乘法公式(完全平方公式)
完全平方公式--
的值
选择题 (1)如果x2+mx+4是一个完全平方公式, 那么m的值是( ) c
A.4
B.-4
C.±4
D.±8
(2)将正方形的边长由acm增加6cm,则 正方形的面积增加了( c ) A.36cm2 B.12acm2
C.(36+12a)cm2 D.以上都不对
4号题:
思考题:
1 已知: x 3 x 1 2 1 2 求: x 和 (x ) 2 x x
你知道(a+b+c)2是多少吗? 代数方法:多项式×多项式 (a+b+c)2 =(a+b+c)(a+b+c)
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
你知道(a+b+c)2是多少吗? 面积法:通过图形的拼合 a b c a b
c
所以有:(a+b+c)2 = 图形(2) 面积(1) 面积(2) 图形(1) =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
(a-b)2=a2-2ab+b2
谐音记忆:
首平方,尾平方,2倍的首尾放中央,
符号与前一个样。
用完全平方公式计算: (1) (2a-3)2 (2) (x-4y)2
(3) (-a+2b)2
(4) (-2a-5)2
判断正误:
(1)(a+b)2=a2+b2 (2)(7-a)2=49-14a+a2 2=a2+2ab+b2 (3)(a+2b) (4)(a-2b)2=a2-4ab-4b2
完全平方的四个公式
完全平方的公式
数学完全平方公式:
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就可以得到:
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数:三项
②有两项是两个数的的`平方和,这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时,应该先提出公因式,再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式,也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式,必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
整式乘法完全平方公式精品PPT课件
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式: (a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式,比一比,回答下列
问题:
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗?与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式: (a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是( A ) A.a2-4a+4 B.a2-2a+4
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.这两个 公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为: “首平方,尾平方,积的2倍放中间”
三项式的完全平方公式口诀
我们要找出三项式的完全平方公式口诀。
首先,我们需要理解什么是完全平方公式。
一个三项式是完全平方当且仅当它可以表示为两个相同的数的乘积。
例如,a^2 + 2ab + b^2 是 (a+b)^2 的展开。
三项式的完全平方公式可以表示为:
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
为了方便记忆,我们可以使用一个口诀:
'头平方,尾平方,两倍头尾中间放'。
这个口诀的意思是:
1) '头' 指的是三项式的前两项的平方和。
2) '尾' 指的是最后一项的平方。
3) '两倍头尾中间放' 指的是中间的两倍项,它等于头和尾的乘积的两倍。
所以,三项式的完全平方公式口诀是:头平方,尾平方,两倍头尾中间放。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式,
从而更容易地求解。
例如,对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$,我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$,进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式,我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解,
03
利用完全平方公式解二元一次方程组,如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$,解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时,高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时,在解决一些复杂的几 何问题时,高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时,可以直接套用 完全平方公式进行计算,如求解平方差、计算方差等。同时 ,在解决一些最优化问题时,完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
基本乘法公式
基本乘法公式
重点:1. 掌握基本的乘法公式(平方差公式、完全平方公式),并能灵活运用。
2. 熟练掌握配方思想,灵活解决相关问题除法问题
难点:灵活运用基本的乘法公式.
一,基本乘法公式
基本知识点:
1.两个数的和乘以这两数的差,积为它们的平方差,即:(a+b)(a-b) =
2.完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们积的两倍即:,
例题:
1.计算:(-5)( -5), (-)( ), (-5)(-5)
()(), , ,
2.计算: – , ,
3.计算:(a+b+c)(a-b-c), () (), (2) (-2)
4.计算:(2+1)()()…() + 1
二、配方思想
解形如的二次三项式的一般步骤
(1)降幂排列,首项为正
(2)提取二次项因数,保留常数项
(3)添加一次项系数一半的平方
例题:
1.,
2.当x为何值时,代数式有最小值,最小值是多少?
3.当x为何值时,代数式-有最大值,最大值是多少?
4.已知, 求a+b
5.当x,y为何值时,代数式有最小值,最小值为多少?
课前测:
1.计算(12) x (6) x (15) ; -2(2+ 3)
2.计算(x+y)(x-2y); (4)( 2)
3.计算(-) x x (-27a) ;
4.计算÷
5.若(x-2)(x+a) = , 求a+b
拓展:
6可以被2x-3整除,求a。
8.3乘法公式1完全平方公式
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
作业:
(2) 3a 2b
2
(3) 2 x y
(4) (-
2
x – 2y2)2
练习2 运用完全平方公式计算: (1)(-2x+y)2
(2) 4a b
2
(3) 3x 2 y
(4) (-
2
x – 3y2)2
几点注意:
1、项数:积的项数为三; 2、符号:特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2;
3、字母:不要漏写;
4、字母指数:当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时,乘方时要记
住字母指数需乘2。
例2 运用完全平方公式计算: (1) (4a2 – b2)2 = ( 4a2)2 – 2( 4a2 )( b2 )+( b2 )2 =16a4 – 8a2b2+b4 (2) (y+ )2 =( y )2+2( y )( )+( )2 = y2 +y+ 解题过程分3步:记清公式、代准数式、 准确计算。
(x +y)2 =x2+2xy +y2
例3 计算:
(1) (
a2 + b3)2
a 2) 2
解:原式= ( b3 =
b6 - 2 a2 b3+ a4
(a-b)2 =(b-a)2
( a2 + b3)2 = ( a2 b3)2
(2)(- x2y -
)2
(-a-b)2 =(a+b)2
解:原式= ( x2y + = x4y2 + )2 x2y +
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!1.完全平方公式:(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式:(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用,难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,叫做完全平方公式。
为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的),真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是:1、左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一:因为所以两个公式实际上可以看成一个公式:两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
乘法公式完全平方公式人教版八年级数学上册
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1
乘法公式(完全平方公式)
3.范例点睛
例1计算:(a-b>2
想一想:你有几种方法计算(a-b>2
例2用完全平方公式计算
(1> ( 5 +3p>2(2> (2x - 7y>2
例3用完全平方公式计算
<1)<-x+2y)2(2>(- 2a -5>2
生:(a-b) =(a-b)(a-b)=a-ab-ba-b =a-2ab+b即:(a-b) -a - 2ab+b,这是我们要学习地另一个完全平方公式.完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2
2 2 2
(a - b) =a -2ab +b
师:你能用文字语言叙述这两个公式吗? 两数和(差〉地平方等于这两数地平方和加上<减去)这两数乘积地两倍 师:你能说出这两个公式地特点吗?
从而你发现了什么?
2.探索活动
冋题:如何用子母表示上图中大正方形地面积?
生:将上图看成一个大正方形,则面积为(a+b)2.
师:很好,还有没有其它地方法呢?
生:可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成地图形,那么它
” , 2 2
地面积为a +2ab +b.
师:两种方法都求出了大正方形地面积,从而我们可以发现什么呢?
宿城区
七年级数学教案案
课题
乘法公式<完全平方公式)课型新授Fra bibliotek主备:唐兵
审核
张继辉
教案目标
1.探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单地计算;
乘法公式(2)全面版
用 乘
(3)
(2a5)2
法 解:原式(2a)22(2a)(5)(5)2
公
4a220a25
式 算算看:(2a 5) 2
计
算 结论:(2a5)2(2a5)2
:
建湖县实验初中
填空: 1.(2x-y)(_2_x_+_y_)=4x2-y2 2.(b-a)(_-_a_-_b_)=a2-b2 3.4x2-12xy+(_9_y_2_)=(_2_x_-_3_y_)2 4.(-3x-2)(_-2_+__3_x)=4-9x2
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bcƻb+c)2是多少吗? 面积法:通过图形的拼合
ab c
a b
c
所以有:(面图a+积形b(+c1))2 = 图面形积(2) =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 建湖县实验初中
试试看!
计算: 1、(m+n-t)2 2、(-2s+3t-h)2 练习:书P82 练一练 3、4
建湖县实验初中
1、已知(a+b)2=7, (a-b)2=3,求:
(1)a2+b2(2)ab的值.
拓展与 延伸
2、观察下面各式规律:
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;
课题:乘法公式(2) 初一数学备课组
乘法公式
a b
2
a 2ab b
2 2 2
2
(2)平方差公式:
a b a b a b
(3)立方和公式:
a b a a b a
2
ab b ab b
2
2
a b
3 3
3
(4)立方差公式:
2 2
3 2 2
3
例1:将下列式子写成完全平方式
1.
16 8m m
2
2.Βιβλιοθήκη 1 2 1 1 2 m mn n 25 5 4
例2:将下列完全平方式补充完整:
1. 16m
2
2
8 2m 2 2. n n
1 4
例3:
2
1 若x mx k是一个完全平方式, 2 则k和m的关系是:
练习: (1)若3x xy 2 y 0( x 0, y 0),
2 2
x y x y 求 的值; y x xy
2 2
练习: (2)学海导航P 11 8
6.分式方程的解法: ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母, 将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根(求出未知数的值后必须验根, 因为在把分式方程化为整式方程的过程 中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增 根).
1.x 7 x 15 (2 x 3)( x 5) 2
2
(2 2.18 x 19 x 5 x 1)(9 x 5)
2
3.6 x 13 x 6 (3x 2)(2 x 3)
2
4.6 11a 35a
2
14.2.2乘法公式—完全平方公式(2)
(2)(a + b +c ) 2. (a + b + c ) 2 解: = [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
2.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
遇加不变遇减变
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b - c );
(4) a + b + c = a - ( -b - c ).
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
例 运用乘法公式计算: (1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形
(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是 ( )
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式,它的应用十分广泛,是教材中的重点和难点.那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示,供参考.一、意义特征要牢记 1、完全平方公式:(1)(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ;(2)(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述:这两个公式的左边是一个二项式的完全平方,右边是三项式,而且每一项都是二次式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍(或-2倍).可用以下口诀来记忆:“头平方和尾平方,头(乘)尾两倍在中央,中间符号是一样”.这里的“头”指的是a ,“尾”指的是b .这两个公式实质上是统一的,即都是二项式的平方展开式.其中第一个公式是基本的,第二个公式可由第一个公式导出.如:(a-b )2=[a+(-b )]2=a 2+2a (-b )+(-b )2= a 2-2ab+b 2.3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中,大正方形的面积是(a+b)2,它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和,因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2.在图2中,大正方形的面积是a 2,它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和,因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2.二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时,经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误.要注意从以下几个方面进行区别:(1)意义不同:(a+b)2表示数a 与数b 和的平方,(a -b)2表示数a 与数b 差的平方;而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和,a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差.(2)读法不同:(a+b)2读作两数a 、b 和的平方,(a -b)2读作两数a 、b 差的平方;而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和,a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差.(3)运算顺序不同:(a+b)2的运算顺序是先算a+b ,然后再算和的平方,(a -b)2的运算顺序是先算a -b ,然后再算差的平方;而a 2+b 2是先算a 2与b 2,再求和a 2+b 2,a 2-b 2是先算a 2与b 2,再求差a 2-b 2.(4)一般情况下它们的值不相等:如当a=2,b=1时,(a+b)2=(2+1)2= 32=9,(a -b)2=(2-1)2=12=1;而a 2+b 2= 22+12=5,a 2-b 2= 22-12=3.三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数,也可以表示单项式,还可以表示多项式及各种代数式.应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件,变形后是否符合公式的特征和条件,若符合,再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照,再逐项对照着计算;若不符合就不能应用公式.要搞清楚公式中各项的符号,灵活地进行公式的各种变形应用.例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析:把23xy -看成a ,y x 221看成b ,原式即为两项差的平方,然后套用完全平方差公式.解:222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+(y x 221)2=2433424139y x y x y x ++例2、计算:(a-2b-c )2分析:可以把(a-2b )看作公式中a ,把c 看作公式中的b ,然后套用完全平方差公式. 解:2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- =2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-. 说明:本题还可以进行如下变形:222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分,它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算,但在运用公式解题的过程中,却经常出现这样或那样的错误,现将典型错例进行评析.一、漏掉“中间项” 例1 计算:(a+3)2 错解:(a+3)2=a 2+9分析:完全平方公式的结果有三项:首平方,末平方,乘积的2倍写中央.因此,运用公式时不要漏掉乘积项.不能将完全平方公式与平方差公式混淆.正解:(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算(2y+21)2错解:(2y+21)2 = 4y 2+2y ×21+41 分析:没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义,2y 中的2表示首项的一部分,不是乘积的2倍.防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应,一定要找准哪个代表字母a ,哪个代表字母b .正解:(2y+21)2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41=4y 2+2y+41三、“-”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解:(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析:本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方,应把-t 看做一个整体. 正解:(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12=t 2+2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解:(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析:首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方. 正解:(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式,则m= 错解:因为12=1由乘积项-2mx=2x ×1得m=-1.分析:错解忽略了另一种情况:因为(-1) 2=1,由-2mx=2x ×(-1)得m=1,所以m=±1. 正解:m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解:2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析:由乘方的定义知:2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b),这与(2a-b) 2的结果是不相等的.因此,应按照运算顺序先算乘方,再算乘除进行化简.正解:2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之,运用完全平方公式进行整式的运算时,应牢固掌握公式的实质,并与其它相关法则、运算顺序有机的结合,才能简便、准确地进行整式的运算.完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个:2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即,两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起,为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀:“首平方、尾平方,2倍乘积在中央”.2.公式的条件是:两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是:这两数的平方和,加上(或减去)这两数积的2倍.4.公式的特征是:左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1,大正方形的面积可以表示为2)(b a +,也可以表示为IV III II I S S S S S ++=,同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 (1)公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(差)。
专题:完全平方公式,十字相乘法
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完成作业2.27作业
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蓦然回首
对自己说,你有什么收获? 对同学说,你有什么温馨提示? 对老师说,你还有什么困惑?
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=(a+2)2(a-2)2.
例4 已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.
解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,
x2 4x 22 y2 10 y 52 0
∴(x-2)2+(y-5)2=0.
∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0, 几个非负数的和为0, ∴x-2=0,y-5=0, 则这几个非负数都为0. ∴x=2,y=5,
∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2
=112=121.
知识要点2
十字相乘法
十字相乘法公式:
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
11
(1)X2-7x+12 x x
(3)x2+8x+12
(2)x2-4x-12 (4)x2-11x-12
(5) 2x2-7x+3
(6) 5x2+6xy-8y2
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3),
故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的
值为___±__8___.
解析:∵16=(±4)2,故-m=2×(±4),m=±8.
例2 分解因式:
(1)16x2+24x+9;
分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解 因式;
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2;
乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)
= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式,则m的值是______.
解:∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式,
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=(x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明:
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明:
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解:(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子,需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点(从公式结构特
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(a b)2 a2 2ab b2
师:你能用文字语言叙述这两个公式吗? 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上 (减去)这两数乘积的两倍 师:你能说出这两个公式的特点吗? 生:左边是:两数和 (差)的平方. 右边是: 两数的平方和加上(减去)
这两数乘积的两倍. 三. 范例点睛 例 1 计算:( a – b )2
四.随堂练习 1、用完全平方公式计算
(1)(1+x)2 (2) (y-4)2
(3)( x − 2y)2
(4)(2xy+ x )2
2. 一个正方形的边长为 acm。若边长减少 6cm,则这个正方形的面积减少 了多少? 3.纠 错 练 习: 下 面的计算是否正确?如有错误,请改正:
(1) (x+y)2=x2+y2;
过
程
旁注与纠错
一. 情景创设
如右图:你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗?
从而你发现了什么?
二. 探索活动
问题一:如何用字母表示上图中大正方形的面积?
生: 将上图看成一个大正方形,则面积为 (a b)2 。
师:很好,还有没有其它的方法呢? 生:可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形,那么它
① x2
16
2 ;
3x2
4y2
2
③ a2 ab
2 ;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25a 2 50ab
2
⑤ 4x 1
2
y
16x 2
1
y2
2
4
⑥
a b2
a b2
a2 ab b2
②
④
a2 ab b2
例 5.已知 x y 3 , xy 2 ,求① x 2 y 2 ;② 1 1 xy
)A 10xy B 20xy
五. 想一想
⑴ 观察完全平方公式、平方差公式有什么特征?
⑵在式子 (a b)(c d) ac bc ad bd 中,当 a,b, c, d 满足什么条
件时,由它能得到完全平方公式,满足什么条件时能得到平方差公式?
六.课堂小结 这一节课你学到了什么?让学生试着小结,师再评议。
七.课后作业 见作业纸
总结反思
板书设计 教学后记:
宿城区 2010-2011 学年度第二学期
七年级数学教学案
课题 乘法公式(完全平方公式)
课型
新授
主备
唐兵
审核
张继辉
教学目标
1. 探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的计算; 2. 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。
重 点 完全平方公式
难 点 正确的应用完全平方公式、进行计算
学习
师:很好,你能用同样的方法计算 (a b)2 吗?
生: (a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ba b2 a 2 2ab b2
即: (a b)2 a 2 2ab b2 ,这是我们要学习的另一个完全平方公式。
完全平方公式: (a b)2 a2 2ab b2
(2) (-m+n)2=-m2 +n2;
(3) (-a−1)2=-a2−2a−1.
4.计算:(a+b+c)2
5.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是 4x2+
+25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是( C±10xy D±20xy 6.已知 a+b=2,ab=1, 求 a2+b2、(a-b)2 的值.
想一想:你有几种方法计算 (a-b)2
例 2 用完全平方公式计算 (1) ( 5 + 3p )2
(2) ( 2x - 7y )2
例 3 用完全平方公式计算 (1)( -x + 2y)2
(2) ( -2a - 5)2
例 4 用完全平方公式计算
(1)9982
(2) 1012
例 4:填空题:(注意分析,找出 a、b)
的面积为 a2 2ab b2 。
师:两种方法都求出了大正方形的面积,从而我们可以发现什么呢?
生: (a b)2 = a2 2ab b2
这个公式就叫做一个完全平方公式。
问题二:你能用多项式的乘法法则推导公式 (a b)2 = a2 2ab b2 吗?
生: (a b)2 = (a b)(a b)= a2 ab ba b2 = a2 2ab b2