2020-2021学年云南省玉溪一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析版

2020-2021学年云南省玉溪一中高三（上）期中考试数学（理科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（）A．{2，3} B．∅C．2 D．[2，3]2．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c5．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．6．（5分）给出下列命题：①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④D．②③7．（5分）两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（）A．48 B．36 C．24 D．128．（5分）设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π] C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）9．（5分）如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）A． B．C．D．10．（5分）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．211．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．312．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）设k=（sinx﹣cosx）dx，若（1﹣kx）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8= ．14．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．（5分）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为．15．16．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．18．（12分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．19．（12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动．这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；（2）选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．（l）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设g（x）=lnx，当x∈[1，+∞）时，求证：g（x）≥f（x）；（III）已知0＜a＜b，求证：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（1）求函数f（x）的最小值m；（2）若正实数a，b满足+=，求证：+≥m．2020-2021学年云南省玉溪一中高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（）A．{2，3} B．∅C．2 D．[2，3]【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集．【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，则A∩B={2，3}．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，考查共轭复数问题，属于基础题．3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（5分）设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【分析】利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5=，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos=﹣故选A．【点评】本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．6．（5分）给出下列命题：①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④D．②③【分析】对于①，直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外，而本命题没有；对于②，符合平面与平面垂直的性质定理；对于③，利用两个集合间的包含关系进行判断；对于④，由a2＜2a可以得到：0＜a＜2，一定推出a＜2，反之不一定成立，故“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．【解答】解：在①中，若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α或l⊂α，故①错误；在②中，若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则由面面垂直的性质定理得过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故②正确；在③中，∵∃x0∈（3，+∞），∴x0＞3，∴x0∈（2，+∞），故③错误；在④中，已知a∈R，则“a＜2”推不出“a2＜2a”，“a2＜2a”⇒“a＜2”，∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件，故④正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7．（5分）两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（）A．48 B．36 C．24 D．12【分析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，则共有2×2×6=24种排法，故选C．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意此类问题中特殊元素应该优先分析．8．（5分）设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π] C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2﹣，则f′（x）=3x2﹣≥﹣，即tanα≥﹣，则0≤α＜或π≤α＜π，故角α的取值范围是[0，）∪[π，π），故选：D【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，结合正切函数的图象和性质是解决本题的关键．9．（5分）如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）A． B．C．D．【分析】由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，结合图象逐项排除【解答】解：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合；A：行走路线是离家越来越远，不符合；B：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；C：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；故选：D【点评】本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，还要注意排除法在解题中的应用．10．（5分）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D【点评】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．3【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d==，故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．12．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1【分析】根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．【解答】解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）设k=（sinx﹣cosx）dx，若（1﹣kx）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8= 0 ．【分析】利用微积分基本定理求出k的值，通过对二项式中的x赋值求出常数项，a0+a1+a2+a3+…+a8，即可得出结论．【解答】解：k=（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=2，令x=0得，a0=1，令x=1得，a0+a1+a2+a3+…+a8=1，∴a1+a2+a3+…+a8=0．故答案为：0【点评】求二项展开式的系数和问题常用的方法是通过观察给二项式中x的赋值即赋值求系数和．14．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．【点评】本题是基础题，考查三棱柱的外接球的表面积的求法，外接球的半径是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为﹣2 ．【分析】将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ【解答】解：∵，∴∴∴∵∴λ=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则．16．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为470 ．【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得，+32cos2π+…+302cos20π，求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解【解答】解：∵a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…=[1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+（282+292﹣302×2）]=[（12﹣32）+（42﹣62）+…+（282﹣302）+（22﹣32）+（52﹣62）+…+（292﹣302）]=[﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）]=[﹣2×]=470故答案为：470【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，解题的关键是平方差公式的应用三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【分析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．18．（12分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【分析】（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【解答】证明：（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，∴EF BB 1，CD BB1．∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．解：（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），C（0，a，0），D（0，a，）B1（0，0，a），B（0，0，0），=（﹣，﹣，a），=（﹣），设=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．则，解得=（1，，），平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）为θ，则cosθ===，∴θ=．∴平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．证明平面与平面垂直主要转化为证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可，而证明直线与平面垂直，只需证明此直线与平面图内的两条相交直线垂直；求二面角的大小新教材主要要求学生掌握用空间向量的方法来求：第一步建立适当的空间直角坐标系，并设出点的坐标；第二步分别求出二面角的两个面的一个法向量；第三步代公式即可求得，注意运算的准确性．19．（12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动．这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；（2）选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．【分析】（1）设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，A1表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，A2表示“恰好选出2名语文教师”，A3表示“恰好选出3名语文教师”，则A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3，由此能求出选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．（2）由于从10名教师中任选3人的结果为，从10名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果为，由此能求出选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）市教育局从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动，基本事件总数=120，这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人，设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，A1表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，A2表示“恰好选出2名语文教师”，A3表示“恰好选出3名语文教师”，则A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3，=，P（A2）==，P（A3）==，∴选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率P=P（A1）+P（A2）+P（A3）==．（2）由于从10名教师中任选3人的结果为，从10名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果为，那么从10人任选3人，其中恰有k名语文教师的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴随机变量X的分布列是：X 0 1 2 3PE（X）==．【点评】本题考查事件的概率公式、分布列和数学期望，是中档题，解题时要注意弄清事件与事件之间的关系，否则容易出错．20．（12分）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．（l）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x1=my1+1，x2=my2+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1．所以，椭圆C的方程是；（2）由得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则A′（x1，﹣y1）．且．经过点A′（x1，﹣y1），B（x2，y2）的直线方程为．令y=0，则又∵x1=my1+1，x2=my2+1．∴当y=0时，这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．21．（12分）已知函数f（x）=在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设g（x）=lnx，当x∈[1，+∞）时，求证：g（x）≥f（x）；（III）已知0＜a＜b，求证：．【分析】（I）将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于a，b的等式，求出f（x）的导数，将x=﹣1代入导函数，令得到的值等于切线的斜率﹣1；（II）将要证的不等式变形，构造新函数h（x），求出其导函数，判断出其符号，判断出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得到要证的不等式；（III）将要证的不等式变形，转化为关于的不等式，利用（II）得到的函数的单调性，得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式．【解答】解：（Ⅰ）将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2，∴f（﹣1）==﹣2，化简得b﹣a=﹣4，f（x）的导数为f′（x）=，f′（﹣1）==﹣1，解得：a=2，b=﹣2．∴f（x）=；（Ⅱ）证明：lnx≥在[1，+∞）上恒成立，即为（x2+1）lnx≥2x﹣2，即x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，h′（x）=2xlnx+x+﹣2，∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+≥2，即h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0，∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；（Ⅲ）证明：∵0＜a＜b，∴＞1，由（Ⅱ）知有ln＞，整理得：．∴当0＜a＜b时，．【点评】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值；证明不等式恒成立，通过构造函数转化为不等式恒成立，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。