第二版 工程数学-概率统计简明教程-第三章-条件概率与事件的独立性
概率统计简明教程(同济)Chapter3
0.0125
课堂: P27, 5.
问题: 若已知取到的是次品, 它属于三个 厂的概率分别是多少{由果寻因}? 这就 要利用 Tomas Bayes (英国, 1763年)公式. 贝叶斯公式: 设事件A1, A2, …, An两两不相容, 事件B 满足 B = BA1 BA2 … BAn,
P( AB) P( B) 0 : P( A | B) . P( B)
乘法公式: P( A) 0 : P( AB) P( A) P( B | A).
P( B) 0 : P( AB) P( B) P( A | B). 推广? P( A1 A2 An1 ) 0(n 2) :
P( B | A1 ) 0.02, P( B | A2 ) 0.01, P( B | A3 ) 0.03
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 )
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
P( AB) 2 P( B | A) P( B); P( A) 3 P( AB) 2 P( B | A) P( B). P( A) 3
无论A发生与否对B的概率没有影响, 就 称事件A与事件B(相互)独立. 直观意义: 事件A与B没有“关系”, “影 响”. 这往往可根据事件的实际意义判 断(P23).
例8(P23) Solution 待求概率的事件为A, Ai = {第i 台需工人维护}( i = 1, 2, 3). A1, A2, A3相互独立.
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )
工程数学_概率统计简明教程_第三章_随机事件
常由实际问题的意义判断事件的独立性
定义 三事件 A, B, C 相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
n
n
又事件B满足
则有
B
i 1
B Ai
n
P ( B ) P ( B Ai )
i 1
P BA
i i 1
n
P A P B
i i 1
n
Ai
例（课本例4）设某工厂有两个车间生产同型号家用 电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为 0.12。两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中， 假设第1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户 从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
PB A
( A )
A
( AB )
AB
( B )
B
(n)
AB A
2 3
P A
A
3 6
AB={出现的点数不超过3,且是奇数}＝｛１，３｝
P AB
AB
2 6
PB A
AB A
P( AB) P( A)
2 3
例2 设有两个口袋，第一个口袋装有3个黑球、2个白球； 第二个口袋装有2个黑球和4个白球。今从第一个口袋任取 一球放到第二个口袋，再从第二个口袋任取一球，求已知 从第一个口袋取出的是白球条件下从第二个口袋取出白球 的条件概率。 记A＝{从第一个口袋取出白球}， B={从第二个口袋取出白球} 由题意即求P(B|A)
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率论与数理统计第三章第四节
X 和 Y 相互独立 ⇔ f ( x, y) = fX ( x) fY ( y). 3. X 和 Y 相互独立 , 则 f ( X ) 和 g (Y )也相互独立 .
f X (x) = ∫ f (x, y)dy
+∞
2x, 0 < x <1 ∫1dy, 0 < x <1,, = = −x 其它 , 0 0,, 其它 ,
−∞ x
例1-续1
1 ∫1dx, 0 < y <1 y +∞ 1 fY ( y) = f (x, y)dx = 1dx, −1< y < 0 ∫ −∞ −y 0, 其它 ,
又
1 1 α+β = , 得β = . 3 9
一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 例4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 时 设他们两人到达的时间相互独立, 设他们两人到达的时间相互独立 求他们到达办 分钟的概率. 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率 解 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘 书到
y 1 −2 e , y > 0, fY ( y) = 2 0, 其它 ,
(1)求X与Y的联合概率密度; (1)求 的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. (2)求关于 的二次方程t 求关于t 有实根的概率. (1)求 〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立 且有 独立,且有 因为 独立
所以在联合概率密度非零区域内
f (x, y) ≠ f X (x) fY ( y)
概率论与数理统计3章
VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的 函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数， 反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机 变量，期望是所有可能取值的概率与其对应 的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望 是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度， 即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各 取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方 法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估 计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围 ，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是 否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的 概率的分布。常见的连续概率分布有正 态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算 时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范 围为0到1。
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
返回
下页
结束
§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
返回
下页
结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
《工程数学》(概率统计)期末复习提要共12页word资料
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
第三章 上
第三章条件概率与事件的独立性§3-1 条件概率一、条件概率定义1：设A、B两个事件，称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为P（B|A）。
【例1】设有两个口袋，第一个口袋装有3个黑球，2个白球；第二个口袋装有2个黑球和4个白球。
今从第一个口袋任取一球放到第二个口袋，再从第二个口袋任取一球，求已知从第一个口袋取出的是白球条件下从第二个口袋取出白球的条件概率。
【例2】将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A=｛至少有一次为H｝，事件B=｛两次掷出同一面｝，求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。
2.定义2：设A、B是两个事件,且P(A)＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率【例3】一盒子装有5只产品，其中有3只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取一只作不放回抽样，设事件A=｛第一次取到的是一等品｝，事件B=｛第二次取到的是一等品｝，试求条件概率P(B|A)。
.二、性质1、条件概率满足概率定义中的三个条件（1）对任一事件B，（2）（3）设B1,B2……是一列两两互斥的事件则有2、由于条件概率满足概率的三个条件故概率的性质对于条件概率适用(1)其中B1,B2为任意事件；(2)(3)若A ⊂B，则三、乘法原理1、2、设对任一n＞1，P(A1A2…A n)>0则有【例4】（生命表）生命表是人身保险精算的重要依据，下面是美国1976年的部分生命表。
年龄每十万人中存活人数每千个存活者的死亡率50 90718 6.4351 90135 7.0052 89501 7.6253 88822 8.3054 88085 9.03其中第3列的死亡率就是到达该年龄还存活条件下，在之后的一年内死亡的条件概率。
设A=｛个体在50岁存活｝，B=｛个体在50岁到51岁之间死亡｝，求P(B\A)。
【例5】一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
概率论与数理统计课件
1 9 1 9 81 3 10 10 9 10 9 8 10
或拨号不超过3次而接通电话的对立事件为
__
A1
__
A2
A3
__ __
__
__
__
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
9 87 7 10 9 8 10
上页 下页 返回
四、全概率公式与贝叶斯公式
上页 下页 返回
例1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、 乙、丙 击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。
令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.55 0.45 =0.1485
P(A)>0时， P(B A) 1 P(B A)
P(B C A) P(B A) P(C A) P(BC A)
上页 下页 返回
例1 6个球中有4个白球2个黑球, 无放回取2个 球, 已知第一次取到白球, 问第二次取到白球 的概率? 解 A=“第一次取到白球” , B=“第二次取到白球”
P(B A) 3 5
P(B A) 0.8, P(B A) 0.1
__
(1)P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
0.48 0.04 0.52
(2)P(A B) P(A)P(B A) 0.48 12 P(B) 0.52 13
例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色 盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰 好是色盲，求此人是男人的概率。
（１）求收报台收到信号“＋”的概率。
(完整word)条件概率与事件的独立性
条件概率与事件的独立性1． 条件概率及其性质（1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，且P(A ）〉0，称P （A ｜B ）= 为在 发生的条件下， 发生的概率。
2．相互独立事件：事件A （或B )是否发生对事件B （或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做 .若A 与B 是相互独立事件,则A 与B ，A 与B ,A 与B 也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 4．互斥事件与相互独立事件是有区别的:互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系，但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别.如果A 、B 相互独立,则P (A +B ）=P （A )+P （B )-P （A ⋅B ）如:某人射击一次命中的概率是0.9，射击两次，互不影响,至少命中一次的概率是0。
9+0.9-0.9×0.9=0。
99，(也即1—0.1×0.1=0。
99) 5．独立重复试验(1)独立重复试验的定义： (2）n 次独立重复试验的概率公式：三、基础再现1.一学生通过英语听力测试的概率是21,他连续测试两次,那么其中恰好一次通过的概率是（ ）A. 41B. 31 C 。
21 D. 432．已知,53)(,103)(==A P AB P 则)|(A B P 等于 （ )A. 509B. 21 C 。
109 D. 413．某人射击一次击中的概率为0。
6,经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）A ．12581B ．12554C ．12536D ．125274．甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 （ ) A 。
p 1p 2 B.p 1（1－p 2)+p 2（1－p 1） C 。
1－p 1p 2D 。
1－(1－p 1）(1－p 2） 5.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜"，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( )(A ） 0．216 (B ）0．36 （C)0．432 (D ）0．648 6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______。
《概率统计简明教程》(第3章-事件的概率)条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性、二项概率
这正好是第3列的第一个数字(需除以1000)。
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
作业
• 习题二 12、14、15； • 习题三 1、3、4.
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
复习：
第三章 事件概率与事件的独立性
在实际问题中，常需要计算在某个事件A已经
发生的条件下，另一个事件B发生的概率。 一般地，设A，B两个事件，以及P(A)>0， 称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概 率，记为P(B|A)。 通常，因为增加了“事件A已经发生”的条件，
所以P(B|A)≠P(B)。
《概率统计简明教程》第二版
解法二：条件概率法 由乘法公式，先求P(B|A)及P(A). 已知P(A)= 10/100 =0.1，而P(B|A)＝90/99，
因此, P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝0.1*90/99≈0.091.
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
例2（P20）生命表 生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国 1976年的部分生命表。
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
第三章 事件的概率与事件的独立性
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 事件的独立性 伯努利试验和二项概率
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
第一节
条件概率
《概率统计简明教程》第二版
《概率统计简明教程》第二版
第三章 事件概率与事件的独立性
例5(P22) ：设某工厂有两个车间生产同一型号家用电器， 第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。两个 车间生产的成品混合堆放在一个仓库中，假设第一、二车 间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机 提一台产品，求该产品合格的概率。 (Ai 为B发生的可能原因).
第三章 条件概率与事件的独立性
P(A B) 1 P(A B)
1 P( AB) 1 P( A)P(B | A) 1 P( A)[1 P(B | A)]
1 0.080.15 0.988
二、全概率公式 如果A1,A2,…,An构成完备事件
组，并且具有正概率，则对于任何 一个事件B， P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
4.设事件Ai表示第 i 次检查为阳性,事
件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查
效果如下：
P(Ai B ) P( Ai B ) 0.95, 且 P(B) 0.005
某患者首次检查反应为阳性, 试判断 该患者是否已患肠癌？ 若三次检查 反应均为阳性呢？
back
四、事件的独立性 如果事件B发生的可能性不受事件
机事件序列是相互独立的。
结论
（3） A1，A2，…，An…相互独立，则
P(A1A2…An) =P(A1)P(A2)…P(An)
（4） A1，A2，…，An…相互独立，则 P(A1+…+An)=1-P(非A1)P(非A2)… P(非An)
例题5
例题5
1.一袋中装有4个白球，2个黑球。从中有放 回取两次，每次取一个。A＝｛第一次取 到白球｝，B＝｛第二次取到白球｝，考 察A与B的独立性。
例题7
例题7 1.一条自动生产线上产品的一级品率为 0.6。现检查10件，求至少有两件一级 品的概率。
2.某城市有1%的色盲。问从这城市里选 出多少人才能使得里面至少有1位色盲 者的概率不小于0.95?
back
练习
1、一袋中装有a个黑球，b个白球，先后两次 从袋中各取一球（不放回）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方案1和方案2的次品率分别为0.3% ， 0.1%，求公司产品
的次品的率. 解： P(次品)=P(方案1的产品 且 为次品)+P(方案2，次)
= 40% ×0.3% + 60%×0.1% = 0.0018 问：从产品中随机抽取1件，测试为次品，问此次品是哪种
方案生产出来的可能性大？
P(方案1|次品)=0.4×0.003/0.0018=2/3 P(方案2|次品)=0.6×0.001/0.0018=1/3
=0.323
例7 一项血液化验以0.95概率将患者检查为阳性，但0.01 的概率误将健康者检查为阳性。已知该病的患病率为0.5%。 问：如果某人检验为阳性，则他的确患病的概率是多少？
解 记B＝{阳性}，A1＝{患者}， A2＝{健康者}.
已知 P( A1) 0.5%, P( A2 ) 99.5%
C22 C62
61 15 15
=第一次在(4新+2旧)中取2新，第二次在(2新+4旧)中取2新
P(A ) 1 6 8 3 6 1 4 15 15 15 15 15 15 25
P( B0
|
A)
16 15 15
4
1 6
25
P(B1 |
A)
83 15 15
4
4 6
25
P( B2
|
A)
n
P(B) P(Ai )P(B | Ai ) i1
全概率公式 若事件 A1, A2, , An 两两互斥，且 P( Ai ) 0 ，1 i n ,
n
令 B BAi 则有 P(B) P( A1B) P( AiB) P( AnB)
i 1
P( A1)P(B | A1) P( An )P(B | An ) .
P(B A1) 0.95, P(B A2 ) 0.01, 要求P(A1 B).
P( A1B) P( A1)P(B A1) 0.5% 0.95, P( A2B) P( A2 )P(B A2 ) 99.5% 0.01,
P( A1
B)
P( A1B) P(B)
P( A1B) P( A1B) P( A2B)
P( A)
P(A B) P(A) P(AB), P(A) 1 0.3 0.7
P(AB) 0.5 0.3 0.2 ,
所以 P(B A) P(B) 0.2 0.4 0.2 2
P( A)
0.3 3 ,
12
第二节 全概率公式
生活中，常见这样的现象：
B是由多个独立原因引起的，每个原因记为Ai；
= 40% ×0.3% + 60%×0.1%
= 0.0018
第三节 贝叶斯公式
生活中，常见这样的现象：
B是由多个独立原因引起的，每个原因记为Ai； 全部独立的Ai构成样本空间 已知所有原因Ai发生的概率P(Ai) 已知在Ai发生的条件下B发生的概率P(B|Ai) 则 P(B ) P(A1B) P(AiB) P(AnB) 如B已经发生了，问B的发生是由Ai引起的概率是多大？
第2列的数值计算出第3列的数值吗？
年龄
每十万人中存活的人数 每千存活者的死亡率
50
90718
6.43
51
90135
7.00
52
89501
7.62
53
88822
8.30
54
88085
9.03
用常识直接计算
第3列第1行=在50到51岁之间死亡的人数/50岁活着的人数
=(50岁人数－51岁人数) /50岁活着的人数
0.323.
先验概率与后验概率 上题中发病率0.5% 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.
而再检查结果为阳性的条件下真正患病的概率 0.323 叫做后验概率.是对先验概率的校正
例6(续) 某公司有两种生产方案生产同一型号的产品，已
知方案1生产的占总的 40% ，方案2生产的占总的 60% ，
但如果事件A 已经发生了，即点数已经是偶数了，
此时B 发生的概率为1/3.这样的概率记为P(B|A)
P(B A) 1 P( AB) 3 P( A)
定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
同理可得
61 15 15
4
1 6
25
练习时取1新,且比赛时取2新的可能性最大
第四节 事件的独立性
引例
盒 中 有5个 球( 3绿 2红 ), 每 次 取 出 一 个, 有 放 回 地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球, B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A) P(B),
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
n
令 B i1 BAi 则有 P( Ai | B) P( A1B)
P( Ai B) P( Ai B)
P( AnB)
P( Ai )P(B | Ai )
.
P( A1)P(B | A1) P( An )P(B | An )
英国数学家，702—1763
原因
贝叶斯 全概
公式
公式
结果
例7 一项血液化验以0.95概率将患者检查为阳性，但0.01 的概率误将健康者检查为阳性。已知该病的患病率为0.5%。 问：如果某人检验为阳性，则他的确患病的概率是多少？ 补充条件：该地区总人数为N，则患者有0中取2旧，第二次在(4新+2旧)中取2新
AB1={练习时取1新,且比赛时取2新}
P(AB1)
C41C21 C62
C32 C62
83 15 15
=第一次在(4新+2旧)中取1新，第二次在(3新+3旧)中取2新
AB2={练习时取2新,且比赛时取2新}
P(AB2 )
C42 C62
对于一些简单的交时间的概率，可以直接根据古典概型求 出概率，只比较复杂的情况下代公式会简单些.
补充 设 A,B 为两个事件，且已知 P( A) 0.3, P(B) 0.4, P( A B) 0.5 ,
求 P(B A) .
解 因为 P(B A) P(BA) P(B) P( AB)
P( A)
先用全概率公式求比赛时取2新的概率，再求条件概率
解：设A={比赛时取2新} B0={练习时取0新}，B1={练习时取1新}，B2={练习时取2新}
P(A) P(AB0) P(AB1) P(AB2)
AB0={练习时取0新,且比赛时取2新}
P(AB0 )
C22 C62
C42 C62
16 15 15
P( A1A2
An ) P( An A1A2 An1) P( An1 A1A2 An2 ) P( A2 A1)P( A1).
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A).
解：
30% 2% 1% 1%
20%
50%
S
P(次品)=P(抽到一厂产品 且 为次品)+P(二厂，次)+P(三厂，次)
= 0.3×0.02 + 0.5×0.01 + 0.2×0.01 = 0.0013
例6 某公司有两种生产方案生产同一型号的产品， 已知方案1生产的占总的 40% ，方案2生产的占总 的 60% ，方案1和方案2的次品率分别为0.3% ， 0.1%，求公司产品的次品的率. 解： P(次品)=P(方案1的产品 且 为次品)+P(方案2，次)
A2
A2B
A1BA1
B
A3 A3B
An1 An
P(B ) P(A1B) P(AiB) P(AnB)
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P( Ai B)
P(A1B) P(AnB)
条件概率
贝叶斯公式
若事件 A1, A2, , An 两两互斥，且 P(Ai ) 0 ，1 i n ,
设 A 表示{个体在50 岁存活 } ，B 表示 {个体在50到51岁之间死亡}
则第3列对应数值为 1千×P(B|A)，第2列对应数值为10万×P(A).
∵ A∩B=B ∴ P(B|A)=P(B)/P(A)
又 P(A)=0.90718, P(B) =(907/8－90135)/10万
∴ P(B|A)=P(AB)/P(A) ={(90718－90135) /90718}×1000
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
例2 (生命表) 生命表是人身保险精算的主要依据，下表是 美国1976年的部分生命表.第3列的死亡率是到达该年龄还 存活条件下，在之后的一年内死亡的条件概率。你能运用
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
乘法原理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A).
设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P(ABC) P(C AB)P(B A)P(A).
推广 设 A1, A2,, An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
={(90718－90135) /90718}×1000
=6.43
年龄 50 51 52 53 54
每十万人中存活的人数 90718 90135 89501 88822 88085