第3章 可靠性分布函数
[管理学]第3讲_恒定失效率模型
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26
对于指数分布，概率密度函数为
dRt f t e t t0 dt Rt e t t0 0 t0 t t t0
f t t Rt
t0
MTTF te lnR t R t0
自电子管阴极发射的电子到达阳极； 要求服务的顾客到达服务站； 120急救台接到顾客的电话呼叫； 意外事故或意外差错的发生； 设备在时间周期t内发生失效。
以N(t)，t≥0表示在时间间隔(0,t]内出现的质点数。 {N(t)，t≥0}是一状态取非负整数、时间连续的随机 过程，称为计数过程。 满足一定条件的计数过程称作泊松过程。
三者互为因果
25
3.4 两参数指数分布
含义：如果在某特定时间t0之前绝不会发生一个失 效，则t0称最小时间或门槛时间（threshold time）， 也可称为保证寿命（guaranteed lifetime）。 例：保修期与保证期。 参数t0可看作将分布向右移动t0数量的位置参数。 故可用t - t0代替t，当t≥t0。
33
3.6 冗余和CFR模型
由两个独立的和冗余的零件组成的系统，
每个零件具有相同的恒定失效率λ。在这种 情况下仅当两个零件都失效时系统才失效。
34
由到时间t两个零件都失效的概率为 (1-e- λ t)2，则 Rt 1 1 e -t 2
1 1 2e
2e
λ (t ) 0.25 λ 0.10 0.25 0.10
0
10.0
20.0 t
36
MTTF的计算
MTTF Rt dt 2e
0
t
《工程机械可靠性》课件-第三章-可靠性指标及计算
可靠度计算示例： 例：设t=0时，投入工作的10000只灯泡，当t=365天时，发现有300只灯泡 坏了，求一年时的工作可靠度。
5
《工程机械可靠性》精品培训-第三章-可靠性指标及计算
第一节 可靠性概率指标
第一节 可靠性概率指标
2. 失效概率
与可靠度相对应的是不可靠度，也就是“产品在规定的条件下 和规定的时间内不能完成规定功能的概率”，记为F (Failure)，为
= 0.0537
不失效概率，即可靠度R(t)：
R(t) = 1− F (t) = 1− 0.0539 = 0.9463
17
《工程机械可靠性》精品培训-第三章-可靠性指标及计算
第一节 可靠性概率指标
第一节 可靠性概率指标
三、失效率： （1）定义
产品工作到 t 时刻后，单位时间内发生故障的概率。即产品 工作到t 时刻后，在单位时间内发生故障的产品数与在时刻t 时仍
t
图2-1 零件寿命试验数据直方图
10
《工程机械可靠性》精品培训-第三章-可靠性指标及计算
第一节 可靠性概率指标
1) 第i区间∆t = ti − ti−1；零件的失效频数为∆N fj , 其失效频率为：
fi
=
∆N N
fj
2) 在ti < t时间内的累计失效数为：
∑i
N fi = ∆N fj
j =1
第一节 可靠性概率指标
零件寿命试验数据
顺 区间间距 区间
序 号
∆t / h
中值
ti / h
1 0～100 50
2 100～200 150
3 200～300 250
4 300～400 350
5 400～500 450
质量工程与管理-习题-chat03
第三章可靠性设计自测题一、选择题1．产品可靠性的含义中不包含（）。
A．规定的条件B．规定的任务C．规定的时间D．规定的功能2．按照统计特性分，故障可分为（）。
A．偶然故障和损耗故障B．致命性故障和非致命故障C．独立故障和从属故障D．偶然故障和从属故障3．在浴盆曲线中，产品的故障率较低且基本处于平稳状态的阶段是（）。
A．早期故障阶段B．中期故障阶段C．偶然故障阶段D．损耗故障阶段4．组成串联系统的单元越多，产品的可靠度（）。
A．越高B．越低C．不稳定D．无法判断5．可靠性工作的最大贡献是在（）。
A．设计方面B．发运方面C．制造方面D．现场服务方面6．可靠性预测是（）。
A．估计产品性能的过程B．估计产品按规定时间内完成规定任务的概率过程C．教你怎样由此及彼取得成功的过程D．以上三条7．根据可靠性工程，失效率是（）的倒数。
A．平均修复时间B．系统有效度C．平均故障间隔时间D．故障概率8．一台机械起重机的正常寿命周期为100个小时，标准偏差为3个小时，当在第106个小时时，这台起重机的可靠度是（）A．0.0228 B．0.9430C．0.0570 D．0.97729．从描述可靠性分布的Weibull分布中求出特性寿命=12000小时，形状参数=2.2。
如果这些都是好参数的话，可靠性将在（）时间降低到0.85。
A．2204 B．3503C．4838 D．525410．一系统经过1650次使用，平均工作400h，故障总数为145个。
假定可靠度服从指数分布律，问该系统运行850h的可靠度是（）。
A．0 B．36%C．18% D．83%11．某个系统由4个并联单元组成，各单元的可靠性均为0.8。
只要有2个单元保持功能系统就仍然能完成使命。
如果故障率保持不变，且故障是独立的，那么该系统的可靠性为（）。
A．0.4096 B．0.5376C．0.8192 D．0.972812．系统s的成功运行，如下图所示，需要三条通道中至少一条是好的。
第3章 可靠性分布函数
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
14
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例6（教材例3-5）:有100个某种材料的试件进行抗拉强 度试验，现测得试件材料的强度呈正态分布,均值 μ=600MPa ，标准差 σ=50MPa。求：(1)试件强度 =600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数；(2)强 度落在(550~450)MPa 区间内的失效概率和失效试件数； (3)失效概率为 0.05时材料的强度值。
2
1）特征：
① 曲线关于x 对称。
x
1
② 在均值x 处有最大值，其值为 2 。
③ 标准差σ越小，曲线 f (x)的峰值越高，因而 X落在μ附近的概率越大。
10
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2）标准正态分布故障密度函数
0 , 1 的正态分布称为标准正态分布
(x)
1
x2
e2
D(T ) 2 1 2
可靠寿命
11
TR
ln R
特征寿命 T (e1) 1
7
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例3：某仪器的寿命T服从指数分布，其平均无故障连 续工 作时间MTBF为25h，试求其失效率为多少？若 要求 可靠性为90%，问应如何选择连续工作时间？
解：失效率为：
第3章 结构可靠性设计理论基础
可见，是lnR和lnS的表达式。 根据概率论原理可以换算成R,S的统 计参数：
2 ln R ln 1 VR2
lnR＝ln R ln 1 V lnS＝ln S ln 1 V
2 R
1
2
2 ln S
ln V 1
2 S
2 S
1
2
所以得到：
如第一章所述，结构达到极限状态 的概率超过某一允许值，结构就失效。 所以极限状态是衡量结构是否失效的标 志，而极限状态可用极限状态方程来表 示：
Z＝g(X1,X2,…,Xn)=0
Z＝g(R，S)=R－S＝0 当Z>0,结构处于可靠状态，当Z<0,结构处 于失效状态，当Z＝0,结构恰处于极限状态。
从下图中可以清楚地看出，斜 线表示极限状态，即R=S；若点Z1 位于该线上面，即R1<S1，表示结构 失效；若点Z2位于该线下面，即 R2>S2，表示结构可靠。 Safe Region
Failure Region Limit State Surface (Failure Surface)
下面推导失效概率Pf和可靠概率Ps的 公式：
设fR,S(r,s)为随机变量(R,S)的联 合概率密度函数，FR,S(r,s)为相应的联 合概率分布函数， FR(x), FS(x), fS(x), fS(x)分别为边缘分布函数和边 缘概率密度函数。R,S统计独立。 则结构失效概率Pf应为(如图示)
1 FS x f R x dx
所以，有
Pf FR x f S x dx
1 FS x f R x dx
按相同原则，可求得可靠概率为
可靠性工程与风险评估-第3章-失效物理模型
且r、s为相互独立的，由此定义y的概率密度函数 为： f y y f r y s f s s ds
s
8
干涉随机变量y＞0时的概率即为可靠度：
Rt f y y dy
0
0
f y sf sdsdy
0 r s
干涉随机变量y＜0时的概率即为不可靠度：
25
以上是反应论模型的基本概念，它是化学变化、物 理变化模型。由于物系状态改变机理的不同，特征值的 关系也不一样，所以，它们的数学表达形式或数学模型 也各不相同。下面叙述反应论模型的一般表达形式。 根据阿累尼乌斯的经验公式，反应速度为：
K e
式中
E / kT
e
B /T
—常数； K —反应速度； B — E / k 称为反应常数。
19
不可靠度或失效概率可由下式求定
F t P t Pr s 1 Rt
1
r f r r f s s ds dr 1 f r r Fs r dr
r s r r 1 r r s r r r dr exp exp r t r t tr r s
进行标准化换算。令
y y
Rt P y 0
y / y
y 1 1 2 exp d 2 2
16
上式可写成
其中积分下限：
y ln r ln s ln r ln s L y r2 s2 Cr2 Cs2
20
四、应力为正态分布、材料强度为威布尔分布时 可靠度的计算
可靠性基本概念
可靠性设计主要符号表可靠性的概念可靠性的经典定义：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力产品：指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统，可以是零件、部件，也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。
在具体使用“产品”这一词时，其确切含义应加以说明。
例如汽车板簧、汽车发动机、汽车整车等。
规定条件：一般指的是使用条件,环境条件。
包括应力温度、湿度、尘砂、腐蚀等，也包括操作技术、维修方法等条件。
规定时间：是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，一般也可认为可靠性是产品功能在时间上的稳定程度。
因此以数学形式表示的可靠性各特征量都是时间的函数。
这里的时间概念不限于一般的年、月、日、分、秒，也可以是与时间成比例的次数、距离。
例如应力循环次数、汽车行驶里程。
规定功能：道德要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。
产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。
怎样才算是失效或故障，有时很容易判定，但更多情况则很难判定。
当产品指的是某个螺丛，显然螺栓断裂就是失效；当产品指的是某个设备，对某个零件损坏而该设备仍能完成规定功能就不能算失效或故障，有时虽有某些零件损坏或松脱，但在规定的短时间内可容易地修复也可不算是失效或故障。
若产品指的是某个具有性能指标要求的机器，当性能下降到规定的指标后，虽然仍能继续运转，但已应算是失效或故障。
究竟怎样算是失效或故障，有时要涉及厂商与用户不同看法的协商，有时要涉及当时的技术水平和经济政策等而作出合理的规定。
能力：只是定性的理解是比较抽象的，为了衡量检验，后面将加以定量描述。
产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不很好地反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。
按产品可靠性的形成，可靠性可分为固有可靠性和使用可靠性。
3 系统可靠性分析
习题19:
系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9， R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6
求系统的可靠度。
34
7
12
56
8
解：R78=1-(1-R7) (1-R8)=1-0.4*0.4=0.84 R34=R3*R4=0.8*0.8=0.64 R56=R5*R6=0.7*0.7=0.49 R3456=1-(1-R34)*(1-R56)=1-(1-0.64)*(1-0.49)=0.8164
串联系统的平均寿命为：
1
1
n
i
n
i 1
(n 1) 1000 h
(n 2) 500 h
(n 3) 333 h
(n 5) 200 h
(n 10) 100 h
4、m/n(G)表决系统
n中取m系统是指由n个单元组成的 系统中，至少有m个单元正常工作 系统才正常工作，记为m/n(G)。
因此，在对系统可靠水平要求很高的情况下，采 用2/3(G)表决系统结构可提高系统的可靠寿命。
n
R(t) Cni [R0 (t)]i[1 R0 (t)]ni im
(1) m/n(G)表决系统
n 1 1 1 1
im i m (m 1)
n
m/n(G)表决系统与串联和并联系统的关系
R总= R78*R3456*R2*R1=0.84*0.8164*0.9*0.9=0.5555
6、三态系统的可靠性
(1) 两类失效模式组成的系统 （三态系统） 许多系统是具有两类失效的部件组成，有三种互斥的
状态：开路失效状态、短路失效状态和正常状态 例如：半导体二极管或流体阀门 相应的概率为：pn, qo, qs 对这种元器件需要使用三态模型 且： pn+qo+qs=1
可靠性理论基础复习资料
可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。
不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。
二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。
1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。
2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。
3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。
产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。
广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。
广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。
(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。
例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。
对于可修复系统，失效也称为故障。
(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。
第三章可靠性特征量
4.2 10 6 / h
3）求可靠寿命t0.95
Rt 0.95
z 1 Rt 0.05
查表得 z=-1.64485
z ln t0.95 1.64485
t0.95 96148 h
沈阳理工大学装备工程学院
第3章 可靠性特征量
3、产品寿命T服从威布尔分布含有三个参数k、a、b)
1）失效密度函数
8）寿命方差和寿命标准差
2 t
t 0
1
2
etdt
1
2
t
1
产品服从指数分 布时，可靠度就 已经下降到37%， 只有37%的产品 寿命超过平均寿 命。
沈阳理工大学装备工程学院
第3章 可靠性特征量
例：设某产品的失效时间服从指数分布，其平均寿命为5000h, 试求其使用125h的可靠度R(125)和可靠度为0.8的可靠寿命
沈阳理工大学装备工程学院
第3章 可靠性特征量
瞬时失效率表达式：
(t) lim t
nf t n nf t t
1 dnf t ns t dt
Rt ns t
n
Ft n f t
n
f t dFt dRt
dt
dt
t
n
ns t
dnf t
ndt
1
Rt
dF t
dt
f t Rt
t
e R(t)
沈阳理工大学装备工程学院
第3章 可靠性特征量
3.2 可靠性寿命特征量
寿命是可靠性特征的又一表示方法，产品的寿命是产品 具有可靠性要求下的时间表示，是反映产品可靠性的时间指 标，如平均寿命、可靠寿命、中位寿命以及特征寿命。
产品
不可修复产品：发生故障即报废，不能够恢复到 原有正常工作状态。
汽车可靠性第3章
m
(m 0, 0, t )
式中 m— 形状参数； —尺度参数； —位置参数。
t F (t ) 1 exp
m
可靠度函数:
t Rt 1 F t exp
当它工作500h后，其未失效为3679件。试计算从第
500h开始，工作到800h时的失效数
。N f
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
四、正态分布
N ( , 2 )
1、正态分布故障密度函数
1 f (t ) e 2
1 t 2
2
, ( t )
可靠寿命 特征寿命
TR ( ln R)
1 m
TR ( ln R)
1 m
T (e1 )
T (e1 )
23
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例7(教材例3-4)：已知某汽车零部件疲劳寿命服 从威布尔分布，其形状参数 m 2 400h 0h 试计算该部件的平均寿命;可靠度为95%的可靠寿命;
中位寿命和特征寿命。（变速箱寿命服从指数分布）
26
1 2
e
t2 2
正态分布标准化
设z t
1 ( z ) f (t ) e (标准正态变量) 2 ( z ) ( z )
z2 2
( z ) 值可查正态分布密度函数数值表
8
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数
1 F (t ) 2
9
车辆可靠性设计
第3章可靠性
4. 失效率λ(t)
失效率又称为故障率。 其定义为：产品工作 t 时刻时尚未失效（或故障）的产品，在该 时刻 t 以后的下一个单位时间内发生失效（或故障）的概率。由于它 是时间 t 的函数，又称为失效率函数，用 (t) 表示。
(t) N lit m 0 n(N tnt()t)n(tt)
（3-8）
N ——测试产品的总数。
当 N 值较大时，可用下式计算：
MTTF0 tf(t)dt
（3-13）
当产品失效属于恒定型失效时，即可靠度 R(t) et 时，有
MTTF 1
（3-14 ）
这说明失效规律服从指数分布的产品，其平均寿命是失效率的倒数。
MTBF是指可修复产品两次相邻故障间工作时间（寿命）的平均值， 或称为平均无故障工作时间。
解： 由已知条件可知： N 1 0 0 0 ,n ( 5 0 0 ) 1 0 0 ,n ( 1 0 0 0 ) 5 0 0 。
由式(3-1)得：
R(t) N n(t) N
则
R(500) 1000100 0.9
1000
R(1000) 1000500 0.5 1000
2. 不可靠度或失效概率F(t)
解：时间以年为单位，则 t 1a。
有
( 5 ) n ( N t n t( ) t ) n ( t t) N n ( 6 ) n ( 5 n ) ( 5 ) 1 ( 1 0 0 6 3 3 ) 1 0 .0 3 0 9 /a
当时间以 1 0 3 h 为单位，则 t1 a8 .6 7 1 0 3h，因此
(4Байду номын сангаас 把规定的可靠度直接设计到零件中去。
可靠性设计具有以下特点：
(1) 传统设计方法是将安全系数作为衡量安全与否的指标，但 安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大的盲目性。
可靠性的函数关系、统计分布和参量
半导体器件和集成电路的可靠性评估（即失效率预测，failure rate prediction）是一个重要的问题。
可靠性评估实际上也就是采用通过寿命试验而得到的失效的数据、来估算出器件和集成电路的有效使用寿命。
有效使用寿命即为器件和集成电路能够正常工作的平均使用时间（MTTF，mean time to failure）；与此密切相关的概念是失效率、可靠性指标等可靠性参量。
因为通过寿命试验而获得的失效数据，往往遵从某种规律的分布函数——可靠性函数，所以根据这些试验数据，由可靠性函数规律出发，即可估算出器件和集成电路的MTTF和失效率等参量。
（1）可靠性函数：半导体器件和集成电路会由于各种原因而失效，但是失效率往往与使用时间有关。
若在经过时间t 之后未失效器件的数目为R(t)，则通过寿命试验可以获得大致如图1所示的三种模式的函数关系：①早期失效模式；②偶发失效模式；③磨损失效模式。
在数学上可用来描述这些失效模式的函数即称为可靠性函数。
对于偶发失效的模式，比较符合实际的可靠性函数是指数函数；由此可知偶发失效的失效率是一个常数，即不管经过多长时间，器件失效的几率都是一样的；根据这种可靠性函数，可较容易地进行分析。
比偶发失效更早发生的失效称为早期失效。
大多数半导体器件和集成电路所出现的失效都属于早期失效模式。
对于这种很快就会发生失效的器件和电路，一般都可以在使用之前、通过例行试验（即采用一定条件的筛选工艺）来去除掉，以免带来后患。
磨损失效也称为疲劳失效，其特点是开始阶段的故障少，然后故障不断增加。
（2）Weibull分布：从统计角度来看，统计数据的分布函数有许多种，常用的有如指数分布、Gauss分布、Γ分布、对数正态分布和Weibull分布，它们的功能各有千秋。
虽然指数分布函数比较简单、分析容易，同时也能很好地表征偶发失效模式的规律，不过对于晶体管、二极管和集成电路的整个可靠性分析而言，比较符合实际情况的、可以用作为可靠性函数的是Weibull 分布。
3章几种常见的分布
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/5/27
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
13
十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布
可靠性概论
图1-14（ b）所示为形状参数m=2和尺度参数η=1（曲 14 线分布宽度）时，位置参数δ不同时的曲线分布图。由图 可见，曲线的形状、分布宽度不变，只是曲线在横坐标上 的位置改变。
图114(b)m 2, 1时不同 (位置)的f (t)
图1-14（ c）所示为形状参数m = 2和位置参数δ= 0时， 15 尺度参数η（曲线分布宽度）不同时的曲线分布图。由图可 见，η↓→ 曲线宽度↓→ f (t )↑。
根据条件概率
R(t0
t)
P(T
t0
t
T
t0 )
P(T
t0 t,T P(T t0 )
t0 )
P(T t0 t) P(T t0 )
R(t0 t) R(t0 )
e-(t0 t) et0
e-t0 et
e-t0
e-t
R(t) P(T
t)
返回1
二、威布尔分布
11
威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种 分布。
t = θ(平均寿命)。
5
(1 -19)
4. 指数分布的失效率函数λ(t)
6
(t) 常数
（1- 20）
指数分布的失效率函数的图形如图1－13所示。
5. 指数分布的平均寿命θ（MTTF或MTBF）
7
对可修产品一般用MTBF 表示平均寿命θ，称“平均无
故障工作时间”
对可不修产品一般用MTTF 表示平均寿命θ，称“失效 前的平均工作时间”
值可查附表1求得（见下页）。
图1-19正态分布的累积 失效概率函数
26 摘自附表1正态分布表
3.正态分布的可靠度函数 R（t）
27
产品可靠性定量指标
隔离、分解、更换、再装、调准及检测等。
•
环境应力筛选：通过施加一定的环境应力，鉴别并剔除产品因工艺或元器伴引起的早期故障的一种工序
或方法。
36
3．7 典型故障模式与频率
37
3．8 通用零部件故障率
38
39
40
41
42
2, 2
MTTF ( 1 1) 2( 3) 1.41 0.886 1.25
2
22
3．4 失效率函数与特征方程
产品No 个，在 t=0 时开始使用或试验， N s (t) 工作到时间 t 存活的数目;
N f (t) 工作到时间 t 失效的数目.
Ns (t) N f (t) No
第三章产品可靠性的定量指标31产品的可靠性定量指标32产品的可靠度函数33产品的平均寿命与可靠度寿命34失效率函数与特征方程35浴盆曲线36可靠性与维修性的其它术语31产品的可靠性定量指标贮存寿命表31可靠性指标的选用工作性质维修特点产品对象复杂的系统设备民用产品可靠度mtbfmttff故障率可用寿命维修度mdtmttr可用度mtbomtbm重要度成本费用成本可用性全寿命周期成本连续间歇重复不能维修或不予维修设备中的耗损零件材可靠度故障率故障时间的分布标准偏差威布尔参数等mttf特性值的稳定性均值标准偏差的随时间变化特性一次可维修或不可维修灭火器保险丝超负荷继电器紧急用发电机信管可靠度成功率命中率等或者用不可靠度误动作率等mtbomtbm成本维持费赔偿费等32产品的可靠度函数产品或系统的可靠性是指系统或设备在规定的条件下在规定的时间内完成规定功能的能力
6
例:3-2 已知某种飞机部件的疲劳寿命分布是威布尔分布类型的，试计 算，该部件的平均寿命具有可靠度R=95%的可靠寿命t(0.95),在100小 时之内的最大失效率；当失效率达到λ=0.1/千小时时的更换寿命。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
a
(z) 1 (z)
(z) 值可查正态分布表
13
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例5：已知某轴在精加工后，其直径尺寸呈正态分布， 均值 μ=14.90mm，标准差σ =0.05mm。规定直径尺寸在 (14.90±0.1)mm内时就为合格品，求合格品的概率。
解：先将正态分布标准化
合格品的概率为:
解：(1)
查正态分布表得失效概率 F(Z)=0.5 存活率 R(x=600)=1-F(Z)=0.5 试件失效数 n=100*0.5=50(件)
15
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(2) 失效概率
第三章 可靠性常用分布函数
失效件数 n=100*0.0214≈2(件)
(3) 失效概率F(Z)=0.05，存活率1-F(Z)=0.95
查正态分布表得Z=-1.64，由式
因此材料强度值为518MPa。
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2
非标准正态分布
标准正态分布
设z x (标准正态变量)
(z) f (x)
(z) (z)
1
z2
e2
2
( z) 值可查正态分布密度函数数值表
11
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数
F(x) 1
e dx x
1 2
x
2
2
标准正态分布不可靠度函数
D(T ) 2 1 2
可靠寿命
11
TR
ln R
特征寿命 T (e1) 1
7
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第三章 可靠性常用分布函数
例3：某仪器的寿命T服从指数分布，其平均无故障连 续工 作时间MTBF为25h，试求其失效率为多少？若 要求 可靠性为90%，问应如何选择连续工作时间？
解：失效率为：
即为了有90%的把握不出故障，该仪器连续工作时 间 不应超过2.63h。
1
x x2
(x)
e 2 dx
2
标准化
设 z x ，则 dx dz
1
z z2
x
F(x)
e 2 dz (z) ( )
2
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若 X N(, 2)
第三章 可靠性常用分布函数
则
F ( x)
P( X
x)
P
X
x
P(Z
z)
(z)
对于任意区间
Pa
X
b
P
a
X
b
b
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第三章 可靠性常用分布函数
例4：某汽车零件服从指数分布，且在100h的工 作时间内约有5%失效,求可靠寿命t(0.95)和可靠度 R(1000)。
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第三章 可靠性常用分布函数
四、正态分布 N (, 2)
1、正态分布故障密度函数
f (x)
1
e ,
1 2
x
2
( x )
2
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第三章 可靠性常用分布函数
例1（教材例3-3）：在一台设备里有4台油泵，已知 每台失效概率为0.1，问： (1)如4台油泵全部正常工作，其概率是多少？ (2)失效油泵不超过2台的概率。
解：设X为工作失效的油泵数，X服从二项分布，X 发生r次 的概率为
(1) 4台油泵全部正常的概率是：
在n次试验中， X发生k次的概 率为
P( X k) Cnk pkqnk (k 0,1, , n)
累积分
布函数
r
P(k r) Cnk pk qnk
k 0
n
n
P( X k ) Cnk pk qnk 1
k 0
k 0
二项分布的数学期望和方差为 E( X ) np D(X ) npq
2
1）特征：
① 曲线关于x 对称。
x
1
② 在均值x 处有最大值，其值为 2 。
③ 标准差σ越小，曲线 f (x)的峰值越高，因而 X落在μ附近的概率越大。
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第三章 可靠性常用分布函数
2）标准正态分布故障密度函数
0 , 1 的正态分布称为标准正态分布ຫໍສະໝຸດ (x) 1x2
e2
k!
累积分布函数
P k r r k e
k0 k !
n P X k n k e 1
k 0
k0 k !
泊松分布的数学期望和方差为 E( X ) D(X )
4
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第三章 可靠性常用分布函数
例2：某种零件的失效率为0.00001/h。现只有两个备 件，且半年内不能再进备件，实际工作需保证设备运转 50000h，问这种情况设备能够正常工作的概率为多大？
14
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第三章 可靠性常用分布函数
例6（教材例3-5）:有100个某种材料的试件进行抗拉强 度试验，现测得试件材料的强度呈正态分布,均值 μ=600MPa ，标准差 σ=50MPa。求：(1)试件强度 =600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数；(2)强 度落在(550~450)MPa 区间内的失效概率和失效试件数； (3)失效概率为 0.05时材料的强度值。
(2) 失效油泵不超过2台的概率包括全部正常、失效1 台和2台共 3种情况
3
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第三章 可靠性常用分布函数
二 、泊松分布
在二项分布中，当p很小，n很大，而np 为常
数时，则该二项分布接近一个极限，这个极限就称
为泊松分布。它是一种离散型分布。
在n次试验中，X发生k次的概率为
PX k k e
解：在50000h内的平均失效零件为：
t 0.00001 50000 0.5
允许2个零件失效的系统可靠度为：
PX
k
2
k
k!
e
e0.5
1 0.5
0.52 2
0.9856
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第三章 可靠性常用分布函数
练习1 ：今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定 的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用 二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效 的概率。
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第三章 可靠性常用分布函数
重点：
几个常用分布的可靠性函数、寿命指标： 正态分布 对数正态分布 指数分布 威布尔分布
1
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第三章 可靠性常用分布函数
一、二项分布 X~B（n，p）
在一次试验中只能出现两种结果之一的情况，
它是一种离散型分布。
设试验只能出现成功和失败两种结果： 失败 X 概率为p 成功1－X 概率为q 1 p