数学建模-图论

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• 图论是运筹学的一个经典和重要的分支， 它起源于18世纪欧拉（Euler）对七桥问题 的抽象和论证。
• 1936年，匈牙利数学家柯尼希（König）出 版了图论的第一部专著《有限图与无限图 理论》，竖立了图论发展的第一座里程碑。
几个著名的图论问题：
2.1 七桥问题（Euler） 18世纪东普鲁士有一个城市称为哥尼斯堡，它位 于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，通过七座桥 彼此相联（如图2.1）。当时有人提出：
能否从某个地点出发经过每个桥一次且仅一次 然后返回出发点？
Euler的做法：
A
B
C
D
图 2.2
A
B
C
D
图 2.1
❖ 建模： 点——陆地 岛屿 边——桥
2.2 Hamilton 周游世界问题
1859年 Hamilton 提出这样一个问题：一个正 十二面体有20个顶点，它们代表世界上20个 重要城市。正十二面体的每个面均为五边形， 若两个顶点之间有边相连，则表示相应的城 市之间有航线相通。 Hamilton 提出 “能否从 某城市出发经过每个城市一次且仅一次然后 返回出发点？”
现实生活中许多问题都可归结为由点和线组 成的图形的问题，例如，铁路交通图，公路交通 图，市区交通图，自来水管网系统，甚至电路图 在研究某些问题时也可简化为由点和线组成的图 形。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两 点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的 联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。 图论就是研究这些由点和线组成的图形的问题。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用 数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数 字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同 的数字。”
1890年希五德（Heawood）指出“4换为5”猜想成 立。
三、图论的基本概念
3.1 图的定义 3.2 图的分类 3.3 图的同构 3.4 子图 3.5 图的运算 3.6 图的代数表示及特征
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3.1 图(Graph)的定义
定义3.1 称数学结构G = {V(G), E(G), G} 为
一个图，其中V(G) = {v1, v2, …, vn} 称为图 G的顶 点集(vertex set)或节点集(node set)，V(G) 中的每 一个元素 vi（i = 1, 2, …, n）称为该图的一个顶点 (vertex)或结点(node); E(G) = {e1, e2, …, em} 称为图 G 的边集（edge set），E(G) 中的每一个元素 ek （即V(G) 中某两个元素vi, vj 的无序对）记为 ek = (vi, vj) 或 ek = vivj = vjvi（k = 1, 2, …, m），被称为 该图的一条从 vi到 vj的边(edge)；
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G是从 E(G) 到V(G)V(G) 的一个映射，它指定
数学建模-图论
目录
• 一、涉及图论的历年数学建模题目 • 二、图论简介 • 三、图论的基本概念 • 四、最短路问题及其算法 • 五、最小生成树及其算法 • 六、几个可以用图论解决的范例
一、涉及图论的历年数学建模题目
1、93B 足球队排名次 2、94A 逢山开路 3、94B 锁具装箱问题 4、95B 天车与冶炼炉的作业调度 5、97B 截断切割：最短路 6、98B 灾情巡视：最小生成树、 Hamilton圈、旅行商问题
一家公司经理准备安排名员工去完成项任 务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同 的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不 同的。如何分配工作方案可以使总回报最大？
2.8 运输问题（transportation problem）
某种原材料有个产地，现在需要将原材 料从产地运往个使用这些原材料的工厂。假 定个产地的产量和家工厂的需要量已知，单 位产品从任一产地到任一工厂的运费已知， 那么如何安排运输方案可以使总运输成本最 低?
1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯 （W.Haken）在三台百万次的电子计算机上花了 1200小时证明了猜想成立。猜想成为定理。
2.4 中国邮路问题或中国邮递员问题（CPP －Chinese Postman Problem）
1962年中国数学家管梅谷提出：一个邮 递员从邮局出发递送邮件，要求对他所负责 的辖区的每条街至少走一次，问如何选取路 程最短的路线？国际上称之为中国邮递员问 题。
2.6旅行商问题（TSP－traveling salesman problem）
一名推销员准备前往若干城市推销产品。 如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从 驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回 驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通常 称之为旅行商问题。
2.7 指派问题（assignment problem）
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一、涉及图论的历年数学建模题目
7、99B 钻井布局：最大完全子图 8、00B 管道订购：最短路 9、01B公交车调度 10、02D赛程安排 11、04A奥运会临时超市网点设计 12、07乘公交，看奥运
一、涉及图论的历年数学建模题目
13、08C地面搜索 14、08DNBA赛程的分析与评价
二、图论简介
2.3 四色问题（猜想）
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近 代三大数学难题之一。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一 位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生 提出来的。德·摩根（Augustus De Morgan） 1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有 关四色定理来源的最原始的记载。
该问题可用专门的算法来求解。
其它相关问题
2.5 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货柜车司Biblioteka 奉命在最短的时间内将一 车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路 网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机 应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从 甲地到乙地的最短路。