第九章 系统的状态变量分析

第九章系统的状态变量分析

1、内容简介

在系统的状态变量分析中，介绍了状态和状态变量的基本概念，由电路原理图建立状态方程的方法，由微分方程建立状态方程的方法，由系统模拟框图建立状态方程的方法，状态方程的时域和变换域求解，状态矢量的线性变换，系统的可控制性和可观测性的基本概念，离散系统的状态方程的建立和求解。最后介绍了用MATLAB求解系统的状态方程。

2、学习目标

1、理解系统的状态与状态空间的概念。

2、掌握连续系统由电路、微分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。

3、掌握离散系统由差分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。

4、了解状态方程求解的基本方法，能够用MATLAB求解系统的状态方程。

3、重点难点

1.系统状态和状态空间的概念。

2.如何建立系统的状态方程。

4、应用

利用MATLAB求解系统状态方程。

5、教案内容

（1） 系统的状态变量的概念

状态变量

系统在时刻0t 的状态是指一组数10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t ，不仅要求这组数的个数是最少的，而且还可由10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 和0t t >时系统的输入得出0t t >时所有的状态或输出。这组变量10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 称为系统的状态变量。

状态空间分析法

状态空间分析法不仅适用与单输入单输出系统，而且适用于多输入多输出系统的分析，它可以描述系统的外部特性，也可以描述系统的内部特性，而且能够推广到时变系统和非线性系统。

（2）系统状态方程的一般形式

m 个输入p 个输出的N 阶连续时间系统的状态方程为N 个一阶微分方程组，可以用矩阵形式表示为

即

离散时间系统的状态方程具有与连续系统状态方程相似的形式，对于一个有m 个输入p 个输出的N 阶离散时间系统可以用N 个一阶差分方程描述，其状态方程和输出方程的一般形式为

其中A ，B ，C ，D 为状态方程和输出方程的系数矩阵。

（3）、系统状态方程的建立

不管是连续时间系统还是离散时间系统建立状态方程的规则均相同。 状态方程建立重点掌握建立状态方程的规律。对于线性时不变连续时间系统而言， 其状态方程为n 元一阶微分方程组，建立方法主要有两种：直观编写法----根据给定的电路列写系统的状态方程，和间接编写法----根据给定系统的微分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

对于线性时不变离散时间系统而言， 其状态方程为n 元一阶差分方程组，建立方法主要是间接编写法----根据给定系统的差分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

不论上述哪种系统或哪种方法，一般都遵循以下步骤：

（1）确定系统的状态-----系统的阶数；

（2）选择状态变量----对于连续时间系统的直观编写法，一般选择电容上的电压和流过电感的电流；对于连续时间系统的间接编写法，一般首先是获得系统的信号流图，选择积分器的输出作为状态变量；对于离散时间系统，一般首先是获得系统的信号流图，选择延时器的输出作为状态变量

（3）根据系统的给定形式，列写系统的状态方程；

（4）化简状态方程，并写成矩阵形式。

（4）系统方程的求解

求解状态方程可应用经典的时域法和变换域法。状态方程一般是一组一阶微分方程式或差分方程，不管是时域还是变换域求解，都会遇到大量的矩阵运算，计算比较复杂。但利用计算机辅助计算就可以大大简化计算工作量。MATLAB 中的lsim 可以用来获得状态方程的数值解。求解连续时间系统状态方程时，lsim 的调用形式为

00[,,](,,,)y t x lism sys f t x =

求解离散时间系统状态方程时，lism 的调用形式为

0[,,](,,[],)

y n x lism sys f x =

6、例题

【例9-1】由电路图建立系统的状态方程。

【例9-2】由微分方程建立系统的状态方程。

【例9-3】由系统模拟方框图建立系统的状态方程。

由模拟框图直接建立状态方程的一般规则是：

（1）选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量；

（2）围绕加法器列写状态方程或输出方程。

由此例可见，系统的状态变量和状态方程不是唯一的。对同样一个系统。可以用许多形式不同的状态方程来描述。虽然这些状态方程形式不同，但它们所描述的输入和输出关系是等价的。并联型的状态方程中的A矩阵是一对角阵。

【例9-4】状态方程的变换域求解。

【例9-4】系统的可控制性和可观测性。

【例9-5】离散系统的状态方程的建立和求解。

【例9-6】填空。

1、MATLAB中的（lsim）可以用来获得状态方程的数值解。

2、系统的状态变量描述一般可以分为两个部分：描述系统状态变量和系

统输入的关系的方程称为（状态方程），描述系统每一个输出变量与系

统状态变量及系统输入之间的关系的方程为（输出方程）。

7、本章小结

1、状态变量以及与之有关的各个术语的意义：

状态：表示系统的一组最少的物理量；

状态变量：能够表示系统状态的那些变量；

2、状态变量分析法便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化；简化系统的分析，因为状态变量分析法与系统的复杂程度无关；适用于非线性系统或时变系统；定性研究系统的稳定性和系统可控制性和可观测性；便于采用计算机数值解法。

3、对于线性时不变连续时间系统而言，其状态方程为n元一阶微分方程组，建立方法主要有两种：直观编写法----根据给定的电路列写系统的状态方程，和间接编写法----根据给定系统的微分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。对于线性时不变离散时间系统而言，其状态方程为n元一阶差分方程组，建立方法主要是间接编写法----根据给定系统的差分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

4．求解连续时间系统和离散时间系统的状态方程的求解方法一般有两种：时间域解法和变换域解法。

时间域解法要利用矩阵指数的运算进行求解；而变换域解法是利用拉氏变换或z变换，将微分方程组或差分方程组转换为代数方程组，利用线性代数的方法进行求解，从而可以简化方程的求解。

8、重点习题

例9-1；例9-2；例9-3；例9-4；例9-5；例9-6；