9.7 抛物线 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数01

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2021届课标版高考数学一轮复习精品学案：平面解析几何第6节抛物线

2021届课标版高考数学一轮复习精品学案
第六节抛物线
[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则。

2021年高考数学第一轮复习课后练习册子及其答案和详细解析

高考Байду номын сангаас复习课程--2021 年高考数学第一轮总复习
强化练习题
目录
第 1 讲集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................

高考数学(理科)一轮复习抛物线学习型教学案附答案

高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案53 抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2pyp的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点o对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是A．1B．2c．4D．82．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为A．－2B．2c．－4D．43．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是A．y2＝－8xB．y2＝8xc．y2＝－4xD．y2＝4x4．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2c．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3|5．已知抛物线方程为y2＝2px，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B 分别作Am、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于m、N两点，那么∠mFN必是A．锐角B．直角c．钝角D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A.14，－1B.14，1c．D．探究点二求抛物线的标准方程例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点m到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；过点P．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；若直线Ao与抛物线的准线相交于点c，求证：Bc∥x轴．变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px的焦点弦，F为抛物线的焦点，A，B．求证：x1x2＝p24；1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例过抛物线y2＝2px焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设o为坐标原点，问：是否存在实数λ，使Ao→＝λoD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→.抛物线方程为y2＝2px，则Fp2，0，准线l：x＝－p2，当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p.∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴Ao→＝－p2，－p，oD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使Ao→＝λoD→.[4分]当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－p2，设A，B，则D－p2，y2，x1＝y212p，x2＝y222p，由y＝kx－p2y2＝2px 得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分]Ao→＝＝－y212p，－y1，oD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→，则－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y21p2，∴存在实数λ＝y21p2，使Ao→＝λoD→.综上所述，存在实数λ，使Ao→＝λoD→.[12分]【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出Ao→和oD→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y2＝2px的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设A，B，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．一、选择题．已知抛物线c：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与c交于A，B两点，则cos∠AFB等于A.45B.35c．－35D．－452．将两个顶点在抛物线y2＝2px上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A．n＝0B．n＝1c．n＝2D．n≥33．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A．相离B．相交c．相切D．不确定4．已知点A，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是A.－14，1B．c.－14，－1D．5．设o为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若oA→•AF→＝－4，则点A的坐标为A．B．c．D．二、填空题6．设圆c位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域内，则圆c的半径能取到的最大值为________．7．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为m，则|AB|＝________.8．设抛物线y2＝2px的焦点为F，点A．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y ＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线c：x2＝8y.AB是抛物线c的动弦，且AB过F，分别以A、B为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．已知定点F和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点c.求动点c的轨迹方程；过点F的直线l2交轨迹c于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．学案53 抛物线自主梳理．相等焦点准线自我检测．c2．B [因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.] 3．B 4.c 5.B课堂活动区例1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为．变式迁移1 A [点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q 三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1.]例2 解题导引求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；待定系数法求抛物线方程时既要定位，又要定量．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为x2＝－2py，则焦点为F0，－p2，准线方程为y＝p2.∵m在抛物线上，且|mF|＝5，∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py，则焦点F0，－p2，准线l：y＝p2，作mN⊥l，垂足为N.则|mN|＝|mF|＝5，而|mN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝×，得m＝±26.变式迁移2 解双曲线方程化为x29－y216＝1，左顶点为，由题意设抛物线方程为y2＝－2px且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x.由于P在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.例3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质为例)：①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p.证明方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为、．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y＝kx－p2，由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.当k＝0时，方程只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2.综合两种情况，总有y1y2＝－p2.方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝ky＋p2，并设A，B，则A、B坐标满足x＝ky＋p2，y2＝2px，消去x，可得y2＝2pky＋p2，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.直线Ac的方程为y＝y1x1x，∴点c坐标为－p2，－py12x1，yc＝－py12x1＝－p2y12px1.∵点A在抛物线上，∴y21＝2px1.又由知，y1y2＝－p2，∴yc＝y1y2•y1y21＝y2，∴Bc∥x轴．变式迁移3 证明∵y2＝2px的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝kx－p2，由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.∴y1y2＝－p2，x1x2＝y1y224p2＝p24，当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24.因此，x1x2＝p24恒成立．1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．课后练习区．D [方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.令B，A，又F，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二由方法一得A，B，F，∴FA→＝，FB→＝，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.]2．c [如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为，设A，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，即m＋p2＝|AF|.又|AF|＝|AB|＝22pm，∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，①∴Δ＝2－4×p24＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1•m2＝p24>0，∴m1>0，m2>0，∴n＝2.]3．c4．A [过P作Pk⊥l于k，则|PF|＝|Pk|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|Pk|.∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|Pk|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x ＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．] 5．B6.6－1解析如图所示，若圆c的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为，则圆的方程为2＋y2＝2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝2－4＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－＝6－1.7．42解析由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线段AB中点坐标为，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.又∵y1＋y2＝k＋2m＝4，∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|om|＝42.8.324解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.9．解设直线和抛物线交于点A，B，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px，则y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得，4x2－x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5•x1＋x22－4x1x2＝5•p－222－4×14＝15，则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6，抛物线方程为y2＝12x.当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px，仿不难求出p＝2，此时抛物线方程为y2＝－4x.综上可得，所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.0．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A，B．由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1•14x2＝116x1•x2＝－1.所以AQ⊥BQ.1．解由题设点c到点F的距离等于它到l1的距离，所以点c的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y.由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.记P，Q，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为－2k，－1.RP→•RQ→＝x1＋2k，y1＋1•x2＋2k，y2＋1＝x1＋2kx2＋2k＋＝x1x2＋2k＋2k＋4k2＋4＝－4＋4k2k＋2k＋4k2＋4＝4k2＋1k2＋8，∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16.。

2021年高考数学一轮复习第二讲抛物线习题理新人教A版

2021年高考数学一轮复习第二讲抛物线习题理新人教A 版1．[xx·安徽卷] 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案：A [解析] 因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.2．[xx·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8答案：A [解析] 由抛物线方程y 2＝x ，知p ＝12，又因为|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝54x 0，所以得x 0＝1.3． [xx·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43 B ．－1C ．－34D ．－12答案：C [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，且点A (－2，3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2，0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.4．[xx·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y 2＝4x .设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k 4＜0，得k 2＞1，解得k ＜－1或k ＞1.5．[xx·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3答案：C [解析] 抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝tan 30°＝33，所以直线AB 的方程为y ＝33x －34.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34，y 2＝3x得13x 2－72x ＋316＝0，故x 1＋x 2＝212，x 1x 2＝916.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫2122－4×916＝12. 6．[xx·株洲模拟] 已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 依次交于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |等于( )A ．10B ．12C ．14D ．16答案 C [解析] 由题可知直线y ＝x －2过圆心(2，0)，抛物线的焦点为(2，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，所以|AD |＝＝2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2＝|＋|CD |＝|AD |－2＝14.7．(xx·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433【解析】作出草图，数形结合，建立方程求解． ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. 设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.【答案】 D8．(xx·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．【解析】因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4,8)，Q (－2,2)，所以在P 、Q 两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y ＝－4. 【答案】－4备选9．[xx·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案：B [解析] 由题意可知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2.当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728.而1728>3，故选B. 10．[xx·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－112或－12≤k <0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有一个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上所述，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．<*,25775 64AF 撯36045 8CCD 賍29516 734C 獌24967 6187 憇24520 5FC8 忈20502 5016 倖R23265 5AE1 嫡#32557 7F2D 缭。

2021年高考数学一轮复习 9.7 抛物线理新人教A版

2021年高考数学一轮复习 9.7 抛物线理新人教A 版一、选择题1．(xx·合肥质量检测)抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，18解析抛物线x 2＝12y 的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案 D2．(xx·西宁复习检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2B ．1C.12D.14解析曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2，故选A.答案 A3．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 答案 D4．(xx·潍坊一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4解析抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3，0)，所以p2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 做准线的垂线，垂足为M ，则|AK |＝2|AF |＝2|AM |，即|KM |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3. 答案 B5．(xx·新课标全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，法一直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212. 由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2psin 2θ＝32sin 230°＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.答案 D 二、填空题6．(xx·北京海淀区模拟)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________．解析由题意知抛物线的准线为x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的左顶点为(－1，0)，所以－p2＝－1，p ＝2. 答案 27．(xx·银川质量检测)已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝08．(xx·沈阳质量监测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．解析设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3＝(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.因为1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 21）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，所以原式＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p ＝0.答案 0 三、解答题9. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2（k 2＋1）＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2（k 2＋1）＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x . 10．(xx·陕西卷)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2kk 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)． ∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0， ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(xx·太原模拟)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( ) A ．4B.92C ．5D.112解析因为点P 在抛物线上，所以d 1＝|PF |－12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝|PF |＋|PA |－12≥|AF |－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B. 答案 B12．(xx·四川卷)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C.1728D.10解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2，0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 B13．(xx·南昌模拟)抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝________．解析设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，Q (x 3，2)， R (x 4，2)．将y ＝2x －2代入x 2＝8y 得x 2－16x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝x 1x 2＝16.直线PA 的方程为y －x 208＝x 208－x 218x 0－x 1(x －x 0)，即y －x 208＝x 0＋x 18(x －x 0)．令y ＝2，解得x 3＝x 1x 0＋16x 1＋x 0；同理可得x 4＝x 2x 0＋16x 1＋x 0.所以x 3x 4＝x 1x 0＋16x 1＋x 0×x 2x 0＋16x 2＋x 0＝x 2x 1x 20＋16x 0（x 1＋x 2）＋162x 2x 1＋16x 0＋x 20＝16（x 2x 1＋16x 0＋x 20）x 2x 1＋16x 0＋x 20＝16，所以OR →·OQ →＝x 3x 4＋4＝20. 答案 2014.已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>22. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852..28193 6E21 渡Y532936 80A8 肨32489 7EE9 绩22920 5988 妈!=31234 7A02 稂P40526 9E4E 鹎22751 58DF 壟%[。

2021年高考数学一轮复习第二讲抛物线讲练理新人教A版

2021年高考数学一轮复习第二讲抛物线讲练理新人教A 版一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．二、抛物线的标准方程与几何性质抛物线的焦半径抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.基础自测1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0 【解析】 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.【答案】 B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x 【解析】因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x . 所以选B. 【答案】 B3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2【解析】设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意知p2＋2＝4，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ， ∴m 2＝16，∴m ＝±4. 【答案】 C4．双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p2，∴p 2＝16，又p ＞0，则p ＝4. 【答案】 4 5．(xx·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 【答案】 B6．(xx·北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．【解析】 ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1.【答案】 2 x ＝－1考点一抛物线的定义及标准方程例 (1)设圆C 与圆C ′：x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆（2）(xx·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：(1)设圆C 的半径为r ，又圆x 2＋(y －3)2＝1的圆心C ′(0,3)，半径为1. 依题意|CC ′|＝r ＋1，圆心C 到直线y ＝0的距离为r ， ∴|CC ′|等于圆心C 到直线y ＝－1的距离(r ＋1)．故圆C 的圆心轨迹是抛物线．(2)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为|3×0±p2|2＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .方法技巧若Px 0，y 0为抛物线y 2＝2px p ＞0上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A x 1，y 1，B x 2，y 2，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【解析】由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴直线l 为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，与y 轴交点A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2.∴S △OAF ＝12|OA |·|OF |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝a216＝4. ∴a ＝±8，∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B考点二抛物线的几何性质例已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，当x ＝p2时，y 2＝p 2，∴|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.跟踪练习（2011辽宁）已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C考点三直线与抛物线位置关系例 (xx·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【思路点拨】 (1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．图①【尝试解答】 (1)如图①，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |. 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42又|O 1A |＝x －42＋y 2， ∴x －42＋y 2＝x 2＋42.化简得，y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .图②(2)证明：如图②，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线过定点(1,0)．,规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程2m ≠0 Δ＞0 直线与抛物线有两个公共点Δ＝0 直线与抛物线只有一个公共点Δ＜0 直线与抛物线没有公共点m ＝0 直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴跟踪练习已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)将A (1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. T426499 6783 枃32134 7D86 綆_34813 87FD 蟽31857 7C71 籱23204 5AA4 媤26330 66DA 曚33558 8316 茖j29624 73B8 玸@32303 7E2F 縯。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《抛物线》课件ppt

(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点 (3 ，－ 4) 的坐标分别代入 y2 ＝ 2px 和 x2 ＝－ 2p1y 中，得 ( － 4)2 ＝ 2p·3,32＝－2p1·(－4)，则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
准线交于点 D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4 √C.|BD|＝2|BF|
√B.D→F＝F→A
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E， M，连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|＝p.因为直线 l 的斜率为 3，所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；
__－__p2_，__0_
__0_，__p2__
_0_，__－__p2__
__x_＝__－__p2__
__x_＝__p2__
__x轴___
___y_＝__－__p2__
__y_＝__p2__
__y_轴__
__(0_,_0_)_
e＝_1__
常用结论
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.

9-8 课时抛物线(一) PPT课件【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学】

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高考一轮总复习 · 数学· 理（新课标版）
5．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
答案 y2＝－8x 或 x2＝－y
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授人以渔
题型一抛物线定义的应用
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(2)在抛物线上求一点 P，使其到抛物线准线的距离与到定点 A 的距离之和最小，将到准线的距离转化为到焦点 F 的距离．利用“两点之间线段最短”来解．
【答案】 42 或 22
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【讲评】抛物线中与焦点或准线有关的最值问题，可依据抛物线的定义进行转化，有两种题型：
(1)在抛物线上求一点 P，使其到焦点 F 的距离与到定点 A 的距离之和最小，将到焦点 F 的距离转化为到准线的距离．利用 “直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”来解．
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4．焦点为(2，3)，准线是 x＋6＝0 的抛物线方程为( )
A．(y－3)2＝16(x－2)
B．(y－3)2＝8(x＋2)
C．(y－3)2＝16(x＋2)
D．(y－3)2＝8(x－2)
答案 C 解析设 (x ， y) 为抛物线上一点，由抛物线定义（x－2）2＋（y－3）2＝|x＋6|，平方整理，得(y－3)2＝16(x＋2)．
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2．(课本习题改编)抛物线 y＝14x2 的准线方程是(
)

2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第九章 9.7 抛物线 Word版含解析

姓名，年级：时间：§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1。

掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

2.了解抛物线的简单应用。

抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px (p〉0）y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0）x2＝－2py(p>0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O（0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝错误!y＝－错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径x0＋错误!－x0＋错误!y0＋错误!－y0＋错误!通径长2p概念方法微思考1。

若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线。

2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时,只有一个交点，但不是相切,所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。

题组一思考辨析1。

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ×）(2）方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是错误!,准线方程是x＝－错误!.( ×）（3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a〉0)的通径长为2a。