数理统计第四章区间估计4.3节非正态总体参数的置信区间

设X ~ U (0, ), 0, X 1 , X 2 , 的置信系数为1-的置信区间. ，X n为抽自 总体X 的样本，利用枢轴变量法构造参数
解：X ( n)是的极大似然估计又是充分统计量，
X ( n) / 的密度函数为
nt n1 , f (t ) 0,
0 t 1， 其它.
考虑区间平均长度最短的要求得到
b 1, a n
因此的置信水平1-的置信区间为
X (n) X (n) , n
10
4.3.2 大样本方法 1.总体比值 p 的置信区间
总体比值是指总体中具有某种特征的 个体所占的比率,记为 p. 例如,总体的次品率就是指总体中次品 所占的比率. 随机变量X表示个体的某种特征指标, 规定当一个体具有某种特征时,则X=1, 否则,X=0. X 服从0-1分布: P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 并且 EX=p, DX=p(1-p) 11
24
实用中可采用下列更简单的方法：
ˆ
由于T ˆ ˆ/n
ˆ/n
L N (0,1)
的极限分布为N (0,1)，与未知参数无关.
因此取T
ˆ ˆ/n
作为枢轴变量.
当n充分大时有 ˆ P u / 2 u / 2 1 ˆ/n
T
得到
Sn np np(1 p)

Xp L N (0,1) p(1 p) / n
p(1 p) P 1 ˆ (1 p ˆ) p
ˆp p L N (0,1) p(1 p) / n
将上述两式相乘，按照依分布收敛的性质，有
ˆp p ˆ (1 p ˆ) / n p ˆp p p(1 p) / n p(1 p) L N (0,1) ˆ (1 p ˆ) p
4.3 枢轴变量法—非正态总体参数的置信区间 若枢轴变量的精确分布易求，可用小样 本方法获得精确的置信区间. 若枢轴变量的精确分布不易求，或若其 精确分布虽可以求，但是表达式复杂使 用不方便，则可用枢轴变量的极限分布 来构造有关参数近似的置信区间.
1
4.3.1 小样本方法
1 指数分布 参数的置信区间 设总体 X ~ f ( x) ，且
2 X n ) 2n X ～2 n
因此，取G 2n X 作为枢轴变量
2
对给定 (0 1)，只要取a和b满足 P(a 2n X b) 1
满足上式的a和b有无穷对，其中有一对a和b 使得区间长度最短.但是这样一对a和b不易求 得且表达式复杂，应用不方便.通常采用下列 方法，一般令a和b满足
p的置信水平1-α的近似置信区间为
ˆ1 , p ˆ2 ] p ˆ [p u / 2 ˆ (1 p ˆ ) / n, p ˆ u / 2 p ˆ (1 p ˆ) / n p
17
例
某地区随机调查了七岁以下的儿 童2452名,发现患有肥胖病的56名, 试以98%的置信度给出该地区全部七岁 以下儿童的肥胖发病率的区间估计?
解：令Sn X i , 可知Sn ~ P(n ),即
求参数的1 置信区间 n
i 1
(n ) P( S n k ) , k 0,1, 2, k! 当n充分大时，由中心极限定理可知 e
k
n
Sn n L N (0,1) n
当 n
22
当n充分大时, 随机变量T N (0,1)，与未知参数无关.
不等式 u / 2
ˆp p u / 2 1 ˆ (1 p ˆ)/ n p
ˆp p u / 2等价于 ˆ (1 p ˆ)/ n p
ˆ u / 2 p ˆ (1 p ˆ) / n p p ˆ u / 2 p ˆ (1 p ˆ) / n p
13
Xp P u / 2 u / 2 1 p(1 p) / n
不等式 u / 2 Xp u / 2等价于 p(1 p) / n
2 2 2 2 (n u ) p (2 nX u ) p nX 0 /2 /2
P 2n X a / 2
P 2n X b / 2
其中a (1 / 2)
2 2n
b ( / 2)
2 2n
3
这样找到的a和b虽不能使置信区间的精度最高， 但是表达式简单，可通过 分布的上 分位数表
2
求得，应用上很方便.因此有
2 2 P( 2 (1 / 2) 2 n X n 2 n ( / 2)) 1
p的近似95%置信区间为 [0.6-1.96 0.049,0.6+1.96 0.049] 即 [0.504,0.696].
因此,在这批产品中以95%的可靠度 估计一级品率在50.4%至69.6%之间.
20
例 在某电视节目收视率的调查中，随机 抽取了500户家庭，其中有200户家庭收看 该电视节目. 试求收视率 p的95％置信区间. 解：收视率 p是两点分布的参数
则g( )=1/的置信系数90%的置信区间为
2nX 2nX 2nX 2nX , 2 , 2 2 2 ( / 2) (1 / 2) (0.05) (0.95) 2n 18 2n 18
[36.787,113.099]
7
2 2 18 (0.10)=25.989，18 (0.90)=10.865
e x , x 0, f ( x) x 0. 0, 其中 0未知
X1 , X 2 , , X n 为抽自总体 X 的样本 利用枢轴变量法构造参数的置信系数为1 的置信区间
解：X 是1/的无偏估计(且是UMVUE)，由推论2.4.5
G 2 ( X1 X 2
18
解: ˆ X 56 / 2452 0.023 n 2452, p
/ 2 0.01, u0.01 2.33
p的98%近似置信区间为 [0.023-2.33 0.003,0.023+2.33 0.003] 即 [0.016,0.03]
19
例 设自一大批产品的100件样品中,得一 级品60件,求这批产品的一级品率的95%置 信区间? ˆ X 0.6 n 100, p 解: / 2 0.025, u0.025 1.96
Sn n n
的极限分布是
于是取T 作为枢轴变量.
当n充分大时有
Sn n P u / 2 u / 2 1 n 当 n
23
Sn n P u / 2 u / 2 1 n Sn n 解不等式 u / 2 u / 2 n
p的置信水平1-α的近似置信区间为
n ˆ1 , p ˆ2 ] [p 2 n u /2 1 2 X u / 2 u / 2 2n
2 X (1 X ) u 2 /2 n 4n

14
实用中可采用下列更简单的方法：
由
P ˆ Sn / n p p和
因此取
T g ( X ( n ) , )
X (n)
作为枢轴变量

9
对给定 (0 1)，只要取a和b满足
X (n) b n1 1 P a b nt dt bn a n a 即 bn a n 1 X (n) X (n) X ( n) 而a b等价变形为 b a
15， 45， 50， 53， 60， 65， 70， 83， 90
求平均寿命1/的置信系数90%的置信区间和 置信上限、置信下限
6
解：n 9,由样本算得X 59, 2nX 1062, 查表得
2 2 18 (0.05)=28.869，18 (0.95)=9.390 2 2 18 (0.10)=25.989，18 (0.90)=10.865
15
即
T
ˆp p L N (0,1) ˆ (1 p ˆ) / n p
T的极限分布与p无关，于是取T 作为枢轴变量. 当n充分大时有
P u / 2 ˆp p u / 2 1 ˆ (1 p ˆ)/ n p
16
P u / 2
ˆU 和下限g ˆ L为 则g( )=1/的置信系数90%的置信上限g
2nX 2nX ˆU 2 g 2 97.745千小时 2n (1- ) 18 (0.90) 2nX 2nX ˆL 2 g 2 40.863千小时 2n ( ) 18 (0.10)
8
2 均匀分布参数的置信区间
ˆ , ˆ ] ˆ u ˆ / n, ˆ u ˆ / n [ 1 2 /2 /2
ˆ X 200 / 500 0.4 n 500, p
/ 2 0.025, u0.025 1.96
p的95%近似置信区间为 [0.36,0.44]
21
2 Poisson分布参数的置信区间
设X 1 , X 2 , , X n是抽自总体X 的样本，且 X ～P( ), 其中 0未知
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ˆ P u / 2 u / 2 1 ˆ /n
不等式 u / 2 ˆ ˆ/n u / 2等价于
ˆ u ˆ/n ˆu ˆ/n /2 /2
参数的置信系数近似为1-的置信区间为
T Sn np np(1 p) Xp L N (0,1) p(1 p) / n 当 n
12
Sn np 当n充分大时, 随机变量T 的极限分布是 np(1 p) N (0,1)，与未知参数p无关.
于是取T 作为枢轴变量.
当n充分大时有
P u / 2 Xp u / 2 1 p(1 p) / n
利用不等式等价变形得的置信系数1-的置信区间
22n (1- / 2) 22n ( / 2) , 2nX 2nX
4
同理得到的置信系数1-的置信下限为
22n (1- ) 2nX
同理得到的置信系数1-的置信上限为
22n ( ) 2nX
5
例4.3.1设某电子产品的寿命服从指数分布Exp( ),源自文库现从此分布的一批样本中抽取容量为9的样本， 测得寿命为(单位：千小时)
1 两点分布参数的置信区间
设X 1 , X 2 , , X n是抽自总体X 的样本，且 X ～b(1, p), 0 p 1，即
P{X x} p (1 p) ,
x
1 x
x 0,1
求参数p的1置信区间 n
i 1
解：令Sn X i , 可知Sn ~ b(n, p)
根据中心极限定理，对于充分大的n, 有
2 2 n2 2 (2nSn nu ) p S /2 n 0
参数的置信系数近似为1-的置信区间为
2 2 2 S u2 u S S u u Sn n /2 /2 n n /2 /2 ˆ ˆ [1 , 2 ] u / 2 2, u / 2 2 2 2 4 n n n 2n 4n n n 2n