求弦长公式

三、判别式“”在椭圆中作用

你知道一元二次方程根的判别式在解决有关椭圆问题中的作用吗？“”起的

作用大极了，我就从直接应用的三个方面稍加剖析。

3.1 确定直线与椭圆交点个数

直线y=kx+m和椭圆相交的交点个数由方程组

（1）代入（2）得

一元二次方程

当时，方程组有两组解，直线与椭圆有两个不同交点.

当时，直线与椭圆相切；

当时，直线与椭圆相离.

3.2 弦长公式

解方程组

设交点M（x1，y1），N（x2，y2）

例1.求椭圆与直线x-2y+2=0相交弦长.

解：

弦长

解评弦长公式对于直线与椭圆、双曲线、抛物线相交弦长都适合。

例2.直线y=2x+1交椭圆于A、B两点，C、D是椭圆上两点，ABCD 是平行四边形，求直线CD的方程.

解：

设CD方程为y=2x+b

平行四边形ABCD，|AB|=|CD|

解之得

CD的方程为y=2x-1

解法1是先求出两曲线的交点坐标，再运用两点间距离公式求弦长，而解法2是设出交点坐标，运用根与系数关系和两点距离公式求弦长，体现出“设而不求”的解题技巧。这种解法具有一般意义，特别是在交点坐标的数值较繁杂的情况下，可以避免解方程组的计算。

一般地，设直线l：y＝kx＋b，曲线C：F（x，y）＝0，

直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）。

则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，

∴ y1－y2＝k（x1－x2）。

由消去y，得ax2＋mx＋c＝0。

∴ ，。

∴ ｜AB｜＝

＝。

这个式子就是求弦长公式，以后在解圆锥曲线有关问题时要经常用到。