数学物理方程ppt
合集下载
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。
数学物理方程02线性偏微分方程的分类公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
a12 a11 a22
a1*1
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
a11 x
a22
y
2
0
由此推出
a1*2
a11
x
x
a12 ( x
y
x
y
)
a22
y
y
a11 x
a22
y
a11 x
a22
y
0
21
数学物理方程
而
a2*2
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
0
所以，方程（1）可改写为
(f)exuxx e yuyy u
29
数学物理方程
2、求出下列各方程旳通解，并代回原方程来检验是否有解：
(a)x2uxx 2xyuxy y2uyy xyux y2uy 0
(b)yuxx c2 yuyy 2c2uy 0 （c为常数）
(c) uxx
1 c2
u yy
0
（c为常数）
(d)uxx 3uxy 2uyy 0
u( x, y) (x, y)
数学物理方程
u( ,)
复合求导
u u u x x x u u u y y y
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2
x2 2 x
x x 2 x x2 x2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2
u 0
u(x, y) g( y ) y h( y )
x
x
25
例2 utt a2uxx 0
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
数学物理方程--- 3 Bessel 函数.PPT
因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.
西安交通大学理学院
定理 3
数 学 物 理 方 程
如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
y = Y + y*， 第 三 章 贝 塞 尔 函 数
特解， Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
是线性非齐次方程的通解.
证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，所以有
1 ax ( y1 y2 ) e sin bx . 2i
第 三 章
y eax (C1 ห้องสมุดไป่ตู้os bx C2 sinbx).
西安交通大学理学院
上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称 为特征根法，其步骤是：
方 程
贝 塞 (1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性 尔 函 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y 2. 数 (2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：
* * * * * * ( y1 y2 ) p( x)( y1 y2 ) q( x)( y1 y2 ) 贝
=
[y1*
+ p(x)y1 + q(x)y1
*
*]
+ [y2* + p(x)y2* + q(x)y2*] = f 1(x) + f 2(x) ， 即 y1* + y2* 满足方程 ①，
数学物理方程ch
cut ku F
令 a2 k , f F ， 得
c
c
ut a2u f
(6)
称（6）为三维热传导方程。如果物体内部没有热源
，即 f ≡0,则得齐次热传导方程
ut a2u
(7)
注1：在前面所讨论的热传导问题中，作为特例，如
果所考虑的物体是一根细杆或一块薄板，或者即使不
2u a2 f (x at) a2g(x at) t 2
u f (x at) g(x at) x
2u x2
f
(x at)
g(x at)
故
2u t 2
a2
2u x2
,
移项即证。
§2 三类典型方程的导出
一、弦振动方程
Q1
t2 t1
V
k
u n
dS dt
根据散度定理得，
Q1
[t2 kudv]dt t2
t1 V
t1
kudvdt
V
(3)
如果物体内有热源，设在单位时间内单位体积
所产生的热量为F(x,y,z,t), 则在 [t1,t2] 内热源放出的
热量为：
Q2
2u t 2
要比
g大得多，所以又可以把g略去。经过这样逐
步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到 u(x,t)
应近似地满足的方程
2u t 2
a2
2u x 2
(1)
这里 a2 T 。
(1)式称为一维波动方程
如果弦还在横向(位移 u的方向)受到外力的作用。 设在时刻 t弦上 x点处的外力密度为 F(x,t)。仿照前面 的推导，有
《数学物理方程-福州大学-江飞》1.4高维波动方程的柯西问题.ppt
表示闭球
证 利用有界闭区域
B(
x
上连续函数的一致连续性，可得
,2r)
0, 0, xi r, x r B(x,r), 有
xi h(xi xi ri ,) xi h(xi ri ,) .
利用微分中值定理，存在 (0满,1)足
h(xi xi ri,)－h(xi ri,)d
Ur r
,
2u z 2
z2 r
r
Ur r
Ur r
.
utt a2 uxx uyy uzz ,
u U(r)
U
tt
a2 r
2 r 2
rU
,
r
0,
u t0 (x, y, z), ut t0 (x, y, z). U t0 (r), Ut t0 (r).
x2 y2 z2
代入波动方程可得
S (0,1)
xi
S(0,1) xi h(x r )d
S(0,1) xi h(xi xi ri ,) xi h(xi ri ,)d 4 r2.
F(x, r) : h(x r)d. S (0,1)
xi
3.球平均法 考虑3D波动方程的柯西问题
utt a2 uxx uyy uzz ,
u t0 (x, y, z), ut t0 (x, y, z).
utt a2 uxx uyy uzz ,
u t0 (x, y, z), ut t0 (x, y, z).
r x . x r
ab
t
b
b
a uvdt a uvdt uv(b) uv(a)
b
uvdt
b uvn.
a
ta
下面我们以格林公式为基础推导二 y
数学物理方程第四章(调和)
1
4
(u ( 1 ) 1 u )dS S n rM0M rM0M n
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数 在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
数学物理方程
第4章 调和方程
三、调和函数的基本性质
1、调和方程的基本解
k
1
rM
0
M
ln
1
(x x0 )2 ln
P x
Q y
R z
d
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
Pcosn, x Qcosn, y Rcosn, zds 其中n cosn, x,cosn, y,cosn, z 是 在
点 x, y, z 处的外法向量
u
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
二、 拉普拉斯方程边值问题的提法
1 第一边值问题（狄氏问题） 2 第二边值问题（牛曼问题）
u f
u f n
3、狄氏外问题
4、牛曼外问题
数学物理方程
三、泊松方程边值问题
2
z 2
x2
1 y2
z2
3z2 (x2 y2 z2 ) x2 y2 z2 5 2
三式相加，可得
2 1 0, r 0 r
数学物理方程
第4章 调和方程
② 当 r 0时，1 不可导，将 V 取为整个三维空间 r
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r y(ci, 0ci,1x
ci, (i1)xni1)eixsin ix
i1
r
(di, 0di,1x
di, (i1)xni1)eixcos ix
i1
3．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
定理3:
设 0 为 yp yq yp m (x)e0x对应的齐
次方程的i ( i 0, 1, 2 )重根，其中，p m ( x )
与p n ( x )分别是次多项式， 0 为常数。
则存在次多项式 q m ( x ) 使非齐次方程 有如下形式的特解：
yxiqm(x)e0x
定理4:
m , n p m ( x )与 p n ( x ) 分别是
次多项式，
0 与0(0 0)为常数，
则 y p y q y e 0 x [ p m ( x ) c o s0 x p n ( x ) s i n 0 x ]
第一章 绪论
1.1 常微分方程基础 1.2 积分方程基础 1.3 场论基本概念 1.4 常用算符与函数 1.5 常用物理规律
1.1 常微分方程基础 一、一阶微分方程
一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:
y f(x, y), p (x,y)d xq (x,y)d y0
1．可分离变量的一阶微分方程
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
y f (x, y)
y
(
x
0
)
y0
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
f(x, y, y, y)0, t (, ) a 1y()a2y()a3y()a4y()a5
定义10:
设为 y 0 方程 yg(x, y) 的平凡解，
■ 版权所有 侵权必究 ■ ◆ 邮购本书请与本社发行科联系。电话： 邮编：610054。 ◆ 本书如有缺页、破损、装订错误，请寄回印刷厂调换。
第一章 绪论 笫二章 定解问题与偏微分方程理论 第三章 分离变量法 第四章 行波法 第五章 积分变换 第六章 Green函数法 第七章 Bessel函数 第八章 Legendre多项式 第九章 保角变换法 第十章 非线性数学物理方程简介
f(x)dxg(y)dy
2．齐次方程
dy f ( y ) dx x
uxuf(u)
3．一阶线性微分方程
yp(x)yq(x)
yep(x)dx q(x)ep(x)dxdxc
4．Bernoulli方程
yp(x)yq(x)yn(n 0, 1)
u ( 1 n )p (x )u ( 1 n )q (x )
二、高阶微分方程 1．可降阶的二阶微分方程
yf(x, y)
yf(y, y)
ppf(y, p)
2．n阶常系数齐次线性微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a 2 ( x ) y ( n 2 ) a n 1 ( x ) y a n ( x ) y 0
定理1
数学物理方程 李明奇 田太心 主编
出 版：电子科技大学出版社(成都市建设北路二段四号，邮编：610054) 责任编辑：徐守铭 发 行：电子科技大学出版社 印 刷：成都蜀通印务有限责任公司 开 本：787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425千字 版 次：2006年4月第一版 印 次：2007年8月第二次印刷 书 号：ISBN 9787811140989 印 数：2001—5000册 定 价：28.00元
三、Euler方程
在微分方程中，我们还经常遇到一类 特殊的非常系数非齐次线性微分方 程——Euler方程的求解：
p 0 x n y ( n ) p 1 x n 1 y ( n 1 ) p n 1 x y p n y f ( x )
n
pnkD (D 1) (D k1)yf(et)
k0
四、Bessel方程
定义2 二阶线性微分方程
x2yxy(x22)y0
称为Bessel方程， 为非负常数。
定义4 二阶线性微分方程
x2yxyx2
m122y0
(m为整数)
称为半奇数阶Bessel方程。
定义5 二阶线性微分方程
x2yxy(x22)y0
称为虚宗量Bessel方程。
五、Legendre方程与SturmLiouville方程
定义6 二阶线性微分方程
( 1 x 2 ) y 2 x y n ( n 1 ) y 0 , x [ 1 , 1 ]
称为n阶Legendre方程。
定义7 二阶线性微分方程
d d x k(x)dy d (xx) (x)q(x)y(x)0a≤x≤b
称为SturmLiouville方程。
若 0 ,x 0 I, (,x 0 ) 0 , y 0 ，当
y0 (, x0) 时，对 x x0 ，
有 y(x, x0, y0) ，则称 y 0 解稳定。
定义11:
的特解为：
y x k e 0 x [p l( x )c o s0 x q l( x )s in0 x ]
定理5:
二阶非齐次线性微分方程
yp yq yf(x)
的特解为
通解为
y y 10 x y (2 y 1 f,(y2 ))dy20 x y (1 y f1 ,(y ) 2)d
y y 10 x y ( 2 y 1 f, ( y 2 ) ) d y 20 x y ( 1 y f 1 , ( y ) 2 ) d C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
, n， ，则 r r nk =n
r
y (ci,0ci,1x
ci, (i 1 )xn i 1)eix
其中，c i , j 为任意常数。
k 1
i 1
（3）若ai (x)R，特征方程有r个不同的复根 1, 2, , r
（ k k ki），其重数分别为 n1, n2, , nr ，所有复 根重数之和为，则
Ly
n
fi (x)
的特解可以通过方程
i 1
L yfi(x),i1 , ,n的特解之和求得。
定理2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：
（1）特征方程有n个不同的实根 1, 2,
则
y
n
ci ei，x c
i
为任意常数；
i 1
, n ，
（2）特征方程有r个不同的实根 1, 2, , n，其
重数分别为n1, n2,