第四章图形的相似

图形的相似

比例线段及其性质

1、定义：

对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如果a c b d =，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：（1）在做比之前单位要统一 （2）要有一定的顺序 例题：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？

解：

4386

= ∴这四条线段是成比例线段

练习题： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、AC

BE 、AC CD

（2）试指出图中成比例线段

2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？

3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？

4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________

5、已知线段a=

12、 b =23+、c=23-、若a c b x

=，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________

2、比例性质：

比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果

a c

b d

=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b

= （2） 合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果

a c e m

b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么a

c e m a b

d f n b

++++=++++

例题 填空： 如果23a b =，则a =23b 、 2a =3b 、 a b b +=53、 a b b -=13- 练习题： 1、已知

35a b =，求a b a b

+- 2、若234

a b c ==，则23a b c a ++=_________ 3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m

= 4、已知570x y -=，则x y

=_______ 5、已知345

x y z ==，求x y z x y z +++-=________ 比例线段阶段测试：（满分20分）

一、填空题（每空1分，共6分）

1、 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a=3,c=4,则b=________

2、 已知两地的实际距离是400m ，画在地图上的距离（图距）为8cm 则图距：实距＝_______

3、 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a:b:c=_________

4、 在相同时刻的物高与影长成正比，如果在某时，旗杆在地上的影长为10m ，此时身高1.8m 的小明的影长是1.5m ，

则旗杆的高度为___________

5、 如图：已知菱形ADEF ，AC ＝15，AB ＝10，则CF ＝_________

二、选择题（每题1分，共4分）

1、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）

A a=3 b=6 c=2 d=4

B a=1 b=2 c=3 d=6

C a=4 b=6 c=5 d=10

D a=2 b=3 c=2 d=6 2、在直角三角形中，若有一个锐角为30︒，则这个直角三角形三边的比为 （ ）

A 1：2：3

B 1：3：2 C1：3:2 D 以上答案都不对

3、如图：在梯形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，则下列不成立的是 （ ）

A AO BO CO DO

= B AO DO CO BO =

C AO BO DO CO =

D AO DO AC BD = 4、已知线段AB 的长为15，点C 在AB 上，且AC ：BC ＝3：2，则BC 的长为 （ ）

A 2

B 3

C 6

D 8

三、解答题（每题5分，共10分）

1、在ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果

23

AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长。 2、在ABC ∆中，DE //BC ，EF //DC ，求证2AD AB AF =

较难题

1、已知

d c b a ++=d c a b ++=d a b c ++=a c b d ++=k ,求k 的值；

3、已知（a+b ）：（b+c ）：（c+a ）=7：14：9

求：①a ：b ：c

4

平行线分线段成比例

1、平行线分三角形两边成比例线段

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的对应线段成比例

例题:如图在ABC ∆中,90C ∠=︒，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长

解：90C ∠=︒ DE BC ⊥

AC ∴//DE

∴BD BE DC EA =

3

,2,5BD cm DC cm

BE cm === ∴

352BD BE DC EA EA === ∴EA =103 练习题：

1、 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长

2、在ABC ∆中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求

（1）AG AF

；（2）AC 的长 3、如图：在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =

43，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________

4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________

5、 如图：在ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比值。

2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似

例题：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：3，BC ＝15，求DE 的长

解： DE //BC

∴△ADE ∽△ABC

AD ：DB ＝2：３

∴DE ：BC ＝2：5

BC ＝15 ∴DE ＝6

练习题：

1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,理由是__________

2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们分别是________

3、如图：在ABC ∆中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长

4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为 （ ）

A 2cm

B 6cm

C 8cm

D 10cm

5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形

第1题图

第1题图