(完整版)三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

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三角函数的图像和性质(3)

第一节三角函数的图像和性质一、知识梳理2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：(1)函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是T=_________ (2)函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是T=_________(3)五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设X x ωϕ=+，X 取______________________来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。

切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

二、基础自测1.(2011·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9 答案:C2、(理)函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案:C3．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1 答案:C4．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1 答案:B5．(2012·湖洲中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如下图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.答案:2/36．sin1，sin2，sin3的大小关系为________．答案: sin3< sin1< sin27．求y ＝sin 2x －cos x ＋2的最值．答案:最大值与最小值分别为134与1.三、例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：(1)y ＝－2cos 2x ＋3cos x －1＋lg(36－x 2)；(2)y ＝2＋log 12x ＋tan x .[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2cos2x ＋3cosx －1≥036－x2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2cosx －1cosx －1≤0－6<x<6，也即⎩⎪⎨⎪⎧cosx ≥12－6<x<6.解得⎩⎪⎨⎪⎧－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z－6<x<6 (*)取k ＝－1,0,1，可分别得到 x ∈⎝⎛⎦⎤－6，－5π3或x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3或x ∈⎣⎡⎭⎫5π3，6. 即所求的定义域为⎝⎛⎦⎤－6，－5π3∪⎣⎡⎦⎤－π3，π3∪⎣⎡⎭⎫5π3，6.(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12 x ≥0tanx ≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x<k π＋π2k ∈Z即0<x<π2或π≤x ≤4.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪[π，4]．变式：求下列各函数的定义域：(1)y ＝11－cosx；(2)y ＝sinx ＋1－tanx. [解析] (1)函数y ＝11－cosx有意义时，1－cosx ≠0，即cosx ≠1，所以x ≠2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x|x ≠2k π，x ∈R ，k ∈Z}．(2)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧sinx ≥0，1－tanx ≥0.由上图知道，函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z).[例2] 求下列函数值域：(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ；(2)y ＝3cos x －3sin x ；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . [解析] (1)y ＝2cos2x ＋2cosx ＝2⎝⎛⎭⎫cosx ＋122－12. 当且仅当cosx ＝1时，得ymax ＝4，当且仅当cosx ＝－12时，得ymin ＝－12，故函数值域为⎣⎡⎦⎤－12，4. (2)y ＝3cosx －3sinx ＝23⎝⎛⎭⎫32cosx －12sinx＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1， ∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx ＝sinx ＋cosx 2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋222－1，所以当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2. 变式：求y ＝sin2x －sinxcosx ＋2的值域． [解析] y ＝sin2x －sinxcosx ＋2＝1－cos2x 2－12sin2x ＋2＝－12(sin2x ＋cos2x)＋52＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋52. 又∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，∴5－22≤y ≤5＋22.∴函数的值域为[5－22，5＋22]. [例3]判断下列函数的奇偶性（1）sin 2tan y x x =- （2）1sin cos 1sin cos x xy x x +-=++ （3）()cos sin y x =（4）y =答案：(1) 奇 (2) 非奇非偶 (3)偶（4）奇，偶变式：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的非奇非偶函数 [答案] C[例4] 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间． [解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间就是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间．由2k π＋π2≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得2k π＋5π6≤2x ≤11π6＋2k π.∴k π＋5π12≤x ≤11π12＋k π. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，11π12＋k π，k ∈Z.变式：(理)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R.求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；(2)函数f (x )的单调增区间． [解析] (1)∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋31＋cos2x2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8 (k ∈Z)时，f(x)取得最大值2＋ 2.因此，f(x)取得最大值时自变量x 的集合是 {x|x ＝k π＋π8，k ∈Z}(2)f(x)＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2 (k ∈Z)，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，因此f(x)的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8(k ∈Z).[例5]求下列函数的最小正周期(1) ()()2sin cos f x x x π=-;(2) ()23tan 1tan x f x x =-;(3) ()1cos 43f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 答案：(1)π (2)π (3)2π[例6] 已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 答案：见暑假作业13题变式：1.已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f(x)＝sin x 2＋3(1－2sin2x4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，∴f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin(x 2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sin(x 2＋π3)，又g(x)＝f(x ＋π3)∴g(x)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.∵g(－x)＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．2.(卷一:3) 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C1(0,]2 ()D (0,2] 【答案】A 四、反馈训练反馈训练1 一、选择题1．函数y ＝sin2x ＋sinx －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sinx ∈[－1,1]，y ＝t2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23[答案] C[解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2πω，∴2πω＝43π，∴ω＝32.故选C(亦利用y ＝sinx 的单调区间来求解)3．对于函数f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( ) A ．f(x)在(π4，π2)上是递增的B ．f(x)的图像关于原点对称C ．f(x)的最小正周期为2πD ．f(x)的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A.4．函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋acos2x 可联想到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a2＋1，∴a ＝－1.解法2：由于函数图像关于直线x＝－π8对称∴f(0)＝f(－π4)，∴a＝－1，故选D.5．已知函数f(x)＝3sin πxR图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为()A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D[解析]f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，则2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且|f(π2)|>f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)[答案] C[解析]本题主要考查正弦函数的有界性以及正弦函数的单调性．若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，则|f(π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1，所以π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z，由f(π2)>f(π)，(k∈Z)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．即sinφ<0，所以φ＝2kπ－5π6，k∈Z.代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得f(x)＝sin(2x－5π6)．由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，故选C.二、填空题7．比较大小：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎫－17π4.[答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sinx 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18，即sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4.8．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sinx ， 0≤x ≤π，－sinx ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f(x)与y ＝k 的图像可知1<k<3.三、解答题9．(2012·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx ＋2cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．[解析] f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)， ∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0.(3)由f(α)＝f(β)得：2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π6，又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.反馈训练2 一、选择题1．函数f(x)＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z) B ．k π＋π6 (k ∈Z)C ．k π＋π3 (k ∈Z)D ．k π－π3(k ∈Z)[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ.由f(x)是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z)⇒θ＝k π－π3(k ∈Z)．故选D.解法2：∵函数f(x)为奇函数，定义域为R. ∴f(0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z)． 2．函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 本题主要考查了正弦函数的性质以及数形结合法．依题意：两函数的图像如下图所示：由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D.二、填空题3．已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图像如下图，则f(π24)＝______.[答案] 3[解析] 本小题考查内容为正切函数的图像与解析式．∵T ＝π2＝πω，∴ω＝2. 当x ＝0时，f(0)＝Atan φ＝1，当x ＝3π8时，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝Atan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0，∴φ＝π4，A ＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 4．动点A(x ，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是______________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)．∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6. 当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知， 2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z)． ∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z)．当k ＝0时，－5≤t ≤1；当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]．三、解答题5．(2012·深圳模拟)已知函数f(x)＝sinx ＋acos2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f(x)＝0的解． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋acos2π4＝0，则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f(x)＝sinx －2cos2x 2＝sinx －cosx －1，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1. 所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，则2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1∈[－2，2－1]，所以y ＝f(x)值域为[－2，2－1]．6．(2011·北京理，15)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)－1 ＝4cosx ⎝⎛⎭⎫32sinx ＋12cosx －1 ＝3sin2x ＋2cos2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ∴f(x)的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)取到最大值2；当2x ＋π6＝－π6即x ＝－π6时，f(x)取到最小值－1. ∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－1.7．已知函数f(x)＝log 12(sinx －cosx)． (1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4入手．对于(3)则看f(x)的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f(x ＋T)＝f(x)先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sinx －cosx>0，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0，从而得2k π<x －π4<2k π＋π(k ∈Z)．∴函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＋π4<x<2k π＋54π，k ∈Z . ∵0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴0<sinx －cosx ≤2，即有log 12 2≤log 12(sinx －cosx)．故函数f(x)的值域是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)∵sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在f(x)的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z)，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z)；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z)． (3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．(4)∵f(x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sinx －cosx)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sinx －cosx 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．。

《三角函数的图像及性质》知识点总结及典型例题

三角函数的图像与性质模块一、三角函数的图像和性质要点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosxx ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 要点二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=-时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k k πππ-上是增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),0k π对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数性质模块二、函数sin()y A x ωϕ=+（A≠0，ω≠0）的图像与性质要点三、几个物理量：A 为振幅；2πωT =为周期；1f T=为频率（周期的倒数）；x ωϕ+为相位；ϕ为初相（x=0时的相位）；要点四、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

三角函数图像和性质专题讲义

三角函数图像和性质专题讲义1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π,3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换4[常用结论]（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．题型一三角函数的5大性质例1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx －3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，时，求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间． (4)写出函数f (x )的对称轴和对称中心.(5)函数f (x )向右平移t 个单位为偶函数，求t 的最小正值。

[玩转跟踪]1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴3.已知函数21()2cos 22f x x x =-+. (1)求2()3f π的值及f (x )的对称轴； (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 题型二三角函数模型中“ω”范围的求法探究例2 已知函数 f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (ω>0)在区间]32,4[ππ-上单调递增，则ω的取值范围为( ) A.]830(， B.]210(， C.]8321[， D.]2,83[ 例3 已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω>0)的一条对称轴x ＝π3，一个对称中心为点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1例4 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间]4,3[ππ-上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．[玩转跟踪]1．若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间]23,32[ππ-上单调递增，则正数ω的最大值为( )A.18 B ．16 C.14 D.13 2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间]2,0[π上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f )2(π，则ω的值为( )A.23 B ．23或2 C.13 D ．1或13 3.设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx (ω>0)．若f (x )≤f )4(π对任意的实数x 都成立，则 ω的最小值为________．题型三三角函数的图像和图像变换例5设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． [玩转跟踪]1．将函数y ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间]127,12[ππ上单调递减 B ．在区间]127,12[ππ上单调递增C ．在区间]3,6[ππ-上单调递减 D ．在区间]3,6[ππ-上单调递增 2.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-03ω<<()06f π=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44ππ-3将函数()3cos 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（） A ．最大值为3，图象关于直线12x π=对称 B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称题型四由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝ .(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) )2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx 取得最小值时x 的集合为．[玩转跟踪]1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π32已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12题型五三角函数大题例7 已知函数f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+42πx ·co ⎪⎭⎫⎝⎛+42πx －sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． [玩转跟踪]1．已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 2．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．[玩转练习]1．函数y ＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 的部分图象大致是( )2．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12B.π3C.13π6D.7π6 3．将曲线y ＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<向右平移π6个单位长度后得到曲线y ＝f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π3 B ．π6 C ．－π3 D ．－π6 4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-322πx ，则下列结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π6．(多选)函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．对任意的x ∈R ，都有f ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx ＋f ⎪⎭⎫⎝⎛+-6πx ＝0 C ．f (x )在)125,12(ππ-上是减函数D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f )6(π的值是________．9．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πx 的图象，则φ＝____. 10．(一题两空)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，其中0<ω<3，且f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。

三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案－π6考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k k πππ-上是增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意：周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.五点法”作图原理在确定正弦函数y Sinx(x [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,0),( ,1),( ,0),( , 1),(2 ,0).2 2在确定余弦函数y COSX(X [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,1),^-,0),( , 1),( ,0),(2 ,1).2 22•三角函数的图像与性质ASin(wx )与y ACoS(WX )(A 0, W 0)的图像与性质3. y(1)最小正周期：T .W(2)定义域与值域：y ASin(wx ) , y ACOS(WX )的定义域为R 值域为[-A,A].(3)最值假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当WX — 2k (k Z)时，函数取得最大值A当WX — 2k (k Z)时，函数取得最小值A;②对于y ACOS(WX )，当WX 2k (k Z)时，函数取得最大值A;当WX 2k (k Z)时，函数取得最小值A;(4)对称轴与对称中心假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当 WX O k — (k Z),即卩 Sin(wx 0 )1时，y Sin(wx )的对称轴为X X 0当WX ok (k Z)，即Sin(WX o ) 0 时，y Sin(WX )的对称中心为(X 0,0).②对于yACOS(WX )，当WX 0k (k Z)，即卩 CQS(WX O ) 1时，y CQS(WX )的对称轴为X X 0 当WX ok (k Z)，即卩 CQS(WX O)时，y CQS(WX)的对称中心为(X 0,0).正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置 •正、余弦的对称中心是相应函数与 X 轴交点的位置. (5)单调性. 假设A 0, W 0.①对于yASi n(wx)WX[二 2k,2 2k ](k Z) 增区间;2WX[ 2k 2 3,22k ](k Z) 减区间. ②对于yACQS(WX )WX [ 2k ,2k ](k Z)增区间；WX[2k ,2k](k Z)减区间.(6)平移与伸缩由函数y Sinx 的图像变换为函数 y 2sin(2x—) 3的图像的步骤; 3方法(XX -2x -)23'先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们想欺负 ”(相一期一幅) 三角函数图像，使之变形y Sin X 的图像向左平移一个单位3y Sin (X护图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y Sin(2X捫图像所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变y 2Sin(2X3)的图像方法二：(XXΞ 2xT ).先周期变换，后相位变换，再振幅变换向上平移3个单位y 2 Si n(2x —) 3y Si nx 的图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y sin 2x 的图像向左平移—个单位6y Si n2(x) Sin (2x )的图像6 2向上平移3各单位y 2 Si n(2x )的图像y 2 Si n(2x ) 33 3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即想欺负”，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 X 而言的,即图像变换要看变量X ”发生多大变化，而不是角WX移一个单位，得到的图像表达式是 y Sin 2(x) Sin(2x ),而不是y Sin(2x )；再如，将 66 3 6图像y Sin(X -)上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是61X 1 y Sin(—X),而不是y Sin (X )•此点要引起同学们的的别注意 •26 26题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为 y ASin(WX)或y ACOS(WZ )， A 0.w O ，然后依据y Sin X, y CoSX 的性质整体求解•题型1 三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例4.16函数y Sin(X )(0)是R 上的偶函数，贝U 等于( )A. 0 B . — C. — D.4 2解析因为函数y Sin(X )是R 上的偶函数，所以其图像关于 y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当X 0时，Sin 1 ,又0 ,所以 -.故选C.2评注由y Sinx 是奇函数和y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若 y ASi n(x )为奇函数，则k (k Z)；(2) 若 y ASi n(x )为偶函数，则 k(k 2Z)； (3) 若 y ACOS(X )为奇函数, 则 k(k2Z)；(4) 若 y ACOS(X)为偶函数, 则k (k Z)；k若y Atan(x )为奇函数，则 (k Z),该函数不可能为偶函数.所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变”变化多少•例如，函数y Sin2x 的图像向右平2变式1已知a R,函数f (X) Sinx a(x R)为奇函数，则a等于( )A.0B.1 C.-1D. 1变式2 设 R ,则“O ”是“f(x) CoS(X )(x R)为偶函数”的( )),其中W 0 ,则f (x)是偶函数的充要条件是(A. f (0) 1B. f(0)0 C. f (0)1 D. f (0)例 4.17 设函数 f(χ) Sin(2x -)(x R),则 f(x)是()2A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为一的奇函数2 D. 最小正周期为一的偶函数2解析 f(x) sin(2x -) cos2x ,所以是最小正周期为 X 的偶函数•故选B.2 2 1变式1 若函数f(χ) Sin X -(X R),则f(x)是()2 A. 偶函数且最小正周期为 B. 奇函数且最小正周期为 C. 偶函数且最小正周期为 2 D. 奇函数且最小正周期为 2二、函数的周期性Tw.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 (2)函数 ASi n(wx ),y ACOS(WX )， y Ata n(wx )的周期均为T(3)函数ASi n(wx )b(b 0),y2ACOS(WX ) b(b 0)的周期均 T -变式 3 设 f (x) Sin(WX 变式2F 列函数中，既是(0,—)上的增函数，又是以2为周期的偶函数的是(A. y cos 2xB. y sin 2xc ∙y COSXD.ySin X例4.18函数ySin (2x )COS (2X 6S)的最小正周期为( A.—2B.—4C. 2D.解析函数ySin (2x 评注 —)Cos(2x 关于三角函数周期的几个重要结论:1) sin(4x 62•故选A(1) 函数ASin (WX )b, y A COS(WX ) b, y A tan(wx2)b 的周期分别为TI Wl变式1函数y Sin(2x —) cos(2x —)的最小正周期和最大值分别为( )A. ,1 B ∙ ,、2 C. 2 ,1 D.2 ,,2 变式2 已知函数f(x) Sin X(Sinx COSX)(X R),贝U f(x)的最小正周期为变式3 设函数 f(x) sin3x Sin3x ,贝U f (x)为( ) A. 周期函数，最小正周期为 B . 周期函数，最小正周期为周期函数，最小正周期为非周期函数一、函数的单调性C. D. 3 2 3 2 例4.19函数y 2si n( 2x)( x 6 7 B ∙[,]12 12 [0,])为增函数的区间是( )解析因为y 2si n( — 2x) 6 2sin(2x 6)，所以y 2sin(6 2X)的递增区间实际上是 y 2 si n(2x 2 6 2解得 k X k (k Z). 3 5 X 6 令k 0 ,得 —— ,又因为X [0,]， 3 6所以 X 5 .即函数 y 2sin(- 2x)(x [0, 5 ])的增区间为[,].故选C 3 66 3 6 评注三角函数的单调性，需将函数y ASi n(wx )看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数,复合函数单调区间的单调方法转化为解一兀- 次不等式令2k Z), 2x 如函数y ASi n( wx -)的递减区间. 2kx —(k )(A 0,w 0)的单调区间的确定基本思想是吧 WX 看做是一个整体，如由利用 2k2 WX2k 2WX2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为增区间；由2 3 2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为减区间若函数y ASin(wx )中2A 0, w 0 ,可用诱导公式将函数变为 y ASin( WX ),则y ASin( WX )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如y sin( x) Sin(X ),令44232kX 2k ,即 2k X 2k(k Z),可得［2k,2k 2 4244 4为原函数的减区间•对于函数y ACoS(WX ),y Atan(wx)的单调性的讨论与以上类似处理即可3 变式1若函数y Sinx f (x)在［,］内单调递增，则f (x)可以是( )4 4A.1B.cosxC.sinXD. cosx变式2 已知W 0 ,函数f(χ) Sin(WX 1 5 1 3 1A ∙［亍匚］B ∙［;,;］ C.(0j2 4 2 4 2 -)在(一，)上单调递减，则 W 的取值范围是(4 2D.(0,2] 变式 3 已知函数 f (x) . 3Sin wx COS(WX ) COS(WX ), X R, (W 0).3 3(1)求函数f (x)的值域； (2)若f (X)的最小正周期为，χ [0,—],求f (x)的单调递减区间2 2四、函数的对称性(对称轴、对称中心) 例4.30函数y Sin(2x-)图像的对称轴方程可能是(A. XB.C. XD.X6 12 6 12解析解法一：已知y Si nx 的对称轴方程是X k -(k Z)2 k令 2x 3 k (k Z),得 X(k Z)，2 2 12当k 0时，X ，故选D.12解法当 X时， 2x0.其正弦值为 0；63当X 时，2x123 6 ,其正弦值不等于1或-1当X时，2x -2 其正弦值不等于 1 或-1633当X时，2x—，这时Sin 1.12 322(1)函数y Sin X 的对称轴为X k(k 2Z),对称中心为(k .0)(k Z)；(2)函数y cosx 的对称轴为X k (k Z) ,对称中心为(k ,0)(k Z )； (3)函数yta nx 函数无对称轴，对称中心为k(―,0)(k Z)；故选D评注关于三角函数对称的几个重要结论;24A.关于点(一,0)对称3 B.关于直线X—对称4C.关于点(一,0)对称D .关于直线X -对称43变式2 y Sin(X)的图像的一个对称中心是( )43 A.( ,0)B.(4,O)3C. (4 ,O)D⑺2x 2x变式3 yCOST SinT 的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4 将函数y Sinx3CoSX 的图像沿X 轴向右平移a 个单位(a 0)，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ).A. 7B. C. D.—62 6 3五、三角函数性质的综合思路提示三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性因为对称性奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f (X)为奇函数；若函数图像关于 y 轴对称,则函数f(x)为偶函数)；对称性周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是T;相邻的对称中心之间的距离为 T;相邻的对称轴2 2与对称中心之间的距离为 T)；对称性单调性(在相邻的对称轴之间，函数 f(x)单调，特殊的，若4(4)求函数y ASin(WX) b(w 0)的对称轴的方法；令 WXk (k Z),得k X 2 ---------- (k Z);对称中心的求取方法；令 WXW为( ------ ,b).Wk (k Z),得 X,即对称中心k (5)求函数y ACOS(WX ) b(W 0)的对称轴的方法；令WX k (k Z)得X Z --------------------------W k即对称中心为( ----------- ,b)(k Z)W变式1已知函数f (X) Sin(WX )(W 30)的最小正周期为,则该函数的图像(24f (x) ASin(wx), A 0, w 0 ,函数 f (x)在[I , ?]上单调，且 0 [1,2],设 max 1,2,则T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)6 3 6 3例 4.21 设 f(x) asin 2x bcos2x ,其中 a, b R,ab 0,若 f (X )11 ① f (IT ) 0；③f (X)既不是奇函数也不是偶函数;④ f (X)的单调递增区间是[k - k —](k Z)；6,3⑤ 存在经过点(a,b)的直线与函数f (x)的图像不相交. 以上结论正确的是 ________ (写出所有正确命题的序号)分析函数f(χ) ,a 2b 2sin(2χ )，tan -,其中一条对称轴为 X ―,函数的最小正周期 a 6T ,通过对称轴对称中心(对称轴与零点相距 T 的奇数倍)通过对称轴奇偶性(若函数f(x)为4奇函数，则一等于T的奇数倍；若函数f (X)为偶函数，则一等于T的偶数倍)；通过对称性单调性(在6 46 4相邻的两条对称轴之间，f(x)单调递增或单调递减).是f (X)的对称轴，又f (X)的最小正周期为关于y 轴对称，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确2 2对于④：依题意，函数 f(x)相邻两条对称轴x 1 -,x 2,在区间[k -,k](k Z)上函数f (X)单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确f (―)对一切X R 恒成立，则 6② f(7F )解析 f (x) a 2b 2Sin(2x),其中 tanb，f(xaf (O ))对一切 XR 恒成立，知直线X -11对于①：f(—)123)可看做X3,加了 -个周期所对应的函数值，所以 6 4 11 f(IT) 0.故①正对于②：函数y f (X)周期T77—，因为 ——一一，所以f ()f(—)2 10 5 2105对于③：因为一既不是T的奇倍数，也不是 64 T的偶倍数，所以函数4f(x)的图像既不关于原点对称，也不因此咱错误，故②不正确K(其中tan —)，所以af (x) a 2 b 2 ,又 ab⑤不正确，应填①③.(1)求f (X)的值域;3⑵若y f (X)在区间［亍R 上为增函数，求W的最大值.解析(1)f (x) 4 COS(WX —)sin wx cos2wx4(CoSWXCos & Sinwxsinfsin wx cos2wx 2 -. 3 Sin WXCOSWX 2sin 2WX cos2wx .3sin 2wx 1 cos2wx cos2wx .3sin2wx 1[1,1]所以函数f (X)的值域为[1 .. 3,1 ... 3].f(X) 3sin2wx 1,由y f(X)在区间［3T2］上为增函数，的例 4.22 设 f (χ) 4COS(WX )Sin WX 6 cos(2wx ),其中 W评注一般的，若f (x)(x R)为奇函数，在【1,2】上为增函数，其中2 ,若令max{ 1, 2},则T,即可求出W 的范围. 4变式1已知函数f (x)2sin(wx),其中常数 W 0,若y f(x)在[2］上单调递增，求W 的取 3变式2 已知函数f (x) 2sin(wx)(w 0)，f (―) f (—)在［—,—］上的虽小值为-2 ,则W 的最小值对于⑤：因为 f(x) a sin 2x b cos2 X.a 2 b 2Sin(2x) ,a 2 b 2 ,因此经过点(a,b)的直线与函数f (X)的图像相交,因为Sin 2wx (2)解法一: [3w ,w[2，-](W0)3wx故WX2，得 0 W1 1 ,则W 的最大值为一. 6解法二：由 f(x),3sin 2wx 1 (W3O)在区间［32,2］上为增函数,含原点的增区间的对称型可知3 函数f (x)在[— 2 牛］上也为增函数, T 2故一3 ,即T 6 ,得—2 2w1,故0 W 6 ,则W的最44例4.23若f (X) Sin(WX-)(W O)，f （—）且在（ -- ）上有最小值无最大值，则 3 6'3题型2根据条件确定解析式方向一：知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式思路提示干个点代入函数式，可以求得相关特定系数 A,w,,这里需要注意的是，要认清选择的点属于五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是:点）来确定；对于零点要分析向上零点还是向下零点解析解法一：依题意 A 2,232k-,k Z 得 2k-,k Z ， 26所以 f (0) 2sin 2si n(2k-)6 1, 故选 B解法二二：由函数f （x ） A(Sin 2x ），得T,则相邻的零点与对称轴之间的距离为T-,因此图中向上的零点是 X 0,则满足f( ) ASin(2 ) 0所以 2k ,k Z.故12 12 12 6解析依题意，如图4-24所示，在X8k 14.取 k 0,得 W314 32k3—,k Z 2评注本题融汇了三角函数 f （x ） Sin （WX ）的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化f(O )已知函数图像求函数 y ASin(wx )(A 0, w 0)的解析式时,常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A ，由周期确定 W ,由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的y ASi n(wx)(A0,w0）的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若第一点”（及图像上升时与X 轴的交点）为WX 第二点”（即图像曲线的最高点）为 WX ；第三点”（及图像下降时与轴的交点），为WX ；第四点”（及图像曲线的最低点）为WX —；第五点”2（及图像上升时与 X 轴的交点）为 WX 例 4.24 函数 f(x) A(Sin2x)(代1 A. 2B.-1C. 分析对于y ASin （wx ）的解析式的确定，通过最值确定R ）的部分图像如图D.9 W127f （0） 2sin 2sin （2k） 1 ,故选 B6评注对于三角函数问题中的知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面（1）周期（可推出 W 的值域范围）（2）振幅（可推出 A （ A>0））（3）特征点（可形成三角方程，以求的值）对于本题代入零点（X o ,o ），（ X o 为上零点），则满足AS in （WX o ） 0,所以 2k wx 0, k Z, f (0) ASin Asin( wx 0) ASi n(wx 0) 2Sin(2 石) 1，对于正弦型函数f （X ） ASin(wx )(w 0, R),若已知上零点 X 0 ,则 f(0)ASin （WX 0） •同理，若已知下零点x °，则 f (0) ASin(WX 0). 变式一函数 f(x) ASin(wx )(A,w,是常数,A f(0) 0,w变式二已知函数f(x) ACOS(WXA. C. 2 3 12 2B.-3 1 D.—2）的部分图像如图 ()例4.25已知函数 y ASi n(wx )(A 0,w 0, 式. 分析有最小值为-2确定A ，不易求解，我们可抓住 — 12 由周期确定W ,但本题的周期 T 3T 7 T ,，且3T —,建立周期2 4 12 T 的不等关系, 系（根据零点）（0,1）得到. 从而得到 W 的取值范围，在建立 W 的等量关 ,最终建立求得 W ,而的确定可通过特征点4-28所示，求函数f （x ）的解析解析有图知 A 2 ,将点（0,1）,代入y ASin (WX ）中，得12sin ,即 Sin 1 ,又22 ,又因为T—， 6WT_，又—6 2712 18 7,故 W ,又点( ，0)在函数图像上，且 6 7 712 2410 12 2k ,k Z ,解得 W 24k 10,k Z ,因此777（0,1）点在函数的单调增区间上，故7T 为函数f （X ）的下零点，所 12迢k W 里，得7 7 75 sin (X3-k 11 ,又k Z ,因此k 1,此时W 2.6 12所以 f(x) 2sin(2x)• 6变式一已知f(x) cos 2(wx )(w,为常数)，点(1,0)如图4-29所示，求W 的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值) 求解函数解析式(即 A,w,的值的确定)例 4.26 已知函数 f(x) Sin(wx)(w 0,0心，且在区间［0,—］上为单调函数，求函数 f(x)的解析式.2评注根据函数必关于 y 轴对称，在三角函数中联想到 y coswx 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解(2)求函数f (x)的解析式. 题型3函数的值域(最值) 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理 .(1) y a sin X b ,设t Sinx ,化为一次函数 y at b 在［1,1］上的最值求解.b J —2 - 2(2)y a si nx bcosx c ,弓 I 入辅助角 (tan ),化为 y a bSin(X ) C ,求解方法a分析本题的目标是求w,因为y Sin(WX )为偶函数，则必关于 y 轴对称，因此化为 y coswx 的形式，由函数在［0 -］上单调，则［0 -］最多只会是半个周期，即 T—,从而得T '2 ,2 2 2 再代入对称中心求解. 得W 的范围, 解析由函数 f (x) Sin(WX )(w 0,0 在区间［0 —］上为单调函数，得 T—,即T '2 2 2 )为R 上的偶函数，贝U —，得f(χ) coswx ，且 2 2 3 ,故— ,又W 0得0 W 2.,同时点(二,0) W 4 3 为函数f (x)的一个对称中心，的W k4,k Z ,则 w 4k 2,k Z ,因此 0 4k 2 2 , 2 33k 1,k Z 所以k 0或1得W-或2,所以函数f(x)的解析式为y CoSZX 或y33cos 2x.,0)是一个对称中变式一：已知函数 f (x) 4sin(wx )(w 0,0经过点(0,2).(1) 求 f (x)的最小正周期；,X R)图像的两条相邻对称轴的距离为，且23如果存在正整数 W 常数使得函数f(x)的图像经过4同类型(1) 33y a si n2x bsinx c,设t Si nx ,化为二次函数y at2 bt C在闭区间t [ 1,1]上的最值5 sin (X3求解，也可以是 y acoWx bsinx C 或 y acoS2x bsinx C 型.(4) y a si n x cosx b(si nx cosx) C ,设 t Si nx cosx ,贝U t 21 2si n xcosx ,故t 21t 21Sin xcosx,故原函数化为二次函数 y a () bt C 在闭区间［∙λ2,ι2］上的最值求2 2(5) yasinx b与yasinx b,根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式CSi nx d ccosx d法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于 Si nx 或cosx 的函数求解释务必注意SinX 或cosx 的范围.例4.27函数f (χ) Sin xcosx 的最小值是(，利用诱导公式把( x)转化为(X)，化不同角为相同角，将函数化为 263)3cos[ ( x)] 4 si n(x ) 3cos( x) 32 63 3 3)(其中tan —)，所以y wax 5.故选C.分析解析 1A.-1B. 2 1C.—2D.1将函数f (x)转化为y ASin(wx)的形式求最值、， 1 .函数 f (x) Sin xcosx Sin2χ(χ 2R)-最小值为1,故选B. 2评注若本题改为"f(x) Sin Xcosx,X ［0,］ ”则最小值为 40，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定变式1函数f(x)Sin X cos(x )的值域为(6A.[-2,2]B.[ ,3, 3]C ∙[-1,1]D.[∙∙ 3 .. 31变式2 函数f(x) sin 2X .3Sin xcosx 在区间[ ：,?］上的最大值是().1 JlA.1B.——2C .32D.1 -.3例4.28函数 y 4sin(x3sin(6 X)的最大值为()A.7B.2 3C.5D.4分析 f(x) ASin (WX)的形式.y 4sin(x解析45 sin (X 3、 2 2变式1求函数f(χ) cos(x )2 cos (X R)的值域32变式2求函数 f (x) cos(2x ) 2sin(x)sin(x )(x [ ,])的值域. 344 12 2__ 2例4.29求函数f(x) 2cos2x Sin X 4cosx 的最大值和最小值. 2a cos X bcosχ C(X R)的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值思路提示分析通过二倍角公式和同角公式将函数 f(x)的公式化简为y 解析 f (x)2(2 cos 2X 1)(1 cos 2x)4cos x23 cos X 4cos x 1,令 t cos X [ 1,1],则 g(t) 3t 24t 1f (t)取最大值6, 即f (x)的最大值为6;当3(tI )t -时,37(t [1,1]),因为t [ 1,1],所以当tg(t)取最小值7,即f (x)的最小值为变式1已知,求函数y cos 2X Sin X 的最小值.4变式2 求函数y sin 2x a COSX- a — (0 X —)的最大值.8 2 2 变式32右 Sin Xcos X a 0有实数解,试确定实数 a 的取值范围.变式4 若关于X 的方程cos 2x Sinx a 0在(0,§］上恒成立，求实数 a 的取值范围. 1时,例 4.30 对于函数 f(χ)Sin X 1(0 X Sin XA.有最大值无最小值C.有最大值且有最小值分析形如yasinx b的函数的最值,CSi nx d丄，令tSin X解析解法一：f (X) 1有最小值无最大值.故选B sin X 1ySi n x SinXSin X解法二：y得 0 Sin X 变式1 求函数y变式2题型4 ),下列结论中正确的是(B.有最小值无最大值 D .既无最大值又无最小可考虑用函数的有界性求解SinX (0,1］,贝U y 1 f 在区间(0,1］上单调递减，即f(x)只1,1 ,解得y2 ,所以f (X)只有最小值无最大值.故选B■- 3 cos X的值域.2 Sin XΞ½若—X4 三角函数图像变换2,则函数y tan2xtan X 的最大值为 2由函数y Si nx的图像变换为函数y ASi n(wx ) b(代W 0)的图像.方法一：(X XWX)先相位变换，后周期变换，再振幅变换向左平移_个单位( 0))的图像向左平移个单位(0分析利用三角函数的图像与变换求解结合选项可知，函数图像过(1,0).故选A25B.向右平移—个单位125D.向右平移—个单位6-)，g(x) COS (X —),则 f(x)的图像().—)(x R, W 0)的最小正周期为，为了得到g (X) COS(WX)的图 4像，只要将y f (x)的图像(SinX 的图像向左平移个单位(O )个单位(0) y S 6i n (XSin(WX )的图像所有点的纵坐标变为原来的A 倍丿的图像横坐标不变 ----------ASi n(wx)的图像向上平J:个单位；：0)yASin (WX ) b例4.31把函数 y COS 2X 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，在向下移 1个单位长度,得到的图像时().1Iy1、I 2/、O 1-1 22解析y cos2χ1横纵标不变2倍yCoSX 1 向左平移1个单位长度y cos(x 1)1向下平移1个单位长度y cos(x 1).变式2 已知f (χ) Sin(xA.与g(x)图像相同B.与g(x)图像关于y 轴对称C.是由g(x)的图像向左平移—个单位得到2D.是由g(x)的图像向右平移一个单位得到2变式3已知函数f(χ) Sin(WX XA.向左平移一个单位长度8B ∙向右平移一个单位长度81 1依题意 g (x) Sin(2 2x )Sin(4x )，2 6 2 65纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图像，求g(x)在［0——］上的值域，24最有效训练题C.向左平移—个单位长度 D •向右平移—个单位长度 4 4 1 2 1例 4.32 已知函数 f(x) Sin 2xsin cos 2xcos Sin( )(0 2 2 2 (1) 求的值 1 (2)将f(x)图像上各点的横坐标缩短为原来的 -,纵坐标不变，得到函数y 2 1)，其图像过点(一，).6 2g(x)的图像，求函数g(x)在［°,—］上的最大值和最小值 4 解析由题意把点(一，1)代入函数的解析式得 6 21 . Sin- Sin2 33 1 1cos cos —4 2 2 Sin 1 COS2 sin (F ) 1(I) Sin( 6) 1， (0,), 6 -sin2x 41 . C 3 12 1 sin 2x cos X2 2 2 4 6 2 (2) f (x) -(1 COS 2X ) 41 Sin (2x 2?)，当4x67,即X 时，1g (x)取最小值一；6 44 当4x 6 ，即X时， 1 g(x)取最大值一.212 2 变式1 已知向量 m (Sin x,1), n— A (∖3Acosx, cos2x)( A2 的最大值为 6.(1)求 A 0),函数 f(x)(2)求将函数yf (x)的图像向左平移个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的12i 倍，1.已知函数f(x) ASi n(wx )(A 0, —0),在X —时取得最大值，则f(x)在［,0］上的2 6单调增区间是(f (x) cos 2x Sinx ,那么下列命题中假命题是(4,.已知函数f(x) Sin(6x -)的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移§个单位,).则f (x)的单调递增区间为8. 已知函数f(x) 3sin( X )(0)的图象和g(x) 2cos(2 X ) 1的图象对称轴完全相同，若6X ［0,亍］,贝U f(x)的取值范围为9. 定义一种运算(a 1,a 2) (a 3,a 4) a 1a 4 a 2a 3，将函数f (x) (∙∙.3,2si n x) (cosx,cos 2x)的图象向左移 n(n 0)个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为10. 某学生对函数f (x) 2xcosx 进行研究后，得出如下四个结论： ①函数f (x)在［,0］上为单调递增，在［0,］上单调递减；②存在常数M 0,使f (x) M X 对一切实数X 均成立；③点(一，0)是函数2A ∙[B ∙[56C ∙[护2.若直线t 与函数 y Sin (2x-)和y cos(2x -)的图像分别交于 PQ 两点，则IPQ 的最大值为A.2B.1 D. 23•已知函数 A. f (x)既不是奇函数也不是偶函数 B. f(x)在［,0］上恰有一个零点 C. f (x)是周期函数D. f(x)在(一，丄)上是增函数2 6得到的A.(荷O)B.(9,O)c.q ,°)D.(畀)5.如图4-30所示，点 X 轴的A.—8y PPM PN0,则W 的值为()∖NM O/ XB.-C.4D.8∖46.已知A.[ 3,2]B.[ .3,2] C"3,2]D ∙C ∙ 3, 2) 7.已知函数 f(x) 3sin 2χ 2sin xcosX X 3 cos 2X ,其中0,且f (x)的最小正周期为，函数一个对称中心是(P 是函数y 2 sin(wx交点，若则实数a 的取值范围为a ，有两个不同的实数解,)(x R,w 0)的图像的最高点，M,N 是该图像与(0,］，关于X 的方程2sin(x -) 3y f(x)图像的一个对称中心；④函数y f(x)的图象关于直线X 对称•其中正确的.(把所有正确的命题的序号都填上)f (x) cos(2X —) sin 2x cos 2x. 所示.(1)求函数f (X)的解析式;∣S4-315A.向左平移个单位125C.向左平移个单位611.已知函数 (1)求函数 f (X)的最小正周期及图像的对称轴方程; (2)设函数 g(x) [f(x)]2f (X),求g(x)的值域. 12.已知函数 f (x) ASin( X),其中(X R, A 0,I )的部分图像如图4—31⑵已知函数f(x)图像上三点 M,N,P 的横坐标分别为一1, 1, 5,求 Sin MNP 的值.。

三角函数图象和性质详细讲解

1 cos( ) sin 2 1 sin( ) cos 2 1 tan( ) cot 2 1 cos( ) sin 2
tan
2 tan 1 tan

2
2

2
sin 15 cos75

2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2 6 2,
公式组五 sin(2 x) sin x cos(2 x) cos x tan(2 x) tan x cot(2 x) cot x
（二）角与角之间的互换公式组一 cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k , k 1 上为减函
数（ k Z ）

2
2k ]
上为增函数；单调性
[ 2k , 2 3 2k ] 2
上为增函数 [2k , 2k 1 ] 上为减函数（kZ ）
上为增函数（kZ ）

上为减函数（k Z ）
图象
注意：① y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反； y cos x 与 y cos x 的单调性也同样相反.一般地，若 y f ( x) 在 [a, b] 上递增（减），则 y f ( x) 在 [a, b] 上递减（增）.
4
sin sin 2 cos

sin

必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解

第一章三角函数知识点详列一、角的概念及其推广正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角零角：射线不做任何旋转形成的角负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==；（3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一象所在象限的判断例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。

三角函数性质与应用例题和知识点总结

三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。

余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。

正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。

正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。

三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。

设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。

解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。

三角函数图象和性质(总结的很全面不看后悔)

三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时学习目标：1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。

第一部分三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

《三角函数的图象与性质》讲义

《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。

二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。

2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。

3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。

四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。

对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。

2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。

三角函数例题和知识点总结

三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解三角函数的知识点。

一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。

例如，一个直角三角形的一个锐角为θ，对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则sinθ ＝ a/c，cosθ ＝ b/c，tanθ ＝ a/b。

二、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（如 0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。

｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、三角函数的诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如，sin(180° α) ＝sinα，cos(180° α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪线，其值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝π/2 处取得最大值 1，在 x ＝3π/2 处取得最小值－1。

2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的波浪线，值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝ 0 处取得最大值 1，在 x ＝π 处取得最小值－1。

五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 1/2，且α为锐角，求α的度数和cosα的值。

因为sinα ＝ 1/2，且α为锐角，所以α ＝ 30°。

完整三角函数图像与性质知识点与题型归纳解读,文档.docx

●高考明方向1.能画出 y＝ sinx， y＝cosx， y＝ tanx 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2 π]上的性质 (如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数π π在区间－2，2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014 课标全国Ⅱ 14、北京 14 等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法 .一、知识梳理《名师一号》 P55知识点1二、例题分析：（一）三角函数的定义域和值域例 1．（ 1）《名师一号》 P56对点自测3函数 y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为 ____________sinx>0，解析要使函数有意义必须有1cosx－2≥0，sinx>0，2kπ<x<π＋ 2kπ，即1解得ππcosx≥，－＋ 2kπ≤x≤＋2kπ233(k∈Z) ．π∴2kπ<x≤3＋ 2kπ， k∈ Z.π∴函数的定义域为 {x|2kπ<x≤3＋2kπ，k∈Z} ．例 1．（ 2）《名师一号》 P56高频考点例1(1)函数 y＝sinx－cosx的定义域为 ________．2解 :(1) 要使函数有意义，必须有 sinx － cosx ≥0，即sinx ≥cosx ，同一坐标系中作出 y ＝ sinx ，y ＝ cosx ，x ∈ [0,2 π] 的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，ππ＋ 5π，k ∈Z . 函数的定义域为 x 2k π＋≤x ≤2k 44注意：《名师一号》 P56 高频考点例 1 规律方法(1) 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．例 2．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 4πx π 函数 y ＝ 2sin 6 －3 (0≤ x ≤ 9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－ 1－ 33π ππ 7π解: ∵ 0≤x ≤9，∴－ 3≤ 6x －3≤ 6 .π π ∈ － 3，1 .∴sin x －3 6 2 ＋y ＝2－ 3.∴y ∈[ － 3， 2]，∴ ymin max注意：《名师一号》 P56 高频考点例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之一：利用 sinx 和 cosx 的值域 (图像 )直接求；例 2．（ 2） 8 月月考第 17 题(1)17．（分 12 分）已知函数f (x) 3cos 2 x 2cos x sin x sin 2 x ．（ I ）当x [0,] ，求 f (x) 的域；2f (x)3cos 2x2cos xsin xsin 2x1 2cos 2xsin 2x2 cos2 x sin 2x⋯⋯⋯ 2分2( 2 sin 2 x 2cos 2 x)2 2242 sin(2 x4 )2⋯⋯⋯⋯ 3 分,5]，⋯⋯4分x [0,] ， 2x4 [244sin(2 x) [2,1]， ⋯⋯5分4 2f (x) [1, 22] ，即 f ( x) 的域 [1, 2 2] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分注意：《名师一号》P56高频考点例 1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求 y Asin( x) b 的值域如：① y a sin x b cos x合一变换y A sin( x)② ya sin 2 xb sin x cos xc cos 2x降幂 y d sin 2 xecos2 xf合一变换 y A sin(2 x ) b注意弦函数的有界性！变式 : 《名师一号》 P58 特色专题典例 15π若函数 f(x)＝ asinx －bcosx 在 x ＝ 3处有最小值－ 2，则常数 a ， b 的值是 ( A ．a ＝－ 1， b ＝ 3C ．a ＝ 3，b ＝－ 1)B ． a ＝ 1， b ＝－3D ． a ＝－3，b ＝1解: 函数 f(x)＝asinx －bcosx 的最小值为－a 2 ＋b 2.f(x)＝ a 2＋b 2 －φsin(x )其中 cos φ＝ a 2，sin φ＝ b2 2 2 ，a ＋b a ＋b－ a 2＋b 2＝－ 2，a ＝－ 3，则 π 3 1解得f 3 ＝ 2 a －2b ＝－ 2，b ＝1.【名师点评】解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例 2．(3) 《名师一号》 P56 高频考点例 1(2)π 7π当 x ∈ 6， 6 时，函数 y ＝3－sinx － 2cos 2x 的最小值是 ________，最大值是 ________．6π 7π1解 : ∵ x ∈ 6， 6 ，∴ sinx ∈ －2，1 .又 y ＝ 3－ sinx －2cos 2 ＝－－－21x3 sinx 2(1 sin x)7＝2 sinx －4 2＋8.∴当 sinx ＝ 1时， y min ＝7； 4 8当 sinx ＝－12或 sinx ＝1 时， y max ＝ 2.注意：《名师一号》 P56 高频考点例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之三：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: ( 补充)（ 1）求函数 f ( x )tan 2x 1的值域 2x 1tan【答案】1,1（ 2）求函数 f ( x )2sin 2 x 1 x 0,的值域sin 2 x27【答案】3,2sin 2x 1 3sin 2 x cosxf ( x)sin 2 x2sin x cosx3tan2 x113tan x12tan x2tan xQ x0,tan x02Q f ( x ) 1 23tan x132tan x注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域注意约束条件 ----三角函数自身的值域！例 2．（4）( 补充 )求函数 f ( x )sin x cos x sin x cos x的值域1【答案】2,128注意：求三角函数的值域的常用方法之四：《名师一号》 P56问题探究问题3如何求三角函数的值域或最值？③形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t＝sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域 (或最值 )．利用 sin 2x cos2x1转化为二次函数在指定区间上的值域问题变式 :求函数 f ( x )sin x cos x sin x cos x的值域例 2．（ 5）详见第一章第二讲函数值域7．数形结合法：例 7(2)《名师一号》 P14 问题探究问题（ 6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．( 补充 ) 如两点间距离、直线斜率等等求函数y4sin x1 的值域2cos x494sin x1sin x144解 : y2g可视作单位圆外一点2cos x 2cosx2P 2,1与圆 x 2y21上的点cosx,sin x 所连线4段斜率的 2倍, 设过点P2,1的点的直线方程为141 k x2 即 kx y2ky04142k435令1解得 kk 2或 k1412答案： 3 , 526注意：求三角函数的值域的常用方法之五：数形结合法cosx1的值域练习：求函数y x 0,sin x210答案： 0,43cos x1,的值域变式：求函数y xsin x222答案： 0,12拓展: 8 月月考第 16题2 sin( x) 2 x2x函数 f (x)2x24的最大值是M ，最小值是cosxm ，则 M m 的值是.2 sin( x)2x2xsin x cosx 2 x 2x sin x xf ( x)2x412cosx2x2cosx 2 x2cos x，记g (x)sin x x，则 g ( x) 是奇函数且 f (x)1g ( x) ，2x2cos x所以 f ( x) 的最大值是 M1g(x)max，最小值是m1g( x) min，因为 g( x) 是奇函数，所以g (x)max g (x)min0，所以 M m1g( x)max1g( x)min 2 .11（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性例 1．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 5设函数 f(x)＝sin 2x － π，x ∈R ，则 f(x)是( )2A. 最小正周期为 π的奇函数B.最小正周期为 π的偶函数π D.最小正周期为 πC.最小正周期为 2的奇函数2的偶函数答案B例 1．（ 2）《名师一号》P57高频考点例 3（2）(2014 新·课标全国卷Ⅰ )在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝ |cosx|，π π③ y ＝ cos 2x ＋ 6 ，④ y ＝ tan 2x － 4 中，最小正周期为 π的所有函数为 (A ．①②③)B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于 y ＝ cos|2x|＝ cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝ π；由函数 y ＝ |cosx|的图象易知其周期为π；函数 y ＝ cos 2x ＋π的周期2π6为π ππ的函＝ π；函数 y ＝ tan的周期为，故最小正周期为22x － 42数是①②③，故选A.12注意：《名师一号》 P56问题探究问题1如何求三角函数的周期？(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：2πy＝Asin(ωx＋φ)和 y＝ Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，πy＝tan( ωx＋φ)的最小正周期为|ω|.例 1．（3）P58 特色专题典例 2《名师一号》π函数f(x) ＝ sin ωx＋3＋ sin ωx( ω>0)相邻两对称轴之间的距离为 2，则ω＝ ________【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2，即 T＝4.f(x) ＝ sin ωx＋π＋ sinωx＝1sinωx＋3cosωx＋ sinωx＝3 32223π，又因为 f(x)相邻两条对称轴之sin ωx＋2 cosωx＝ 3sin ωx＋6间的距离为 2，所以T ＝ 4，所以2ππ＝4，即ω＝.ω2注意：函数 f(x) ＝ A sin( ωx＋φ)，f(x) ＝ A cos( ωx 【名师点评】＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值13是函数的半周期|π，纵坐标之差的绝对值是ω|2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习 : 《加加练》 P3第11题例 2．（ 1）《名师一号》P57高频考点例3（1）x＋φ(1)若函数 f(x)＝sin3(φ∈[0,2 π是])偶函数，则φ＝ ()π2π3π5πA. 2B. 3C. 2D. 3x＋φ解：(1)∵ f(x)＝ sin3是偶函数，∴f(0)＝±1.φφπ∴sin 3＝±1，∴ 3＝ kπ＋ 2(k∈Z) ．3π∴φ＝3kπ＋2 (k∈ Z) ．3π又∵φ∈ [0,2 π]，∴当 k＝0 时，φ＝2.故选 C.14x ＋φ变式：若函数 f(x)＝sin3(φ∈[0,2 π是])奇函数，则 φ＝？例 2．（ 2）《名师一号》 P57 高频考点例 3（ 3）4π(3)如果函数 y ＝3cos(2x ＋ φ)的图象关于点 3 ，0 中心对称，那么 |φ|的最小值为 ( )π π ππ A. 6 B. 4 C.3 D.2解： (3)由题意得4π2π3cos 2× 3 ＋ φ ＝ 3cos 3 ＋ φ＋ 2π＝ 3cos 2π 2π π＋ φ ＝ 0，∴ ＋ φ＝ k π＋， k ∈ Z.3 3 2ππ∴ φ＝ k π－， k ∈ Z ，取 k ＝ 0，得 |φ|的最小值为6.6注意：【规律方法】(1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x ＝0 时， f(x)取得最大或最小值，若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为奇函数，则当 x ＝ 0 时， f(x)＝ 0.(2)对于函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x ＝ x 0 或点 (x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心15时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．《名师一号》 P56 问题探究问题 4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时， f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时， f(x)＝ 0.如果求 f(x)的对称轴，π只需令ωx＋φ＝2＋ kπ(k∈Z) ，求 x.( 补充 ) 结果写成直线方程！如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z) 即可．( 补充 ) 结果写点坐标！同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于 y＝Atan( ωx＋φ)可求出对称中心．练习1：《名师一号》P58特色专题典例3已知f(x) ＝ sinx＋3cosx(x ∈ R)，函数y＝ f( x＋φ)π|φ|≤ 2 为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】先求出 f(x＋φ)的解析式，然后求解．16π∵ f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝ 2sin x ＋ 3 .π∴ f(x ＋ φ)＝ 2sin x ＋ φ＋ 3 .π π ∵函数 f (x ＋ φ)为偶函数，∴φ＋＝＋ k π， k ∈ Z ，3 2π即 φ＝ 6＋ k π(k ∈ Z) ．π 又∵ |φ|≤，∴ 2πφ＝ 6.练习 2：《计时双基练》 P247第 3 题（四）三角函数的单调性例 1．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 6下列函数中，周期为 π，且在 π π，上为减函数的是 ()4 2 A ． y ＝ sin 2x ＋πB ． y ＝ cos 2x ＋π2 2C ． y ＝ sin x ＋ πD ． y ＝ cos x ＋ π22解析由函数的周期为π，可排除 C ， D.π π上为减函数，排除 B ，故选 A.又函数在，4 2 练习 1：《计时双基练》 P247 第 7 题17函数 y cos2x 的单调递减区间为4练习 2: 《加加练》 P1第 11题（ 2）《名师一号》 P57 高频考点例 2π已知函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin ωx＋ 4 (ω>0) 的最小正周期为 π.(1)求 ω的值；π (2)讨论 f(x)在区间0， 2 上的单调性．π解： (1)f(x) ＝ 4cos ωx·sin ωx＋ 4 ＝ 2 2 sin ωx·cos ωx＋ 2 2cos 2ωx＝ 2(sin2 ωx＋ cos2ωx )＋ 2＝2sin 2ωx＋ π ＋ 2.4 因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω>0.2π从而有 2ω＝ π，故 ω＝ 1.(2)由 (1) 知， f( x) ＝2sin 2x ＋π＋ 2.4πππ 5π若 0≤ x ≤ ，则 ≤ 2x ＋ ≤4 .2 4 4ππ ππ当 4≤ 2x ＋ 4≤2，即 0≤ x ≤ 8时， f(x)单调递增；ππ 5π π π当 2≤ 2x ＋ 4≤4，即 8≤ x ≤ 2时， f(x)单调递减．18π综上可知， f(x)在区间0，8上单调递增，π π在区间8，2上单调递减．注意：《名师一号》 P56 问题探究问题 2如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” ．(2)求形如 y＝ Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例 2．《名师一号》 P58 特色专题典例4(2014 ·全国大纲卷 )若函数 f(x)＝ cos2x＋asinx 在区π π间6，2是减函数，则 a 的取值范围是 ________．【规范解答】先化简，再用换元法求解．219π π 令 t ＝ sinx ，∵ x ∈ 6 ，2 ，∴ t ∈ 1， 1 .21∴ g(t)＝ 1－ 2t 2＋ at ＝－ 2t 2＋ at ＋ 1 2<t<1 ，由题意知－a≤ 1，∴ a ≤ 2.2× －2 2 ∴ a 的取值范围为 (－∞， 2]．课后作业一、计时双基练 P247 基础 1-11 、课本 P56 变式思考 1二、计时双基练 P247 培优 1-4课本 P56 变式思考 2、3预习第五节练习：1、设函数 f(x)＝2sin(x ＋ )．若对任意 x ∈R ，都有25f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则 |x 1－ x 2 |的最小值为 ( )A ．4B ． 2C ． 11 D.分析： ∵ f(x)的最大值为 2，最小值为－ 2，220∴对? x∈ R，－ 2≤f(x)≤2.取到最值时 x＝＋ kπ， |x1－ x2|取最小值，即f(x )为最小值， f(x 2))， (x ， f(x))为)为最大值且 (x ， f(x121122相邻的最小 (大 )值点，即半个周期．解析： f(x)的周期 T＝ 4， |x －x |＝＝ 2.1 2 min T故选 B.22、为了使函数y sin x(0)在区间 [ 0,1] 上至少出现50次最大值，求的最小值。

第15节-三角函数的的图象及性质(解析版)

第15节三角函数的图象及性质基础知识要夯实1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域R R {x |x R ∈x ≠k π＋2π}值域[－1，1][－1，1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦[2k π－π，2k π],22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭递减区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦[2k π，2k π＋π]无对称中心(k π，0),02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭,02k π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴方程x ＝k π＋2πx ＝k π无核心素养要做实考点一三角函数的单调性角度1求三角函数的单调性【例1－1】（2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）πT =,,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）332+【解析】（1）22()sin 3sin cos 2cos f x x x x x=++1cos 23sin 2(1cos 2)22x x x -=+++313sin 2cos 22223sin 262x x x π=++⎛⎫=++⎪⎝⎭[来源:学科网ZXXK]∴()f x 的最小周期2ππ2T ==；由题意得令222()262k x k k Z πππππ-++∈ ，得：()36k x k k Z ππππ-++∈，∴函数()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）知()f x 在区间,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上为增函数；∴()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数；即()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数；∴()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值max 3()()sin(2)121262f x f πππ==⋅++=3+32角度2已知单调性求参数【例1－2】（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）0>ω函数()sinsin 22x x f x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题得111()=sincos sin x 222f x wx wx w =，所以函数的最小正周期为2T wπ=,因为函数()sin sin 22x x f x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，所以24w 324w4ππππ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，又w＞0，所以302w <≤.故选B【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【跟踪训练】1.已知函数()231sin sin (0)222x f x x ωωω=-+>的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的取值范围.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()31cos 131sin sin cos sin 222226x f x x x x x ωπωωωω-⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Zππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.2.已知函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在(),2ππ上单调递减，在()2,3ππ上单调递增，则()f π=()A ．1B ．2C ．1-D ．3【答案】A【解析】∵函数()f x 在(),2ππ上单调递减，在()2,3ππ上单调递增，∴当x 2π=时，函数()f x 取得最小值，∴322,62k k Z ππωππ+=+∈，∴2,3k k Z ω=+∈．又232,0T ππππωω=≥-=>，∴01ω<≤，∴23ω=，∴()22sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴25()2sin 2sin 1366f ππππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭．选A．3．若函数()()()sin 0f x xw w =>在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是()A ．0≤ω≤23B ．0≤ω≤32C ．23≤ω≤3D ．32≤ω≤3【答案】D 【解析】令22k ππ+≤ωx 322k ππ≤+（k ∈Z ），则22k ππωω+≤x 322k ππωω≤+∵函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，∴223k πππωω+≤且3222k πππωω+≥当0k =满足题意，∴332ω≤≤故选：D ．考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性多维探究【例2】1.（2020·上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在(0,)π上单调递增的是（）.A ．tan ||y x =B ．cos()y x =-C ．sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cot 2xy =【答案】C【解析】对于函数tan ||y x =，当2x π=时无意义，在()0,π上不单调，故A 不正确；函数cos()cos y x x =-=在(0,)π上单调递减，故B 不正确；函数sin cos 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是偶函数，在(0,)π上单调递增，故C 正确；当(0,)x π∈时，函数1cot2tan 2x y x ==单调递减，故D 不正确.故选：C2.．（2022·四川省高一期末）函数()()sin 2cos 22y x x ππ=-+是（）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为4π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【答案】C【解析】由题得()()1sin 2cos 22sin 2cos 2sin 42y x x x x x ππ=-+=-=-，设1()sin 42f x x =-，函数的定义域是R ,所以函数的最小正周期为2=42ππ，由于11()sin(4)sin 4()22f x x x f x -=--==-，所以函数是奇函数.故选：C.3.．（2022·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（）A ．若α，β是第一象限角，且αβ<，则tan tan αβ<B ．函数3cos 22x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数C ．8x π=是函数5cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴D ．32sin 2y x =在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值为2-.【答案】B【解析】对于A ，若4πα=，136βπ=，满足α，β是第一象限角，且αβ<，但是tan tan αβ<不成立，故A 错误；对于B ，33cos sin 222x x y π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()3sin2x f x =-，则()33sin sin 22x xf x --=-=，所以()()f x f x =--，所以3cos 22x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确；对于C ，5cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，524x k ππ+=()k Z ∈，解得582k x ππ=-+()k Z ∈，所以8x π=不是函数5cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故C 错误；对于D ，32x ππ-≤≤，∴33224x ππ-≤≤，∴31sin 12x -≤≤，∴322sin 22x -≤≤，∴32sin 2y x =在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值为2-，故D 错误.故选：B.4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．sin 2y x =B ．cos2xy =C ．sin 2cos 2x x+D ．221tan 1tan xy x-=+【答案】D【解析】sin 2y x =为奇函数，排除；cos2xy =的周期为4T π=，排除；sin 2cos 2x x +是非奇非偶函数，排除；()221tan 1tan xy f x x -==+，()()()()22221tan 1tan 1tan 1tan x x y f x f x x x --=-===+-+-，为偶函数.2222221tan cos sin cos 21tan cos sin x x xy x x x x--===++，T π=，故D 满足.故选：D.【跟踪训练】1．下列函数中为奇函数的是（）A ．|sin |y x =B ．sin y x x=C ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin y x x=-【答案】D【解析】记每个函数为()y f x =，A 中()sin()sin ()f x x x f x -=-==，是偶函数，错；B 中()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，是偶函数，错；C 中函数原点不是对称中心，y 轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错；D 中函数()sin()()sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，是奇函数，正确．故选：D ．2．能使sin(2)3cos(2)y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（）A ．5π3B ．43πC ．23πD ．3π【答案】C【解析】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C.3．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是()A ．sin 2y x =B ．cos2xy =C ．sin 2cos 2y x x =+D ．|sin |y x =【答案】D【解析】函数sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，且为奇函数，所以A 不正确；函数cos 2xy =的最小正周期为2412ππ=，所以B 不正确；函数sin 2cos 22sin 24y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22ππ=，非奇非偶函数，所以C不正确；函数|sin |y x =的最小正周期为1ππ=，且为偶函数，故D 正确.故选：D 4．在下列函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的是（）A ．y =sinx B ．y =cos 2xC ．|sin |y x =D ．|sin 2|y x =【答案】C【解析】逐一考查所给函数的性质：A .y =sinx ，函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，函数的最小正周期为2π，函数为奇函数；B .y =cos 2x ，函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，函数的最小正周期为π，函数为偶函数；C .|sin |y x =，函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，函数的最小正周期为π，函数为偶函数；D .|sin 2|y x =，函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是不具有单调性，函数的最小正周期为2π，函数为偶函数.综上可得，只有选项C 中的函数符合题意.故选C .达标检测要扎实一、单选题1．函数sin ,[0,2]y x x π=∈与12y =图像交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数sin y x =在[0,2]π上的图象，并作出直线12y =，如图：观察图形知：函数sin y x =在[0,2]π上的图象与直线12y =有两个公共点，所以函数sin ,[0,2]y x x π=∈与12y =图像交点的个数为2.故选：C 2．已知集合1cos 2A αα⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}0B ααπ=<<，A B C = ,则C =A ．06παα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．32ππαα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．03παα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．3πααπ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】∵1cos 2A αα⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}0B ααπ=<<∴1|0230cos A B απααααπ⎧⎫⎧>⎪⎪⎪⎧⎫⋂==<<⎨⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭即03C παα⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭故选Ｃ3．已知函数2sin()4y x π=+，当y 取得最小值时，tan x 等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-【答案】A【解析】函数2sin()4y x π=+，当y 取得最小值时，有3242x k πππ+=+，故524x k ππ=+，k Z ∈．5tan tan 2tan 144x k πππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈．故选：A ．4．下列四个函数，以π为最小正周期，且在区间2ππ（，）上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．cos y x=C ．tan y x=D ．cos 2y x=【答案】A【解析】|sin |y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上|sin |sin y x x ==单调递减；cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；cos 2y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；故选：A.5．下列函数是奇函数的是（）A ．()cos f x x x =+B ．()2cos f x x x=+C ．()sin f x x x =+D ．()2sin f x x x=+【答案】C【解析】选项A ，()()()cos cos f x x x x x f x-=-+-=-+≠-，所以()f x 不是奇函数.选项B ，()()()()22cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=，显然()()f x f x -≠-，所以()f x 为偶函数，不是奇函数.选项C ，()()()()()sin sin f x x x x x f x-=-+-=-+=-，所以()f x 是奇函数.选项D ，()()()()22sin sin f x x x x x f x -=-+-=-≠-，所以()f x 不是奇函数.故选：C.6．若点,26P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()()sin 0,2f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为2π，则（）A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的值域为[]0,4C ．()f x 的初相3πϕ=D ．()f x 在4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D【解析】由题意得()62k k Z m πωϕπ⎧-+=∈⎪⎨⎪=⎩，且函数的最小正周期为422T ππ=⨯=，故21T πω==.代入()6k k Z πωϕπ-+=∈，得()6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ.所以()sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故函数()f x 的值域为[]1,3，初相为6π.故A ，B ，C 不正确，当4[,2]3x ππ∈时，313[,]626x πππ+∈，而sin y x =在313[,]26ππ上单调递增，所以()f x 在4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确.故选：D.7．下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.8．已知函数()sin sin (0,0)3f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭的最大值为3，且()f x 在[0,]π上的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数ω的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】依题意()1313sin cos sin sin cos 2222f x x x a x a x x ωωωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2213322a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，由于0a >，故①解得1a =.所以()33sin cos 3sin 226f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由于0,0x ωπ>≤≤，所以666x πππωωπ≤+≤+，依题意()f x 在[0,]π上的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1sin ,162x πω⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以5266πππωπ≤+≤，解得12,33ω∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A9．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[],ππ-上的图象大致如图，将该图象向右平移()0m m >个单位后所得图象关于直线6x π=对称，则m 的最小值为（）A ．4πB ．29πC ．518πD ．3π【答案】C【解析】根据五点法作图知：4962πππω-+=-，解得：32ω=，()3cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 向右平移m 个单位得：()33cos 262f x m x m π⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，()f x m - 图象关于6x π=对称，()332662m k k Z πππ∴⨯+-=∈，解得：()52183m k k Z ππ=-∈，由0m >，可令0k =得m 的最小值518π.故选：C.10．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C【解析】由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减，所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=.故选：C.11．若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（）A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>- ⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>- ⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈，当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增，又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=，又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭.故选：C.12．函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>图像上一点()(),22P s t t -<<向右平移2π个单位，得到的点Q 也在()f x 图像上，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，且满足()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02ff π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为（）A ．(2,2⎤--⎦B ．2,2⎡⎤--⎣⎦C ．)2,2⎡⎣D ．2,2⎡⎤⎣⎦【答案】A 【解析】如图假设()0,0P ，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，则2PQ π=，所以由分析可得22PQ T π==，所以T π=，可得222T ππωπ===，因为()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以488f x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8x π=是()f x 的对称轴，所以()282k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()4k k Z πϕπ=+∈，()()2sin 2sin 02sin 2f f ππϕϕϕ⎛⎫-=-+=->= ⎪⎝⎭，所以sin 0ϕ<，可令1k =-得34πϕ=-，所以()32sin 24x x f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令332,444x t πππ⎡⎤-=∈-⎢⎥⎣⎦，则()2sin f x t =，3,44t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦作()f t图象如图所示：当34t π=-即0x =时3y =-，当2t π=-即8x π=时，2y =-，由图知若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为(2,2⎤--⎦，故选：A 二、填空题13．若函数sin 33ky x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期不大于1，则正整数k 的最小值为___________．【答案】19【解析】因为函数sin 33ky x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期不大于1，所以213T k π=≤，解得6k π≥，所以正整数k 的最小值为19，故答案为：1914．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的x ∈R ，不等式2(cos 2sin )(sin )0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 取值范围是_______．【答案】](--3∞，【解析】不等式2(cos 2sin )(sin )0f x x f x a ++-≤恒成立，即2(cos 2sin )(sin )f x x f x a +-- 恒成立又()f x 是奇函数，(sin )(sin )f x a f x a --=-+∴不等式2(cos 2sin )(sin )f x x f x a +-+ 在R 上恒成立函数()f x 在其定义域R 上是减函数，2cos 2sin sin x x x a ∴+-+ ，即2cos 3sin x x a + 2sin 3sin 1x x a ∴-++≥，当sin 1x =-时2sin 3sin 1x x -++有最小值3-．因此3a - ，故答案为：](--3∞，15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ ，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______【答案】15【解析】由题意知函数()()sin 024f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+≤= ⎪⎝⎭＞，，为y ＝f （x ）图象的对称轴，4x π=-为f （x ）的零点，∴214n +•22ππω=，n ∈Z ，∴ω＝2n +1．∵f （x ）在区间1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上有最小值无最大值，∴周期T ≥（2412ππ+）8π=，即28ππω≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得4π-⨯15+φ＝kπ，φ4π=-，函数为y ＝f （x ）＝sin （15x 4π-），在区间1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上，15x 4π-∈[32π-，38π），此时f （x ）在12x π=-时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.16．若函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与直线1y =只有两个公共点，则ω的取值范围是___________.【答案】[)()17,2527,33U 【解析】因为,,0124x ππω⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦，所以,412444x πωππωππω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，令4t x πω=+，由已知得()sin 14f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，可知sin 1t =在,12444t ωππωππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上有两个解，由题意得522()2124291322()2442k k k k k k πωππππππωπππππ⎧+<+≤+∈⎪⎪⎨⎪+≤+<+∈⎪⎩Z Z ，解得3242724()178258()k k k k k k ωω+<≤+∈⎧⎨+≤<+∈⎩Z Z 当1k ≤-时，2724178k k +<+，不等式组无解.当0k =时，3271725ωω<≤⎧⎨≤<⎩，得1725ω≤<.当1k =时，27512533ωω<≤⎧⎨≤<⎩，得2733ω<<.当2k ≥时，258324k k +<+，不等式组无解.综上，ω的取值范围是[)()17,2527,33U .故答案为：[)()17,2527,33U 三、解答题17．求下列函数的定义域.（1）sin y x =；（2）sin cos tan x xy x+=.【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域，∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数sin y x =的定义域为{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩∴,2k x k Z π≠∈.∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.18．求函数()tan f x x =的最小正周期，并证明.【解析】由正切函数的性质，可得函数()tan f x x =的最小值正周期为1T ππ==.证明如下：由函数()tan f x x =，根据三角函数的诱导公式可得()tan()tan f x x x ππ+=+=，即()()f x f x π+=，所以函数()tan f x x =的周期为π.19．当[]2,2x ππ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）sin y x =-；（2）sin y x =；（3）sin y x =.【解析】（1）该图象与sin y x =的图象关于x 轴对称，故将sin y x =的图象作关于x 轴对称的图象即可得到sin y x =-的图象.（2）sin ,2,0,sin sin ,0,2,x x x y x x x x ππππππ--⎧==⎨--⎩将sin y x =的图象在x 轴上方部分保持不变，下半部分作关于x 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.（3）sin ,0,sin sin ,0,x x y x x x ⎧==⎨-<⎩将sin y x =的图象在y 轴右边部分保持不变，并将其作关于y 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.20．不求值，指出下列各式大于零还是小于零.（1）sin 25sin 72︒-︒；（2）1615sin sin 34ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）因为0257290︒<︒<︒<︒，又因为()sin f x x =在[0,]2x π∈上为单调递增函数，所以sin 25sin 72︒<︒，所以sin 25sin 720︒-︒<.（2）因为1616sin sin sin 5sin sin 33333πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1515sin sin sin 4sin 4444πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432πππ<<<，由()sin f x x =在[0,]2x π∈上为单调递增函数，所以sin sin 43ππ<，所以1615sin sin 34ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1615sin sin 034ππ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21．已知函数()sin cos y f x x x ==+，试根据下列要求研究函数()f x 的性质.（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）求证：2π是函数()f x 的一个周期；（3）写出函数()f x 的单调区间（不必证明），并求函数()f x 的最值.【解析】（1）函数()f x 定义域D =R ，任取x D ∈，()()()sin cos f x x x -=-+-()sin cos x x f x =+=，所以，函数()f x 是偶函数；（2）任取x D ∈，()sin cos cos sin 222πππf x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 是周期函数，2π是它的一个周期；（3）由函数周期性，可先研究()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性和最值.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的单调递增区间是11,224πkπkπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），单调递减区间是11,2422ππkπkπ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.函数()f x 的最大值为2，最小值为1．22．设函数()sin 22cos 24f x x x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，x ∈R ，m R∈（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值.【解析】（1）()sin 22cos 24f x x x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin 2cos 244x x x m ππ=-++22sin 2cos 222x x m =++sin 24x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最小正周期22T ππ==由()222242k x k k z πππππ-+≤+≤+∈∴()388k x k k z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的增区间为()3,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：()3,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当04x π≤≤，32444x πππ≤+≤当244x ππ+=或3244x ππ+=即0x =或4x π=时，()f x 取最小值为22m+由202m +=∴22m =-故答案为：22m =-。

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三角函数的图像和性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2
3π
,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2
3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =
图
象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值当
22
x k π
π=+
时，
max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．
当2x k π=时，
max 1y =；当2x k ππ=+
时，min
1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
奇函数偶函数奇函数
单
调
性在2,22
2k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
上是增函数；在32,22
2k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦
上是减函数．在[]2,2k k πππ-上是增函
数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
上是增函数．
对称
性对称中心(),0k π 对称轴2
x k π
π=+
对称中心,02k π
π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
对称轴x k π=
对称中心,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
无对称轴
函
数性
质
例作下列函数的简图
(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]
例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：
21sin )1(≥
x 21
cos )2(≤
x
3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意：周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做
()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一
般称为周期）
正弦函数、余弦函数：ωπ=
2T 。

正切函数：π
ω
例求下列三角函数的周期：
1︒ y=sin(x+3
π
) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x
例求下列函数的定义域和值域：
（1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x =
例5求函数sin(2)3
y x π
=-
的单调区间
例不求值，比较大小(1)sin(－
18π)、sin(－10π)； (2)cos(－523π)、cos(－4
17π)．解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． (2)cos(－523π)＝cos 5
23π
＝cos 53π
且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数 cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4
π
∴sin(－10π)＜sin(－18π) ∵0＜4π＜53π
＜π
即sin(－18π)－sin(－10
π
)＞0 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数
∴cos 53π＜cos 4π
即cos 53π－cos 4π＜0
∴cos(－523π)－cos(－4
17π
)＜0
4、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的图像：（1）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的有关概念： ①振幅：A ； ②周期：2π
ω
T =； ③频率：12f ω
π
=
=
T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ． (2) 振幅变换
①y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的②它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
③若A<0 可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折
A 称为振幅，这一变换称为振幅变换
(3) 周期变换
①函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
ω
1
倍（纵坐标不变） ②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
(4) 相位变换
一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变
换
5、小结平移法过程（步骤）
6、函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =
-，()max min 12y y B =+，()21122
x x x x T
=-<．
例如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜
2
π
的一段图象，则f （x ）的表达式为
例如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
A A ＝3，Ｔ＝
34π，φ＝－
6π B A ＝1，Ｔ＝
34π
，φ＝－43π
C A ＝1，Ｔ＝
32π
，φ＝－43π
D A ＝1，Ｔ＝
3
4π
，φ＝－6
π
作y=sinx （长度为2π的某闭区间）得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一
沿x 轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短
沿x 轴平移|ωϕ|个单位纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短图e
例画出函数y ＝3sin(2x ＋
3π
)，x ∈R 的简图解：(五点法)由T ＝2
2π
，得T ＝π 列表：
x
–6π 12π 3
π
127π 6
5π 2x +3π 0 2π π
2
3π 2π 3sin(2x +3
π
) 0 3 0
–3
例求函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性解：由2
3
3π
ππ
+
≠-
k x 得18
53π
π+
≠
k x ， ∴所求定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
∈z k k x R x x ,1853,|ππ且值域为R ，周期3
π
=
T ，是非奇非偶函数
在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数例已知函数y =si n 2x +3cos2x -2
(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象 (2)求这个函数的周期和单调区间 (3)求函数图象的对称轴方程
(4)说明图象是由y =si nx 的图象经过怎样的变换得到的
解：y =sin2x +3cos2x -2=2sin(2x +3
π
)-2 (1)列表
x
6
π-
12π 3π π127 π6
5 3
2π
+
x
2
π π
π2
3 2π 2)3
2sin(2-+=π
x y
-2
-2
-4
-2
其图象如图示 (2)22π
=
T =π 由-2π+2k π≤2x +3π≤2π
+2k π，知函数的单调增区间为
［-5π+k π,π
+k π］,k ∈
由
2π+2k π≤2x +3π≤23
π+2k π，知函数的单调减区间为［12π+k π,12
ππ+k π］,k ∈Z (3)由2x +3π=2
π
+k π得x =12π+2k π∴函数图象的对称轴方程为x =12π+2
k
π,(k ∈Z )
(4)把函数y 1=sin x 的图象上所有点向左平移3π个单位，得到函数y 2=si n (x +3π
)的图象；
再把y 2图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y 3=sin (2x +3
π
)的图象；
再把y 3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y 4=2sin (2x +3
π
)的图象；
最后把y 4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y =2sin (2x +3
π
)-2的图象。