第二版 工程数学-概率统计简明教程-第三章-条件概率与事件的独立性

=0.323
例7 一项血液化验以0.95概率将患者检查为阳性，但0.01 的概率误将健康者检查为阳性。已知该病的患病率为0.5%。 问：如果某人检验为阳性，则他的确患病的概率是多少？
解 记B＝{阳性}，A1＝{患者}， A2＝{健康者}.
已知 P( A1) 0.5%, P( A2 ) 99.5%
原因A1 原因A2 … … 原因An
结果B 全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率.
例5 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少?
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
乘法原理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A).
设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P(ABC) P(C AB)P(B A)P(A).
推广 设 A1, A2,, An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
全部独立的Ai构成样本空间
已知所有原因Ai发生的概率P(Ai)
已知在Ai发生的条件下B发生的概率P(B|Ai)
则 如何求P(B)？
A2
A2B
A1BA1
B
A3 A3B
An1 An
B A1B A2B
AnB
P(B ) P(A1B) P(AiB) P(AnB)
P(AiB) P(Ai )P(B | Ai )
P(B A) P(B)
P( AB) P( A)P(B)
因为有放回的抽取，所以第一次的结果对第二次 没影响 两个事件之间 相互没影响，称之为独立
定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
说明
事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
方案1可能性大
例8 盒子中有6只乒乓球，其中4新2旧.现从中任取2只练习， 用后放回，接着比赛时再从中任取2只. (1)求比赛时取的2只为新球的概率 (2) 已知比赛时取的2只是新的，问练习时取到几只新球的可 能性大？
分析： 练习时取球有三种情况：练习2新 ∪ 练习1新 ∪ 练习0新 三种情况都可以导致比赛时取2新这一事件发生
P(B A1) 0.95, P(B A2 ) 0.01, 要求P(A1 B).
P( A1B) P( A1)P(B A1) 0.5% 0.95, P( A2B) P( A2 )P(B A2 ) 99.5% 0.01,
P( A1
B)
P( A1B) P(B)
P( A1B) P( A1B) P( A2B)
n
令 B i1 BAi 则有 P( Ai | B) P( A1B)
P( Ai B) P( Ai B)
P( AnB)
P( Ai )P(B | Ai )
.
P( A1)P(B | A1) P( An )P(B | An )
英国数学家，702—1763
原因
贝叶斯 全概
公式
公式
结果
例7 一项血液化验以0.95概率将患者检查为阳性，但0.01 的概率误将健康者检查为阳性。已知该病的患病率为0.5%。 问：如果某人检验为阳性，则他的确患病的概率是多少？ 补充条件：该地区总人数为N，则患者有0.5%N
对于一些简单的交时间的概率，可以直接根据古典概型求 出概率，只比较复杂的情况下代公式会简单些.
补充 设 A,B 为两个事件，且已知 P( A) 0.3, P(B) 0.4, P( A B) 0.5 ,
求 P(B A) .
解 因为 P(B A) P(BA) P(B) P( AB)
P( A)
第2列的数值计算出第3列的数值吗？
年龄
每十万人中存活的人数 每千存活者的死亡率
50
90718
6.43
51
90135
7.00
52
89501
7.62
53
88822
8.30
54
88085
9.03
用常识直接计算
第3列第1行=在50到51岁之间死亡的人数/50岁活着的人数
=(50岁人数－51岁人数) /50岁活着的人数
方案1和方案2的次品率分别为0.3% ， 0.1%，求公司产品
的次品的率. 解： P(次品)=P(方案1的产品 且 为次品)+P(方案2，次)
= 40% ×0.3% + 60%×0.1% = 0.0018 问：从产品中随机抽取1件，测试为次品，问此次品是哪种
方案生产出来的可能性大？
P(方案1|次品)=0.4×0.003/0.0018=2/3 P(方案2|次品)=0.6×0.001/0.0018=1/3
A2
A2B
A1BA1
B
A3 A3B
An1 An
P(B ) P(A1B) P(AiB) P(AnB)
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P( Ai B)
P(A1B) P(AnB)
条件概率
贝叶斯公式
若事件 A1, A2, , An 两两互斥，且 P(Ai ) 0 ，1 i n ,
C22 C62
61 15 15
=第一次在(4新+2旧)中取2新，第二次在(2新+4旧)中取2新
P(A ) 1 6 8 3 6 1 4 15 15 15 15 15 15 25
P( B0
|
A)
16 15 15
4
1 6
25
P(B1 |
A)
83 15 15
4
4 6
25
P( B2
|
A)
={(90718－90135) /90718}×1000
=6.43
年龄 50 51 52 53 54
每十万人中存活的人数 90718 90135 89501 88822 88085
每千存活者的死亡率 6.43 7.00 7.62 8.30 9.03
借助于条件概率公式计算
B =50岁人数－51岁人数
=第一次在(4新+2旧)中取2旧，第二次在(4新+2旧)中取2新
AB1={练习时取1新,且比赛时取2新}
P(AB1)
C41C21 C62
C32 C62
83 15 15
=第一次在(4新+2旧)中取1新，第二次在(3新+3旧)中取2新
AB2={练习时取2新,且比赛时取2新}
P(AB2 )
C42 C62
解 由条件概率的公式得 P(B A) P( AB) 6 12 2 . P( A) 9 12 3
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活 到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种 动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?
解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
61 15 15
4
1 6
25
练习时取1新,且比赛时取2新的可能性最大
第四节 事件的独立性
引例
盒 中 有5个 球( 3绿 2红 ), 每 次 取 出 一 个, 有 放 回 地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球, B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A) P(B),
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努力试验和二项概率
第一节 条件概率
引例 掷一枚骰子，设事件 A为 “点数为偶
数”,事件B为“点数为2”. 则：
P(A) 1 , P(B) 1 , P(AB) 1 .
2
6
6
先用全概率公式求比赛时取2新的概率，再求条件概率
解：设A={比赛时取2新} B0={练习时取0新}，B1={练习时取1新}，B2={练习时取2新}
P(A) P(AB0) P(AB1) P(AB2)
AB0={练习时取0新,且比赛时取2新}
P(AB0 )
C22 C62
C42 C62
16 15 15
P( A)
P(A B) P(A) P(AB), P(A) 1 0.3 0.7
P(AB) 0.5 0.3 0.2 ,
所以 P(B A) P(B) 0.2 0.4 0.2 2
P( A)
0.3 3 ,
12
第二节 全概率公式
生活中，常见这样的现象：
B是由多个独立原因引起的，每个原因记为Ai；
P( A1A2
An ) P( An A1A2 An1) P( An1 A1A2 An2 ) P( A2 A1)P( A1).
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A).
检查结果为 =
患者
Fra Baidu bibliotek
阳性的总人数 检查为阳性的人数
+
健康者
检查为阳性的人数
0.5%N×0.95 99.5% N ×0.01
如果某人检验为阳性
=
0.5%N ×0.95
则他患病的概率
0.5%N×0.95 + 99.5%N ×0.01
=
0.5×0.95 0.5×0.95 + 99.5×0.01
=
0.475 0.475 +0.995
= 40% ×0.3% + 60%×0.1%
= 0.0018
第三节 贝叶斯公式
生活中，常见这样的现象：
B是由多个独立原因引起的，每个原因记为Ai； 全部独立的Ai构成样本空间 已知所有原因Ai发生的概率P(Ai) 已知在Ai发生的条件下B发生的概率P(B|Ai) 则 P(B ) P(A1B) P(AiB) P(AnB) 如B已经发生了，问B的发生是由Ai引起的概率是多大？
n
P(B) P(Ai )P(B | Ai ) i1
全概率公式 若事件 A1, A2, , An 两两互斥，且 P( Ai ) 0 ，1 i n ,
n
令 B BAi 则有 P(B) P( A1B) P( AiB) P( AnB)
i 1
P( A1)P(B | A1) P( An )P(B | An ) .
0.323.
先验概率与后验概率 上题中发病率0.5% 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.
而再检查结果为阳性的条件下真正患病的概率 0.323 叫做后验概率.是对先验概率的校正
例6(续) 某公司有两种生产方案生产同一型号的产品，已
知方案1生产的占总的 40% ，方案2生产的占总的 60% ，
但如果事件A 已经发生了，即点数已经是偶数了，
此时B 发生的概率为1/3.这样的概率记为P(B|A)
P(B A) 1 P( AB) 3 P( A)
定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
同理可得
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
例2 (生命表) 生命表是人身保险精算的主要依据，下表是 美国1976年的部分生命表.第3列的死亡率是到达该年龄还 存活条件下，在之后的一年内死亡的条件概率。你能运用
设 A 表示{个体在50 岁存活 } ，B 表示 {个体在50到51岁之间死亡}
则第3列对应数值为 1千×P(B|A)，第2列对应数值为10万×P(A).
∵ A∩B=B ∴ P(B|A)=P(B)/P(A)
又 P(A)=0.90718, P(B) =(907/8－90135)/10万
∴ P(B|A)=P(AB)/P(A) ={(90718－90135) /90718}×1000
解题时，一般根据实际意义判断 A 与 B 是否 相互独立,如果，可套用上面的计算公式求概率
三事件两两相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
解：
30% 2% 1% 1%
20%
50%
S
P(次品)=P(抽到一厂产品 且 为次品)+P(二厂，次)+P(三厂，次)
= 0.3×0.02 + 0.5×0.01 + 0.2×0.01 = 0.0013
例6 某公司有两种生产方案生产同一型号的产品， 已知方案1生产的占总的 40% ，方案2生产的占总 的 60% ，方案1和方案2的次品率分别为0.3% ， 0.1%，求公司产品的次品的率. 解： P(次品)=P(方案1的产品 且 为次品)+P(方案2，次)