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3.2 表示变异（分散）程度的特征数
产品质量检查的结果
说明生产 是否稳定
学
数据的变
生
异程度
的
成
绩
测量的结果
说明测量方法或 仪器是精密还是粗糙
成绩是 否整齐 （而不是高低）
第三章 统计资料的综合
3.2.1极差（或称全距 Range）R
• 定义 R xmax xmin
其中xmax和xmin分别为数据中的极大值和极小值。
xi
_ x
0
性 质
n
x
i
A2
当
A
x
时最小
i 1
第三章 统计资料的综合
(2)几何平均数（Geometric Mean）
• 在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。 例如下表是天津市工业总产值在“十五”期间的逐年 增长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰 当的。几何平均数可以解决这个问题。
• 定义: 一组n个数据的几何平均数定义为
G n r 1 r 2 ...r n
在上式中， r1, r2 ,..., r5 依次为114.0，119.6，124.1，
131.0，120.8于是几何平均数：
5 114.0119.6124.1131.0120.8 121.8
十五期间天津市工业总产值年均增长率为21.8%。
第三章 统计资料的综合
(2)几何平均数（Geometric Mean）
表3-2 天津市工业总产值
年份
比上年增长％
2000
2001
14.0
2002
19.6
2003
24.1
2004
31.0
2005
20.8
（天津市2005统计年鉴）
第三章 统计资料的综合
(2)几何平均数（Geometric Mean）
人数(f) 4 20 25 38 21 12 5
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
其平均体重：
k
x=
f i xi i 1
＝
6949
＝55.592
k fi
125
i 1
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
i
n 1
第三章 统计资料的综合
➢表示统计资料的特征数有哪些？ ➢几何平均数与调和平均数各适合于什么情况？ ➢计算样本方差与总体方差公式有何区别？
第三章 统计资料的综合
3.1 表示集中位置的特征数
• 3.1.1 平均数 算术平均数（Arithmetic average） 几何平均数（Geometric Mean）
第三章 统计资料的综合
(3)调和平均数
• 当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不 恰当。
例如：甲乙两地相距120公里，某人乘车往返甲乙两地之 间，去时速度每小时20公里，回来时速度为每小时30 公里，若求平均速度，这时用算术平均数是不对的， 但调和平均数可解决此类问题。
Hale Waihona Puke Baidu
第三章 统计资料的综合
• 方差
总体 样本
第三章 统计资料的综合
3.2.2 平均差（Mean Absolute Deviation）
定义
平均差M.D.是离差的绝对值的平均数，
即
M .D. 1 n
n i 1
xi
x
对于已分组的频数分布（组数为k）
M .D.
1 n
k i 1
fi
xi
x
第三章 统计资料的综合
3.2.3 方差（Variance），标准差（Standard Deviation）
• 算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点，就是受 观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端 值常常没有代表性。中位数将避免这种影响。
第三章 统计资料的综合
3.1.3 中位数（Median）
定义：
一组n个观测值按数值大小排列，处于中央位置的值
称为中位数以 表M示e ，
即
x
，当n为奇数
Me
k
f i xi
x i1 k fi i 1
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
表3-1 某校125位大学一年级新生体重表
体重（公斤） 46—48 49—51 52—54 55—57 58—60 61—63 64—66
组中值(x) 47 50 53 56 59 62 65
调和平均数
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
• 定义： 一组n个观测值x1,x2 ,…，xn的算术平均数，定义为
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
• 如果资料已经分组，组数为k，用x1,x2 ,…，xk 表示各 组中点，f1，f2…,fk 表示相应的频数，那么
第三章 统计资料的综合
如何计算百分位数
计算第p百 分数
第1步：以递增顺序排列原数据（即从小到大排列）。
第2步：计算指数 i np%
第3步
1.若i不是整数，将i向上取整。大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置。 2.若i是整数，则第P百分位数是第i项与第（i＋l）项数据的平均值。
第三章 统计资料的综合
第三章 统计资料的综合
3.1.2众数（Mode）
• 定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的 变量的值
表3-3 频数分布表
X
f
3
15
5
2
7
3
对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众 数所在组。根据众数定义，可知众数不唯一。
第三章 统计资料的综合
3.1.3 中位数（Median）
1 2
x
n 2
n1 2
x
n 1 2
，当n为偶数
第三章 统计资料的综合
3.1.4 百分位数（ Percentile）
定义： 一组n个观测值按数值大小排列如x1,x2,x3,x4… 处于p%位置的值称第p百分位数。 中位数是第50百分位数
第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile） ,用Q1 表示；第50百分位数又称第二个四分位数 （Second Quartile），用Q2表示；第75百分位数 又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q3表示。
(3)调和平均数
• 定义：
一组n个数据的调和平均数H，由下式定义
1 H
1 1
n
R
1
1 R
2
1
R
n
在上例中，
1 1 1 1 1 H 2 20 30 24
,H
24（公里/小时）
第三章 统计资料的综合
3.1.2众数（Mode）
• 算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值， 但它不见得是出现次数最多的值（甚至也可能不是观 测值中的一个）。所以有必要研究表示集中位置的其 它的特征数。
产品质量检查的结果
说明生产 是否稳定
学
数据的变
生
异程度
的
成
绩
测量的结果
说明测量方法或 仪器是精密还是粗糙
成绩是 否整齐 （而不是高低）
第三章 统计资料的综合
3.2.1极差（或称全距 Range）R
• 定义 R xmax xmin
其中xmax和xmin分别为数据中的极大值和极小值。
xi
_ x
0
性 质
n
x
i
A2
当
A
x
时最小
i 1
第三章 统计资料的综合
(2)几何平均数（Geometric Mean）
• 在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。 例如下表是天津市工业总产值在“十五”期间的逐年 增长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰 当的。几何平均数可以解决这个问题。
• 定义: 一组n个数据的几何平均数定义为
G n r 1 r 2 ...r n
在上式中， r1, r2 ,..., r5 依次为114.0，119.6，124.1，
131.0，120.8于是几何平均数：
5 114.0119.6124.1131.0120.8 121.8
十五期间天津市工业总产值年均增长率为21.8%。
第三章 统计资料的综合
(2)几何平均数（Geometric Mean）
表3-2 天津市工业总产值
年份
比上年增长％
2000
2001
14.0
2002
19.6
2003
24.1
2004
31.0
2005
20.8
（天津市2005统计年鉴）
第三章 统计资料的综合
(2)几何平均数（Geometric Mean）
人数(f) 4 20 25 38 21 12 5
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
其平均体重：
k
x=
f i xi i 1
＝
6949
＝55.592
k fi
125
i 1
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
i
n 1
第三章 统计资料的综合
➢表示统计资料的特征数有哪些？ ➢几何平均数与调和平均数各适合于什么情况？ ➢计算样本方差与总体方差公式有何区别？
第三章 统计资料的综合
3.1 表示集中位置的特征数
• 3.1.1 平均数 算术平均数（Arithmetic average） 几何平均数（Geometric Mean）
第三章 统计资料的综合
(3)调和平均数
• 当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不 恰当。
例如：甲乙两地相距120公里，某人乘车往返甲乙两地之 间，去时速度每小时20公里，回来时速度为每小时30 公里，若求平均速度，这时用算术平均数是不对的， 但调和平均数可解决此类问题。
Hale Waihona Puke Baidu
第三章 统计资料的综合
• 方差
总体 样本
第三章 统计资料的综合
3.2.2 平均差（Mean Absolute Deviation）
定义
平均差M.D.是离差的绝对值的平均数，
即
M .D. 1 n
n i 1
xi
x
对于已分组的频数分布（组数为k）
M .D.
1 n
k i 1
fi
xi
x
第三章 统计资料的综合
3.2.3 方差（Variance），标准差（Standard Deviation）
• 算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点，就是受 观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端 值常常没有代表性。中位数将避免这种影响。
第三章 统计资料的综合
3.1.3 中位数（Median）
定义：
一组n个观测值按数值大小排列，处于中央位置的值
称为中位数以 表M示e ，
即
x
，当n为奇数
Me
k
f i xi
x i1 k fi i 1
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
表3-1 某校125位大学一年级新生体重表
体重（公斤） 46—48 49—51 52—54 55—57 58—60 61—63 64—66
组中值(x) 47 50 53 56 59 62 65
调和平均数
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
• 定义： 一组n个观测值x1,x2 ,…，xn的算术平均数，定义为
第三章 统计资料的综合
(1)算术平均数（Arithmetic average）
• 如果资料已经分组，组数为k，用x1,x2 ,…，xk 表示各 组中点，f1，f2…,fk 表示相应的频数，那么
第三章 统计资料的综合
如何计算百分位数
计算第p百 分数
第1步：以递增顺序排列原数据（即从小到大排列）。
第2步：计算指数 i np%
第3步
1.若i不是整数，将i向上取整。大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置。 2.若i是整数，则第P百分位数是第i项与第（i＋l）项数据的平均值。
第三章 统计资料的综合
第三章 统计资料的综合
3.1.2众数（Mode）
• 定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的 变量的值
表3-3 频数分布表
X
f
3
15
5
2
7
3
对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众 数所在组。根据众数定义，可知众数不唯一。
第三章 统计资料的综合
3.1.3 中位数（Median）
1 2
x
n 2
n1 2
x
n 1 2
，当n为偶数
第三章 统计资料的综合
3.1.4 百分位数（ Percentile）
定义： 一组n个观测值按数值大小排列如x1,x2,x3,x4… 处于p%位置的值称第p百分位数。 中位数是第50百分位数
第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile） ,用Q1 表示；第50百分位数又称第二个四分位数 （Second Quartile），用Q2表示；第75百分位数 又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q3表示。
(3)调和平均数
• 定义：
一组n个数据的调和平均数H，由下式定义
1 H
1 1
n
R
1
1 R
2
1
R
n
在上例中，
1 1 1 1 1 H 2 20 30 24
,H
24（公里/小时）
第三章 统计资料的综合
3.1.2众数（Mode）
• 算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值， 但它不见得是出现次数最多的值（甚至也可能不是观 测值中的一个）。所以有必要研究表示集中位置的其 它的特征数。