者，对下一个阶段商品的需求和供应量，往往需要进行科学的预测和估计，然后，根据所预测的数目计划最佳的生产量和策划合适的销售方案。
因此，经验丰富的生产企业的管理者以及商品销售商店的经营者，都会根据以往统计的数据，利用微积分和概率论的相关知识，求出不同商品的销售量和生产量的利润数学期望值，利用不同商品的利润的期望值来生产销售各种商品。
以期达到利润的最大化。
例1.设某种商品的每月需求量是服从[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店的进货数量为区间[10，30]上的某一整数，假设该商店每销售该商品一单位可获利500元；若供大于求则处理，每处理一单位该商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位该商品仅获利300元。
为使商店所获利润的数学期望不小于9280元，试确定最小进货量。
数学期望在经济生活中的应用
本科毕业论文（设计）题目：数学期望在经济生活中的应用学生：学号：学院：数学与计算科学学院专业：数学与应用数学入学时间： 2009 年 9 月 5 日指导教师：职称：完成日期： 2013 年 4 月 15 日数学期望在经济生活中的应用摘要：数学期望是概率论的重要组成部分,在经济生活中常被作为一种统计指标，帮助人们做出正确的决策。
本文通过对数学期望的基本理论知识进行系统总结，重点探讨数学期望在风险决策问题、商家投资产品效益问题、买彩票问题、面试求职问题、减少工作量等问题中的应用，说明其在经济生活中具有重要的应用价值。
关键词：数学期望，随机变量，经济生活Application of mathematical expectation in the economic lifeAbstract: Mathematical expectation is an important part of probability theory, as a kind of statistical indicators in economic life to help people make the right decisions. Based on mathematical expectation systematically summarizes the basic theory of knowledge, the paper mainly discusses the mathematical expectation in any risk decision problem, merchants investment product efficiency problem, buy a lottery ticket, the job interview questions, reduce the workload and other issues, the application of it have important application value in economic life.Key words：Mathematical expectation ，random variable，economic life目录1、引言（绪论） (3)2、概率论中的数学期望 (3)2.1、数学期望的概念 (3)2.2、离散型随机变量的数学期望 (4)2.3、连续型随机变量的数学期望 (4)3、数学期望在经济生活中的应用 (5)3.1、决策方案的问题 (5)3.2、生产和销售利润的问题 (7)3.3、委托-代理的问题 (8)3.4、彩票的问题 (9)3.5、减少工作量的问题 (10)3.6、赌徒困惑和凯利准则 (11)4、结束语 (12)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言数学期望在中学阶段就开始学习，是因为它在生活中经常用到。
数学期望和方差在经济生活中的应用
序派人,
任务 能 被 完 成 的 概 率 为 p =p1 + (
1
(
-p1 )
1-p1 )
1-p2 )
p2 + (
p3 =p1 +p2 +p3
-p1p2 -p2p3 -p3p1 +p1p2p3 。
按 甲 在 先,丙 次 之,乙 最 后 的 顺 序 派 人,
1)
派人,
求任 务 能 被 完 成 的 概 率。 若 改 变 3 个
人被派出 的 先 后 顺 序,任 务 能 被 完 成 的 概 率
是否发生变化?
=p1p2 -2
p2 -p1 +3。
E(
X1 )-E (
X2 )= (
p1p2 -2
p1 -p2 +
3)
-(
=p2 -p1 <0。
p1p2 -2
p2 -p1 +3)
可能性大 小 以 及 事 故 造 成 的 损 失 大 小,从 而
人各自能 完 成 任 务 的 概 率 依 次 为 q1 ,
q2 ,
q3 ,
所需要派出人员数目 X 的 分 布 列 和 均 值 (数
。
学期望)
E(
X)
(
假定 1>p1 >p2 >p3 ,
试分析以怎样
3)
的先后顺 序 派 出 人 员,可 使 所 需 派 出 的 人 员
活中的应用,
供同学们欣赏。
任海涛
一家公司的经济收入可能会多一些。
a。
(
解析:
1)设 乙 公 司 送 餐 员 送 餐 单 数 为
当 a=3
8 时,
浅谈数学期望在生活中的应用
科技 论 坛 ｌＩ ｆ
浅谈数学期望在生活中的应用
谢 彬
（ 北京冶金设备研 究设计总院， 北京 １０ ２ ） ０ ０９
摘 要： 学期望是随机 变量最重要 的数 学特征之一。通过几个例子 ， 数 阐述 了概率论与数理统计 中的数学期 望在 生活中的应用， 内容包括 工程 承包决策、 罚款额度的确定、 井平均逃生时间的计算、 矿 商场进货数量决策和识破街头诱人游戏等。 关键词 ： 学期望 ； 率； 数 概 随机 变量 ； 应用 数学期望是概率统计 中随机变量最基本的 数学特征之一， 是随机变量按概率的加权平均， 又 称期望或均值， 它是简单算术平均的一种推广。 在 生活中， 有许多问题可以利用数学期望来解决。 １承包工程的决策 某工程队计划承包一项工程。 若三天完成可 获利 ８０ 元 ， ００ 四天完成可获利 ５０ 元 ， ００ 五天完成 要被罚款 １０ ０ ００ 元。由以往经验知 ， 该工程队三 天、四天、五天完成此项工程的概率分别为 ｏ 、 ３ ０、 ， ． ｏ 获利金额的概率分布见下表。 如果你是 ５２ 问， 经理， 愿意承包这项工程吗？ 计算出利润的数学期 通道（ 概率是 １ ）花时间 ｔ ／， ２ 就可以成功逃生 ； 若 针停在阴影区 才能得奖， 假设圆盘周长为 １０ ｍ ０ｅ ， 开始他选择了第一条通道（ 概率也是 ｖ ）回到 圆周上的每一阴影弧长为 ２ ｅ ， ２， ． ｍ共有四条阴影弧 ５ 原处后他不会再选第一条通道了， 必然走人第二 线， 总阴影弧长为 １ｃ ， ０ｍ 假设圆盘质地均匀 ， 则每 条通道 ， 经过时间 ｔｔ ｉ ＋ 后可以成功逃生。这样， 其 次转动指针后 ， 它停在阴影区的概率为： ｌｃ ／ Ｐ Ｏ ｍ － ＝ ｌ Ｏ ｍ＝ ．。 Ｏ ｃ Ｏ １ 成功逃生花费时间的数学期望为： ｔ ＋ ） ＋ 显然 ， ＋ ｔ ｔ。 为了能够尽陕逃生 ， 特 的老板的平均获利 。 ５ 若学生交给老板 １ ． １ 元钱，转动指针一次， 别当ｔ 。 的值较大时， 被困者对走过的路做标记是 必要的。 森林里的迷路者， 边走边用小刀在树上留 获奖的概率是 Ｑ ， １ 获奖后老板奖励给学生 ２ 元 钱。老板的毛收益为 ｌ ， 元 支出的数学期望为： ２ ｘ 下有意义的痕迹， 就是这个道理。 ０１０ 元 。 ． ． 老板的平均净收益为 ： ０ ＝ ．元。 ＝２ １ ．０ －２ ８ ４商场进货数量的决策 某商场计划在盛夏来临之前 ， 完成一批某种 ５ 若学生交 ２ ． ２ 元钱， 转动指针两次， 就是进 望就知道 答案 了。 夏装的采购。根据经验， 如果进货量太小 ， 最后可 行了 ２ 重贝努利试验，指针的转动结果服从 ｎ ２ ＝， 能会出现无货可卖的局面 ， 从而失去获利的机会 ； Ｐ Ｏ 的二 －． １ 项分布 ， 见下表。 老板的毛收益为２ 元， 兰垂！ ！ ： Ｐ ０３ ０５ ０２ ２ ． ＋ ６０ １０ ２ ｘ１ ０ ５ 老板 如果进货量太大， 很可能夏季已经过去了， 该批夏 支出的数学期望为： ０ ８１ｘ ． ＝ ． 元 ， 承包此项工程获利的数学期望是 ：００ ０ ＋ 装还有剩余， ８０ ｘ ３ ２０ ＝． 元。 －． ４ ５ 最后只能降价处理甚至赔本甩卖 ， 的平均净收益为 ： － ２ １ ８ 因 ５０ｘ５ １０００－９０ ， ０００ —００ｘ．２０ 元 就是说， ２ － 虽然有被罚 为 放到第二年再卖 ， 增加了 商场的保管成本， 万一 苎 里 垦 ！ ！ 墅 ！ Ｐ ０ ８ １ ０ｌ ０Ｏ ８ １ 款的可能， 但平均说来 ， 承包这样的工程是可以获 到了第二年服装的样式过时， 损失会更大。 ５ 若学生交 ３ ＿ ３ 元钱， 转动指针三次 ， 进行了 利的。 假设基于往年 的情况和专业人员对近期市 重贝 努利试验，指针的转动结果服从 ｎ３Ｐ Ｏ ＝， ． ＝１ ２罚款额度的确定 场形势的评估 ， 在夏季 ， 该商场至少能卖出 ５０ ０ 件 ３ 某些不法商贩每卖一批不合格 的货物可获 该种夏装 。 至多 １０ 件 ， ０ ０ 卖出的件数近似均匀分 的二项分布， 见下表。老板的毛收益为 ３元 ， 支出 利 １０ ０ ， ０ ０ 元 被查处 的概率为 ０ ， ２ 即不被查处 的 布， 可知夏装销售件数的概率密度函数为 ： 的数学期望为 ：ｘ ． ３ １ｘ．２＋ Ｏ ｘ． １１ ２ ２ ０ ４ ＋６Ｏ ７ ｌＯ Ｏ ０ ＝． ２ Ｏ Ｏ ０ 概率为 ０ ， 罚款额为多少时， ． 问， ８ 基本上可 以禁止 ㈧”ｌ，ｓ １ 元， 老板的平均净收益为： １ ２ １ ８ ３ ． ＝ ． 元。 —０ ９ ： Ｊ５ ｘ ｏ ｏ ≤ｏ …０ ｏ Ｘ ０次 １ 次 ２次 ３次 这些商贩的不法行为？ ｏ，它 其 。 假设在夏季每卖出—件平均 Ｐ ｏ７ ９ ２ ０２ ３ ００ ７ ０ Ｏ ４ ．２ ０ｌ 假设罚款额为 Ｆ 为了禁止该类不法行为 ， ， 应 获利 １０ ， ５ 元 夏季内没有卖出去的衣服平均每件 该让不法 商贩获利 的数学期 望小于等 于 ０ 即 亏损 ６ 元。 ， ０ 现在要确定进货的件数 ｙ ， 使得商场的 ５ 若学生交 ４ ． ４ 元钱， 转动指针四次 ， 进行了 １００ ）－ｘ２ ０得到 Ｆ ４００ ， ００，． Ｆ０ ＿ ， Ａ８ ＜ ＞ ＿ ００ 元 则罚款额 平均利润最大。显然，肯定介 于 ５０ １ ０ ｙ ０ 到 ０ 之 ４ ０ 重贝努利试验， ， 同理 可以得到指针转动结果的 至少应是 ４００ ００ 元。我们常说要加大查处力度和 间。设 Ｘ 为实际销售件数 ， ＞ 时。 当ｘ ｙ 也就是当 － 实 概率分布 ， 见下表。 这时 ， 老板的平均净收益为： － ４ － 加重处罚 ， 就是要增大不法行为被查处的概率和 际销售量大于等于进货量时 ， 衣服不会有剩余 ， （ｘ． １ ＋６ ０ ４ ６ １０ ０ ０６ ６ ０ Ｏ ０ １＝ 每 ２ ０ ９ ６ １ ｘ． ８ ＋０ ｘ ． ３ ＋ ０ ｘ． ０） ２ ０ ０ Ｏ 增加罚款额度 ， 让不法商贩获利的数学期望变为 件衣服都可获利 ； ｘｙ 也就是当实际销售量 ２ ２ 。 当 ＜ 时， ２ 元
感悟数学期望在实际生活中的应用
感悟数学期望在实际生活中的应用离散型随机变量的期望是离散型随机变量的重要的数字特征，它从整体上描述随机变量，反映了随机变量取值的平均水平，在实际生活中有着广泛的应用。
以下几例，供参考：例1据统计一个家庭中万元以上的财产被盗的概率是，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（100a>）。
问a如何确定，可使保险公司有望获利分析：要使保险公司获利，即()0E X>，从而将问题转化为利用不等式求a的取值范围。
解析：设X表示保险公司在参加保险人身上的收益，则X的可能取值是100，100a-，P X==；(100)0.99P X a=-=。
(100)0.01E X a=⨯+-⨯1000.010()1000.99(100)0.01=->，a∴10000a<，又∵100<<，即当a在100至10000之间取a>，∴10010000a值时保险公司可望获利。
评注：该例与生活密切相关，由此可深切体会到数学期望的应用价值。
例2某渔船要对下月是否出海做出决策，如果出海后遇到好天气，可收益6000元，如果出海后天气变坏，将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费。
据气象部门预测，下月好天气的概率是，天气变坏的概率是，请你为该船做出决定，是出海还是不出海分析：船是出海还是不出海，关键是要看船出海的收益平均值与不出海的收益平均值1000-的大小。
解析：设该船一次出海的收益为随机变量X，则其分布列为：∴()60000.6(8000)0.4400E X=⨯+-⨯=。
∵()4001000E X=>-，∴应该选择出海。
评注：“出海”还是“不出海”，是将实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较措施取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值。
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数学期望在生活中的应用王小堂保亭中学摘要：数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。
通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。
关键词：随机变量，数学期望，概率，统计数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。
本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。
随机变量的数学期望值：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
）单独数据的数学期望值算法：对于数学期望的定义是这样的。
数学期望E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
1 决策方案问题决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。
它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。
具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。
1.1投资方案假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。
买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。
试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。
在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。
1.2面试方案设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。
估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。
由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。
对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。
先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。
那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。
这一策略下工资总的期望如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。
第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2.7万。
期望值为:E（A2）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。
这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。
这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。
故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。
2 生产和销售利润问题在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。
但供应量和需求量又不是预先知道的。
理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。
假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。
估计出售一件产品，公司可获利m元，而积压一件产品，可导致损失n元，另外，该公司预测产品的销售量X为一个随机变量，其分布为p(χ)，那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。
假设该公司每年生产该产品χ件，尽管χ是确定的，但由于需求量(销售量)是一个随机变量，所以收益Ｙ是一个随机变量，它是Ｘ的函数：公司收益的数学期望为：Eζ=pmX+(1-p)n(x-X)问题转化为,当χ为何值时,期望收益可以达到最大值。
这个问题的解决,就是求目标函数期望的最大最小值。
3 彩票问题3.1设每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。
每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到999999的每个数等可能出现），兑奖规则如下：如果兑奖号与中奖号的最后一位相同者获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；兑奖号与中奖号的最后二位相同者获五等奖，奖金50元（中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获四等奖,奖金500元(中奖概率为0.001);兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）；兑奖号与中奖号的最后五位相同者获二等奖，奖金50000元(中奖概率为0.00001）;兑奖号与中奖号全部相同者获一等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。
另外规定，只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的平均所得。
所以彩民的每张彩票的售价数学期望所得为:Eζ=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.00000 1=3.5那么，一个开奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖金形式返还给彩民，其余150万元则可用于福利事业及管理费用。
因此，彩票中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出的，计算期望所得也是设计一种彩票的基础。
3.2还有一种玩法和设奖方法：彩票的玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票，每一张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成，每位数字均可填写0、1、……、9这10个数字中的一个。
每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号--一个6位数号码另加一个特别号码。
中奖号码情况如下所示(假设一等奖号码是123456，特别号码是7)：奖级中奖号码每注奖金特等奖123456+7 不一定一等奖123456 不一定二等奖12345△、△23456 不一定三等奖1234△△、△2345△、△△3456 300元四等奖123△△△，△234△△、△△345△、△△△456 20元五等奖12△△△△、△23△△△、△△34△△、△△△45△、△△△△56 5元§3.1中奖概率以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率：特等奖P0 = 1/10000000 = 0.0000001一等奖P1 = 1/1000000 = 0.000001二等奖P2 = 20/1000000 = 0.00002三等奖P3 = 300/1000000 = 0.0003四等奖P4 = 4000/1000000 = 0.004五等奖P5 =50000/1000000 = 0.05合起来，每一注总的中奖概率为：P = P0+ P1+ P2 +P3+ P4+ P5 = 0.0543211这就是说每1000注彩票约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)§3.2彩票中奖的期望值从理论上讲彩票奖金的返还率50%，所以每一注彩票的期望值应该是1元。
现在，我们来实际计算一下，看是否如此。
体育彩票各奖级的概率、奖金数额列如下：奖级中奖概率每注奖金特等奖00000001 2500000(元)一等奖0000001 50000(元)二等奖000002 5000(元)三等奖00003 300(元)四等奖0004 20(元)五等奖005 5(元)期望值Eζ=0.0000001×2500000+0.000001×50000+0.0002×5000+0.0003×300+0.004×20 +0.05×5≈0.82(元)即每一注体育彩票中奖的期望值约为0.82元。
这与理论值1元相差不大，误差的原因主要是对前三级奖金的估计不够精确。
4 医疗问题在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需要检验N次，现在要问：有没有办法减少检验的工作量？我们先把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这说明k个人的血液全为阴性，因而这k 个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然是减少了，但是如果检验的结果是阳性，为了明确k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人检验的总次数为k+1次，检验的工作量反而有所增加，显然，这时k个人需要的检验次数可能只要1次，也可能要检验k+1次，是一个随机变量，为了和老方法比较工作量的大小，应该求出它的平均值（也是平均检验次数）。
在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（如果这种病不是传染病或遗传吧遗传病），并且每个人是阳性结果的概率为p，就是阴性结果的概率为q=1-p，这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为kq,呈阳性结果的概率则为1－k q,现在令η为k个人一组混合检验时每人所需的检验次数，由上述讨论可知η的分布列为：Eη=1k.k q+（1+1k）（1-k q）=1-k q+1 k而按原来得老方法每人应该检验1次，所以当1-k q+1k＜1，即q时，用分组的办法（k个人一组）就能减少检验的次数，如果q是已知的，还可以从Eη=1-k q+1k中选取最合适的整数k，使得平均检验次数Eη达到最小值，从而使平均检验次数减少。