中考第二轮复习教学案

第1讲 能力创新题（一）

阅读理解问题

【知识纵横】

阅读理解的整体模式是：阅读—理解—应用．重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略．

【典型例题】

【例1】阅读理解：对于任意正实数a 、b ，

∵2≥0，

∴a b -≥0， ∴a b +

≥只有当a ＝b 时，等号成立． 结论：在a +b ≥

a 、

b 均为正实数） 中，若ab 为定值p ，则a+b ≥

，只有 当a ＝b 时，a+b 有最小值

若m ＞0，只有当m ＝ 时1

m m

+有最小值 ．

思考验证：如图1，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高， OC 为中线，AD ＝a ，DB ＝b ．①填空：OC = ，CD =

（用含,a b 的代数式表示）；

②试根据图形验证a b +≥，并指出等号成立时的条件．

探索应用：如图2，已知A (-2，0)，

B (0，-3)，P 为双曲线6

y x

=（x ＞0）上的任

意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．

【例2】阅读以下材料：

对于三个数a ，b ，c ，用{},,M a b c 表示这三个数的平均数，用{}min ,,a b c 表示这三个数中最小的数．例如：

{}1234

1,2,333

M -++-=

=；{}min 1,2,31-=-；{}{

(1)min 121

(1).

a a a a --=->-≤；，，

解决下列问题：

（1）填空：{}min sin 30cos 45tan 30=o o o ，， ； 如果{}min 222422x x +-=，，，则x 的取值范围为x _____≤≤_____．

(2)①如果{}{}212min 212M x x x x +=+，，，，， 求x ；

②根据①，你发现了结论“如果

{},,M a b c ={}min ,,a b c ，那么 （填a ，b ，c 的大小关系）”．证明你发现的结论；

③运用②的结论，填空：

{}

2222M x y x y x y +++-，，{}

min 2222x y x y x y =+++-，，，

则x+y = ． （3）在同一直角坐标系中作出函数y =x +1，y =(x -1)2，y =2-x 的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：min ｛x +1，(x -1)2，2-x ｝的最大值为 ．

（图2） （图1）

【例3】问题背景：

在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．

(1)请将△ABC 的面积填在横线上 ． 思维拓展：

(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做 构图法．．．

．若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a （a ＞0）

，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：

(3)若△ABC 三边的长分别为2216m n +、

2294m n +、222m n +（m ＞0，n ＞0，且

n m ≠），试运用构图法．．．

求出这个三角形的面积．

【学力训练】

1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_______、_______． (2)如图①，已知格点(小正方形的顶点）O (0，0)、A (3，0)、B (0，4)，请你画出以格点为顶点，OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ．

(3)如图②,将△ABC 绕顶

点B 按顺时针方向旋转60º， 得到△DBE ，连接AD 、DC ， ∠DCB ＝30º． 求证：

DC 2＋BC 2＝AC 2，即四边形 ABCD 是勾股四边形．

2. (1)阅读理解： ①如图(A)，在△ABC 所在平面上存在一点P ， 使它到三角形三顶点的

距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时P A ＋PB ＋PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图(B)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆上， 则有AB ·CD ＋BC ·AD ＝ AC ·BD ．此为托勒密定理． (2)知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图3，已知点P 为等边△ABC 外接圆的上任意一点．求证：PB ＋PC ＝P A ．

②根据(2)①的结论，我们有如下探寻 △ABC (其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120º)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图4，在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；第二步：在上取一点P 0，连接P 0A 、P 0B 、P 0C 、P 0D ．易知P 0A ＋P 0B ＋P 0C ＝P 0A ＋(P 0B ＋P 0C )＝P 0A ＋ ；

第三步：请你根据(1)①中定义，在图4中找出△ABC 的费马点P ，线段 的长度即为△ABC 的费马距离． (3)知识应用：

已知三村庄A 、B 、C 构成了如图5所示的△ABC (其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120º)，现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

（图①） A B C （图②）

图（1）

O

B

A x y

C

D