矢量运算PPT课件.ppt
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ab 0 且 aa 0
直角坐标系中的叉乘运算
i i j j k k 0 i j k, jk i,k i j
若 a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} 则
a b ( ya zb za yb )i (xa zb za xb )j (xa yb ya xb )k
i jk
按行列式展开 ab xa ya za 易记
a b {xa xb , ya yb , za zb}
质点的位矢和位移
y r r(t) r(t t)
P(x, y, z) 点的位矢 o
x
r(t) x(t)i y(t)j z(t)k
位移 t t t r r(t t) r(t)
例 已知一质点的位矢为 r(t) Ax costi Ay sin tj
a
a
0 a与a同向，且 a a
0 a与a反向，且a (a)
3) 加法交换律 加法结合律 数乘结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
(a) ()a
数乘分配律 ( )a a a
(a b) a b
ab a b sin en
en 是由叉乘符号规定的, a, b两矢量所在平面
的右手系法线方向的单位矢量.
右手系:将右手拇指伸直,其余四指并拢指向a
的方向,并沿 ( 180 )的计算方向弯向 b ,
拇指所指的方向就是
a en
en的方向.
b
b
设想有以 a 和 b 为一对邻边的平行四边形,其面积
t 在自变量为t0时的t 微商，记为 r(t)
r(t)
r(t) lim r dr dx(t) i dy(t) j dz(t) k
t0 t dt dt
dt
dt
x(t)i y(t)j z(t)k
注意：矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。
xa xb ya yb za zb
五.矢量的叉乘(矢量积)
(一)叉乘的运算规则
在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用, 呈现出某些特殊效应,例如动量矩、力矩及运 动电荷伴存的磁场等.叉乘是描述这类效应的
矢量运算.叉乘用 表示,其积为矢量,所以叫
矢量积.
若 a, b 是交角为 的两个矢量,则叉乘定义为
解
a 22 22 (1)2 3
ea
1 {2,2,1} 3
{2 3
,
2 3
,
1} 3
cos 2 , cos 2 , cos 1
3
3
3
按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算
a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} a {xa , ya , za}
四.矢量的点乘(标量积)
点乘运算规则
a b a b cos
1)点乘的交换律 a b b a
a
b
2)点乘与数乘的结合律 （a b) (a) b a (b)
3)点乘的分配律 (a b) c a c b c 点乘的常用性质还有
1)a a a 2; 2)a b,a b 0 3)直角坐标中i j jk k i 0 i i j j k k 1 4)按点乘分配律 a {xa , ya , zb},b {xb , yb , zb} 有 a b (xai ya j zak) (xbi yb j zbk)
Ax , Ay ,为常量，t为时间 ，求质点轨迹。
x(t) Ax cost, y(t) Ay sin t, z(t) 0
( x )2 ( y )2 1, z 0
Ax
Ay
矢量的微商、速度
位移 r r(t t) r(t)
如果极限 lim
r 存在，此极限就是矢量函数
互为负矢量，如 a 与 a
a (a) 0
物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互 运算,甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行 移动移到一点上再作运算,这种矢量叫自由矢量.
二.矢量的加法与数乘规则
1) a b c
a b a (b) b c
c
b
2)
0 a 0;
可表为 S a b sin
则 a b Sen
叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形 的面积.
叉乘的运算规则
1)叉乘的反交换律 ab (ba)
2)叉乘与数乘的结合律 (ab) (a)b a(b)
3)叉乘的分配律 a (b c) ab ac 4)叉乘可得 a,b同向和反向(平行)的充分必要条件
4)矢量可由单位矢量与标量数的乘积
a aea
可移到一条直线上的矢量 a1ea 和 a2ea
a1 a2 (a1 a2 )ea
三.直角坐标中的矢量，位矢和速度
i j k 为三坐标轴的单位矢量
z (k)
a xai ya j zak
a {xa , ya , za}
a
o
x (i)
一. Ch0.5 矢量运算
AA
• 大小为矢量的模，
矢量的概念起源于对运动和 力的研究。力和速度等物理 量需要用其大小和方向来表示
记为 A
• 长度为零的矢量 叫令矢量
依据事物自身的规律，按矢 量运算规则运算的量叫矢量
• 长度为1的矢量叫
单位矢量，记 e
单位矢量用来表示 空间的方向
• 大小相等、方向相反的矢量
矢量与三个轴的夹角为 , ,
cos xa , cos ya , cos za
a
a
a
a 的单位矢量
ea
a a
xa a
wk.baidu.comi
ya a
j
za a
k
y (j)
矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标
cos2 cos2 cos2 1
例 求矢量 a {2,2,1}的方向余弦
直角坐标系中的叉乘运算
i i j j k k 0 i j k, jk i,k i j
若 a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} 则
a b ( ya zb za yb )i (xa zb za xb )j (xa yb ya xb )k
i jk
按行列式展开 ab xa ya za 易记
a b {xa xb , ya yb , za zb}
质点的位矢和位移
y r r(t) r(t t)
P(x, y, z) 点的位矢 o
x
r(t) x(t)i y(t)j z(t)k
位移 t t t r r(t t) r(t)
例 已知一质点的位矢为 r(t) Ax costi Ay sin tj
a
a
0 a与a同向，且 a a
0 a与a反向，且a (a)
3) 加法交换律 加法结合律 数乘结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
(a) ()a
数乘分配律 ( )a a a
(a b) a b
ab a b sin en
en 是由叉乘符号规定的, a, b两矢量所在平面
的右手系法线方向的单位矢量.
右手系:将右手拇指伸直,其余四指并拢指向a
的方向,并沿 ( 180 )的计算方向弯向 b ,
拇指所指的方向就是
a en
en的方向.
b
b
设想有以 a 和 b 为一对邻边的平行四边形,其面积
t 在自变量为t0时的t 微商，记为 r(t)
r(t)
r(t) lim r dr dx(t) i dy(t) j dz(t) k
t0 t dt dt
dt
dt
x(t)i y(t)j z(t)k
注意：矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。
xa xb ya yb za zb
五.矢量的叉乘(矢量积)
(一)叉乘的运算规则
在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用, 呈现出某些特殊效应,例如动量矩、力矩及运 动电荷伴存的磁场等.叉乘是描述这类效应的
矢量运算.叉乘用 表示,其积为矢量,所以叫
矢量积.
若 a, b 是交角为 的两个矢量,则叉乘定义为
解
a 22 22 (1)2 3
ea
1 {2,2,1} 3
{2 3
,
2 3
,
1} 3
cos 2 , cos 2 , cos 1
3
3
3
按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算
a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} a {xa , ya , za}
四.矢量的点乘(标量积)
点乘运算规则
a b a b cos
1)点乘的交换律 a b b a
a
b
2)点乘与数乘的结合律 （a b) (a) b a (b)
3)点乘的分配律 (a b) c a c b c 点乘的常用性质还有
1)a a a 2; 2)a b,a b 0 3)直角坐标中i j jk k i 0 i i j j k k 1 4)按点乘分配律 a {xa , ya , zb},b {xb , yb , zb} 有 a b (xai ya j zak) (xbi yb j zbk)
Ax , Ay ,为常量，t为时间 ，求质点轨迹。
x(t) Ax cost, y(t) Ay sin t, z(t) 0
( x )2 ( y )2 1, z 0
Ax
Ay
矢量的微商、速度
位移 r r(t t) r(t)
如果极限 lim
r 存在，此极限就是矢量函数
互为负矢量，如 a 与 a
a (a) 0
物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互 运算,甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行 移动移到一点上再作运算,这种矢量叫自由矢量.
二.矢量的加法与数乘规则
1) a b c
a b a (b) b c
c
b
2)
0 a 0;
可表为 S a b sin
则 a b Sen
叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形 的面积.
叉乘的运算规则
1)叉乘的反交换律 ab (ba)
2)叉乘与数乘的结合律 (ab) (a)b a(b)
3)叉乘的分配律 a (b c) ab ac 4)叉乘可得 a,b同向和反向(平行)的充分必要条件
4)矢量可由单位矢量与标量数的乘积
a aea
可移到一条直线上的矢量 a1ea 和 a2ea
a1 a2 (a1 a2 )ea
三.直角坐标中的矢量，位矢和速度
i j k 为三坐标轴的单位矢量
z (k)
a xai ya j zak
a {xa , ya , za}
a
o
x (i)
一. Ch0.5 矢量运算
AA
• 大小为矢量的模，
矢量的概念起源于对运动和 力的研究。力和速度等物理 量需要用其大小和方向来表示
记为 A
• 长度为零的矢量 叫令矢量
依据事物自身的规律，按矢 量运算规则运算的量叫矢量
• 长度为1的矢量叫
单位矢量，记 e
单位矢量用来表示 空间的方向
• 大小相等、方向相反的矢量
矢量与三个轴的夹角为 , ,
cos xa , cos ya , cos za
a
a
a
a 的单位矢量
ea
a a
xa a
wk.baidu.comi
ya a
j
za a
k
y (j)
矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标
cos2 cos2 cos2 1
例 求矢量 a {2,2,1}的方向余弦