MATLAB--水塔流量的估计
水塔用水量的估计-插值教材
重庆大学学生实验报告实验课程名称数学实验开课实验室DS1421学院年级专业班学生姓名学号开课时间2013 至2014 学年第 2 学期数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院DS1421实验时间：2014年5月28日y=1/(1+x2)y=sin xy=cos10x（3）分析：由图可以看出，函数y=1/(1+x2)使用三次样条插值效果最好，函数y=sinx使用拉格朗日插值效果最好，y=cos10x使用分段线性插值效果最好，可见，三种插值方法各有各自最适用的函数。
2.轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。
（1）程序：x=linspace(0,8.534,13);y=[0 0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073 0];x0=0:0.001:8.534;y1=interp1(x,y,x0);figure,plot(x,y,'k*',x0,y1,'-r')S=trapz(y1)*0.001（2）结果：S = 54.6894（3）分析：甲板横向最大相间为8.534米，然后等间距地测得纵向高度,共有11个值，所以应该是吧8.534米分成12分，对应的值为纵向高度；以左边零点位坐标原点，建立坐标系。
线性插值得到图形，再用数值积分可求面积。
3.火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
表7.2t(分) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20v(km/h) 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0（1）程序：x=0:2:20;y=[0 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0];x0=0:0.001:20;y1=interp1(x,y,x0,'spline');plot(x,y,'k*',x0,y1,'r')S=trapz(y1)*0.001（2）结果：S = 304（3）分析：用线性插值的方法作出火车行驶的v-t关系图，则火车行驶的路程为图形的面积，用数值积分的方法可以求出。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的017921 时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.问题分析与数据处理由问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为f(t),又称水流速度.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是f(t)在若干个点的函数值,则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题一,问题假设1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作与否无关,并忽略水位高度对水流速度的影响.2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度,且每次加水的工作时间为2小时.3)水塔为标准圆柱体.4)水泵第一次供水时间为[32284, 39435],第二次供水时间段为[75021,85948].5)为了方便计算我们把表格中的秒转化成小时.6）我们规定以下符号：h:水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺；v:水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑； t:时间，单位为小时；f:模型估计的水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p:水泵工作时的充水水流量，也是时间的函数，单位为加仑/小时。
水流量的估计(插值)
x
x0
x1
f ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) P ( x ) 求一个一次多项式 P ，使得多项式 ( x ) a a x 1 1 0 1 在结点上满足条件 P i 0, 1 1 ( xi ) f ( xi ), 这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。 可以求出：
这种插值方法称为 n 次多项式插值（或称代数插值），
利用拉格朗日插值插值方法可得
8
Pn ( x) l0,n ( x) f ( x0 ) l1,n ( x) f ( x1 ) l2,n ( x) f ( x2 ) ln,n ( x) f ( xn )
其中 lkn ( x)
j 0 j k n
13
3．三维插值命令interp3的具体使用格式 vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,’method’) 它的具体含义跟前面的一、二维插值是相似的，在 此不作解释，读者可在MATLAB工作空间中用help interp3命令获得。 4．样条插值命令spline的具体使用格式 yy=1(x,y,xx,’cubic’)
V v
1
6.2
2
7.3
3
8.2
4
9.0
6.5
9.6
9
10.1
12
10.4
解 由于MATLAB没有提供现成的拉格朗日插值命令， 我们可以编写一个函数lglrcz.m来完成，其他两种插值法 可用现成的命令。 用MATLAB软件进行三种插值计算的程序为szczqx.m。
15
程序lglrcz.m： function y=lglrcz(x0,y0,x) n=length(x0)； m=length(x) ； for i=1:m z=x(i) ； s=0.0； for k=1:n p=1.0； for j=1:n if j～=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)) ； end end s=p*y0(k)+s； end y(i)=s； end
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高，塔的直径为。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约时，水泵停止工作。
表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表2 水塔中水位原始数据时刻（t）/h水位（t）/m时刻（t）/h水位（t）——/m二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：式中D为水塔直径D=，h为水位高度。
其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 .........];h=[ ...-1 -1 ......-1 ];D=；V=pi/4*D^2*h;最终求得V=[]。
2、水塔中水流速度的估计水塔中的水流速度是水塔中水体积对时间的导数，由于没有具体的函数，所以这里利用差商的方法近似求出导数，使用Matlab 提供的gradient（）求出齐导数，也就是水流速。
【精选】水塔水流量的估计
水塔水流量的估计一．实验问题某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一次，每次约2h。
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量纪录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量纪录二．问题分析根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。
对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。
对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。
结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。
得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。
对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。
三．程序的设计与求解方法1.数据的单位转换水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。
2.拟合水位——时间函数（1）对第1未供水时段的数据进行拟合。
t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)01234567898.28.48.68.899.29.49.69.8（2）对第2未供水时段的数据进行拟合。
第5章_水塔用水量的估计
x
插值要求在每一个观测点处满足yi=f(xi)
2013-6-27 河北大学
Hebei University
5.1 引例
机床加工
X=0 3
5
7 9
11 12 13 14 15 1.8 1.2 1 1.6
4 Y=0 1.2 1.7 2 2.1 2 2 0 0
2013-6-27
5
河北大学
10
15
Hebei University
被插值节点 插值节点
xi处的插 值结果
2013-6-27
河北大学
Hebei University
5.2 插值基本原理
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计1/10小时的温度值 hours=1:12 temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:.1:12; t=interp1(hours,temps,h); plot(hours,temps,’+’,h,t); title(‘线性插值下的温度曲线’) xlabel(‘Hour’), ylabel(‘Degrees Celsius’)
x=-5:10/2:5; y=1./(1+x.^2); x1=-5:0.1:5; y1=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y1,'b--','linewidth',2) hold on x=-5:10/4:5; y=1./(1+x.^2); y2=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y2,'r-','linewidth',2) x=-5:10/6:5; y=1./(1+x.^2); y3=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y3,'k:','linewidth',2)
MATLAB大作业
运用matlab对水塔问题进行仿真研究一、问题背景：美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑（UK gal）计的用水率以及每天总的用水量，但许多社区并没有测量水流入或流出当地水塔的水量的设备，只能代之以每小时测量水塔的水位，精度在0.5%以内。
更重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就会启动向水塔重新充水至某一最高水位H，但也没法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵工作时，人们容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或者两次，每次约两个小时。
试估计在任何时刻，甚至包括在水泵正在工作期间内，水从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的用水量，表1.0中给出的某个真实小镇某一天的真实数据。
表1.0中给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为1%英尺的水塔中水位的测量值。
水塔是一个垂直圆形柱体，高位40ft，直径为57ft，通常当水塔的水位降至27.00ft时水泵开始向水塔中充水，而党水塔的水位升至35.50ft时水泵停止工作。
二、分析与解答1.水塔充水时间的确定（1）第一次充水时间的确定。
当时间t=32284 s时，水位为26.97 ft，约低于最低水位27 ft，因此可作为第一次冲水时间。
当t=39435 s时，水塔水位为35.5 ft，恰为最高水位，因此可作为第一次充水的结束时间。
充水时间为dt=（39435—32284）/3600=1.9864 h，也接近充水时间2 h。
（2）第二次充水时间的确定。
当时间t=75021 s时，水位为26.97 ft，约低于最低水位27 ft，因此可作为第二次冲水时间。
当t=82649 s时，水泵在工作，但充水时间达到dt=（82649—75021）/3600=2.1189 h；但下一时刻t=85968 s时，水塔水位为34.75 ft，低于最高水位35.50 ft。
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题Word版
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表2 水塔中水位原始数据二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：V=π4D2ℎ式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。
其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 ...7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 ...12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 ...19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 ...8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 ...10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 ...8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180];D=17.4；V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2.3011 2.2540 2.2133 2.16982.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546-0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.42782.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207]。
数学建模估计水塔的流量用数学软件求解拟合问题
算法设计与编程
1. 拟合第1、2时段的水位，并导出流量
2. 拟合供水时段的流量
3. 估计一天总用水量
4. 流量及总用水量的检验
1. 拟合第1时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各 时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder（c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数
m 3 103 L
MATLAB(llgjz)
4. 流量及总用水量的检验
计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验．用水量y1可用第1时段水位测 量记录中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验． 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值 260是该时段泵入 的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的 功率应大致相等．第1、2时段水泵的功率可计算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2输出第2供水时段 各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） 计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1
用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit
1. 用M文件curvefun3.m定义函数
function f=curvefun3(x,tdata) d=300 f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k
MATLAB--水塔流量的估计
水塔水流量的估计摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。
本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。
关键词:建模，流量，拟合，MATLAB1.问题重述美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率〔以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑，美制单位下，1加仑〕以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量()f t，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据：表12.问题分析数据的单位转换：流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。
下面我们用第二种方法处理。
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表2可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了9.6769-8.2201= (m)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的017921 时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.问题分析与数据处理由问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为f(t),又称水流速度.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是f(t)在若干个点的函数值,则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题一,问题假设1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作与否无关,并忽略水位高度对水流速度的影响.2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度,且每次加水的工作时间为2小时.3)水塔为标准圆柱体.4)水泵第一次供水时间为[32284, 39435],第二次供水时间段为[75021,85948].5)为了方便计算我们把表格中的秒转化成小时.6）我们规定以下符号：h:水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺；v:水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑； t:时间，单位为小时；f:模型估计的水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p:水泵工作时的充水水流量，也是时间的函数，单位为加仑/小时。
估计水塔水流量的求解模型要点
估计水塔水流量的求解模型摘要由所给的题目可知，本问题是一个关于如何计算居民用水的问题，由题目给出的表格，可知不同时刻的水位，根据所要求的不同时刻水位的不同入手，此计算问题就可以转化为插值或拟合问题。
这里主要考虑采用插值的方法，可以利用MATLAB软件进行插值和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。
根据题目建立模型并采用插值的方法进行求解，推算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
关键词：用水规律与水泵的工作功率原始数据用水规律与水泵的工作功率一、问题重述1.1基本情况某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 已知水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
1.2 所要解决的问题现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。
表1是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录(表中用符号//表示)。
所要解决的问题就是，要估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1水位测量记录（符号//表示水泵启动）二、问题背景1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(AMCM1991A),由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表,因此有许多文献对其进行了研究,但一般都是采用差分与拟合的方法。
而由于居民何时用水是无法准确的预报的,可能引起的水位的变化是随机事件,因此,可以以水容量作为随机变量,建立一个随机数学模型,不仅可以给出了水塔流量函数,同时还可以讨论水容量函数的数学期望。
水塔流量估计_数学建模论文___《数学模型与数学软件综合训练》论文__MATLAB源程序
《数学模型与数学软件综合训练》论文训练题目：水塔流量估计学生学号：07500119 姓名：周才祥计通院信息与计算科学专业指导教师：黄灿云（理学院）2010年春季学期前 言在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。
如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。
在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。
但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。
如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。
函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。
针对水塔数据分析，利用数学软件MA TLAB 进行数据拟合。
曲线拟合问题是指：已知平面上n 个点（i x ，i y ），i ＝0，1，…，n ，i x 互不相同，寻求函数y ＝)(x f ，使)(x f 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其基本思路是，令 )(x f ＝)(11x r a ＋)(22x r a ＋…＋)(x r a m m其中)(x r k 是事先选定的一组函数，系数k a （k ＝0，1，…，m ,m <n ）待定。
寻求k a ，使得残差平方和Q ＝∑=-ni i x f 12i )y )((达到最小。
这里的建模原理实质上与实验七中的回归分析是一致的。
摘要数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法,也是解决各类实际问题的常用方法。
文章采用曲线拟合的方法,并利用数学软件MATLA B对水塔流蚤进行计算计算结果与实际记录基本吻合。
关键词：建模，流量，拟合，MA TLAB目录错误！未找到引用源。
水塔水流量估计模型与数据插值总结
一
数据插值
给定n个数据点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn ),
试求一个较为简单的函 数P ( x )，使得P ( x )满足 yi P ( xi ), i 1,2,, n
称P(x)为插值函数。也即求解一条严格通过各数 据点的曲线，用它来进行分析研究和预测，这种 方法常称为数据插值法。
称为牛顿插值公式，最后一项称为牛顿插值余项， 记为Rn(x)，余项前的多式称为插值多项式，记 为Pn(x)。
牛顿插值多项式具有以下特点：
（1）在插值结点处与拉格朗日插值一样，误差 为零； （2）多项式k次项的系数是f(x)的k阶差商； （3）增加插值节点时，只增加最后一项，不必 像拉格朗日插值公式那样需要重新计算系数。 在做牛顿插值时，一般先做出差商表，然后套 用公式。
n 1 1
解为X A1Y .
可以证明，对于n+1个不同结点，必存在唯一的次 数不超过n的满足条件的多项式，这个多项式称为 插值多项式，这种方法称为n次多项式插值（或代 数插值。
为了以后使用方便，先编制一个Lagrange插值函数程序： function p=lagrange(x,y) L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end
5
4
3
2
1
0
-1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
从结果可以看到，所插值的4次多项式曲线较好地连接了5个 数据点，从而可以用此多项式曲线作为这5个数据的一个近 似变化。
MATLAB__水塔流量的估计
水塔水流量的估计摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。
本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。
关键词:建模，流量，拟合，MATLAB1.问题重述美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间f t，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为内从水塔流出的流量()40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据：表1某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）2.问题分析数据的单位转换：表2流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。
下面我们用第二种方法处理。
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
matlab：最小二乘法线性和非线性拟合
0.0056 0.0063 0.2542
0.0059 0.0063
4）结论：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542
0.0061 0.0063
24
解法 2 用命令lsqnonlin
f(x)=F(x,tdata,ctada)= (a be0.02kt1 c1,, a be0.02kt10 c1)T
R=[(x.^2)' x' ones(11,1)]； A=R\y'
MATLAB(zxec1)
2）计算成果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
f (x) 9.8108x2 20.1293x 0.0317 16
解法2．用多项式拟合旳命令
1）输入下列命令： x=0:0.1:1;
9
线性最小二乘法旳求解：预备知识
超定方程组：方程个数不小于未知量个数旳方程组
r11a1
r12a2
r1mam
y1
(n m)
rn1a1 rn2a2 rnmam yn
即 Ra=y
r11 r12 r1m
a1
y1
其中 R
,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，经过直观判断拟定 f(x)：
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
水塔用水量的估计—插值
t=0:0.1:20;
v=interp1(t0,v0,t,'spline');
plot(t0,v0,'k+',t,v,'r')
Grid
trapz(t,v)
四、实验结果及分析
ans =
310.4260
结果显示：从静止开始20分钟内走过的路程为310.4260。
[2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；
[3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；
[4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法；
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
基础实验
一、实验内容
1.一维插值利用以下函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
插值点：t=1:0.1:31
在matlab命令窗口输入程序：
t0=[18 20 22 24 26 28 30];
d0=[9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.9231915 9.9149925];
t=1:0.1:31;
d=interp1(t0,d0,t,'spline');
确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。
表7.3
日期（号）
18
20
22
24
26
28
30
距离对数
9.96177
9.9390950
人力资源建模基本入门
目录优秀论文学习及个人认识分析原文主要内容： (2)摘要 (2)关键字：罐容体储油量分段积分微分中值定理线性拟合循环迭代2问题的背景 (2)问题的提出与重述 (2)基本假设 (3)模型的主要符号变量说明 (3)问题的分析 (3)模型建立与求解 (3)模型的进一步讨论和改进 (3)个人分析： (4)必做题MATLAB代码及答案： (5)1、水塔流量的估计 (5)问题解析 (5)MATLAB源代码： (5)2、最佳广告费用及其效应 (6)问题分析 (7)MATLAB源代码： (7)3、露天采矿 (10)问题的分析 (11)优秀论文学习及个人认识分析储油罐的变位识别与罐容表标定原文主要内容：摘要加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，可通过预先标定好的罐容表，可得到罐内油位高度与储油量的变化关系，因而建立储油罐变位后储油量与油高及变位参数（纵向倾斜α和横向偏转β）之间的一般关系，对罐体储油量的真实计算。
先建立没有变位时的罐体储油量和油位高度的关系， 其次，利用几何关系，将横向偏转修正，以消除其对储油量的影响，将问题归结为只需要计算纵向偏转对储油量的影响，最后利用循环迭代并结合矩形套定理，逐步缩小范围，以确定偏转角αβ和，用以模拟检验，得出结果与实际相符。
关键字：罐容体储油量 分段积分 微分中值定理 线性拟合 循环迭代问题的背景通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
问题的提出与重述由于地基变形等原因，使罐体的位置发生变位，从而导致罐容表不能显示实际的储油量，罐容表误差过大而不能正常使用，造成加油站油品虚假盈亏。
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MATLAB--水塔流量的估计
水塔水流量的估计
摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。
本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。
关键词:建模，流量，拟合，MATLAB
1.问题重述
美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量()
f t，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据：
表1
某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）
时间（秒）水位
（英
尺）
时间
（秒）
水位
（英
尺）
时间
（秒）
水位
（英
尺）
0 31.75 35932 水泵工作68535 28.42 3316 31.10 39332 水泵工作71854 27.67 6635 30.54 39435 35.50 75021 26.97 10619 29.94 43318 34.45 79154 水泵工作13937 29.55 46636 33.50 82649 水泵工作17921 28.92 49953 32.67 85968 34.75 21240 28.50 53936 31.56 89953 33.89
25223 27.87 57254 30.81 93270 33.40 28543 27.52 60574 30.12
32284 26.97 64554 29.27
2.问题分析
数据的单位转换：
表2
时间（h）
水位
（m）
时间
（h）
水位
（m）
时间
（h）
水位
（m）
0 9.6769 9.98 水泵工作19.04 8.6620
0.92 9.4788 10.93 水泵工作19.96 8.4334
1.84 9.3081 10.95 10.8199 20.84 8.2201
2.95 9.1253 12.03 10.4998 22.01 水泵工作
3.87 8.9864 12.95 10.2103 22.96 水泵工作
4.98 8.8144 13.88 9.9573 23.88 10.5913
5.90 8.6864 14.98 9.6190 24.99 10.3292
7.01 8.5200 15.90 9.3904 25.91 10.1798
7.93 8.3877 16.83 9.1801
8.97 8.2201 17.94 8.9211
流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。
下面我们用第二种方法处理。
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表2可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了9.6769-8.2201=1.4568 (m)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。
这个数值可以
用来检查拟合的结果。
3.模型假设
供水时段的假设
水泵第1次供水时段为t=9到t=11(h),第2次供水时段为t=20.8到t=23 (h)。
这是根据最低和最高水位分别是8.2201m 和10.8199m 及表2的水位测量记录作出的假设。
其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.01h ）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在有记录的22.96h 之后不久结束）。
水泵工作时单位时间的供水量基本为常数，这个常数大于单位时间的平均流量。
流量是单位时间流出水的体积，这里假设流量是对时间的连续函数，即()t h h =。
为简化处理，不影响问题的解决，假设流量与水泵是工作无关。
由于水塔截面积是常数S ,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S 即可。
即：
水位对时间的变化率(流量): 任何时刻的流量: ()()S t h t f ⋅'=
4.流量估计
4.1拟合水位-时间函数
从表2 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段t=0到t=8.97，第2用水时段t=10.95到t=20.48和第3用水时段t=23以后)。
对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数()t h h 11=和()t h h 22=。
为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。
由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。
4.2确定流量-时间函数
对于第1、2用水时段，只需将水位函数()2,1,==i t h h i i 求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要
dt
t dh h )
(=
'
拟合四个流量函数。
4.3一天的总用水量
总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。
5.算法设计与计算结果
5.1拟合第1、2时段的水位，并得出流量 1第1时段的流速
设t 、h 为已输入的时刻和水位测量记录，实现如下：
t=[0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.94,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91];
h=[ 9.6769,9.4788,9.3081,9.1253,8.9864,8.8144,8.6864,8.5200,8.3877,8.2201,10.8199,10.4998,10.2103,9.9573,9.6190,9.3904,9.1801,8.9211,8.6620,8.4334,8.2201,10.5913,10.3292,10.1798];
f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); %用5次多项式拟合第1用水时段水位()t h h 11=，f1输出5次多项式的系数
b1=polyder(f1); % b1输出多项式（系数为f1）导数的系数，给出水位变化率 tm1=0:0.01:8.97; %将第一用水时段[0 , 8.97]细分
g1=-polyval(b1,tm1); %g1输出多项式b1在tm1点的函数值(取负后边为正值)，即tm1时刻的流量(水位下降的速率)。
2第2时段的流速 实现如下：
f2=polyfit(t(11:21),h(11:21),5); %用5次多项式拟合第2用水时段水位水位()t h h 22=，
⎰⎰'-='=t
t t t dt
h S dt V V 0
f2输出5次多项式的系数
b2=polyder(f2); %b2输出多项式（系数为f2）导数的系数,给出水位变化率
tm2=10.95:0.01:20.84; %将第二用水时段[10.95 , 20.84]细分
g2=-polyval(b2,tm2); %g2输出多项式（b2）在tm2点的函数值(取负后边为正值)，即tm2时刻的流量(水位下降的速率)
第1、2用水时段(水位变化率)曲线图:
5.2拟合供水时段的流量
1
在第1供水时段（t = 9~11）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。
为使流量函数在t =9 和t =11连续，只取4个点，拟合5次多项式（即曲线必过这4个点）。
拟合5次多项式，实现如下：
q1=-polyval(b1,[7.93,8.97]); %取第1时段在t=7.93,8.97的流量
q2=-polyval(b2,[10.95,12.03]); %取第2时段在t=10.95,12.03的流量
dx=[7.93,8.97,10.95,12.03];。