考点11 解三角形(教师版)

4
4
2
cos B
可得： tan B 3 ，
例 4（（2019 北京 15）在 △ABC 中， a 3， b c 2 ， cos B 1 ． 2
（Ⅰ）求 b,c 的值；
（Ⅱ）求 sin( B C) 的值.
解析：（I）由余弦定理 b2
a2
c2
2ac cos
B
，得 b2
32
c2
2
3
c
1 2
例 8（2019•新课标Ⅰ）ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．设 (sin B sin C)2 sin2 A sin B sin C ．
（1）求 A ；
（2）若 2a b 2c ，求 sin C ． 解：（1） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ． 设 (sin B sin C)2 sin2 A sin B sin C ．
C 的对边，且 3b cos A sin A(a cos C c cos A) .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a 2 3 ， △ABC 的面积为 5 3 ，求 △ABC 的周长． 4
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝ a ，sin B＝ b ，sin C＝ c ；
2R
2R
2R
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝b2＋c2－a2； 2bc
cos B＝c2＋a2－b2； 2ac
cos C＝a2＋b2－c2 2ab
2.三角形面积公式：
S△ABC＝12 ah(h 表示边 a 上的高) ；
S△ABC＝21absin
C＝1bcsin 2
A＝1acsin 2
B；
题型一 已知边角元素解三角形
[玩转典例]
例 1（2018•浙江）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．若 a 7 ， b 2 ， A 60 ，则
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A 【解析】 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，
a sin
A b sin B
4c sin C ， cos A 1 4
，
a2 b2 4c2
cos
A
b2
c2 2bc
a2
1 4
，解得 3c2
1 bc ， 2
b 6 ．故选： A ． c
3c sin B 4a sin C . （Ⅰ）求 cos B 的值；
（Ⅱ）求
sin
2B
6
的值.
解析（Ⅰ）在 △ ABC
中，由正弦定理
b sin B
c sin C
，得 b sin C
c
sin
B
，又由 3c
sin
B
4a
sin
C
，得
3b sin C 4a sin C ，即 3b 4a .又因为 b c 2a ，得到 b 4 a ， c 2 a .
2 2c
7
例 2（2015•广东）设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ．若 a 3 ， sin B 1 ，C ，则
2
6
b ．
【答案】1
【解析】sin B 1 ， B 或 B 5
2
6
6
当 B 时， a 6
3，C 6
， A 2 3
，由正弦定理可得，
则 AC 边上的高 h c sin A 3 3 3 3 ． 22
2.（2017•新课标Ⅱ） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin( A C) 8sin2 B ． 2
（1）求 cos Leabharlann Baidu ；
（2）若 a c 6 ， ABC 的面积为 2，求 b ． 解：（1） sin( A C) 8sin2 B ，sin B 4(1 cos B) ，sin2 B cos2 B 1 ，
sin
2B
cos
π 6
cos
2B sin
π 6
15 8
3 7 1 3
5 7
.
2 82
16
例 6（2019•新课标Ⅰ） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 a sin A b sin B 4c sin C ，
cos A 1 ，则 b (
)
4
c
， SABC
1 acsin B 2
2
， ac
17 2
，
b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 2 17 15 a2 c2 15 (a c)2 2ac 15 36 17 15 4 ，b 2 ． 2 17
题型二 已知边角关系解三角形
例 5 （2019 天津理 15）在 △ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c .已知 b c 2a ，
则 sin2 B sin2 C 2sin B sin C sin2 A sin B sin C ，
由正弦定理得： b2 c2 a2 bc ，cos A b2 c2 a2 bc 1 ， 0 A ， A ．
2bc
2bc 2
3
（2） 2a b 2c ， A ，由正弦定理得 2 sin A sin B 2sin C ， 3
5
5
sin(B ) cos B 2 5 ．
2
5
2（. 2020•桂林一模）在锐角 ABC 中，内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，已知 (2c 2b) cos A a cos B c ．
（1）求证： b 2c ；
（2）若 sin A 15 ， a 2 ，求 ABC 的面积． 4
由余弦定理得 b a2 c2 2ac cos B 7 ，由 b sin A a cos(B ) ，得 sin A 3 ，
6
7
a c ，cos A 2 ，sin 2 A 2sin Acos A 4 3 ， cos 2A 2 cos2 A 1 1 ，
7
7
7
sin(2 A B) sin 2 Acos B cos 2 Asin B 4 3 1 1 3 3 3 ． 7 2 7 2 14
6 sin(2 C) 2sin C 解得 sin(C ) 2 ，C ， C ，
2
3
62
64
46
sin C
sin(
)
sin
cos
cos
sin
2
3
2 1
6 2．
46
46
4 6 2 2 22
4
[玩转练习]
1.（2019•江苏）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．
7
7
7
由正弦定理得
a
b
得 sin
A
a sin B
7
43 7
3 ，则 A ．
sin A sin B
b
8
2
3
（Ⅱ）由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B ，即 64 49 c2 2 7 c 1 ， 7
即 c2 2c 15 0 ，得 (c 3)(c 5) 0 ，得 c 3 或 c 5 （舍 ) ，
sin
3 2
b 1
32
则 b 1 当 B 5 时， C ，与三角形的内角和为 矛盾,故答案为：1
6
6
例 3（2018•北京）若 ABC 的面积为 3 (a2 c2 b2 ) ，且 C 为钝角，则 B
．
4
【答案】 3
【解析】 ABC 的面积为 3 (a2 c2 b2 ) ，可得： 3 (a2 c2 b2 ) 1 ac sin B ， sin B 3 ，
[玩转跟踪]
1.（2018•天津）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 b sin A a cos(B ) ． 6
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）设 a 2 ， c 3 ，求 b 和 sin(2A B) 的值．
解：（Ⅰ）在 ABC 中，由正弦定理得 a b ，得 b sin A a sin B ， sin A sin B
sin B ， c ．
【答案】 21 ，3 7
【解析】在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．
a
7
，
b
2
，
A
60
， 由正弦定理得：
a sin
A
b sin B
，即
sin
7 60
2 sin B
，
2 3 解得 sin B 2
21 ．
7
7
由余弦定理得： cos 60 4 c2 7 ，解得 c 3 或 c 1（舍 ) ，sin B 21 ， c 3 ．
考点 11 解三角形
[玩前必备]
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a ＝ b ＝ c ＝2R sin A sin B sin C
a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
又 b sin A a cos(B ) ． 6
a sin
B
a cos(B
) ，即 sin
B
cos(B
)
cos B cos
sin
B sin
3cos B 1sin B ，
6
6
6
62
2
tan B 3 ，又 B (0, ) ， B ． 3
（Ⅱ）在 ABC 中， a 2 ， c 3 ， B ， 3
（1）若 a 3c ， b 2 ， cos B 2 ，求 c 的值； 3
（2）若 sin A cos B ，求 sin(B ) 的值．
a 2b
2
解：（1）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．
a 3c ， b 2 ， cos B 2 ，由余弦定理得： 3
2 16(1 cos B)2 cos2 B 1，16(1 cos B)2 cos2 B 1 0 ，
16(cos B 1)2 (cos B 1)(cos B 1) 0 ，(17 cos B 15)(cos B 1) 0 ，cos B 15 ； 17
（2）由（1）可知 sin B
8 17
cos B
a2
c2 b2 2ac
10c2 2 6c2
2 3
，解得 c
3． 3
（2） sin A cos B ，由正弦定理得： sin A sin B cos B ，
a 2b
a
b 2b
2sin B cos B ，sin2 B cos2 B 1 ，sin B 5 ， cos B 2 5 ，
3
3
由余弦定理可得 cos B
a2
c2 2
b2
a2
4 a2 9 2a
16 a2 9
2a
1 4
.
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sin B
1 cos2 B
15
，
4
从而 sin 2B 2sin B cos B 15 ， cos 2B cos2 B sin2 B 7 ，
8
8
故
sin
2B
π 6
2 sin C sin B ，由正弦定理可得 b 2c ，
（2）由题意可得 cos A 1 15 1 ，由余弦定理可得， b2 c2 2bc 1 4 ，
16 4
4
因为 b 2c ，解可得， b 2 ， c 1，故 ABC 的面积 1 2 15 15
2
44
3.【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是内角 A 、 B 、
.
因为 b
c
2
，所以 c
22
32
c2
2
3
c
1 2
.解得 c
5
，
所以 b 7 .
（II）由
cos
B
1 2
得
sin
B
3 2
.由正弦定理得 sin C
c sin B b
53 14
.
在 △ABC 中， B 是钝角，所以 C 为锐角.所以 cos C 1 sin2 C 11 . 14
所以 sin B
【解答】（1）证明： (2c 2b) cos A a cos B c ．
由正弦定理可得， 2sin C cos A 2sin B cos A sin Acos B sin C sin Acos B sin Acos B sin B cos A ， 即 2sin C cos A sin B cos A 0 ， A 为锐角，则 cos A 0 ，
C
sin
B cos C
cos
B sin C
43 7
.
[玩转跟踪]
1.（2018•北京）在 ABC 中， a 7 ， b 8 ， cos B 1 ． 7
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）求 AC 边上的高．
解：（Ⅰ） a b ， A B ，即 A 是锐角，
cos B 1 ，sin B 1 cos2B 1 ( 1 )2 4 3 ，