第四章图形的相似
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用两边及夹角判定三角形相似
BC AB 4
44
想一想
如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三
角形.由此你能得到什么结论?
4 cm 3.2 cm
如果两个三角形两边对应成比例， 50°
但相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形不一定相似，相等的 2 cm 1.6 cm
A
∴ AB AE . 又∵∠DAB =∠CAE， D AC AD
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC .
B
∴ △ABC ∽△AED .
E C
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练
1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，
AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使 △ABC ∽ △DBA 的条件 ( D )
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC D. AB2 = BD ·BC → AB BC
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
第四章+图形的相似相似三角形判定定理的证明+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
考向3 网格中的相似（结合位置关系）
第7题图
7.(2022·河北市)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点 ， 的连线与钉点 ， 的连线交于点 ，则：
（1） 与 是否垂直?____（填“是”或“否”）；
是
（2） _ ___.
中考热点1 正方形中的相似（多结论问题）
C
A. 平分 B. C. D.
2.如图，已知 .求证: .
证明： ， ， ， ， .
3.如图所示，在 中， ， .
（1）若 ，求 的长;
解： ， ， ， ，
（2）若 ，求 的长.
[答案] ， .
4.如图， 与 都是等边三角形， ，下列结论中: ; ; .正确的序号是______.
解：③理由如下： ， ， ，又 ， .选①也可以.
考向1 相似的条件与判定
第5题图
5.如图，无法保证 与 相似的条件是( )
B
A. B. C. D.
考向2 相似的性质
第6题图
6.(2022·武威市)如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 __ .
[答案] 过点 作 于点 ，连接 .
四边形 是平行四边形， ， ，
平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， . ， ， .
课后强化
1.(2022·山东济南期中)如图，在四边形 中，已知 ，则补充下列条件后不能判定 和 相似的是( )
（1）当四边形 是矩形时，如图1，求证: ; ；
解：连接 ，过点 作 于点 四边形 是矩形， ， 平分 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， .
（2）当四边形 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
第四章图形的相似位似、投影、视图
位似、投影、视图教学目标1、掌握位似的概念及比例、坐标的计算；2、熟悉投影及比例的计算；3、掌握三视图。
重难点分析重点：1、位似与比例计算；2、位似与坐标计算；3、投影与比例计算；4、视图的读取。
难点：1、位似、投影中的相似与计算。
知识点梳理1、相似的进一步学习（1）证明三角形相似；（2）相似性质的应用。
'2、如果两个相似多边形每组对应顶点A、A'的连线都经过同一个点O，且有OA=kAO⋅（0≠k），那么这两个相似多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
3、画位似图形的步骤：（1）确定位似中心（可以在图形外部、内部、某一边上、某一顶点）；（2）连接图形各顶点与位似中心的连线（延长线）；（3）按相似比取点；（4）顺次连接个点，所得图形就是所求图形。
4、位似图形的坐标变化规律5、中心投影与平行投影6、物体的视图：主视图、左视图、俯视图知识点1：相似的进一步认识△中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.【例1】已知：如图，在ABC（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.【随堂练习】△中，D是AB上一点， E是AC上一点，1、已知: 如图，在ABC且∠ADE =∠ACB.（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若DE: CB=3:5 ，AE=4, 求AB的长.2、已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；的值．（2）若AB=4，求AE DE3、如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.影子三角尺灯泡O AA'知识点2：位似图形的识别与画法【例1】如图，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，下面的说法中：①ABC ∆与DEF ∆是位似图形； ②ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：2；③ABC ∆与DEF ∆的周长之比为2：1； ④ABC ∆与DEF ∆的面积之比为4：1．正确的是【 】 A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【例2】如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的94，则 AB ：DE= ．【随堂练习】 1、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是【 】 A ．5：2 B ．2：5 C ．4：25 D ．25：42、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画．．．．出．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1．3、如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD=OD ′，则A ′B ′:AB 为【 】A.2:3B.3:2C.1:2D.2:14、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点)0,2(-A ，)2,1(-B ，请以为位似中心，将OAB ∆放大，使放大后的B A O ''∆与的对应线段比为1:2【例3】如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）．（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ；（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为 ，点B 的对应点D 的坐标为 ．【例4】如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A 、B 的对应点分别为A ′，B ′，A ′，B ′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为【 】 A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（2m ，2n ） D ．（m ，2n）【例5】如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为31，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为【 】 A ．（3，2） B ．（3，1） C ．（2，2） D ．（4，2）【随堂练习】1、如图，在直角坐标系中，△OAB 和△OCD 是位似图形，O 为位似中心，若A 点的坐标为（1，1），B 点的坐标为（2，1），C 点的坐标为（3，3），那么点D 的坐标是 ．2、如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD ．若B （1，0），则点C 的坐标为______________.3、如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形， P 是位似中心，若点B 的坐标为（2，4），点E 的坐标为（﹣1，2），则点P 的坐标为【例6】图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是【 】 A ．点M B ．点N C ．点O D ．点P【随堂练习】1、如图，ABO ∆与O B A '''∆是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．2、如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ．【例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．【例8】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；（2）点B′的坐标为（，）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（）【随堂练习】1、已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）B（3，﹣2）C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．2、将图中的四边形作下列运动，画出相应的图形，并写出各个顶点的坐标；（1）关于y轴对称的四边形A′B′C′D′；（2）以坐标原点O为位似中心，放大到原来的2倍的四边形A″B″C″D″．知识点3：中心投影与平行投影【例1】下图是我国北方某地一棵树在一天不同时刻拍下的五张图片，说出这五张图片所对应时间的先后顺序.【例2】如图，晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长在地面上的变化情况是【】A、逐渐变短B、先变短后变长C、先变长后变短D、逐渐变长【随堂练习】1、如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在【】A.△ACEB.△BFDC.四边形BCEDD.△ABD2、把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是【】A． B． C． D．3、夜晚当你靠近一盏路灯时，你发现自己的影子是【】A．变短 B．变长 C．由短变长 D．由长变短【例3】小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长＝_____。
第四章图形的相似 讲义
第四章 图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）。
2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足d c b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段。
2. 判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）。
注意：当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论。
3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项。
4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项。
5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则d c b a =。
3. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则dkd c b kb a ±=±。
4. 等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）。
考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离为 _千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．25.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若 35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则b ac a -+= ． 4.已知53f e d c b a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= .5.已知k c b a b c a a c b =+=+=+，则 k=6.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为7.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．8.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长。
九年级数学上册第四章图形的相似回顾与思考上课pptx课件新版北师大版
16.如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三 角形截去一块，使它变为与图(1)相似的图形.
沿着直线l截去上面一块，就可以变为与图（1）相似的图形
19.如图，在平面直角 坐标系中，以原点О 为位似中心画一个四 边形，使它与矩形 OBCD位似，且相似 比为1∶2．你有几种 方法？
y
4 回顾与思考
北师版九年级上册
复习回顾
相似图形
比例线段 相似三角形 位似
比例的基本性质
比例线段
平行线分线段成比例
判定 性质
应用
【点击图片中有下划线的文字跳转到相应界面】
相似三角形判定定理1
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形判定定理3
三边成比例的两个三角形相似.
6
4D
C
D′(0,22) B′′(-4,0)
-4 -2 O
C′(4,2)
B′(4,0) B
246 8
x
-2 C′′(-4,-2) D′′(0
21.一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为 1.5m，怎样才能把它加第四章图形的相似工成一个无拼接 的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如 图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求 （加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.
23.如图，△ABC的三边长分别为a， b，c ( a>b > c )，
△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1， △ABC∽△A1B1C1 ，相似比为k (k>-1) .
(1)若c=a1，求证：a = kc； (2)若c =a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1 ，使 得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数； (3)若b=a，c=b1，是否存在△ABC和△ABC使得k=2？请说 明理由.
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.3 相似多边形课
AB 6 4 BC 8 4
AB BC
又因为矩形的四个角都是直角，
所以矩形 ABCD 与矩形 ECDF 的四个角都对应相等，
所以矩形 ABCD∽矩形 ECDF.
3 相似多边形
【归纳总结】判断两个多边形相似需满足的条件： (1)对应边成比例； (2)对应角相等． 两者缺一不可．
3 相似多边形
例 2 [教材补充例题]已知：如图 4－3－2，梯形 ABCD 与梯形 A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4， A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.
[解析] 要求另一个多边形的周长，可利用相似多边形的 对应边成比例，先求出它每一条边的长，然后相加即可得周长．
3 相似多边形
解：设长为 1，2，3，4 的边的对应边的长分别为 a，b，c，d， 根据相似多边形的对应边成比例，得 a1＝b2＝c3＝d4＝75，解得 a＝75，b＝154，c＝251，d＝258. 所以另一个多边形的周长为 a＋b＋c＋d＋7＝75＋154＋251＋258＋7＝ 21. (也可由比例的性质得到a＋b＋c＋d＋7＝7，
3 相似多边形
【归纳总结】利用相似多边形的性质求边长或角 度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是 解决问题的关键．需要注意的是对应边是比相等，而 对应角是直接相等．
3 相似多边形
备选目标 相似多边形边、角的计算
例一个多边形的边长分别是 1，2，3，4，5，与其相似 的另一个多边形的最大边长是 7，求它的周长．
第四章 图形的相似
3 相似多边形
第四章 图形的相似
第3课时 相似多边形
知识目标 目标突破 总结反思
3 相似多边形
知识目标
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似PPT课件
第1节 成比例线段 第1课时
教学目标
1.结合实例了解线段的比及成比例线段的概念. 2.掌握比例的基本性质及其简单的运用.
教学重难点
重点：成比例线段及比例的基本性质. 难点：比例的基本性质的灵活运用.
情景导入
全等形
回忆
指能够完全重合的两个图形，即中，同学们还见过哪些 形状相同但大小不一定相等的图形？
（请讨论）
情景导入
黄山松
情景导入
情景导入
这几组图片有什么相同的地方？
1.如果选用 同一个 长度单位 量得 两条线段AB、CD
的 长度 分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶
CD=m∶n，或写成
.其中，线段AB、CD分别叫
课堂小结
1.知道了可用相应线段长度的比来描述形状相同的 图形的大小关系. 2.成比例线段. 3.比例的基本性质.
布置作业
完成《课堂1+1》p36“课后练案”
谢谢！
第四章 图形的相似
第1节 成比例线段 第2课时
教学目标
1.掌握等比性质，并能灵活运用它解决有关问题. 2.了解合比、分比的性质.
（2）∵a=2cm,c=6cm,b=30m=3000cm,d=1000cm, ∴
则 ∴a、c、d、b是成比例线段.
6.直角三角形的斜边与斜边上的中线的比是 2 .
7.某图纸的比例尺是1∶20,图上零件长32mm,则实际长 为 64 cm.
8.已知线段a=3厘米，线段b=13毫米，则a与b的比是 （C）
解：2000m=200000cm, 这个地图的比例尺为：2∶200000=1∶100000.
点评：求线段的比时，要特别注意比的前项与后项的单位要 一致.
九年级数学上册第四章图形的相似-图形的位似课件
第四章 图形的相似
考场对接
题型五 以原点为位似中心的位似变换
例题5 如图4-8-14 , 在Rt△ OAB 中 ,
∠OAB=90°, 且点B的坐标为(4, 2)．
(1) 画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 °
后的
；
(2)以坐标原点O为位似中心, 按1∶2的位似
比 在y轴的右侧画出
缩小后的 ．
课后作业 1.完成导学案剩余练习 2.完成数学作业本相应练习。
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第四章 图形的相似
考场对接
题型一 确定位似中心
例题1 如图4-8-9所示 , 将 △ ABC 的三 边分别扩大为原来的 2 倍得到 ( 顶点均在格点上 ) , 它们是以点P为位 似 中心的位似图形, 则点P的坐标是( A
考场对接
题型二 应用位似图形的性质进行计算
例题2 如图4-8-10, 已知△ADE与△ABC是 位似 图形, 且DE垂直平分AC. (1)求∠C的度数； (2)求△ A DE 与 梯 形 DECB的面积比.
第四章 图形的相似
考场对接
分析 抓住位似图形与相似图形的关系, 再利用相似三角形的性质 计算.
2.位似的三要素即是判定位似 的依据，也是位似图形的性质.
目标检测
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形， AB与CD平行吗？为什么？
答案：平行.位似图形的
目标检测
2.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△AB C=8,则S△A′B′C′=?
独学：3分钟
对学：1分钟
新知探索
位似图形的性质：
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝ 3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长； （2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
(北师大版数学九上)第四章 图形的相似讲义
第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用相似三角形测高
∵人、标杆、旗杆都垂直于地面，
E
∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°.
A
M
N
BF
D
∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA.
∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN .
∴ EM = AM .
CN AN
方法 3：利用镜子反射
如图，每个小组选一名 同学作为观测者，在观测
者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个
度应为
(A)
A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( A )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
怎样利用相似三角形求得线段
AH 及 HB 的长呢？请你试一试!
CE
H
B FD G
CB = ED = 3丈 = 30尺，BD = 1 000步 = 6 000尺， BF = 123步 = 738尺，DG = 127步 = 762尺.
由 △AHF ∽ △CBF，得
AH HF ；
CB BF
由 △AHG ∽ △EDG，得 AH HG ；
九年级上册数学（北师版）
第四章 图形的相似
4.6 利用相似三角形测高
情境导入 台
北
101
怎样测量这些非常
大
高大物体的高度？
楼
世界上最高的树
—— 红杉
乐山大佛
埃及金字塔
探究新知
1 利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相 似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借 助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
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图形的相似比例线段及其性质1、定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如果a c b d =，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
注意：（1）在做比之前单位要统一 （2）要有一定的顺序 例题：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？解：4386= ∴这四条线段是成比例线段练习题： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、ACBE 、AC CD（2）试指出图中成比例线段2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________5、已知线段a=12、 b =23+、c=23-、若a c b x=，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________2、比例性质：比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b= （2） 合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果a c e mb d f n ====()0b d f n ++++≠，那么ac e m a bd f n b++++=++++例题 填空： 如果23a b =，则a =23b 、 2a =3b 、 a b b +=53、 a b b -=13- 练习题： 1、已知35a b =，求a b a b+- 2、若234a b c ==，则23a b c a ++=_________ 3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m= 4、已知570x y -=，则x y=_______ 5、已知345x y z ==，求x y z x y z +++-=________ 比例线段阶段测试：（满分20分）一、填空题（每空1分，共6分）1、 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a=3,c=4,则b=________2、 已知两地的实际距离是400m ，画在地图上的距离（图距）为8cm 则图距：实距＝_______3、 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a:b:c=_________4、 在相同时刻的物高与影长成正比，如果在某时，旗杆在地上的影长为10m ，此时身高1.8m 的小明的影长是1.5m ，则旗杆的高度为___________5、 如图：已知菱形ADEF ，AC ＝15，AB ＝10，则CF ＝_________二、选择题（每题1分，共4分）1、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）A a=3 b=6 c=2 d=4B a=1 b=2 c=3 d=6C a=4 b=6 c=5 d=10D a=2 b=3 c=2 d=6 2、在直角三角形中，若有一个锐角为30︒，则这个直角三角形三边的比为 （ ）A 1：2：3B 1：3：2 C1：3:2 D 以上答案都不对3、如图：在梯形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，则下列不成立的是 （ ）A AO BO CO DO= B AO DO CO BO =C AO BO DO CO =D AO DO AC BD = 4、已知线段AB 的长为15，点C 在AB 上，且AC ：BC ＝3：2，则BC 的长为 （ ）A 2B 3C 6D 8三、解答题（每题5分，共10分）1、在ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果23AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长。
2、在ABC ∆中，DE //BC ，EF //DC ，求证2AD AB AF =较难题1、已知d c b a ++=d c a b ++=d a b c ++=a c b d ++=k ,求k 的值；3、已知（a+b ）：（b+c ）：（c+a ）=7：14：9求：①a ：b ：c4平行线分线段成比例1、平行线分三角形两边成比例线段平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的对应线段成比例例题:如图在ABC ∆中,90C ∠=︒，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长解：90C ∠=︒ DE BC ⊥AC ∴//DE∴BD BE DC EA =3,2,5BD cm DC cmBE cm === ∴352BD BE DC EA EA === ∴EA =103 练习题：1、 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长2、在ABC ∆中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）AG AF；（2）AC 的长 3、如图：在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =43，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________5、 如图：在ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比值。
2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似例题：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：3，BC ＝15，求DE 的长解： DE //BC∴△ADE ∽△ABCAD ：DB ＝2：３∴DE ：BC ＝2：5BC ＝15 ∴DE ＝6练习题：1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,理由是__________2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们分别是________3、如图：在ABC ∆中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为 （ ）A 2cmB 6cmC 8cmD 10cm5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形第1题图第1题图较难题 1、己知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ，∠BAF=∠DAE ，AE 与BD 交于点G ．（1）求证：BE=DF ；（2）当FC DF =DFAD 时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．2、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 与点G 和点H ，BD=12，EF=8．求：（1）ABDF 的值； （2）线段GH 的长．3、如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB=90°，AC ⊥BC ，AC=BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，F ，则EF BF 的值是（ ）A ．2−1B ．2+2C ．2+1D ．24、如图，已知梯形ABCD 中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．5、如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．6、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3D．3+ 1相似多边形1、相似形定义：具有相同形状的图形称为相似形2、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的多边形叫相似多边形3、相似多边形的性质：○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
例题：如图：已知，四边形ABCD与四边形A B C D''''相似，求B C''，C D''长和D∠的大小解：四边形ABCD四边形A B C D''''∴150A A'∠=∠=︒()360150607575D∴∠=︒-︒+︒+︒=︒B C A B C DBC AB CD''''''==即5845B C C D''''==∴10B C''=5练习题：1、下列说法正确的是 （ ）A 任意两个菱形一定相似B 任意两个矩形一定相似C 有一个角是30︒的两个等腰三角形相似D 任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知26AOB ∠=︒，在放大镜里看到的AOB ∠的度数是___________3、在ABC ∆中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是＿＿＿＿＿＿＿4、用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（ ）A A ∠是原来的10倍B 周长是原来的10倍C 每个内角都发生了变化D 以上说法都不对5、四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长。
6、 正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且2AB A B =''，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿○2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 例题：如图：在等腰梯形ABCD 中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D ''''与它相似，相似比为32，求等腰梯形A B C D ''''的周长及面积。