固态电子论-第三章习题参考解答

第三章
第1题
半导体中的电子状态
半导体中的杂质----解答参考
2 半导体中电子有效质量的定义 m d 2E 2 dk k k
n
0
式中 k0 是能带极值（极大值或者极小值）对应的波矢。 电子有效质量的意义 概括了周期场对电子的作用，使外场下能带电子的运动，可用服从牛顿运动定律、
l


令 l ' l 1，得到，
k ( x a)
l '
f ( x l ' a) f ( x l ' a) ( x)
l ' k


2n a k , 在第一布里渊区， a a eika 1，ka 2n，k
3 3 2sin(2 ka) sin(6 ka) 2sin(2 ka) 3sin(2 ka) cos(2 ka) 0 4 4
sin(2 ka) 0
9 2 cos(2 ka) 0 4
由 sin(2 ka) 0 得到，
2 ka n n k 2a
eika 1
ka 2n 1 , n 0,1,2,
在第一布里渊区内， k a a
，得到， ,
k

a
（ 3） k ( x )
l
f ( x la)
l

k ( x a)
f ( x a la) f ( x (l 1)a)
E (0) ——第Ⅰ个能带的最小值
得到第Ⅱ个能带 k
1 处的电子能量， 4a
2
2 1 1 25 2 1 1 E (k ) E E 2 2mn 4a a 2a 32a mn 2a
1 E ——第Ⅱ个能带的最小值 2a
引入等能面的意义
是为了更加形象、更加生动的描述半导体电子量子态的分布及其各向异性的性质。
第5题
要观察到明显的电子回旋共振吸收峰，必须满足两个基本条件：
1、被测量的半导体样品必须置于极低的温度环境中； 2、给测量的半导体外加一个磁感强度很高的恒定磁场； 3、用频率在微波范围的交变电磁场进行测量；
第6题
C
第Ⅲ能带
根据自由电子能谱， 2k 2 E (k ) E ( k0 ) 2mn
E(k0 ) ——第N个能带的最小值
B A
1 2a
第Ⅱ能带
得到第Ⅰ能带 k 第Ⅰ能带
1 1 4a 2a
1 的电子能量， 4a
2
k
2 1 2 E (k ) E (0) E (0) 2 2mn 4 a 32 a m n
得到第Ⅲ个能带 k
1 处的电子能量， 4a
2
2 1 2 81 2 E (k ) E 0 E 0 2 2mn 4a a 32a mn
E 0
——第Ⅲ个能带的最小值
（2）
由电子有效质量的定义可知，能带宽度越窄，电子有效质量越大， 能带宽度越宽，电子有效质量越小。 所以，在波矢量 k 0 处，第Ⅰ能带的电子有效质量最大，第Ⅲ能 带的电子有效质量最小。
9 由 2 cos(2 ka) 0 得到， 4
2 ka n k n 14a

7
n 0, 1, 2,
在第一布里渊区内，k
1 1 , ，得到， 2a 2a
1 2 3 4 5 6 ,k ,k ,k ,k ,k , 14a 14a 14a 14a 14a 14a 1 2 3 4 5 6 7 k ,k ,k ,k ,k ,k ,k 14a 14a 14a 14a 14a 14a 14a k 0，k
k
1

（1） 由极值条件找到能带的极值点，
dE h2 dk m0 a 2
3 a 2 a sin(2 ka ) sin(6 ka ) 0 4
3 2sin(2 ka) sin(6 ka) 0 4
sin(6 ka) sin 2 ka cos 4 ka cos 2 ka sin 4 ka
dE 外场力对电子作功
m
在能带顶， mn 在能带底， mn




dE 外场力对电子作功 dE 周期场对电子作功
m m
0 ，周期势场对电子作负功，电子传递给晶格的能量大于
外场力对电子的作功。
0，周期场对电子作正功，电子从晶格得到能量。
当电子从外场力获得的能带全部传递给晶格时，电子平均速度等于常数，外 场力与周期势场力大小相等、方向相反，电子有效质量趋于无限大。
一、深能级杂质在半导体中的作用
深能级杂质的定义——杂质能级离导带底或者价带顶比较远的杂质。 深能级杂质在半导体中的主要作用： 起到有效复合中心的作用（见第5章内容），控制半导体非平衡载流子的寿命。
第7题 以硅半导体中掺金为例说明如下： 金原子具有1个价电子。
如果金（Au）原子将价电子电离出去，则在硅半导体中产生一个深施主能级 EtD ， 如下图所示：
Ec
Au Au
Ei
0.35eV
EtD
E
EtA ，
如果金（Au）原子获得一个外来电子，则在硅半导体中产生一个深受主能级 如下图所示：
Au Au

0.54eV
Ei
Ec EtA
E
第8题（参考第1章倒格子、第2章能带表示的课件）
（1） 图3-41是能带图的简约布里渊区表示法。
第Ⅱ能带原本在第二布里渊区，通过移动1个倒格矢 所以，对于第Ⅰ能带的波矢 k
1.054 1034 16 6.06 10 sec ond 19 9 10 2 1.6 10 10 5.43 10
第11题
解：已知能带，
h2 E (k ) m0 a 2
1 7 cos(2 ka ) cos(6 ka ) 8 8
1 a f Fl 0 m


* mn
第2题 空穴的定义 电场作用下，在缺少1个电子的能带中，剩余的（2N-1）个电子对电流的贡献等 效为1个带正电子电量、具有正的电子有效质量的空量子态的贡献，这个可以在电
场下自由运动的空量子态称为空穴。
引进空穴概念的意义 将能带中数量庞大的电子的导电行为用少量的空穴导电行为来等效，使得在描述半 导体价带电子导电规律时更加简单明了。
（3 ）
空穴出现在能带顶附近。空穴的有效质量等于，
m m p n
第Ⅱ能带 k 0 处的曲线斜率比第Ⅲ 能带 k 0 处的曲线斜率小，所以第Ⅱ 能带上空穴的有效质量 m p 比第Ⅲ能带上的电子有效质量 mn 大。
（4）
相邻两个能带之间禁带宽度越小，发生电子跃迁所需要的能量越小。 1 比较得到，第Ⅰ能带与第Ⅱ能带的禁带宽度最小，在 k 时，能带Ⅰ 2a 和能带Ⅱ之间发生电子跃迁所需能量最小。
顶角硅原子
导带
中心硅原子 共价键电子对
禁带 价带
第4题
一个等能面是半导体电子波矢空间中的一个曲面，数学上表示为，
E (k x , k y , k z ) (kx , k y , kz ) 是电子波矢空间中的一个点，E(kx , k y , kz ) 是该波矢点对应的能量值。
若电子波矢空间中一些不同的波矢点对应的能量值相同，将这些点连接起来形成一 个曲面，这个曲面就称为一个等能面。
具有有效质量 mn 的“赝电子”来描述。
具体说明如下：
外电场下，能带电子受到的作用力，
f 外电场力 Fl 晶格周期场力
牛顿运动方程，
1 a f Fl m


f 1 f Fl m m


f m a
写成能量增量形式，
f dt f dt Fl dt m m m
一、浅能级杂质在半导体中的作用
浅能级杂质的定义——杂质能级离导带底或者价带顶很靠近的杂质。 浅能级杂质在半导体中的主要作用： 1、改变半导体的导电类型（即通过掺不同种类、不同浓度的浅能级杂质，来 得到P型半导体（以价带空穴导电为主）或者N型半导体（以导带电子导电为主）。 2、调整半导体导带电子浓度或者价带空穴浓度，控制半导体的导电能力。
k 0
(n 0,1,2,......)
第10题
解：已知 a 5.43 10 由于，
10
m
E 107 V / cm 109V / m
k
1

dk f q E dt
dt dk qE
得到，
t dt
0
t
1/2 a
0
1 dk qE 2q E a
2 2 sin 2 ka cos 2 ka sin 2 ka 2sin 2 ka cos 2 ka cos 2 ka 2 2 sin 2 ka 1 2sin 2 ka 2sin 2 ka cos 2 ka 2 2 sin 2 ka 1 2sin 2 ka 2sin 2 ka 1 sin 2 ka 2 3sin 2 ka 1 2sin 2 ka 3sin 2 ka cos 2 ka
Gh后落入第一布里渊区的。第Ⅲ能带
原本在第三布里渊区，通过移动2个倒格矢后落入第一布里渊区。
1 1 1 ，在第Ⅱ能带中则为 k Gh ，在第Ⅲ能带中为 k 2Gh 4a 4a 4a