高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习
高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法含答案
逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进展分析。
【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数y ＝f 〔x 〕的值域是［－2，2］，那么函数y ＝f 〔x ＋1〕的值域是〔 〕 A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔x 〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔x 〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔x+1〕的图象是由y=f 〔x 〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔x+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔x+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔x 〕＝x 2－2x ，那么函数f 〔x 〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2x 〔x ≤10〕 B.y ＝20－2x 〔x<10〕C.y ＝20－2x 〔4≤x<10〕D.y ＝20－2x 〔5<x<10〕解：Y=20-2X Y>0，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y ， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。
此题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，那么区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，那么函数y ＝f 〔x ＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤x ≤4 那么3+2 ≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)的定义域为[5,6] 那么5≤x+5≤6，那么0≤x ≤1 所以y ＝f 〔x ＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕。
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
高考求函数解析式方法及例题
函数专题之解析式问题求函数解析式的方法f(x)的解析式。
，∴f(x)=2x+7待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=（1）解：令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-（2）解：【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。
第05讲 函数解析式的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、待定系数法：假设函数解析式的类型〔函数是二次函数、指数函数和对数函数等〕时，可以用待定系数法.2、代入法：假设原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.3、换元法：假设复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元〞的范围.4、解方程组法：假设抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式. 【方法讲评】【例1】()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .【点评】〔1〕此题由于函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.〔2〕由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比拟等式两边的系数分别相等列方程组.【例2】函数)sin(ϕ+ω=x A y 〔0,||)2πϖφ><的图形的一个最高点为〔2，2〕，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过〔6，0〕，求这个函数的解析式.【解析】由题得)A y wx φ=∴=+【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过条件找到关于待定系数的方程 〔组〕.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.【反响检测1】()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且(0)1f =,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式.【例3】函数2()21f x x x =+-，求函数(1)f x -的表达式. 【解析】由题得22(1)2(1)(1)123f x x x x x -=-+--=-【点评】此题就是原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“1x -〞代换原函数中的“x 〞即可.这就是代入法求函数的解析式.【例4】函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求当)0,(-∞∈x 时，)(x f 的函数解析式.【点评】此题就是某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上 任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握. 学科.网【反响检测2】设函数1()f x x x=+的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图象为2C ， 求2C 对应的函数()g x 的表达式.【例5】(1)lg f x x +=，求()f x .【解析】令21t x +=〔1t >〕，那么21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，所以2()lg (1)1f x x x =>-.【点评】〔1〕此题就是复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.〔2〕换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反响检测3】 (1cos )cos 2,f x x -=求()2x f 的解析式.方法四 解方程组法使用情景 抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量.解题步骤利用构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可.【例6】()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． 【解析】12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 【点评】在的方程中有自变量x 和1x ，它们互为倒数，所以可以把方程中x 的地方统一换成1x，从而又得到一个关于1(),()f x f x 的方程，解关于1(),()f x f x的方程组即可.【反响检测5】定义在区间(1,1)-上的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 的表达式. 方法五 实际问题法 使用情景 实际问题解题步骤一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域.【例7】某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车分开A 地的路程()x km 表示为时间()t h 〔从A 地出发是开场〕的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．【点评】实际问题中求函数的解析式难度比拟大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.【反响检测6】 某公司消费一种产品的固定本钱为0.5万元，但每消费100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数()252x R x x =- ()05x ≤≤万元，其中x 是产品售出的数量〔单位：百件〕.〔1〕把利润表示为年产量的函数()f x ； 〔2〕年产量为多少时，当年公司所得利润最大.高中数学常见题型解法归纳及反响检测第05讲：函数解析式的求法参考答案【反响检测1答案】21()212f x x x =++ 【反响检测1详细解析】(0)bx c a ++≠2设二次函数的解析式为f(x)=ax 【反响检测2答案】12(4)4y x x x =-+≠- 【反响检测2详细解析】设(,)x y 是函数()g x 图象上任一点 ，那么关于(2,1)A 对称点为(4,2)x y --在()y f x = 上，即：1244y x x -=-+-即：124y x x =-+- 故1()2(4)4y g x x x x ==-+≠-. 【反响检测3答案】242()241(f x x x x =-+≤≤【反响检测5答案】21()lg(1)lg(1)(11)33f x x x x =++-+-<< 【反响检测5详细解析】【反响检测6答案】〔1〕()()()219105;242120.255x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩〔2〕当年产量为475件时，公司所得利润最大.〔2〕当05x ≤≤时，()()2121.56254.7522f x x =--+∴当年产量为475件时，公司所得利润最大， ∵该产品最多卖出500件，∴根据问题的实际意义可得，当年产量为475件时，公司所得利润最大.。
高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总
高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总
一、待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例题1、设 f（x）是一次函数，且 f [ f（x）] = 4x + 3 ，求 f（x）的解析式。
解：设 f（x）= ax + b （a ≠ 0），则
∴ f（x）= 2x + 1 或 f（x）= -2x - 3
二、配凑法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式，求 f（x）的解析式， f [ g（x）] 的表达式容易配成 g（x）的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数 f（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g（x）的值域。
例题2、
求 f（x）的解析式。
解：
三、换元法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式时，还可以用换元法求 f（x）的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例题3、已知
求 f（x + 1）的解析式。
解：
四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例题4、已知：函数 y = x^2 + x 与 y = g（x）的图象关于点（-2,3）对称，求 g（x）的解析式。
解：
五、构造方程组法：
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例题5、
解：
例题6、
解：
六、赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例题7、
解：。
高一数学求函数解析式方法
3x 3
x
x
解得 f ( x) x 2 x
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x
联立方程组，得：
3 3
f f
(x) f (x)
( f(
x) x)
2 2Biblioteka x x解得： f x 1 1 x
22
五.赋值法
一般的，已知一个关于x,y的抽象函数 ，利用特殊值去掉一个未知数y，得 出关于x的解析式。
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
x2 x 11 ( x 1)2 1
∴f（x）=x2-1，
（x≥1）
二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求 出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要 确定新元t的取值范围。
f (x 1) x2 2x 2 ，求f(x)及f(x+3)
1
∴a=2,b= 3 或a=-2，b=1 f（x）=2x- 1 或f（x）=-2x+1
3
2.已知函数 f (x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f (x) 的解析式
设f（x）=ax+b， 由题知：f（1）=2，f（2）=5 即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1 ∴f（x）=3x+b
=t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6 ∴f(x)=x2-5x+6
三.待定系数法
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
高中数学求解析式专项练习
---------------------------------------------------------------1 函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
---------------------------------------------------------------2 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
高一数学函数解析式求法_练习题
求函数的解析式一、解析式的表达形式——解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：b kx y )0(k；二次函数：c bx axy2)0(a 反比例函数：x k y)0(k；正比例函数：kxy )0(k2、分段式：函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。
例1、设函数,1,log 1,,2)(81xx x x f x，则满足41)(x f 的x 的值为。
3、复合式：若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a xx g u u f y ，那么y 关于x 的函数b a x x g f y,,)(叫做f 和g 的复合函数。
例2、已知3)(,12)(2xx g xx f ，则)(x g f ，)(x f g 。
二、解析式的求法—根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。
1待定系数法——若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
例3、已知二次函数)(x f y满足),2()2(xf xf 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式：①一般式：)0()(2a c bx axx f ②顶点式：为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2③双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121x f x x ax x x xa x f2、换元法——例4、已知：11)11(2xxf ，求)(x f 。
注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法——例5、已知：221)1(xxx xf ，求)(x f 。
注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制； 2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
此法较适合简单题目。
例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x xx x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。
应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。
练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。
练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。
练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。
二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。
练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。
练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。
练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。
三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。
练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。
高中数学求解函数解析式方法(附例题)
求解函数解析式基本方法（附例题）一、求解函数解析式 1、换元法汇总，切记定义域综上所述：新元代换旧元可化作：则取值范围换元，立刻确定新元的则令变形由解：由题意可知：的解析式求已知11,1)(f t 1f(t)①1t 1,cos t 1sin cos ①cos 1)(cos )(f ,sin )(cos f 222222≤≤--=-=≤≤-==+-==x x x x x x x x f x x x 练习一：）的解析式（答案见文末求已知)(,2)1(2x f x x x f -=+2、凑配法汇总，切记定义域求解定义域又运用完全平方公式解：的解析式求已知2,2)(21,02)1()1()(,0,1)1(2222≥-=∴≥+∴>-+=+>+=+x x x f xx x xx x x f x f x x x x x f练习二：解析式求已知)(,45)2(2x f x x x f ++=+换元法和凑配法在实际运用过程中，以计算简单、准确为原则，根据题目恰当选择。
3、待定系数法5)1(5)(505)10()0(0,05)1()(5,15,1)()()(5,1)(2222+--=-==+-=∴+-===+-=x x f a a f x a x f h k hk x a x f x f x f 综上所述，解得：）点，代入计算图像过（图像过原点又故值根据物理意义，直接赋）可得，由顶点为（数顶点式根据题意，选择二次函解：由题意可设：的解析式），且经过原点，求（是二次函数，其顶点为已知练习三：的解析式（求且是二次函数，已知),3)0(,12)()1()(x f f x x f x f x f =+=-+4、构造方程组法：），（联立方程组，求解：）式联立方程组，解得）、（将（合适替换元得：替换用注意定义域，选取），（，且解：的解析式（求满足）上的函数，定义在（∞+∈--==-∴∞+∈=-=-∞+0,323)(21)2(1)(2)1(,10)1()1(2)(),)1(2)()(0x xx x f x x f x f x xx x xf x f x f x xf x f x f 练习四：的解析式求满足）上的函数定义在（)(,1)1(2)()(,0x f x xf x f x f -⋅=+∞求解函数解析式，一般出填空题，或者大题的第一小问。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
求函数解析式的几种常用方法一、配凑法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .练1：设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，求()g x 。
练2：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .练3：设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为 。
练1：在反比例函数k y x=的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，求反比例解析式。
练2：已知二次函数()x f 满足()00=f ，()()821++=+x x f x f ，求()x f 的解析式。
练3：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .三、换元（或代换）法： 例1：已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式练1：已知1)f x =+()f x 及2()f x ；练2：已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．四、消去法：例1：设函数()f x 满足()x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+12，()0≠x ，求()f x ．练1：已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ．练2：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12+=+-x x f x f ，()0≠x ，求()f x ．练3：已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .练4：设函数()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．五、反函数法：例1：已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .练1：已知函数1ln +=x y ,()0>x ,求它的反函数六：函数性质法例1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．练1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()13-=x x f ，求()f x 的解析式．例1：设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .练1：设定义在R 上的函数)(x f ，且满足()10=f ，并且对于任意实数y x ,均有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求)(x f .练2：设定义在R 上的函数)(x f ，对于任意实数y x ,均有()()()()1232++-+=-y x x y f x f y x f ，求)(x f .练3：已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.例1：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f .综合运用 例1：（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ； （3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
高一数学必修1求函数的解析式
求函数的解析式资料编号:20190727求函数的解析式的方法（1）待定系数法; （2）换元法; （3）配凑法; （4）解方程组法;（5）赋值法.一、待定系数法已知函数的类型,求函数的解析式，用待定系数法.例1. 已知一次函数)(x f 满足64))((+=x x f f ,求函数)(x f 的解析式.解:设函数b kx x f +=)(∵64))((+=x x f f∴()64)(2+=++=++=+x b kb x k b b kx k b kx f∴⎩⎨⎧=+=642b kb k ,解之得:⎩⎨⎧==22b k 或⎩⎨⎧-=-=62b k ∴22)(+=x x f 或62)(--=x x f .例2. 已知)(x f 是一次函数,且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)(,则:()b k kx b x k x f ++=++=+1)1(,()b k kx b x k x f +-=+-=-1)1(∵172)1(2)1(3+=--+x x f x f∴()()17223+=+--++x b k kx b k kx整理得:1725+=++x b k kx∴⎩⎨⎧=+=1752b k k ,解之得:⎩⎨⎧==72b k ∴72)(+=x x f .例 3. 已知函数)(x f 是二次函数,且满足1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求函数)(x f 的解析式.解:设c bx ax x f ++=2)(∵1)0(=f∴1)(,12++==bx ax x f c∴()()()12111122+++++=++++=+b a bx ax ax x b x a x f ∵x x f x f 2)()1(=-+∴x b a ax 22=++∴⎩⎨⎧=+=022b a a ,解之得:⎩⎨⎧-==11b a ∴1)(2+-=x x x f .习题1. 已知)(x f 是一次函数,且14))((-=x x f f ,求函数)(x f 的解析式.习题2. 已知)(x f 是二次函数,且0)0(=f ,1)()1(++=+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式.习题3. （1）已知一次函数)(x f y =,3)1(,1)1(-=-=f f ,求)3(f ;（2）已知q px x x f ++=2)(,0)2()1(==f f ,求)1(-f .二、换元法已知函数))((x g f 的解析式,求函数)(x f 的解析式，用换元法.例4. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________.解:设t x =+1,则()21-=t x (t ≥1) ∴()()1121)(22-=-+-=t t t t f (t ≥1) ∴1)(2-=x x f (x ≥1). （第二种解法见例8）注意:所以换元法求函数解析式,换元后要标明新元的取值范围,即函数)(x f 的定义域. 例5. 已知函数22)1(2++=+x x x f ,求)(x f 及)3(+x f .解:设t x =+1,则1-=t x (∈t R )∴()()12121)(22+=+-+-=t t t t f ∴1)(2+=x x f∴()10613)3(22++=++=+x x x x f . 例6. 已知函数111+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x f ,求函数)(x f 的解析式. 解:由111+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x f 可知:1≠x . 设t x =-11,则tt x 1+=()0≠t ∴tt t t f 1211)(+=++= ∴x x f 12)(+=()0≠x . 习题7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,则)(x f 的解析式为____________.习题8. 已知函数x x x f 2)1(+=-,求函数)(x f 的解析式.习题9. 若xx x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则当0≠x 且1≠x 时,)(x f 等于【 】 （A ）x 1 （B ）11-x （C ）x -11 （D ）11-x三、配凑法已知函数))((x g f 的解析式,求某些函数)(x f 的解析式，也可用配凑法.例7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,求函数)(x f 的解析式.解:∵x x x f 2)1(2-=+∴()()3141)1(2++-+=+x x x f ∴34)(2+-=x x x f .例8. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________.解:∵x x x f 2)1(+=+ ∴()11)1(2-+=+x x f ∵1+x ≥1∴1)(2-=x x f (x ≥1).例9. 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求函数)(x f 的解析式. 解法1（配凑法）∵x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴111111111122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x f ∵111≠+x∴1)(2+-=x x x f (1≠x ).解法2（换元法）:习题10. 已知22)1(2++=+x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题11. 已知1)1(++=-x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题12. 已知函数13)(-=x x f ,若32))((+=x x g f ,则函数)(x f 的解析式为【 】（A ）3432)(+=x x g （B ）3432)(-=x x g （C ）3234)(+=x x g （D ）3234)(-=x x g 提示:1)(3))((-=x g x g f .四、解方程组法 已知中含有⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 1),(或)(),(x f x f -形式的函数,求函数)(x f 的解析式,用解方程组法. 例10. 已知函数)(x f 满足x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+12)(,则函数)(x f 的解析式为____________. 解:∵x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+12)( ∴用x 1替换上式中的x ,得到:x x f x f 1)(21=+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 1)(2112)(得: xx x f 3231)(+-=.例11. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足2)()(2x x f x f =--,求函数)(x f 的解析式. 解:∵()1,1-∈x ,∴()1,1-∈-x∵2)()(2x x f x f =--∴用x -替换上式中的x ,得到:()22)()(2x x x f x f =-=-- 解方程组⎩⎨⎧=--=--22)()(2)()(2x x f x f x x f x f 得: )11()(2<<-=x x x f .习题13. 已知函数)(x f 满足2112)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx f x f ,则函数)(x f 的解析式为____________. 习题14. 已知x x x f x f 2)(2)(2+=-+,求函数)(x f 的解析式.五、赋值法求抽象函数的解析式用赋值法.例12. 设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对任意的实数y x ,都有:)12()()(+--=-y x y x f y x f ,求)(x f 的解析式.解:设y x =,∵1)0(=f∴()112)()0()(=+--==-x x x x f f y x f∴1)(2++=x x x f .习题15. 已知对于任意实数y x ,都有y x y xy x y f y x f 332)(2)(22-+-+=-+,求函数)(x f 的解析式.。
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高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、 定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f=6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 解：设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([ xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 解：2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x xx x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.解：)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、 待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x.【例3】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。
设)0()(2≠++=a cbx ax x f则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2)24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2+-=-x x x f比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==312c b a 32)(2+-=∴x x x f三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x【例2】 已知,11)1(22x x x x x f ++=+求)(x f . 解：设,1t x x =+则11-=t x 则x xx x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(1111)11(11222+-=-+-+=-+-+=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f【例3】设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t 又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即【例4】若x xx f x f +=-+1)1()(（1）在（1）式中以xx 1-代替x 得x x xx x x f x x f 11)111()1(-+=---+-即xx x f x x f 12)11()1(-=--+- （2）又以11--x 代替（1）式中的x 得：12)()11(--=+--x x x f x f（3）)1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)1(21)(23---=∴x x x x x f【例5】设)0,,()1()()(b a ，c b a cxxbf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。
解：cx xbf x af =+)1()(（1）用x 1来代替x ，得xc x bf x af 1)()1(⋅=+ （2）由xbcacx x f b a b a -=-⨯-⨯222)()(:)2()1(得xb a bcacx x f ba )()(222--=∴±≠【例6】已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .解：设01-=x at ，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='yy x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ，x x y '+'='∴2．把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．(五)配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．【例1】：已知1)f x =+求()f x 的解析式。
分析：2x x +可配凑成∴可用配凑法解：由21))1f x =+=-令t =1x t ≥∴≥则2()1f t t =- 即2()1(1)f x x x =-≥当然，上例也可直接使用换元法令t =则1t =得222(1)()(1)2(1)1x t f t t t t =-∴=-+-=-即 2()1(1)f x x x =-≥由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：已知2211(),f x x xx -=+求()f x . 分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
解析：由222111()()2f x x x xx x-=+=-+ 令2110t x x tx x=-⇒--= 由0∆≥即240t +≥得t R ∈ 2()2f t t ∴=+即：2()2()f x x x R =+∈实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
(六)构造方程组法（消去法）。
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．构造方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
【例3】：设()f x 满足1()2(),f x f x x-=求()f x 的解析式。
分析：要求()f x 可消去1()f x ,为此，可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1()f x的等式，通过解方程组达到消元的目的。
解析：1()2()f x f x x-=………………………①显然，0x ≠,将x 换成1x得 11()2()f f x x x-=……………………………..② 由1()2()11()2()f x f x x f f x xx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去1()f x，得12()33f x x x=--小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。
互为倒数，如f(x)、1()f x；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
【例4】已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f .解：设01-=x at ，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a小结：消元法适用于自变量的对称规律。
互为倒数，如f(x)、1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
【例5】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式【解析】)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 11)(2-=x x f ， xx x g -=21)(七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．【例1】：设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .解：由1)1(=f ，xy y x f y f x f -+=+)()()( 设1=y 得：x x f x f -+=+)1(1)( 即：1)()1(+=-+x x f x f在上式中，x 分别用1,,3,2,1-t 代替，然后各式相加可得：t t t t t f 21211)1)(2(21)(2+=+-+=)(2121)(2*∈+=∴N x x x x f【例2】设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有f （x－y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到 f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.八．利用给定的特性求解析式.【例1】．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， xe x e xf +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.练习．对x∈R， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x∈[9，10]时)(x f 的表达式.九、累加法：累加法核心思想与求数列的通项公式相似。