概率统计2.1,2(lhd)

中南大
罗捍东
第二章
一元随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
§2.1 随机变量的概念与类型
在研究随机事件与概率时，发现如下两个特点： 第一：有些试验的结果直接表现为数量。比如，掷骰子 出现的点数，在抽样检验产品中出现次品的个数等。 第二：有一些试验的结果，尽管没有直接表现为数量， 但是我们也可以用数量表示，比如：产品检验中，优质 品记为2，次品记为1，废品记为0等。由此有结论：对 于任何一个试验的各种结果，都可以用数量与之对应。

且有
(1 p)
k 1
k 1
p p 1. 1 (1 p)
P{ 2} P{ 3} P{ 4} P{ 5}
1 0.067 0.933
5
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5)、几何分布 定义8：如果随机变量X的概率分布为：
P X k (1 p)
k 1
p , k 1,2,
其中 0 p 1，则称X服从参数为p的几何分布。 显然 P X k (1 p)k 1 p 0, k 0,1,2,,
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(n 1) p和(n 1) p 1, k0 [(n 1) p],
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当(n 1) p是整数时， 其他。
其中 [(n 1) p] 表示不超过 (n 1) p 的最大整数。
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例4：某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5次， 求最多投中两次的概率。 解：设X 为5次投篮中投中的次数，则 X B 5， 0.8 则有： P{ X 2}
概率分布也可以用一个表格的形式来表示，如表 2-1所示
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表 2-1 离散型随机变量概率分布表 X P
x1
x2
p2
… …
xn pn
… …
p1
注意到随机事件 {X x1},{X x2},,{X xn }, 构成一个完备事件组， 由此知离散型随机变量的概率分布 pi , i 1,2, 满足下列的两个性质：
显然k0应满足
k0 k0 n k0 Cn p q k0 1 k0 1 n k0 1 1 Cn p q 即： k0 k0 n k0 Cn p q 1 k 1 k 1 n k 1 0 0 0 C p q n
解上述不等式得：(n 1) p 1 k0 (n 1) p. 因为k0必须为非负整数，所以
定义2：如果随机变量X只可能取有限个或至多可 列个值，则称X为离散型随机变量。 定义3：设离散型随机变量X所有可能的取值为
xi (i 1, 2,), 且事件 { X xi } 的概率为：
P X xi pi , i 1,2,, (2.1)
称(2.1)式为随机变量X的概率分布（或分布律）。
1 6 1 5 6
P{ X 6} C p q 0.75 0.1780
6 6 6 0 6
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列成分布表如下： X P
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0 1 2 3 4 5 6 0.0002 0.0044 0.033 0.1318 0.2966 0.3560 0.178
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4)、泊松（Poisson）分布
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定义7：如果随机变量X的概率分布为：
P X k

k
记为 X P( ). 则称 X 服从参数为 的泊松分布。 易知 P X k 0, k 0,1,2,, 且有
k!
e , k 0,1, 2,, ( 0)

P X k k ! e
k 通项 e 计算并不那么容易。利用书末的附表 1 中给 k!
出的泊松分布数值表可得所求概率分别为：
a
b
0! 2 102 10 P{ 2} e e 0.0023 2! 2
P{ 0}
0
e

e
10
0
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c
d
10 10 P{ 5} e 0.0378 5! P{ 5} 1 P{ 5} 1 P{ 0} P{ 1}
a xi b
PX x
i
a xi b
pi
7
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例1： 一批产品的次品率为15%，从中随机地抽 取一个产品进行检验，正品记为0，次品记为1。试写 出抽取结果的概率分布。 解： 设抽取的结果为随机变量X， 则X仅可以取0和1两个值， 显然 P(X=0)＝0.85 ，P(X=1)＝0.15 X的概率分布如下表所示。 X P 0 1 0.85 0.15
定义4：若随机变量X以概率1取某一确定常数，即
P X a 1
则称X服从a处的退化分布。 退化分布的随机变量的取值几乎是确定的，即 这样的随机变量退化成了一个确定的常数，它可以 看成是随机变量的极端情形。
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2)、0—1分布
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定义5：若随机变量X只取两个可能值0、1，且
P X 1 p, P X 0 q, 0 p 1, q 1 p
k 0 k 0



k

e e


1.
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定理 1（泊松定理）： 在 n 重伯努利试验中，事件 A 发生的次数 X 服从二项分布，假设每次试验成功的概 率为 pn (0 pn 1) ，并且 lim npn 0 ，则对于任
n
何非负整数 k，有
k! 根据泊松定理，对于事件 A 发生的概率为 p 的 n 重 伯努利试验，只要 n 充分大，p 充分小，则 A 发生的次 数 X 近似地服从参数为 np 的泊松 分布。即对于
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例2： 8件产品中有3件次品，从中任取两件，求 次品数X的概率分布。
解： 次品数X的取值为0、1、2。
5 15 3 P X 0 , P X 1 , P X 2 . 14 28 28
X的概率分布表如下： X P 0 1 5/14 15/28 2 3/28
2
P{ X m}
m 0
P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
0.2 C 0.8 0.2 C 0.8 0.2
5 1 5 4 2 5 2 3
0.05792
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例5：某工厂每天的用水量保持正常的概率为0.75, 求最近6天内用水量正常的天数的分布。
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2.1.2Βιβλιοθήκη Baidu
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随机变量的概念
随机变量按照其取值情况进行分类，可分为离散 型随机变量和非离散型随机变量。
离散型随机变量是指其所有可能取值为有限个或 者至多可列个无穷个。 例如，向一目标射击，直到击中目标为止，用X 表示所需射击次数，则X是离散型随机变量，其所有 可能取值为{1，2，…}。 而非离散随机变量的情况比较复杂，它的所有可 能取值不能够一一列举出来，其中重要的一类是连续 型随机变量。
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例 6 ：已知到达嘟嘟乐园入口处的每辆汽车的载人 数服从 10 的泊松分布。现任意观察一辆到达乐园门 口的汽车， 试求出现以下几种情况的概率： (a)车中无人； (b)车中只有 2 人；(c)车中有 5 人； (d)超过 5 人。
解： 参数λ 既为已知， 即可根据公式计算所求概率。
解：设最近 6 天内用水量保持正常的天数为 X，它 服从二项分布，其中 n 6 ， p 0.75 ，用公式计算其 概率值，得到：
0 0 6 P{X 0} C6 p q 0.256 0.0002
P{X 1} C p q 6 0.75 0.25 0.0044
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定义1： 对于随机试验，每个样本点 都对应着 一个实数 X ( ) ，而 X ( )是随机试验结果变化的一 个变量，称之为随机变量。
随机变量通常用大写字母X，Y，Z，ξ . 随机变量所取的值，一般采用小写字母x , y , z 等. 例1: 掷骰子，Ω ={ω1,ω2,ω3,ω4 ,ω5,ω6}。 定义 X : k k , k 1, 2,L ,6 则X是一个随机变量。 例2：8件产品中有3件次品，从中任取两件，则取出的 两件产品中次品数X就是一个随机变量。
n n
lim P{ X k } lim C p (1 pn )
k n k n
n k

k
e

k 0,1, 2,..., n ，即有
k k P{ X k } C n p (1 p)n k
( np)k np e k!
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注意：泊松分布的方便之处在于，其概率的计算可 以利用编好的泊松分布数值表（书后附表1）。比如， λ=5的泊松分布的随机变量X，从附表1可以直接查出： P{ X 2} 0.0842, P{ X 5} 0.1755, P{ X 20} 0.
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例3： 袋中有标号为1,2,3,4的球若干个，从中任取 一个，假设取到各个球的概率与球上的号码成反比， 求取到的球上号码 X 这个随机变量的概率分布。 解：X 可以取1,2,3,4共4个值，
依题意， P{ X n} pn

n
n＝1,2,3,4
其中 是大于0的待定常数，由（2.3）式，有
P{X k} C p q
k n k
n k
, k 0,1,, n
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则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p) 。
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P{X k} C p q
k n k n k
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, k 0,1,, n
定义6：若随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p) 。 不难验证： （ 1） P ( X
则称X服从参数为p的0—1分布。
其概率分布表为：
X P
0 q
1 p
0—1分布通常是用来描述只有两种试验结果的 随机试验，如掷硬币试验，产品的合格性检验，人 口性别的调查等。
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3)、二项分布 若随机试验E只有两种可能的结果：A和 A.
则称随机试验E为贝努里（Bernoulli）试验。
记 P( A) p, 则 P( A) 1 p q,(0 p 1). 将试验E独立重复地进行n次，称这n次独立重复 的试验为n重贝努里（Bernoulli）试验。 在n重贝努里试验中用X表示事件A发生的次数，则
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例如，检验一个灯泡的质量，用X表示灯泡的寿 命，则X是一个连续型随机变量，其所有可能取值为 区间上的所有实数。
今后我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机 变量，这也是在实际中我们碰到最多的两种类型的随 机变量。
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§2.2 离散型随机变量
2.2.1 离散型随机变量的定义及其分布律
n
k) 0
（ 2）
P( X k ) 1
k 0
当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1 X服从0-1分布
若在k0处，概率P(X=k0) 达到最大，则称为随机变 量X的最可能值。下面我们来求服从二项分布的随机 变量X的最可能值。
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P X k0 1 P X k0 1 P X k0 1 P X k 1 0
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(2.2)
(2.3)
1 pi 0 , i 1,2, 2 pi 1
i 1
注意：要掌握离散型随机变量的统计规律，必 须且只需知道它的概率分布即可。 利用随机变量X的概率分布，我们可以求出随机 变量X落入任意区间内的概率，例如对任意a≤b，有
P a X b
p
n 1
4
n


2


3


4
1
25 1, 12 即 12 25
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12 把 代入 pn 得到 X 的概率分布，见表 25
X P 1 12/25 2 6/25 3 4 4/25 3/25
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2.3.1 1)、退化分布
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几种离散型随机变量的分布