(完整版)三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2

3π

,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2

3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =

图

象

定义域 R R

,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最

值 当

22

x k π

π=+

时，

max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．

当2x k π=时，

max 1y =；当2x k ππ=+

时，min

1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π 2π

π

奇偶性

奇函数 偶函数 奇函数

单

调

性 在2,22

2k k π

πππ⎡⎤

-

+

⎢⎥⎣

⎦

上是增函数； 在32,22

2k k ππππ⎡

⎤++⎢⎥⎣

⎦

上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函

数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．

在,2

2k k π

πππ⎛

⎫

-

+

⎪⎝

⎭

上是增函数．

对称

性 对称中心(),0k π 对称轴2

x k π

π=+

对称中心,02k π

π⎛⎫+ ⎪⎝

⎭

对称轴x k π=

对称中心,02k π⎛⎫

⎪⎝⎭

无对称轴

函

数 性

质

例作下列函数的简图

(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]

例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：

21sin )1(≥

x 21

cos )2(≤

x

3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做

()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一

般称为周期）

正弦函数、余弦函数：ωπ=

2T 。正切函数：π

ω

例求下列三角函数的周期：

1︒ y=sin(x+3

π

) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x

例求下列函数的定义域和值域：

（1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x =

例5求函数sin(2)3

y x π

=-

的单调区间

例不求值，比较大小(1)sin(－

18π)、sin(－10π)； (2)cos(－523π)、cos(－4

17π)． 解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． (2)cos(－523π)＝cos 5

23π

＝cos 53π

且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数 cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4

π

∴sin(－10π)＜sin(－18π) ∵0＜4π＜53π

＜π

即sin(－18π)－sin(－10

π

)＞0 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数

∴cos 53π＜cos 4π

即cos 53π－cos 4π＜0

∴cos(－523π)－cos(－4

17π

)＜0

4、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的图像： （1）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的有关概念： ①振幅：A ； ②周期：2π

ω

T =； ③频率：12f ω

π

=

=

T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ． (2) 振幅变换

①y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

③若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折

A 称为振幅，这一变换称为振幅变换

(3) 周期变换

①函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变） ②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图

ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换

(4) 相位变换