第7章 弯曲变形优秀课件
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第7章 弯曲变形 材料力学,力学,物理,课件
本章主要研究：
●弯曲变形基本方程●计算梁位移的几种方法●简单静不定梁分析●
梁的合理刚度设计
第七章弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴
各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？
自由端：
怎样描绘挠曲轴的大致形状？
依据1：画出弯矩图，根据弯矩的正负，零值点，确定挠曲轴的凹凸和拐点。
依据2：约束处，应满足位移边界条件；分段点处，应满足位移连续条件。
qa
1. 绘制弯矩图。
§7-5 计算梁位移的叠加法
❒载荷叠加法
❒逐段变形叠加法
A
B
qa
A
B (3a
qa
B
C
B
刚化AB段：
F
B
C
B
刚化AB段：
F
B
刚化BC段：
F
B
§7-6 简单静不定梁
B
R B
A R B
A
由于结构具有对称性，直接求出Y
所以只有一个未知量，只用一个条件即可。
A
思考第二种方案的变形协调条件是什么？。
13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
七弯曲变形ppt课件
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
第七章 弯曲变形
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
1 M ( x) 力学公式 ( x) EI z d2y 1 dx2 数学公式 3 ( x) dy 2 2 [1 ( ) ] dx 1
，得：
以上两式消去
材料力学
d2y M ( x) dx2 3 EI z dy 2 2 [1 ( ) ] dx
材料力学
x 0, y A 0
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, yB lBD
FBy h EA
FBy k
弯曲变形/用积分法求梁的变形
讨论：
（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
B L x
A
x L时，yB 0.
材料力学
弯曲变形/用积分法求梁的变形 若B支座改为弹簧支撑，则： y A a
L
若B支座改为拉杆支撑，则： D B kx A a
L
F
C
b
F C b
EA
h
x 0, y A 0
B
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, y B
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI y1 EI 1 x C1 , EI y2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
【材料课件】第七章 弯曲变形
x 2x 3 3 l/2 , y2y 3
×
§7–4 叠加法计算弯曲变形
一、简单梁简单荷载下的变形
A EI l
B
m
B
ml EI
,
yB
ml 2 2EI
P
A EI B l q
A EI B l
B
Pl 2 2 EI
,
yB
Pl 3 3EI
B
ql 3 6 EI
例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。
q 解：
Ax
C EI
B x M(x)1qlx1qx2, (0xl)
l/2 l/2
22
YA=yql/E 2 'Iy EI Fq B=(q1lx /23lx2E) I"C yq2(x2 lx)
23 2
EIy q(1x4lx3)C xD 212 6
x0,y0; D0
x
x
M
M
M
M
y
M0
y" 0
y
M0
y" 0
y" M(x) EI
这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一 次可求转角，再积分一次可求挠度。
×
§7–3 积分法计算弯曲变形
为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为
EI"yM(x)
E' IE y I M (x)d x C 转角方程 E I yM (x )dx C d x D x 挠度方程
转角方程 挠度方程
B2q E(Il2lll21 3l3)6 qE 3lI
yB2q E(1 2 Il2l21 3ll31 12 l4)8 q E 4lI
×
例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。
第七章 平面弯曲变形.ppt
P
2
Pl 4
l /2
l /2
ql
m
2
l
m 2
m 2
l
ql 2
ql 2 8
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系 q
A
B
x
lM图Pl源自1 ql2 8M图
Fs图 1
ql 2
1 ql 2
Fs图
1、无荷载分布段(q=0),FS图为水平线,M图为斜直线。
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系
1 、无荷载分布段(q=0),FS图为水平注线：,M图剪为力斜为直零线处。；
M图
Fs图
3 、集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有转折,且指向与荷载相同。
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系 1 、无荷载分布段(q=0),FS图为水平线,M图为斜直线。 2 、均布荷载段(q=常数),FS图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同。 3 、集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。
Pl
M图
Fs图
第七章 平面弯曲变形
第七章 平面弯曲变形
注：内力计算可选
取控制截面结合内
力与荷载集度的微 分关系进行，并绘 制结构的内力图。
第七章 平面弯曲变形
叠加法绘制内力图 ql 2 4
注意: 是竖标相加,
不是图形的简单 拼合。
第七章 平面弯曲变形
1 ql2 16
q
l
q
l
1 ql2 16
各控制 截面弯矩为 多少。
第七章 平面弯曲变形
F1
F2
第七章 平面弯曲变形
【材料课件】第七章 弯曲变形
第七章
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
《弯曲变形 》PPT课件
E2 IF 6 y lx 2 3 b F 6(x 2 a )3 F 6 l(l2 b b 2 )x 2
a
17
目录
§7-3 用积分法求梁的变形
6）确定最大转角和最大挠度
令 d 0 dx
得，
xl,m axB6 F E(a lI b la)()
令 dy 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
y
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By Ay x1
F DC
ymax
B B x
F By
AC 段：
x2
M x1F Ax y1F l xb 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0x1 a
y
F
EI1F 2l x b1 2F 6l(b l2b2)
A
A
D C B B x
E1IyF 6l x b1 3F 6l(b l2b2)x1
CB 段： ax2 l
F Ay
ymax
F By
x1
x2
a
b
E2I F 2 lx 2 2 b F 2(x 2 a )2 F 6 l(lb 2 b 2 )
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
a
9
目录
§7-3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为：
ch弯曲变形优质获奖课件
_
qa 2
4
直线
A
C
D
凹
凹
凸
§3 计算梁位移旳积分法
挠曲轴微分方程旳积分 与边界条件
积分法求梁位移 例题
近似微分方程旳积分与边界条件
挠曲轴近似微分方程旳积分
d2w M(x) dx2 EI
dw M ( x) dx C
dx EI
位移边界条件与连续条件
w
M(x) EI
dxdx
Cx
D
约束处位移应满足旳条件 －位移边界条件
ql 3 384EI
例5-5：E常数, I 2 2I1 ,求 wC ， C
I2
I1
P
A
B
C
刚化AB段：
A B
仅考虑BC段变形：
P C
C1
Pa2 2EI1
wC1
Pa3 3EI1
BC段刚化：
M Pa
B
C
A
B
FP
仅考虑AB段变形：
绘制根据
满足变形基本方程
w M ( x) EI
满足位移边界条件 与连续条件
绘制措施与环节 画M图 由 M 图旳正负与零点，拟定挠曲轴旳凹凸与拐点， 由弯矩大小拟定曲率大小，即拟定挠曲轴旳形状。 注意挠曲轴旳连续、光滑性 由位移边界条件拟定挠曲轴旳空间位置
例 2-1 绘制图示梁挠曲轴旳大致形状
（）
例题3-1
EI = const(常数)试计算截面 B 旳挠度与转角
A
x
B M0
解:弯矩方程 M x M0
A beam in pure bending
挠曲轴近似微分方程 w"x M0
EI
w'x M0 x C
qa 2
4
直线
A
C
D
凹
凹
凸
§3 计算梁位移旳积分法
挠曲轴微分方程旳积分 与边界条件
积分法求梁位移 例题
近似微分方程旳积分与边界条件
挠曲轴近似微分方程旳积分
d2w M(x) dx2 EI
dw M ( x) dx C
dx EI
位移边界条件与连续条件
w
M(x) EI
dxdx
Cx
D
约束处位移应满足旳条件 －位移边界条件
ql 3 384EI
例5-5：E常数, I 2 2I1 ,求 wC ， C
I2
I1
P
A
B
C
刚化AB段：
A B
仅考虑BC段变形：
P C
C1
Pa2 2EI1
wC1
Pa3 3EI1
BC段刚化：
M Pa
B
C
A
B
FP
仅考虑AB段变形：
绘制根据
满足变形基本方程
w M ( x) EI
满足位移边界条件 与连续条件
绘制措施与环节 画M图 由 M 图旳正负与零点，拟定挠曲轴旳凹凸与拐点， 由弯矩大小拟定曲率大小，即拟定挠曲轴旳形状。 注意挠曲轴旳连续、光滑性 由位移边界条件拟定挠曲轴旳空间位置
例 2-1 绘制图示梁挠曲轴旳大致形状
（）
例题3-1
EI = const(常数)试计算截面 B 旳挠度与转角
A
x
B M0
解:弯矩方程 M x M0
A beam in pure bending
挠曲轴近似微分方程 w"x M0
EI
w'x M0 x C
【材料力学课件】07-弯曲变形
w(a −− ) = w(a ++ )
L
挠度是光滑的：
θ (a −− ) = θ (a ++ )
20
例 求图示梁的挠度曲线。 弯矩
y qL / 2
2 2
q x x
1 22 1 22 M ( x) = − qL + qLx − qx 2 2
L
qL
转角 挠度
θ ( x) =
q ⎛ 1 22 1 22 1 33 ⎞ − L x + Lx − x + C ⎟ ⎜ 2 6 EI ⎝ 2 ⎠
w(0) = 0 , D = 0
25 w(l ) = 0 , C = − q00l 33 384
4 2 4 2 ⎡11 1 1 1 1 22 25 33 ⎤ l l 3 4 3 4 w( x) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − − q00l x⎥ 24 24 2 2 2 384 EI ⎣ 48 ⎦
q ⎛ 1 22 22 1 33 1 44 w( x) = ⎜ − L x + Lx − x + Cx + D ⎞ ⎟ EI ⎝ 4 6 24 ⎠
边界条件 θ (0) = 0
C =0
w(0) = 0
D=0
qx 22 22 (x − 4 Lx + 6 L22 ) w( x) = − 24 EI
21
7.2.2 用奇异函数求挠度方程
3 2 2 0 0
3 1 ⎤ l l 1 ⎡11 1 1 2 3 2 2 3 2 θ ( x ) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − + C⎥ EI ⎣16 6 6 2 2 ⎦ 1
第7章 平面弯曲《建筑力学》教学课件
坐标系。
列
方
当梁上同时作用着多个荷载时，剪力和弯矩 程
与截面位置间的关系发生变化，需分段列方程。
作 图
剪力图和弯矩图
将剪力方程和弯矩方程在直角坐标系中画成图 像，观察内力变化规律既唯一又直观。
1. 作 FS , M 图步骤 建立坐标系；
列 FS ，M 方程；
作 FS , M 图。
7.3.1 列 方 程 作 图
1）剪力
Fiy 0 YAFS 0 得： FS YA
大小：等于截面一侧所有横向外力的代数和。
7.2.1 梁
FS (左或)右Fi侧
弯 曲
正负号：对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正。
变 形
外力的正负号规定同剪力符号规定一致，仍是
的 内
顺正逆负。
力-
剪
力
和
弯
矩
2）弯矩
M0 YAxM 0
得： M YAx
图7-8
7.3.1 列 方 程 作 图
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
图7-2
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
如图7-3所示的建筑物楼面梁和阳台挑梁,它们都因受 到楼面荷载和梁自重的作用而发生平面弯曲。
图7-3
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
常见梁的分类
（1） 悬臂梁：梁的 一端固定,另 一端自由,如 图7-4(a)所示
。
第七章弯曲变形3ppt课件
RL3 yR 3(2EI )
故有
7qL/ 8
R 1 qL 8
x
y1
qL4 16 EI
RL3 6EI
3qL2/ 8
qL/ 8
右梁
y2
RL3 3EI
qL2/ 8 x
协调条件
y1 y2
qL2/ 128 M
q
EI
vCC C
a
a
m A
aR EI
ER A B
vC vB
vvBB
F
例 求图示 A 处的支反力, BC 为刚性杆 .
A 处支反力
F 5qa () 12
支反力偶矩
m 5qa2 ( ) 12
问题 : 如果 BC 杆为变形杆 ，其抗拉刚度为 EA , 则会有什么样的结果 ?
Question :
P
L/ 2
L/ 2
P m
L/ 2
L/ 2
P m
三次超静定问题 无轴向力：二次超静定问题 利用对称性：一次超静定问题
L/ 2 m A
1
1X 11 X1
11X1 1F 1
-------standard harmonious equation正则方程来自求解简单超静定梁问题的步骤
Steps to slove the problem of simple statically indeterminate beams
1) 将某个约束确定为“多余”约束，解除这个约 束，使结构成为静定结构，并将所解除的约束用 “多余约束反力”代替。
fixed ends of the beam shown follows .
q
Because the beam is
故有
7qL/ 8
R 1 qL 8
x
y1
qL4 16 EI
RL3 6EI
3qL2/ 8
qL/ 8
右梁
y2
RL3 3EI
qL2/ 8 x
协调条件
y1 y2
qL2/ 128 M
q
EI
vCC C
a
a
m A
aR EI
ER A B
vC vB
vvBB
F
例 求图示 A 处的支反力, BC 为刚性杆 .
A 处支反力
F 5qa () 12
支反力偶矩
m 5qa2 ( ) 12
问题 : 如果 BC 杆为变形杆 ，其抗拉刚度为 EA , 则会有什么样的结果 ?
Question :
P
L/ 2
L/ 2
P m
L/ 2
L/ 2
P m
三次超静定问题 无轴向力：二次超静定问题 利用对称性：一次超静定问题
L/ 2 m A
1
1X 11 X1
11X1 1F 1
-------standard harmonious equation正则方程来自求解简单超静定梁问题的步骤
Steps to slove the problem of simple statically indeterminate beams
1) 将某个约束确定为“多余”约束，解除这个约 束，使结构成为静定结构，并将所解除的约束用 “多余约束反力”代替。
fixed ends of the beam shown follows .
q
Because the beam is
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)2
3 2
y
y
由于小变形 (dy )2 1 dx
d2y dx2 0
d2y dx2
0
1 d2y
(x) dx2
d2y M x
dx2 EIz
即:
d2 y dx2
M (x) EI z
——称为挠曲线 近似微分方程
7.3 用积分法求梁的变形
挠曲线近似微分方程：
边界条件
d2y M x
dx2 EIzy1 EI z ql12x3
q 24
x4
ql 3 24
x
例3 已知：EI, q, l。 求：挠度及转角方程，|y|max、|θ|
4、求最大挠度和最大转角；
y
q
max ymax
A
B
dy dx
1 EI z
ql 4
x2
q 6
x3
ql 3 24
0
FA
x A
B
l
x
FB
当x l 时 y 5ql4
y
MA A x
m ax
l
P
m ax
Bx ymax
（2）列挠曲线近似微分方程并积分
FA
d2 y dx2
M x
EI
P EI
(l
x)
dy P (lx 1 x2 ) C
（4）确定挠度方程及转角方程
P (lx 1 x2 ) (c)
(a)
EI
2
dx EI
2
y P ( 1 lx2 1 x3) Cx D (b)
c B
c C yc B
x
C
x
l
F
特点：连续光滑。
表示：y =f(x)，它是坐标x的连续函数。也称为挠曲线方程。
2、挠度和转角
挠度：梁上任一横截面形心在垂直于轴线方向的位移，用 y 表示；
其符号（正负号）与坐标的正负相同。
转角：横截面绕中性轴转过的角度，用 表示。 符号：在图示坐标系中，转角逆时针转向为正，反之为负。
| y |max [ f ] | |max [ ]
如果超过规定值，即使满足强度要求，也仍然认为已经失效。
7.2 挠曲线的近似微分方程
二、近似微分方程
d2 y
1
平面弯曲时中性层的曲率：
M (x)
由曲率的概念：
(x) EI z
正负号与弯矩 M 正负号约定和坐标系选取的关系：
1 (x)
1
dx2 ( dy dx
—— 梁上约束处的已知变形。
两边对变量 x 积分一次，得
连续性条件——由于挠曲线是
dy
M
x
dx
C ——转角方程
dx
EI z
一条连续而光滑的曲线，因此在 挠曲线的任一点处（如：弯矩方 程的分界处，截面的突变处）左
两边对变量 x 再积分一次，有
右两截面的转角和挠度均相等。
y
M
EI
x
z
dx
dx
简支梁 边界条件： yA 0 yB 0
A
y
连续条件： yC,左截面 yC,右截面
C,左截面
C ,右截面
A
P
B
P
C
x
B
yB lCB
A
yC左 yC右
例2 已知：EI, l, P。求：挠度及转角方程，|y|max、|θ| max
解：（1）求支座反力，列弯矩方程
FA P M A Pl M (x) M A FAx Pl Px
Cx
D
——挠曲线方程 （挠度方程）
对等截面梁，EIz = 常数，则
EIz EIz y M xdx C
式中：C、D 为积分常数，由边界
EIz y M xdx dx Cx D 条件或变形连续性条件确定。
7.3 用积分法求梁的变形
例1：悬臂梁 边界条件： yA 0 A 0
y P ( 1 lx2 1 x3) (d ) EI 2 6
EI 2 6
（5）绘挠曲线图并求最大挠度和转角
（3）由边界条件确定积分常数
在 x = 0 处 A 0 yA 0
yB
Pl 3 3EI
|
y
|max
|
yB
|
Pl 3 3EI
代入（a)、（b）得： C 0 D 0
B
Pl 2 2EI
|
|max
Pb EI z l
| B
|
Pl 2 2EI
例3 已知：EI, q, l。 求：挠度及转角方程，|y|max、|θ| max
解：1、求支座反力，列弯矩方程
y
q
ql FA FB 2
M (x) ql x q x2 22
A x
B x
2、 写出挠曲线微分方程，并积分；
FA
l
FB
y 1 (ql x q x2 )
EI 2 2
7.2 挠曲线的近似微分方程
dy tan tan dy f (x) y
dx
dx
A
即：挠曲线上任一点处切线的斜率等 于该点横截面的转角。
(x) 也称为转角方程。
c B
c C yc B
x
C
x
l
F
在工程中，经常要限制最大挠度和最大转角不得超过规定的数
值[ f ]和[ ]，这样就得到刚度条件如下：
2
384 EI z
说明：
ymax
y
x l 2
5ql4 384 EI z
当结构对称，且载荷对 称时，在对称面上截面
在两端A、B，截面转角数值相等，
转角必为零。
符号相反，绝对值最大：
A
B
ql 3 24EI z
max
ql 3 24EI z
即： 当x l 时,有 2
xl 0 2
例4： 试求图示简梁的弯曲变形（抗弯刚度为：EI z）
第7章 弯曲变形
第 七 章 弯曲变形
第 一 节 概述 第 二 节 挠曲线近似微分方程 第 三 节 积分法求梁的变形 第 四 节 叠加法求梁的变形 第 五 节 梁的刚度条件及提高
梁刚度的措施 第 六 节 简单超静定梁
7.1 概 述
工程中的弯曲变形实例
1、传动轴、机床的主轴 2、长轴的加工
7.1 概 述
3、起重机大梁 4、火车轮轴 5、汽车等用的叠板弹簧
研究弯曲变形的目的： （1）对梁进行刚度计算； （2）求梁的静不定问题。
p
p
2 车辆用叠板弹簧 2
p
7.2 挠曲线的近似微分方程
一、弯曲变形的基本概念
y
1、挠曲线：
A
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作
用平面（纵向对称面）内，变成了一
条曲线，该曲线称为挠曲线。
1 ( ql x2 q x3) C
EI 4 6 y 1 ( ql x3 q x4 ) Cx D
EI 12 24
得挠度和转角方程：
1 EI z
ql 4
x2
q 6
x3
ql 3 24
3、 利用边界条件确定积分常数；
x 0, yA 0 x l, yB 0
D0 C ql3
24EI
解： 1、求支反力、写出弯矩方程；
y
a
Pb
FA Pb / l FB Pa / l
x
AC段：
M1
FA x1
Pb l
x1
0 x1 a
CB段： M2 FAx2 P(x2 a)
A
FA
x1
x2
C
l
B
FB
Pb l
x2
P( x2
a
a)
x2
l
2、 列出挠曲线微分方程，并积分；
AC段：
d2 y1 dx12