孙会元固体物理基础第一章1.2自由电子气体的热性质
《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7非简谐效应
0
0
0
2 3 1 U2 1 U3 U ( R ) U ( R ) 2 3 0 0 2 ! 3 ! R R R R
（1）简谐近似 展开式中取前两项： 2 2 1 U U ( R ) U ( R ) 0 0 2 U ( r) R0 R 简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，但 位移的平均值为零，所以两原子间距不变，无 热膨胀现象。
三声子过程(势能展开取到3次方项)
四声子过程 (势能展开取到4次方项)
两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.
声子的这种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将 在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影 响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制. 由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而 产生第三个声子。
2 ! R R 0
0
0
（2）非简谐效应 展开式中取前三项：
2 3 2 1 3 1 U U U ( R ) U ( R ) 2 3 0 0 2 ! R 3 ! R R R
0 0
非简谐近似下，温度升高，导致振幅变大，位 移的平均值不再为零，两原子间距增大，有热膨 胀现象。
下面我们首先从热力学出发，给出晶体的状 态方程，进而讨论热膨胀 1.晶体的状态方程 由热力学知,压强P、熵S、定容比热CV和自由 能F之间的关系为： 自由能F分为两部分:内能 F U TS U(和体积有关)；束缚能(d F P d V S d T TS)，与温度有关。
F P V T F S T V S CV T T V
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
固体物理基础课程-1
Eph
h ph
hc
ph
~
E2
E1
元素能级数据库与能谱/光谱分析——化学组成的无损分析
“全元素”分析——无需指定分析元素； 分析精度比较低，低
试样要求低，而且为无损检测；
含量元素往往分析
SEM/TEM中都配备能谱分析仪
不出来
原因：物质波，波函数模的平方代表粒子出现的几率密度
电子能级
电子的状态：取决于四个量子数(n，l，m，ms )
孤立原子与固体材料的内层电子的电子能级情况如何？ 1) 氢原子的电子能级： －13.6/n2 (eV)
2) 类氢离子的电子能级： － 13.6 x Z2 /n2 (eV) 3) 多电子原子中电子的能级：
固体物理基础C
第一部分 固体材料中电子态
固体材料内能——微观角度观察
出发点：固体材料是大量原子相互结合的产物 材料能量：其中所有原子能量之和
内能 = 核能 + 核外电子能量 + 振动能
能量的基准：不涉及核反应时，所有原子核的能量为0——基准
注意：涉及核能时，核外电子能量往往远远低于核能，可忽略！
0K下 U(0K)取决于核外电子能量： 为所有组成原子中各电子所 处能级的能量之和
n0为粒子波传播方向上的单位矢量，也就是粒子运动的方向p it r k Aexp iEt r p
A为振幅，t为时间，r为空间 位置矢量，i为虚数单位。
依据量子理论微观粒子的状态完全由波函数Ψ r, t 描述。 一般波函数 Ψ r, t 的物理意义：粒子出现的几率密度
—各量子数都有影响：元素周期性排布
—非全满电子亚层中电子填充的洪特(Hund)法则 比如：Fe原子，核外26个电子，如何排布？ 1s22s22p63s23p63d64s2
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
孙会元 固体物理基础 第一章 1.4电场中的自由电子
从而有
d pp ( t d t )p ( t ) p ( t ) F ( t ) d t d t
所以，自由电子在外场下的动力学方程为：
d p pt () Ft ( ) d t
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为 vd(t),则动量
p () t m vt () e d
第四节 金属的电导率和热导率
本节主要内容： 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 三、金属的热导率
一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还 是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电 导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维 德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛 仑兹自由电子论的结果。 1. 电场下经典的动力学方程 按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似 和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电 子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分 电子。
m e
电导率 n e F
2
me
和前面得到的电导率形式 上一样，只是用F 代替
两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢； 第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导 电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以, 两者效果一样，即电流密度一样。 严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要 是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的 电子，其附近的状态已被电子占据，没有空态 可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电 场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡 献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。
r n s 3/4
第一章.ppt固体物理课件
2.几种晶格的实例
(1)一维原子链 一维单原子链
a
x na x
一维双原子链
0 x a
b
a
(2)二维
(a)
(b)
a2 a1
a4
a3 a6
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
(3)晶列族中的每一晶列上，
格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的
距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
a1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
其中 l1 , l2 , l3 为整数，将 l , l , l 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ， 1 2 3
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式。
2. 布拉伐格子(空间点阵） 布拉伐格子：一种数学上的抽象，是点在空间中周期性的规则排列。
格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几 何环境上完全相同。 基元：每一个格点所代表的物理实体。
(c)体心立方
ak
a1
a2
aj
ai
a3
复旦大学《固体物理学》第三讲自由电子气的其他性质课件
上讲回顾•用半经典模型解决了Drude模型对比热高估的问题——高估了参与热激发的电子数目•模型：Sommerfeld仍然沿用Drude模型的基本假定，但用量子力学来处理金属自由电子气*给出了基态（T=0）的重要性质，引入即使超出自由电子气也仍然有效的一些重要概念费米能级、状态密度自由电子气的其他性质1本讲目的：电子气在低温和外场下1.低温下金属自由电子性质与基态有何不同？2.自由电子气在电磁场下如何运动？自由电子气的其他性质2第3讲、自由电子气的其他性质1.自由电子气低温性质(利用低温费米分布特性)*比热（低温时，电子贡献才是主要的）*费米能级、总能（Sommerfeld积分）2.电磁场中的电子气*Hall效应（半经典）*朗道能级（量子）自由电子气的其他性质3相比于基态，极低温下的电子气性质会有哪些不同？自由电子气的其他性质4自由电子气的其他性质51、自由电子气低温(k B T<<E F )性质•引进温度，即引进费米分布•用总电子数确定Fermi 能级•确定电子气能量11)(/)(+=-Tk E E B F eE f ⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰⎰⎰∞∞0 ,)(0 ,)()(0FT dE E E f C T dE E C dE E D E f N E ⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰⎰⎰∞∞2/302/30,)(0 ,)()(0FT dE E E f C T dE E C EdE E D E f U E自由电子气的其他性质6电子被热激发，看被积函数⎰∞=0)()(dEE D E f N ⎰∞=0)()(dEE D E f N 0≠T EC ED =)(FE 0)()()()(FFE E E E E D E f EC EDE f ><==1)()(/)(F +=-Tk E E B eE C E D E f Tk B ⎰∞=0)()(EdE E D E f U自由电子气的其他性质7≠T Ef ∂∂-0=T FB E T k <<的偶函数且是函数类)( ,F E E Ef -∂∂-δ低温时费米分布的数学性质自由电子气的其他性质8()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=+=-=+=+=-=-----0,10,111111222B B x e e x e ee e dx df x f e eE f Tk E x xx x xx xx Tk E μμ-d f (E )/d E 的对称性•对费米分布，其对E 的导数总是x =(E-μ)的偶函数•当T 0时，才是delta 函数自由电子气的其他性质9A. 比热(k B T<<E F )•总能量⎰∞=0)()(EdEE f E D U •总电子数⎰∞=0)()(dEE D E f N •对这两个式子求导，得⎰∞∂∂=∂∂=0el )(TfE dEED T U C VTf E D dEE ∂∂=⎰∞0F )(0⎰∞=0F F )()(dEE D E f E N E •相减后，得()⎰∞∂∂-=0F el)(Tf E D E E dE C V •根据(E -E F )d f /d T 的类δ函数性质，可以近似得到()⎰∞∂∂-≈0FFel)(Tf E E dE E D C V自由电子气的其他性质10•对费米分布求导()()[]2//2B F 1B F B F +-=∂∂--T k E E Tk E E e eT k E E T f •进行变量替换，()Tk E E x B F /-=()()⎰⎰∞-∞+=∂∂-≈T k E x xVe e dxx E TD k Tf E E dE E D C B F /22F 2B 0F F el1)()(•低温时，可将积分下限推至负无穷大，得()31222π=+⎰∞∞-xxee dxxFB 2F 2B2F 2B2el 2233)(3T T Nk N E Tk E TD k C Vπππ===•于是•与前面的半经典估计比较FB el T T NkC V ≈自由电子气的其他性质11F B F B B VVT T Nk E T k Nk T U C 22202elππ==⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=与定性的结果仅差常数因子定性的解释是正确的，即只有Fermi面附近的电子被激发！TC V∝el •低温时，电子气对热容的贡献很小•并不只适用于自由电子气。
孙会元主编固体物理基础序言PPT学习教案
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热导系数K 、扩散系数D 、电导系数取决于 晶体的内禀性质.输运理论的任务就是要从微观 上揭示这些唯象系数与内禀性质的关系.
Ju KT Jn Dn
Je E
唯象关系
上述唯象关系的形式意味着输运过程是一个 扩散过程.因而,输运过程中粒子会在漂移的过 程中不断受到碰撞,不会简单的从一端径直到达 另一端.
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非平衡分布函数 fn(r,k ,t) 的定义是在t时刻 ，在单位体积晶体内位置r 附近找到一个波矢k为 的电子的几率。也就是说， 对于单位体积的样
品，fn (r , k ,t)drdk / 8 3 为时刻t, 在第n个能带
中，在r , k处drdk 相空间体积内一种自旋的平均
电子数。在本章中仅考虑一个能带，也就是导带
中的情况。因而可以去掉带指标n. 借助于分布函数，电流密度(单位时间内垂
直通过单位面积的载流子(电子或空穴)数)可以 表示为更普遍的一种形式。
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则电流密度借助于分布函数的表达式：
Je
2e
f
1
8 3
dt
drdk
2e
dr dt
f
1
8 3 dk
1
4
3
ev(k ) fdk;
其中v(k )相当于群速度。
数、电荷数等广延量的流动.
假设沿晶体的某个方向存在温度梯度T、浓
度梯度n 、电势梯度 =-E,则输运过程中的热
流通量Ju、粒子流通量Jn 、电流通量Je 等与相 应的梯度之间存在如下的唯象关系:
Ju KT
--热导现象,K为热导系数
Jn Dn
--扩散现象,D为扩散系数
Je E --电导现象,为电导系数
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
固体物理阎守胜第一章_金属自由电子气体模型
费 米 球
费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度
2 kF EF 2m 2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
由于
N 2
1 4 3 V 4 3 kF 2 3 kF k 3 8 3
N k 3 3 2 n V
3 F 2
自由电子气体模型中仅有的一个独立参量：
k2 E (k ) 2m
2
皆与波矢有关
p k
p k v m m
Born-von Karman边界条件
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L)
2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 dt / ， 大体
相当于相继两次散射间的平均时间。
在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时 薛定谔方程
2 2 e (r , t ) i (r , t ) 2m
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚 性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。 固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子 组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何 形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的 具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动 形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探 索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
(1.1.3)
•自由电子近似使 V (r ) 为常数势，可简单地取为零。 则方程（1.1.3）成为：
2
2m
2 (r ) E (r )
《固体物理基础教学课件》第一章
半导体的电子状态
半导体中的电子能级结构
半导体中的电子能级结构与金属不同，存在一个带隙，使得半导 体在一定温度下只能部分电子成为自由电子。
半导体的导电性
半导转变为导体。
半导体的光电效应
当光照射在半导体上时，半导体吸收光子后，价带上的电子跃迁到 导带，产生光电流。
晶体结构
80%
晶体结构的特点
晶体结构是指固体物质内部的原 子或分子的排列方式，具有周期 性、对称性和空间群特征。
100%
常见的晶体结构
常见的晶体结构有金刚石型、氯 化钠型、闪锌矿型等，它们在外 观和性质上都有所不同。
80%
晶体结构的分类
晶体结构可以根据原子或分子的 排列方式和空间群进行分类，有 助于理解其物理和化学性质。
核聚变能源
在核聚变能源领域，固体物理中的 高温高压等极端条件下的物理性质 研究为实验设计和设备制造提供了 重要依据。
在信息技术领域的应用
集成电路
集成电路的制造依赖于固体物理 中的半导体理论和热力学原理， 从芯片设计到制造工艺的每一个 环节都离不开固体物理的理论支
持。
存储技术
随着信息技术的快速发展，存储 技术也在不断进步。固体物理中 的磁学和光学理论在磁存储和光
推动高新技术产业的进步
固体物理学在信息技术、新能源等领域中有着广泛 的应用，如半导体技术、太阳能电池等，为高新技 术产业的进步提供了重要支撑。
对其他学科的交叉促进作用
固体物理学与化学、生物学、地球科学等学科有着 密切的联系，通过与其他学科的交叉融合，可以促 进相关领域的发展和创新。
02
固体物质的结构
复合材料
通过研究复合材料的微观结构和物理性质，可以设计和制备具有优异 性能的复合材料，广泛应用于航空航天、汽车、体育器材等领域。
固体物理基础孙会元知识点总结
固体物理基础孙会元知识点总结固体物理，听起来是不是有点高深莫测？就像一座神秘的城堡，等
待着我们去探索。
孙会元老师关于固体物理基础的知识点，那可真是一座知识的宝库！咱们先来聊聊晶体结构。
晶体就像是排列整齐的士兵方队，每个原子
都有自己特定的位置和规律。
你想想，要是这些原子不乖乖站好，那
整个晶体不就乱套了？
再说说晶体的结合。
这就好比是搭积木，不同的积木拼接方式会产
生不同的结构和性质。
离子晶体就像是用强力胶水粘在一起，牢固得很；共价晶体则像手牵手的小伙伴，彼此紧密相连；金属晶体呢，就
像是一群自由的舞者，欢快地跳跃。
还有晶体的振动和热学性质。
这就好像是一群调皮的小精灵在跳舞，温度一高，它们就跳得更欢啦。
能态和电子运动，这可是固体物理中的重头戏。
电子在晶体中的运动，就像是在迷宫里找出口，有的路通畅，有的路却充满了障碍。
固体物理中的能带理论，这就像是给电子们划分了不同的“班级”，
每个“班级”都有自己的特点和规则。
你说，要是不把这些知识点好好总结，不就像在黑暗中摸索，找不到前进的方向吗？我们把这些知识点梳理清楚，就像是给自己点亮了一盏明灯，照亮了探索固体物理世界的道路。
所以啊，认真总结孙会元老师的固体物理基础知识点，才能在这个神奇的领域里游刃有余，发现更多的奥秘，难道不是吗？。
孙会元 固体物理基础 第一章 1.1 模型及基态性质
由于波矢k 取值是量子化的，它是描述金属 中单电子态的适当量子数，所以，在k 空间中 许可的 k 值是用分立的点来表示的。每个点表
示一个允许的单电子态。
金属中自由电子波矢：
2πn y 2πnz 2πn x kx ,k y , kz L L L
nx, ny, nz 取值为任意整数
从而，相关的电子的费米能量F 、费米动量 pF、费米速度F、费密温度TF等都可以表示为 电子密度n的函数,这也就是前面我们所提到的 自由电子气体模型可用电子密度n来描述，而 且，n是仅有的一个独立参量的原因。
k (3 n) F 2m 2m
2 2 F 2 2
2
3
;
kF F pF kF ; vF ; TF m kB
所以，代表点（单电子态）在 k 空间是均
匀分布的。
由波矢的取值特点，可以看出：
1) 在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的 体积为： 3 2 2 2 2 3 (2 ) k kx k y kz ( ) L L L L V (2) 波矢空间状态密度(单位体积中的状态代 表点数): 1 1 L3 V k 3 k ( 2 )3 (2 ) 8 3 L
将周期性边界条件代入电子的波函数得：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
2πnx kx L ; 2πn y ; k y L 2πnz kz L ;
由此可得每个电子的平均能量为：
2 5 F
上述求解是在k 空间进行的，涉及到矢量积 分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此， 人们常把对 k 的积分化为对能量的积分，从
孙会元 固体物理基础 第一章 1.7 自由电子气体模型的局限性
3).驰豫时间近似，认为电子受到的碰撞和散 射由驰豫时间简单描述。 [驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时 间，单位时间内电子与金属离子的碰撞几率为 -1 ] 为了弥补自由电子气论的不足，上述三条 基本假定都过于简单，因而，均应该放弃。
但是，基于数学上的考虑和实际结果的分 析，人们发现只对上述模型的第一条假定进行 改进，亦即，考虑离子实系统对电子的作用， 就已经可以解决许多自由电子理论不能解决的 问题了。
上述不足说明,自由电子模型把实际情况给理 想化的太过分了.仅仅使用电子密度这样唯一一 个参量来描述金属根本不可能解释二价金属镁的 导电性比一价金属铜的导电性还要差的实验事实.
无论经典的还是量子的金属自由电子气体模型， 都包含如下的基本假定： 金属自由电子气体模型的基本假定为： 1).自由电子近似，忽略了电子和离子实之间 的相互作用 2).独立电子近似，忽略了电子和电子之间的 相互作用
该模型对于上述诸多问题都给出了比较满意 的解释，标志着这一模型的魅力所在，因而至 今仍被使用。 二、该模型的不足之处和改进方法 尽管该模型能够解释以上诸多金属的性质，但 是对于物质为什么会分为导体、绝缘体、半导 体以及类金属等则根本无法解释。还有，除去 一价金属以外，在定量计算方面和实验结果的 偏离极大。如比热、磁致电阻、霍尔系数等。 对于某些金属的正的霍尔系数也不能用该模型 给出解释。
2
23
3
Rn
Ze
r Rn
r
O
e
由于我们在模型的修改中，没有修改单电 子近似的假设，所以，单电子的薛定谔方程仍 然适用，即: 2 2 [ V (r )] (r ) (r ) 2m 只不过势能项来源于所有离子实对该电子的 作用，所以 V (r ) en (r Rn )
孙会元 固体物理基础 第一章 1.6光学性质
本节主要内容: 研究自由电子在交变场中的行为. 主要有光吸收、光学常数和光反射
§1.6 金属的光学性质
金属一般都具有金属光泽，许多金属可以
用来制作镜子，这表明金属对于可见光具有很
好的反射特性。
我们知道光波属于电磁波。因而为了讨论金
属的光学行为，需要借助电动力学中的波动方
程，并定义出复数介电常量、复数折射率和吸
I0e c
I 0e z
2n2 为吸收系数
c
吸收系数 2n2
c
k
c
(n1
in2 )
吸收系数对于频率的依赖关系 ()称为吸收谱
与虚部n2有关，这就是为什么需要考虑 吸收的影响时，要用复数介电常数之故,同时，
也是把虚部n2叫消光系数的原因。
令
I
2n2 z
I0e c
收系数等物理量 光波在自由电子气中传播 满足的波动方程为
2E
0
E t
00
2E t 2
0
E为电磁波；
0为真空磁导率 0为真空介电常数 为电导率
一. 复数介电常量和复数折射率
1. 复数介电常量
假设入射金属的电磁波是
E
E ei(k r t) 0
2E
0
E t
k
[0 (0
1
i )] 2
矢 的 折
k
[0 ( 0
i
1
)] 2
0 [ 00 (
i
0
1
)] 2
射 率 表
1 0 ( 00 ) 2 (
固体物理基础孙会元课后答案
固体物理基础孙会元课后答案根据固体物理基础孙会元课后题的相关资料可知，孙会元课后作业有:(),《固体物理基础孙会元》是一本物理基础的书籍。
这为广大考生在高中阶段学习力学及固体物理学提供了非常好的帮助。
“一本书”指的是《理论物理》，不是“固体物理基础”。
教材中关于孙会元课后作业的内容只有以下几个方面:(),这四个方面是孙老师在教学中最重要的几点。
一、归纳物理规律归纳物理规律是学习理论物理和固体物理学的基本方法。
把各种物理规律概括起来，归纳成公式表达形式。
这种概括方法是从不同角度进行观察与分析，从中得到各种物理规律并加以应用。
这样做可以使我们全面地掌握和理解基本物理规律之间的关系，并使这些原理能用到实际工作中去。
（在实验中我们常用到这一点);(在方程中用到);从研究对象本身去理解规律。
因此，我们要想学好理论物理或固体物理学，归纳物理规律就像向自然界学习一样重要。
我们要学会归纳物理规律与分析物理现象时的思维方式，并努力使物理知识与生活相结合，培养学生的实践能力、观察能力及抽象思维能力。
二、归纳实验结果和现象的基本思想，理解基本规律和应用之间的联系，运用基本规律解决实际问题，分析物理现象与其发生关系。
A.在电场力的作用下，通过实验，观测到电阻变化和电荷电流的变化是两个相互独立（相互作用）的整体。
B.物理实验中观测到导体中的导体温度可以用其电阻率和电荷电流率进行表征，但电阻率和电荷电流率是相对的两个不同参数，二者并不是同时发生作用。
C.实验观察到导体中磁场出现两个相互独立的方向和磁场强弱关系曲线，因此电阻率和电荷电流均为正比关系曲线。
D.在电路中观测到电阻率随电流波形的特征发生变化如波形中一个点亮而另一个点变暗，这也是电阻率大小随电流波形变化的特征（电流波形中一个点亮而另一个点变暗）。
E.对于固体材料而言，物体内部电荷之间产生电荷电场效应（电场强度随时间增大）是构成材料力学性能最重要一环。
F.在电子技术中观察到电磁场与电火花、电化学等电化学反应存在着共同的特征就是电荷相互吸引，这些物理反应会使材料导电性能增强或者导电率降低。
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随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
n f ( )g ( )d
０
1 1 1 1 3 2 2 2 g () 23 ( 2 m ) C
n f ( )g ( )d
０
f ()
1 e
() kBT
很显然，I0等于１，由于 为 ( - ) 的偶函数，因此I1=0。下面考虑I2
(
f )
1 令( - )/kBT=，则 f e 1
此外,由于热激发能远小于基态费米能.因而, 激发态系统增加或减少一个电子时所增加或减 少的能量,即化学势µ 和费米能量相差不多.从而 对化学势和费米能级F不加以区分.因此,很多 的固体书中把费米分布函数表示为：
f () 1 e(F ) kBT 1
1 f () 0
费米分布函数表达式中的是体系的化学势, 它的意义是在体积和温度不变的条件下,系统增 加或减少一个电子时所增加或减少的能量. 化学势可由下式确定：
N / V n ) g ( ) d f(
０
有时称上式为归一化条件 上面的积分不容易得到,为此下面首先给出费 米分布函数的特点,然后再讨论化学势的计算.
将展开式代入积分式中,并把积分下限扩展 到-∞，可得到：
QQ ( ) ( ) （ ） Q ( ) （ ） Q ( ) 2
f f ( I Q ( ) ( ) d Q ) ( ) ( ) d 1 f 2 ( Q ) ( ) ( ) d 2 ( ( I0Q ( )I Q )I2Q ) 1
f ( )
该特点可由下式得出：
f 1 1 1 ( )k T ( )k T B B k T e 1 e 1 B
偶函数源于把上式用-( -)替换后不变； 函数 源于费米分布函数远离化学势时为零。
费密分布函数的上述特点是我们讨论自由电 子费密 电子系统，则有：
i
f ( i ) N
亦即：费米分布函数对所有量子态求和等 于系统中总电子数。
考虑到金属中自由电子数目极多，其能量 状态是准连续分布的，所以，上式的求和可以 改为对能量的积分：
N / V n ) g ( ) d f(
０
这里g( )就是单位体积的能态密度，且基态 时自由电子的能态密度公式在这里仍然适用. 当费米分布函数取1时，恰好对应的就是基态 的情形.
f (i ) (i ) kBT e 1
1
a . k T 0 B
i 1 f (i ) 陡变 i 0 i
b . kBT 0
1 i 1 f ( i ) i 2 0 i
2) 由上面的图示可以看出，当T > 0K时，费米 分布函数有
0
f ( ) d(Q ( ))
0
Q ( ) H d
0
f (i ) (i ) kBT e 1
1
因为： f () 0
Q(0) 0
f 所以： I Q ( ) ( ) d 0
考虑到 (f / ) 函数的特点具有类似于函数的 性质,仅在附近kBT的范围内才有显著的值. 所 以,上式的积分下限即使扩展到-∞也不会影响 积分结果. 同时, 可将Q()在附近展开为泰勒 级数. 1 2
1
g( ) C
1 2
上面的积分并不容易，涉及到费米统计中常 遇到的积分形式,称为费米积分：
I H ( )f( )d
０
下面利用分部积分法求解费米积分
分部积分法：
I H ( )f ( ) d (利用分部积分) ０
f Q () f() 0 Q () ( ) d 0