第六章 空间力系分析
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3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cos cos Y F sing sin Fxy sin F cos sin
Z Fcosg Fsin 5
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
17
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[证] 由于mO (F ) 2AOB面积
通过O点作任一轴Z，则：
mz (F )mz (Fxy )2OA'B'
由几何关系： OABcosg OA'B' 所以： 2OABcosg 2OA'B'
即： mO (F ) cosg mz (F )
[mO (F )]z mz (F )
R F1 F2 F3 Fn F i
即：合力等于各分力的矢量和
2、解析法： 由于 Fi X ii Yi j Zik 代入上式
合力 R X ii Yi j Zik
由 X i 为合力在x轴的投影， ∴
Rx Xi R y Yi Rz Zi 7
3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第六章 空间力系 §6–1 空间汇交力系 §6–2 空间力偶系 §6–3 力对点的矩与力对轴的矩 §6–4 空间一般力系向一点的简化 §6–5 空间一般力系简化结果的讨论 §6–6 空间一般力系的平衡方程及应用 §6–7 平行力系的中心与物体的重心
18
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
又由于 mO (F )rF [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
mx (F )i my (F ) jmz (F )k
所以力对点O的矩为：
mO (F ) (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
11
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩作用面的方位——与力偶作用面法线方向相同 ③在作用面内的转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
14
mO (F )r F , mO (F ) r F sin(r,F ) F d
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。
O
两矢量夹角为 12
由于F Xi YjZk r xi yj zk
i jk
mO (F )r F x y z ( yZ zY )i (zX xZ ) j(xY yX )k X Y Z [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
X 0 Y 0
Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2 空间力wenku.baidu.com系
一、力偶矩用矢量表示： 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。
力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动 为正。 空间力偶是一个自由矢量！
10
二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相
同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
cos mx (F ) ,cos my (F ) ,cosg mz (F )
mO (F )
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz 而：
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk 所以： F Xi Yj Zk
Fz Fx
F X 2 Y 2 Z 2
cos X ,cos Y ,cosg Z
F
F
F
Fy
6
二、空间汇交力系的合成： 1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多
边形方法求合力。
15
二、力对轴的矩
定义： mz (F )mO (Fxy )Fxy d 2OA'B'的面积
它是代数量，方向规定 + –
[证] mz (F )mz (Fz )mz (Fxy )mO (Fxy )
结论：力对//它的轴的 矩为零。即力F与轴共 面时，力对轴之矩为零。
16
力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
12
n
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
m
m
2 x
m
2 y
mz2
;cos
mx m
,cos
my m
,cosg
mz m
显然空间力偶系的平衡条件是：
m m i 0
投影式为：
mx 0 my 0
mz 0
13
§6-3 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 [例] 汽车反镜的球铰链
上投影的代数和。
合力: R
Rx2
R
2 y
Rz2
(X )2 (Y )2 (Z )2
cos Rx ,cos Ry ,cosg Rz
R
R
R
8
三、空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
习题课
3
§6-1 空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cos cos Y F sing sin Fxy sin F cos sin
Z Fcosg Fsin 5
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
17
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[证] 由于mO (F ) 2AOB面积
通过O点作任一轴Z，则：
mz (F )mz (Fxy )2OA'B'
由几何关系： OABcosg OA'B' 所以： 2OABcosg 2OA'B'
即： mO (F ) cosg mz (F )
[mO (F )]z mz (F )
R F1 F2 F3 Fn F i
即：合力等于各分力的矢量和
2、解析法： 由于 Fi X ii Yi j Zik 代入上式
合力 R X ii Yi j Zik
由 X i 为合力在x轴的投影， ∴
Rx Xi R y Yi Rz Zi 7
3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第六章 空间力系 §6–1 空间汇交力系 §6–2 空间力偶系 §6–3 力对点的矩与力对轴的矩 §6–4 空间一般力系向一点的简化 §6–5 空间一般力系简化结果的讨论 §6–6 空间一般力系的平衡方程及应用 §6–7 平行力系的中心与物体的重心
18
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
又由于 mO (F )rF [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
mx (F )i my (F ) jmz (F )k
所以力对点O的矩为：
mO (F ) (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
11
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩作用面的方位——与力偶作用面法线方向相同 ③在作用面内的转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
14
mO (F )r F , mO (F ) r F sin(r,F ) F d
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。
O
两矢量夹角为 12
由于F Xi YjZk r xi yj zk
i jk
mO (F )r F x y z ( yZ zY )i (zX xZ ) j(xY yX )k X Y Z [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
X 0 Y 0
Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2 空间力wenku.baidu.com系
一、力偶矩用矢量表示： 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。
力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动 为正。 空间力偶是一个自由矢量！
10
二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相
同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
cos mx (F ) ,cos my (F ) ,cosg mz (F )
mO (F )
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz 而：
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk 所以： F Xi Yj Zk
Fz Fx
F X 2 Y 2 Z 2
cos X ,cos Y ,cosg Z
F
F
F
Fy
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二、空间汇交力系的合成： 1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多
边形方法求合力。
15
二、力对轴的矩
定义： mz (F )mO (Fxy )Fxy d 2OA'B'的面积
它是代数量，方向规定 + –
[证] mz (F )mz (Fz )mz (Fxy )mO (Fxy )
结论：力对//它的轴的 矩为零。即力F与轴共 面时，力对轴之矩为零。
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力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
12
n
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
m
m
2 x
m
2 y
mz2
;cos
mx m
,cos
my m
,cosg
mz m
显然空间力偶系的平衡条件是：
m m i 0
投影式为：
mx 0 my 0
mz 0
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§6-3 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 [例] 汽车反镜的球铰链
上投影的代数和。
合力: R
Rx2
R
2 y
Rz2
(X )2 (Y )2 (Z )2
cos Rx ,cos Ry ,cosg Rz
R
R
R
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三、空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
习题课
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§6-1 空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
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2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg