第七章习题解答

计算图示各系统的动能：

（1）偏心圆盘的质量为，偏心距OC m e =，对质心的回转半径为C ρ，绕轴O 以角速度0ω转动（图a ）。

（2）长为l ，质量为的匀质杆，其端部固结半径为，质量为的匀质圆盘。杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动（图b ）

。 （3）滑块A 沿水平面以速度移动，重块B 沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A 的质量为，重块B 的质量为（图c ）。

1v 2v 1m 2m （4）汽车以速度沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为0v M ，轮子的质量为m ，半径为R ，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d ）。

解：

(1) 222200111()222

C C C T mv J m e 2

ωρω=+=+

(2) 2222111(83)326

O J ml mr ml m l r =++=+2

220011(83)212O T J m l r 22

ωω==+

(3) 22

121122

A B T m v m v =+

222

112121222

1212221211(2cos150)22

11()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++

(4) ()

2

222000211111(4)422

222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20

一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r ，质量为。缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物，沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升，如图所示。重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。求鼓轮转过ϕ角时的角速度。

解：为一自由度理想约束系统。取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如下图所示。鼓轮转过ϕ角时系统的动能为

2

222212111

222

T m r m r 2ωω=

⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为

122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−

根据动能定理，有

()222212211

sin

cos 42

m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=

绞车提升一质量为m 的重物，如图所示。绞车在主动轴上作用一不变的转动力矩P M 。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其他附属零件的转动惯量分别为和

，传速比1J 2J 12/z z i =。吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮的半径为R 。设轴承的摩擦以及吊索的质

量均可略去不计。试求重物的加速度。

解：为一自由度理想约束系统，取整体系统为研究对象。由运动学关系得

212,v v i i R

R

ωωω===

系统的动能为

2

2222211221221111()2222v T J J mv J i J mR R

ωω=++=++ 22122d ()d v T J i J mR R

=++v

作用在系统上的力系的元功为

1d d ()v W M t mgv t Mi mgR t d R

δω=−=−

由动能定理的微分形式得

22

12()Mi mgR R

a J i J mR

−=

++

匀质圆盘A 和B 的质量均为m ，半径均为R 。重物的质量为，且知三角块的质量为

C C m M ，绳的质量忽略不计。圆盘A 在倾斜角为的斜面上作无滑动滚动，三角块放在光滑平面上，不计铰

D B 及重物C 与三角块间的摩擦，求三角块的加速度。

D

解：系统为二自由度系统。取广义坐标x 和r x 如图示。可用动能定理和动量守恒定理求解。系统的动能为

C

()()()()()()2

222222

2222211111+/22222111 +2cos +/22211

22cos 22

C r r r r r C C r T Mx m x x mx mR x R m x x xx mR x R M m m x

m m x mxx αr α=

+++⋅⋅+−⋅⋅=++++−&&&&&&&&&&&&&& ()()d 2d 2d d cos d cos C C r r r r T M m m x

x m m x x mx x mx x αα=++++−−&&&&&&&& δd sin C r r W m gx

t mg x d t α=−+&& 由得：

d δT W =()()()22cos cos sin C C r r r r C r M m m xx

m m x x mxx mx x m g mg αα++++−−=−+&&&&&&&&&&&&&x α0 系统在水平方向的动量守恒，即：

()cos const.r C m x

x mx m x Mx α−+++=&&&&& 即

()2cos C r M m m x mx α++−=&&

&& 联立求解得：

()

()()

22

cos sin 22cos C C C m m m x g m m m m M m ααα−=

+++−&&

匀质细杆OA 可绕水平轴O 转动，另一端有一匀质圆盘，圆盘可绕A 在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆长l ，质量为；圆盘半径OA 1m R ，质量为。摩擦不计，初始时杆OA 水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成2m θ 角的瞬时，杆的角速度和角加速度。

解：以杆与圆盘为系统，在运动过程中，圆盘不受外力矩作用，保持平动。设系统在θ角位置时杆的角速度为1ω，应用动能定理有

211T T A →2−= （1）

而

()22

2211221213112326

m l m m T m l ωωω1+=+=102l ，T =

1212122g sin sin sin 22

m m l

A m m gl gl θθθ→+=+=

于是

1ω=

对（1）式求导

d δT W =

可得：

l

m m g m m )62(cos )63(2121++=

θ

ε