2020-2021学年云南省玉溪一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析版

2020-2021学年云南省玉溪一中高三（上）期中考试

数学（理科）试题

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（）

A．{2，3} B．∅C．2 D．[2，3]

2．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）

A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i

3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（5分）设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）

A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c

5．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）

A．﹣ B．﹣C．D．

6．（5分）给出下列命题：

①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；

②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；

③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；

④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．

其中正确命题有（）

A．②④ B．①② C．④D．②③

7．（5分）两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（）

A．48 B．36 C．24 D．12

8．（5分）设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）

A．[π，π）B．（，π] C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）

9．（5分）如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）

A． B．C．D．

10．（5分）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2

11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个

交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）

A．B．2 C．D．3

12．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）

A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13．（5分）设k=（sinx﹣cosx）dx，若（1﹣kx）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8= ．

14．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．

（5分）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为．15．

16．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

18．（12分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．

（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；

（2）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

19．（12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动．这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．求：

（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；

（2）选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．

20．（12分）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．

（l）求椭圆C的方程；

（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．

（I）求函数f（x）的解析式；

（II）设g（x）=lnx，当x∈[1，+∞）时，求证：g（x）≥f（x）；

（III）已知0＜a＜b，求证：．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个

公共点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．

（1）求函数f（x）的最小值m；

（2）若正实数a，b满足+=，求证：+≥m．

2020-2021学年云南省玉溪一中高三（上）期中考试

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（）

A．{2，3} B．∅C．2 D．[2，3]

【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集．

【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，

则A∩B={2，3}．

故选：A．

【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．

2．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）

A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i

【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．

【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，

∴z===﹣1﹣i，

故=﹣1+i，

故选：C．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，考查共轭复数问题，属于基础题．

3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．

【解答】解：该程序框图是循环结构

经第一次循环得到i=1，a=2；

经第二次循环得到i=2，a=5；