12级高二数学下期4月8日练习题(学生)
天津市部分区2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。
2022-2023学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学（宁夏校区）高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．若，则的虚部为（ ）(1i)1i z +=-z A ．1B ．C ．D ．1-i-i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.z z 【详解】因为，所以，所以，(1i)1i z +=-()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-i z =所以的虚部为.z 1故选：A2．用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是a b 30x ax b ++=（ ）A ．方程没有实根30x ax b ++=B ．方程至多有一个实根30x ax b ++=C ．方程至多有两个实根30x ax b ++=D ．方程恰好有两个实根30x ax b ++=【答案】A【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，即可得出结论．【详解】方程至少有一个实根的反面是方程没有实根，30x ax b ++=30x ax b ++=因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假a b 30x ax b ++=设是“方程没有实根”.30x ax b ++=故选：A.3．设函数．则值为（ ）()31f x x =+()π2π2f x dx-⎰A ．B ．C ．D ．1π62+01π【答案】D【分析】利用微积分基本定理可求得所求定积分的值.【详解】因为，则()31f x x =+()()πππ22342πππ2221d 1d 4f x x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰.441ππ1πππ422422⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选：D.4．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的M 21ln 2y x x ax =++M π4锐角，则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．[)2,+∞[)1,-+∞(],2-∞(],1-∞-【答案】B【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等1πtan 14y x a x '=++≥=0x >式可求得实数的取值范围.a 【详解】函数的定义域为，且，21ln 2y x x ax =++()0,∞+1y x a x '=++因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，21ln 2y x x ax =++M π4所以，对任意的恒成立，则，1πtan 14y x a x '=++≥=0x >11a xx -≤+当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，0x >12x x +≥=1x =所以，，解得.12a -≤1a ≥-故选：B.5．如图所示，在平行六面体中，M 为与的交点.若，，1111ABCD A B C D -11A C 11B D AB a =AD b =，则下列向量中与相等的向量是（ ）1AA c = BMA ．B ．1122-++a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+ 1122a b c -+【答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：，()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c=+=+=+-=-++根据空间向量基本定理可知：只有与相等.1122-++a b c BM故选：A.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（ ）A ．回归直线必过点(),x y B ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数时，两个变量正相关0r >D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于r【答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点，A 对；(),x y 对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数时，两个变量正相关，C 对；0r >对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D 对.r0故选：B.7．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）()f x '()f x ()f x '()f xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，()f x '()f x 进而得到的可能图象.()f x 【详解】由的图象可得，()f x '当时，，则单调递增；0x <()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减；10x x <<()0f x '<()f x 当时，，则单调递增.1x x >()0f x ¢>()f x 则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．用数学归纳法证明“”时，由假设不等式成立，()*11112321n n n +++⋯+<∈-N ()*1,n k k k =>∈N 推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（ ）1n k =+A ．B ．C ．D ．k 12k -2k12k +【答案】C【分析】分析当、时，不等式左边的项数，作差后可得结果.n k =1n k =+【详解】用数学归纳法证明“”,()*11112321n n n ++++<∈-N 当时，左边，共项，n k =11112321k=++++- ()21k -当时，左边，共项，1n k =+111112321k +=++++- ()121k +-所以，由假设不等式成立，推证不等式成立时，()*1,n k k k =>∈N 1n k =+不等式左边应增加的项数为.()()121212k k k+---=故选：C.9．已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是,R a b ∈x a =21()()()(1)x f x x a x b e -=---（ ）A ．B ．C ．D ．1b a ≤<1b a <≤1a b<≤1a b <≤【答案】B【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 【详解】解：令，得.21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=123,,1x a x b x ===下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 对选项A ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1b a ≤<x a =()f x 对选项B ：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；1b a <≤x a =()f x 对选项C ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 对选项D ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草()f x 图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴()2222:10x y a b a b Γ+=>>A B A A x 作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）C BCD ABDA ．BCD 12【答案】B 【分析】设点、，其中，，则、，分析可知()00,A x y ()11,D x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的1DA AB k k =-22DA DBb k k a =-22b a e =值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，()00,A x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x则，，00AB y k x =02BC y k x =设点，则，作差可得，()11,D x y 22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221010220x x y y a b --+=所以，，2221022210y y b x x a -=--所以，，则不互相垂直，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a -+-=⋅==-≠--+-,AD BD 所以，则，所以，，AD AB ⊥1AD ABk k =-001AD AB x k k y =-=-又因为，所以，，0000122DA DB DA BC xy k k k k y x ==-⋅=-2212b a =所以，该椭圆的离心率为c e a =====故选：B.11．设是定义在R 上的奇函数，在上有，且()f x (),0∞-2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，则不等式的解集为（ ）()20230f =()ln 20230x f x ⋅<A ．B ．C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,0-∞-- ()()1,00,1- ()()1,01,-⋃+∞【答案】B 【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇()()2023,0k x x f x x =⋅<()k x (,0)-∞函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情()f x ()20230f =()20230f -=()2023f x (,0)-∞况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.()ln 20230x f x ⋅<【详解】令，则()()2023,0k x x f x x =⋅<()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则在上单调递减，()()2023k x x f x =⋅(,0)-∞又是定义在R 上的奇函数，，则，()f x ()20230f =()20230f -=则，()(1)120230k f -=-⨯-=则当时，，，；1x <-()0k x >()20230f x <()ln 20230x f x ⋅<当时，，，.10x -<<()0k x <()20230f x >()ln 20230x f x ⋅<又由是定义在R 上的奇函数，可得()f x 当时，，；1x >()20230f x >()ln 20230x f x ⋅>当时，，01x <<()20230f x <()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式的解集为()ln 20230x f x ⋅<()(),11,0-∞-- 故选：B12．下列不等式成立的有（ ）个．①；②；③；④．0.2etan 0.21>+1819e 16<sin180.3︒>311cos324<A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】分别构造新的函数，利用导函数分析单调性，即可判断不等式的正误.【详解】解：令，()πe tan 1012x f x x x ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭则，()2cos e 1x f x x '=-()32sin co e s xx f x x ''=-当时，，，π012x <<πsin sin 12x <πcos cos12x >所以，33π2sin2sin12πcos cos 12x x<而，πππππππ1sin sin sin cos cos sin 123434342⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭πππππππ1coscos cos cos sin sin 123434342⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭所以，3π2sin12561πcos 12=====-<则，所以在上单调递增，()32sin 0c s e o x x f x x ''=->()f x 'π0,12⎛⎫⎪⎝⎭所以，则在上单调递增，()()02100co 0e s f x f ''>=-=()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭，()()0e tan 0100.20f f >--==所以，即，①正确；0.2etan 0.210-->0.2e tan 0.21>+令，可得，()3e 12x f x x =--()3e 2x f x '=-因为，，所以函数在上单调递减，()030e 02f '=-<103f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭()f x 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即，可得，②错误；()108f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭18310e 128>-⨯-1819e 16>如图，是顶角为的等腰三角形，D 为BC 的中点ABC 36则，()118036722B ∠=⨯-=AD BC⊥设，，则，即，1BC =AB AC x ==sin cos BAD B ∠=112sin18cos 722x x ===由正弦定理可得，sin sin AC BCB BAC =∠即，11cos36sin 72sin 362sin 36cos36sin 362x x x =⇒=⇒=又由余弦定理可知，22222121cos3622x x x x x x +--==⋅所以，则，23222121022x xx x x -=⇒-+=()()2110x x x ---=解得（舍），（舍），，11x BC =<2x =<3x =，③正确；sin180.3∴===> 令，可得，()211cos 2f x x x =--()sin f x x x '=-+时，，所以函数在上单调递减，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦则，即，可得，④正确；()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭1101cos 324>--311cos 324<综上所述，①③④正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于构造函数，并选择合适的定义域，利用求导分析函数的单调性及最值，进而证明不等式，属于难题.二、填空题13．如图，若向量对应的复数为z ，则表示的复数为______．OZ 4z z +【答案】##3i +i 3+【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.1i z =-4z z +【详解】由图可得，，1i z =-则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故答案为：3i+14．若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最21sin 24y x x =+()11,Ax y ()22,B x y 12x x -小值为________．【答案】##π212π【分析】化简可得范围内，即可得出切线1πsin 223y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭[1,1]-斜率必须一个是1，一个是，即可求出.1-【详解】， 2111cos 21πsin 2sin 2sin 244223x y x x x x +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∴πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭曲线的切线斜率在范围内，∴[1,1]-又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是.()11,A x y ()22,B x y 1-不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有，，()111π22πZ 3x k k +=∈()222π22ππZ 3x k k +=+∈则可得，()()1212ππππZ 22x x k k k k -=--=-∈所以.12minπ2x x -=故答案为：.π215．已知椭圆C ：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足22221(1)1x y a a a +=>-,A B ，则的取值范围______．OA OB OA OB-=+a 【答案】⎛ ⎝【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联()1,0AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 立得交点坐标关系，由得，即OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= ，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=n a 【详解】已知椭圆C ：，则其右焦点坐标为，22221(1)1x y a a a +=>-()1,0过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，,A B OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= 则设直线方程为，AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 则，所以，2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦显然恒成立，所以，0∆>()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++()()()()()222222222212111011a n a n n n a a n a a ----=+⋅+⋅+=-+-+整理得，所以，()()()22222111a a a a na a +---=--()()()22221101a a a a a a +---≥--又，所以，解得，1a >2101a a a ⎧--≤⎨>⎩1<≤a 所以的取值范围为.a ⎛ ⎝故答案为：.⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.16．已知函数，，若函数有且仅有3个零点，则2()ln 2(1ln )f x a x x x =+-R a ∈22()e ()2g x f x a =-的取值范围______．a 【答案】()2e,e 【分析】根据函数的导数，分四种情况①若，②若，③若，④若，讨论函0a ≤01a <<1a =1a >数的单调性；令，得，问题可转化为函数与的图像有3个()f x ()0g x =222()e a f x =()y f x =222e a y =不同的交点，根据单调性可得或，分两种情况①当时，②当时，讨()f x 01a <<1a >01a <<1a >论即可得出答案．【详解】函数的定义域为，且，()f x (0,)+∞()2ln 1a f x x x ⎛=-'⎫ ⎪⎝⎭①若，则，当时，，单调递增，0a ≤10a x -<(0,1)x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x ②若，当时，，01a <<(0,)x a ∈()0f x '<当时，，(,1)x a ∈()0f x '>当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增，()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a ③若，则，1a =()0f x '≤所以在上单调递减，()f x (0,)+∞④若，当时，，1a >(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x a ∈()0f x '>当时，，(,)x a ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增；()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a 令，则，()0g x =222()e a f x =所以依题意可得函数与的图像有3个不同的交点，()y f x =222e a y =则有必有或，01a <<1a >①当时，在和上单调递减，在上单调递增，01a <<()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a 所以的极大值为，()f x ()1f 2=的极大值为，的极小值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+又，()f a 22222(ln 2ln 2)[(ln 1)1]e a a a a a a a =-+=-+>>函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以函数与的图像至多有1个交点，不合题意，()y f x =222e a y =②当时，在和上单调递减，在上单调递增，1a >()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a所以的极小值为，的极大值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以必须有成立，22222(ln 2ln 2)e a a a a <<-+因为，所以，2222e a <e a >所以，2222(ln 2ln 2)e a a a a <-+所以，222ln 2ln 2ea a a <-+(*)下面求不等式的解集，(*)令，则不等式等价于，ln a x =(*)222e22x x x -<-+令函数，22()22e 2x h x x x -=--+则，2()222e x h x x -=--'令，有，2222e x y x -=--222ex y -=-'函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，2222ex y x -=--(,-∞2](2,)+∞又，所以，()2y 0=2222e 0x y x -=--≤即恒成立，故函数单调递减，()0h x '≤()h x 又，()2h 0=所以当且仅当时，，2x <()0h x >所以不等式的解集为，222e 22x x x -<-+(,2)-∞即不等式的解集为．(*)2(0,e )所以的取值范围为．a ()2e,e故答案为：．()2e,e 三、解答题17．已知函数．1()ln ln f x x x =+(1)求函数的单调区间；()f x (2)求证：．21e ()ln x f x x ->-【答案】(1)的单调增区间，，单调减区间，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令，得，确定区间，，，()0f x '=121,e e x x ==10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e 导函数符号，即可得函数的单调区间；()e,+∞（2）将所证不等式转化为，构造函数，，求导确定函数的2e ln 0x x -->2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞单调性及取值情况，即可证得结论.【详解】（1）定义域，，()()0,11,+∞ 222111(ln )1()(ln )(ln )x f x x x x x x -'=-=⋅令，即，解得()0f x '=()2ln 10x -=121,e e x x ==当，时，，当，时，，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e,x ∈+∞()0f x '>1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,e x ∈()0f x '<所以的单调增区间，，单调减区间，．()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e （2）证明：要证，即证21e ()ln x f x x ->-2e ln 0x x -->设函数，，则，2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞21()e x x x ϕ-='-令，则恒成立，所以在上单调递增．()21e x m x x -=-()221e 0x m x x -'=+>()x ϕ'()0,∞+又由，知，在上有唯一实数根，且()11e 10ϕ--'=<()0112e 022ϕ'=-=>()0x ϕ'=()0,∞+0x ，则，即．012x <<()02001e 0x x x ϕ--'==0201e x x -=当时，，单调递减；当时，，单调递增，()00,x x ∈()0x ϕ'<()x ϕ()0,x x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ所以，结合，知，()0200()e ln x x x x ϕϕ-≥=-0201e x x -=002ln x x -=-所以，则，故原不等式()()()2200000000121120x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>()2e ln 0x x x ϕ-=->得证.21e ()ln xf x x ->-18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生2022升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，150其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学1515120生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规100则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任[)155,165[)165,1756意选取人，求两人得分之和大于分的概率．234【答案】(1)中位数为，平均数为184185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形m m 底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、[)155,1652a b [)165,1754A 、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求B C D 得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，m 因为，则，()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯()175,185m ∈由中位数的定义可得，解得，()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=0.321751840.034m =+≈平均数（个）．1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为[)155,1651000.066⨯=[)165,175个，1000.1212⨯=按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，6[)155,1652a b 在内抽取人，分别记为、、、，[)165,1754A B C D 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、62(),a b (),a A (),a B (),a C (),a D 、、、、、、、、、，共种，(),b A (),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 15两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、34(),a A (),a B (),a C (),a D (),b A 、、、、、、、、，共种，(),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 14则两人得分之和大于分的概率．341415P =19．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定AD ⊥PDC 理，证得，从而得到平面；//AD l l ⊥PDC （2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之(,0,1)Q m 后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面QCD PB cos ,n PB <> PB 所成角的正弦值的最大值.QCD 【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，ABCD //AD BC AD ⊄PBC BC ⊂PBC 所以平面，又因为平面，平面平面，//AD PBC AD ⊂PAD PAD ⋂PBC l =所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且//AD l P ABCD -ABCD ,,AD DC l DC ⊥∴⊥平面，所以PD ⊥ABCD ,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为，所以平面．CD PD D = l ⊥PDC （2）［方法一］【最优解】：通性通法因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：,,DP DA DC D xyz -因为，设，1PD AD ==(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B 设，则有，(,0,1)Q m (0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===- 设平面的法向量为，QCD (,,)n x y z = 则，即，00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 00y mx z =⎧⎨+=⎩令，则，所以平面的一个法向量为，则1x =z m =-QCD (1,0,)n m =-cos ,n PB n PB n PB ⋅<>== 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>==时取等号，所以直线与平面=≤≤=1m =PB .QCD ［方法二］：定义法如图2，因为平面，，所以平面．l ⊂PBC Q l ∈Q ∈PBC 在平面中，设．PQC PB QC E = 在平面中，过P 点作，交于F ，连接．PAD PF QD ⊥QD EF 因为平面平面，所以．PD ⊥,ABCD DC ⊂ABCD DC PD ⊥又由平面，平面，所以平面．又平,,DC AD AD PD D PD ⊥=⊂ PAD AD ⊂PAD DC ⊥PAD PF ⊂面，所以．又由平面平面，所以PAD DC PF⊥,,PF QD QD DC D QD ⊥=⊂ ,QOC DC ⊂QDC 平面，从而即为与平面所成角．PF ⊥QDC FEP ∠PB QCD 设，在中，易求．PQ a =PQD △PF =由与相似，得，可得PQE BEC1PE PQa EB BC ==PE =所以，当且仅当时等号成立．sin FEP ∠==≤=1a =［方法三］：等体积法如图3，延长至G ，使得，连接，，则，过G 点作平面，CB BG PQ =GQ GD //PB QG GM ⊥QDC 交平面于M ，连接，则即为所求．QDC QM GQM∠设，在三棱锥中，．PQ x =Q DCG -111()(1)326Q DCG V PD CD CB BG x -=⋅⋅+=+在三棱锥中，．G QDC-111323G QDC V GM CD QD GM -=⋅⋅=由得Q DCG G QDC V V --=11(1)63x GM+=解得，GM ===≤当且仅当时等号成立．1x =在中，易求，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为Rt PDB△PB QG ==sin MQG ∠==【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等QCD n PB cos ,n PB <> 式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 与平面QCD 所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB 与平面QCD //PB QG 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．20．设函数，（）．2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-a ∈R(1)若在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；()f x (2)对任意的函数恒成立，求实数a 的取值范围．[)1,x ∞∈+()0f x ≥【答案】(1)12a =(2)1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将在定义域上单调递增，转化为在区间上恒成立，分类讨论a ()f x ()0,∞+()0f x '≥并，令，求导分析的单调性即可；()2(1)ln g x a x x =--()f x '（2），令，分析单调性可知，进而得到()2(1)ln f x a x x '=--()ln 1h x x x =-+ln 1≤-x x ，分类讨论a ，求出在上的单调性，即可判断是否恒成立.()(21)(1)f x a x '≥--()f x [)1,+∞()0f x ≥【详解】（1），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--若在定义域上单调递增，则在区间上恒成立，，()f x ()0,∞+()0f x '≥()10f '=当，在单调递减，显然不合题意．0a ≤()f x '()0,∞+令，，()2(1)ln g x a x x =--121()2ax g x a x x -'=-=当时，，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a >当时，，在单调递减，112x a <<()0g x '<()g x 11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递减，则在上，不合题意，()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=当时，由得；由得；12a =()0g x '<01x <<()0g x '>1x >所以在上单调递减，上单调递增，则，满足题意，()g x ()0,1()1,+∞()()()10f x g x g '=≥=当时，，1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a <当时，，在单调递增，112x a <<()0g x '>()g x 1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递增，则在上有，不合题意．()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=综上所述．12a =（2），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--令，，则，()ln 1h x x x =-+0x >()11h x x '=-当时，；当时，，01x <<()0h x '>1x >()0h x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()h x (]0,1[)1,+∞在处有最大值，则，1x =()()1ln1110h x f ≤=-+=即，所以，ln 10x x -+≤ln 1≤-x x 则，()2(1)(1)(21)(1)f x a x x a x '≥---=--当即时，由得恒成立，210a -≥12a ≥[)1,x ∞∈+()0f x '≥在上单调递增，，符合题意．所以．()f x [)1,+∞()()10f x f ≥=12a ≥当时，由得恒成立，0a ≤[)1,x ∞∈+()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=0a ≤当时，由，得，即，102a <<ln 1≤-x x 11ln 1x x ≤-1ln 1x x ≥-则，11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以．时，恒成立，102a <<112a >11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x 11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()10f x f ≤=102a <<综上可得：．1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭21．已知椭圆C ：的焦距为．()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭(1)求椭圆方程；(2)A 为椭圆的上顶点，三角形AEF 是椭圆C 内接三角形，若三角形AEF 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求三角形AEF 的面积．【答案】(1)2214x y +=(2)或者6425S =3215S =【分析】（1）先利用题给条件列方程求得，，进而得到椭圆方程；24a =21b =（2）先分别设出直线AE ，AF 的方程，再与椭圆方程联立，利用设而不求的方法分别求得的代数表达式，利用列方程求得直线AE 的斜率，进而求得三角形AEF 的面,AE AF AE AF=积．【详解】（1）椭圆C 过点，则，又，12⎫⎪⎭223114a b +=2c =223a b =+所以，解之得，，则椭圆方程为．2231134b b +=+24a =21b =2214x y +=（2）由题可知，直线AE 斜率存在，设直线AE ：y ＝kx ＋1，令，11(,)E x y 由整理得：，则22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()221480k x kx ++=1218140A Ak xx k x x ⎧+=-⎪+⎨⎪=⎩=设直线AF ：，令，11y x k =-+22(,)F x y 由整理得：，则221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()22480k x kx +-=222840A A k xx k x x ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩==由题知得：，AE AF =221144k kk =++不妨设k ＞0，化简方程知：，()2(1)310k k k --+=解之得k ＝1，k =又因为，()()()()()22222211144323224k AE AFS k k k k k ++=+⋅+==+将k ＝1，代入得三角形面积为，或者．k =6425S =3215S =22．已知．2()e 2x a f x x x =--(1)若在x ＝0处取得极小值，求实数a 的取值范围；()f x (2)若有两个不同的极值点，（），判断的正负，并说明理()f x 1x 2x 12x x <122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭由．（为的二阶导数）．()f x ''()f x 【答案】(1)(),1-∞(2)小于0，理由见解析122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数0a ≤01a <<1a =1a >的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2()2e 1e (0)t t g t t t =+->利用导数即可求解.【详解】（1）由题意得，，，()e 1xf x ax =--'()00f '=()e x f x a ''=-①当时，在上单调递增，0a ≤()f x '(),-∞+∞所以当x ＜0时，，当x ＞0时，，()()00f x f ''<=()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x 当时，由可得，由可得，0a >()0f x ''>ln x a >()0f x ''<ln x a <②当0＜a ＜1时，，在单调递增，ln 0a <()f x '()ln ,a +∞所以当时，，当时，，()ln ,0x a ∈()()00f x f ''<=()0,x ∈+∞()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x ③当a ＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，()f x '(),ln a -∞()f x '()ln ,a +∞所以在处取得最小值，即，()f x 'ln x a =()()()ln 00f x f a f '''≥==所以函数在上单调递增，()f x R 所以在x ＝0处无极值，不符合题意．()f x④当a ＞1时，，由（Ⅰ）知的减区间为，ln 0a >()f x '(),ln a -∞所以当时，，当时，，(),0x ∈-∞()()00f x f ''>=()0,ln x a ∈()()00f x f ''<=所以在x ＝0处取得极大值，不符合题意，()f x 综上可知，实数a 的取值范围为．(),1-∞（2），为的零点，则，，，1x 2x ()e 1x f x ax =--'1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩1212e e x x a x x -=-()e xf x a ''=-，121212122212e e e e2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=-⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1e e ee x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，构造函数，212x x t -=2()2e 1e (0)t tg t t t =+->则，()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<所以在单调递减，故，故原不等式得证．()g t ()0,∞+()()0g t g <故小于0．122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论参数情况。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二年级下册学期4月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则（ ）1i z =-21z z -=A ．B ．C ．D ．31i2--11i 2--11i 2-11i 2+【答案】B【分析】将复数z 代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.【详解】因为，所以．1i z =-21111(1i)i (1i)1i 2i 22z z-=-+=-+=---故选：B ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．3．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．在区间上，是增函数(2,1)-()f x B ．当时，取到极小值2x =()f x C ．在区间上，是减函数(1,3)()f x D ．在区间上，是增函数(4,5)()f x 【答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A 错；时，取得极322-<<-x ()0f x '<()f x 2x =()f x 大值（函数是先增后减），B 错；时，，递增，C 错；时，12x <<()0f x '>()f x 45x <<，递增，D 正确．()0f x '>()f x 故选：D.4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则21s 22s 2212s s >B ．甲成绩比乙成绩更稳定C ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x <【答案】B【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A 、B ：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A 错误，B 正确；2212s s <对C ：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C 错误；对D ：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D 错误；12x x >故选：B.5．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布π尼兹“关于的级数展开式计算 的近似值（其中P 表示的近似值）”.若输入，输出的结果Pπππ8n =可以表示为A ．B ．11114(1)35711P =-+-+- 11114(135713P =-+-++ C ．D ．11114(135715P =-+-+- 11114(1)35717P =-+-++ 【答案】C【解析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;1,2S i ==第2次循环:；11,33S i =-=第3次循环: ;111,435S i =-+=…第8次循环:,1111135715S =-+-+⋯-9i =此时满足判定条件,输出结果.111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题6．椭圆与直线相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜22221x y a b +=10x y +-=率为2，则=（ ）ab ABCD ．2【答案】A【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出．0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--a b 【详解】解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ∴0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--由AB 的中点为M 可得①，②1202x x x +=1202y y y +=由A ．B 在椭圆上，可得22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得③，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=把①②代入③可得()()01201222220x x x y y y a b --+=整理可得222,b a a b ==故选：A7．已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的m []0,43221()233f x x x m x =-++x ∈R 概率是（ ）A ．B ．C ．D ．14131223【答案】C【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，利220()4f x x x m '=-≥+m [0,4]用几何概型公式得到答案.【详解】，22()4f x x x m '=-+在上是增函数3221()233f x x x m x =-++x ∈R 恒成立22()40f x x x m '∴=-+≥21640m ∴∆=-≤解得或2m ≥2m ≤-又是区间内任取的一个数m [0,4]24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率3221()233f x x x m x =-++x ∈R 42142P -==故选：C ．8．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为A ．1BCD 【答案】B【分析】由可知三角形为等边三角形，设，由此计算得的高，以及五//EF AC BEF EF x =BEF ∆边形的面积，由此写出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当为何值时，体积取得最ECDAF x 大值.【详解】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形，面//EF AC BEF EF x =BEF x，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为2ECDAF 22222x =.令，解得，且当()23110238x x x x ⎛⎫⨯=-<< ⎪ ⎪⎝⎭'32131088x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭x =时，单调递减，故在0x <<318x x -2x <<318x x -x =也即是最大值.故选B.【点睛】本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为.），考查a 2锥体的体积公式，考查利用导数的方法求体积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题.9．已知点，若在圆上存在点满足，则正实()()2,0,1,0M N -221:()(1)4C x a y -+-=P 2PM PN =数的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．[]2,41⎡+⎢⎣22⎡⎢⎣59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，(),P x y 2PM PN=22:(2)4E x y -+=P C E 所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.C E【详解】设，由，得(),P x y 2PM PN==整理得，即；2240x y x +-=22(2)4x y -+=记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，22:(2)4E x y -+=P C E C E所以，即，解得.3522CE ≤≤3522≤≤22a ≤≤故选：C.10．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>A 2:12C y ax =F 线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）E P 0PA PF ⋅=EA ．B ．C ．D ．()1,2⎛ ⎝()2,+∞⎫+∞⎪⎭【答案】B【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到00所求范围．【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，()2222:10,0x y E a b a b -=>>(),0A a b y x a =±抛物线的焦点为，2:12C y ax =()3,0F a 设，则，，,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,b PA a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3,b PF a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由可得：，0PA PF ⋅= ()()22230b a m a m m a --+=整理可得：，22221430b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222Δ164130b a a a ⎛⎫∴=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，()222233a b c a ∴≥=-，2234c a ∴≤则：c e a =≤由可得：.1e>e ⎛∈ ⎝故选：B.11．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，R ()f x ()()2xf x f x e =-0x >恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）()()f x f x '>A ．B ．()()523e f f <-()()523f e f <-C ．D ．()()523e f f ->()()523f e f -<【答案】B【分析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小()()x f x g x e =()0,∞+得到答案.【详解】构造函数，因为，所以()()x f x g x e =()()2x f x f x e =-()()2x f x f x e -=则，所以为偶数()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====()g x 当时，，所以在上单调递增，0x >()()()0x f x f x g x e '-'=>()g x ()0,∞+所以有，则，即，即.()()32g g >()()32g g ->()()3232f f e e -->()()532e f f ->故选B【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.()()x f x g x e =12．已知函数若函数恰有5个零点，则实数2,1,()eln 52,1,xx f x xx x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩2[()](24)()1y f x a f x =+-+的取值范围是（ ）a A ．B ．949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭491,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．91,8⎛⎤⎥⎝⎦9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转1x >()e ln xf x x =化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，则，1x >()e ln xf x x =()2ln 1e ln x f x x -'=当时，，单调递减，当时，，单调递增，1e x <<()0f x '<()f x e x >()0f x ¢>()f x 则时，.当时，.1x >()(e)1f x f ≥=1x ≤22()52(1)66f x x x x =--=-++≤作出大致图象，函数恰有5个不同零点，()f x 2[()](42)()1y f x a f x =--+即方程恰有5个根.令，则需方程.2[()](24)()10f x a f x +-+=()f x t =2(24)10(*)t a t +-+=（l ）在区间和上各有一个实数根，令函数，(,1)-∞[2,6)2()(24)1u t t a t =+-+则解得.(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+<⎧⎪=+-+≤⎨⎪=+-+>⎩949824a ≤<（2）方程（*）在和各有一根时，则(1,2)(6,)+∞(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+>⎧⎪=+-+<⎨⎪=+-+<⎩即无解.1,9,849,24a a a ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.4924a =16（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.1a =综上，.949824a ≤<故选：A【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.()f x t =二、填空题13．已知呈线性相关的变量与的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则x y 1.050.85y x =+______．m =x24568y34.5m7.59【答案】6.5##132【分析】根据样本中心点一定在回归直线上，代入求解即可.【详解】245685,5x ++++==3 4.57.5924.55m m y +++++==样本点的中心的坐标为24(5,5m +代入得：1.050.85y x =+24 1.0550.85,5m+=⨯+6.5.m =故答案为：6.514．若实数，满足约束条件，设的最大值为，则______．x y 30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x y +a 11(2)d ax x x +=⎰【答案】##24ln 5+ln 524+【分析】根据给定条件，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出a ，再计算定积分作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ABC ，15(2,1),(1,1),(,)22A B C -令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，2x y z +=2y x z =-+2-z 画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，0:2l y x =-0l 1l 1l A 1lz 于是，即，max 2215z =⨯+=5a =所以.5252211111(2)d (2)d (ln )|(5ln 5)(1ln1)24ln 5ax x x x x x x x +=+=+=+-+=+⎰⎰故答案为：24ln 5+15．已知点P 为抛物线C ：上一点，若点P 到y 轴和到直线的距离之22(0)y px p =>34120x y -+=和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为___．【答案】=1x -【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C 的准线方程.2p =【详解】过点分别作直线，和y 轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.P 34120x y -+=A B (,0)2pF 点到直线的距离为.F 34120x y -+=531210d p =+由定义可知，，则，||||2pPF BP =+||||||||222p AP BP AP PF p d +=+-≥-=当且仅当三点共线时，取等号，,,A P F 所以，解得，12231052p p+-=2p =则抛物线C 的准线方程为=1x -故答案为：=1x -16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．x 2121ln n mx e x -≥+1[,)2+∞nm 【答案】1e【解析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到0m <0m >在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得()21ln mx f x x =+1[,)2+∞122n m e e -≥，构造放缩函数对自变量再研究，可解,nm e ≥nm n 【详解】令；当时，，不合题意；2()1ln mx f x x =+0m <1(1)02n f m e -=<<当时，，0m >()()()22ln 11ln mx x f x x +'=+令，得或，()0f x '<10x e -<<112e x e --<<所以在区间和上单调递减.()f x 1(0)e -,112(,)e e --因为，且在区间上单调递增，1121(,)2e e --∈()f x 12(,)e -+∞所以在处取极小值，即最小值为.()f x 12x e -=2m e 2m e 若，，则，即.12x ∀≥12()n f x e -≥122n me e -≥nm e ≥当时，，当时，则.0n ≤0nm ≤0n >n n n m e ≤设，则.()()0n n g n n e =>1()n ng n e -'=当时，；当时，，01n <<()0g n '>1n >()0g n '<所以在上单调递增；在上单调递减，()g n (0,1)(1,)+∞所以，即，所以的最大值为.()(1)g n g ≤1nn ee ≤nm 1e 故答案为： 1e【点睛】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数(,)0f x l ³λx D ∈的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数λ或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．0a >∆<0a<00∆>三、解答题17．已知命题：复数，．复数在复平面内对应的点在第四象p ()()2226i z m m m m =++--Rm ∈z 限．命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，是真命题，q x 21y x mx =++[)1,+∞p q ∨p ⌝求实数的取值范围．m 【答案】[][)2,03,-+∞【分析】由题可求出命题为真时的取值范围，然后根据复合命题的真假即得.,p q m 【详解】若命题为真，则，解得；p 222060m m m m ⎧+>⎨--<⎩03m <<命题为真：可得，所以；q 12m -≤2m ≥-由是真命题，可得命题为假命题，又是真命题，所以命题为真命题，p ⌝p p q ∨q所以或，且，0m ≤3m ≥2m ≥-故或，即的取值范围为.20m -≤≤3m ≥m [][)2,03,-+∞ 18．已知函数，且．()()312R 3f x x ax a =-+∈()20f '=(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值．()f x []0,3【答案】(1)；516y x =-(2)最大值为2，最小值为.103-【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切4a =3x =线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）因为，故，解得，()2f x x a'=-()240f a '=-=4a =因为，所以，()31423f x x x =-+()24f x x '=-则所求切线的斜率为，且，()23345f '=-=()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()()153y x --=-516y x =-（2）因为，，所以，()31423f x x x =-+[]0,3x ∈()24f x x '=-令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-由，可得，函数单调递减，()0f x '≤[]0,2x ∈()f x 由，可得，函数单调递增，()0f x '≥[]2,3x ∈()f x 所以的极小值为，又，，()f x ()81028233f =-+=-()02f =()31f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间，[)20,409：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：[)40,60[)60,80[]80,10010点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？【答案】(1)10:04(2)35【分析】（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可.（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为9:2010:40～，即：10点04分.300.00520500.01520700.0220900.012064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）由题意知，时间段内抽取车辆数为，分别记为：[20,60)5(0.005200.01520)2⨯⨯+⨯=，，1a 2a 时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，[60,80)50.02202⨯⨯=1b 2b 时间段内抽取车辆数为，记为：，[80,100]50.01201⨯⨯=c 所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有：，，，，121(,,)a a b 122(,,)a a b 12(,,)a a c 112(,,)a b b ，，，，，共10个，11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b 21(,,)a b c 22(,,)a b c 12(,,)b b c 恰有1辆为之间通过的基本事件有：，，，，9:2010:00～112(,,)a b b 11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b，共有6个，21(,,)a b c 22(,,)a b c 所以恰有1辆为之间通过的概率为.9:2010:00～63105p ==20．如图1，在梯形中，，，，，，线段的垂直ABCD BC AD ∥AB AD ⊥2AB =3BC =4=AD AD 平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，AD E BC F CDEF EF C D G 的位置，得到几何体，如图2所示．H ABFEHG(1)判断线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存EH P PAF ∥BGH P 在，请说明理由．(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．AH =ABH BGH 【答案】(1)存在，点为线段的中点P EH (2)．12【分析】（1）当点为线段的中点时，先证明平面，再证平面，由面面P EH HG ∥PAF BG ∥PAF 平行判定定理证明；（2）先证明，再以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立AE EH ⊥E EA EF EH x y z 空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）当点为线段的中点时，平面平面．P EH PAF ∥BGH 证明如下：由题易知，，，因为点为线段的中点，2EH =1GF =EH GF ∥P EH 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，1HP GF ==HP GF ∥HPFG HG PF ∥因为平面，平面，所以平面．PF ⊂PAF HG ⊄PAF HG ∥PAF 连接，因为，，所以四边形是平行四边形，PG PE GF ∥1PE GF ==PEFG 所以，且，又，，所以，，所以四边形PG EF ∥PG EF =EF AB ∥EF AB =PG AB ∥PG AB =是平行四边形，所以，ABGP PA BG ∥因为平面，平面，所以平面．PA ⊂PAF BG ⊄PAF BG ∥PAF因为平面，平面，，HG ⊂BGH BG ⊂BGH HG BG G ⋂=所以平面平面．PAF ∥BGH （2）因为，，AH =2AE EH ==所以，所以，222AE EH AH +=AE EH ⊥又，，所以，，两两垂直．EF EA ⊥EF EH ⊥EA EF EH 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标E EA EF EH x y z 系，E xyz-则，，，，()2,0,0A ()2,2,0B ()0,0,2H ()0,2,1G 所以，，．()0,2,0AB =()2,2,2BH =--()2,0,1BG =-设平面的法向量为，ABH ()111,,m x y z =则，即，得，取，得．00m AB m BH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111202220y x y z =⎧⎨--+=⎩10y =11z =()1,0,1m = 设平面的法向量为，则，即，BGH ()222,,x n y z = 00n BH n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222222020x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩取，得．21x =()1,1,2n =设平面与平面所成角为，ABH BGH θ则，cos m n m n θ⋅====所以，1sin 2θ===所以平面与平面所成角的正弦值为．ABH BGH1221．已知椭圆过点()2222:10x y E a b a b +=>>)(1)求椭圆的标准方程；E(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，()1,0T 1l 2l 1lE A B 2l E C D ，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与AB CD M N MN OMN 的面积之比；若不是，请说明理由．TMN △【答案】(1)；22142x y +=(2)恒过定点，与的面积之比2，理由见解析．OMN TMN △【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程组，再求解作答.,,a b c （2）设出直线、的方程，与椭圆E 的方程联立，求出点，的坐标，再求出直线的方1l 2l M N MN 程即可作答.【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，依题意可得，，解得，22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程是.E 22142x y +=（2）直线恒过定点，MN (2,0)设直线，，，:1AB x my =+()0m ≠()()1122,,,A x y B x y 由消去x 得，22124x my x y =+⎧⎨+=⎩()222230m y my ++-=则，12122223,22m y y y y m m --+==++设点，则，，(,)M M M x y 12222M y y my m +-==+2221122M M m x my m m m -=+=⋅+=++即，显然直线，同理可得，222(,)22mM m m -++1:1CD x y m =+2222(,)2121m m N m m -++直线的斜率有，MN MN k ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++因此直线，即，过定点，()222212:22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212m x y m +=+()2,0Q 显然点是线段中点，设点到直线的距离分别为，T OQ ,O T MN 12,d d则，112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQ MN d ⨯====⨯ 所以直线恒过定点，与的面积之比为2.MN ()2,0Q OMN TMN △22．已知函数．()ln f x x ax=-(1)求的单调区间．()f x (2)若存在两个不同的零点，且()fx 12,x x12x x <<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，并讨论a 的范围，利用导函数的正负得到函数的单调区间；()f x （2）根据零点存在定理可得，令1211e x x a <<<<1212x xa +<<，转化为：221x t x =()122ln ln 11t x t t =>-<，设，通过求导分析单调性即()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-可证明．【详解】（1）因为，，所以()ln f x x ax =-0x >()11axf x a x x-'=-=（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+（ⅱ）当时，令得，，故时，，在单调递增；0a >()0f x '=1x a =10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，在单调递减；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为存在两个不同的零点，且．所以且，()f x 12,x x 12x x <0a >10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即，解得，且，1ln 10a ->10e a <<121x x a <<根据题意，()()1ln100f a a a a =-=-=->所以，所以，()10fa =-<()11e ln e e 1e 1e 00e e f a a a ⎛⎫=-=->-=<< ⎪⎝⎭所以，又，所以，()e 0f>10e a <<1211e x x a <<<<，又，所以，<()()120f x f x ==1212ln ln x x ax x ==（，且），ln ln 2a b a ba b -+<<-,0a b >a b ¹证明：设，则，设，0a b >>1>ab ()1a t t b =>对数不等式即为，，12ln t t t <-()21ln 1t t t ->+由的导数，12ln y t t t =-+()22212110t y t t t -'=--=-<可得在递减，则恒成立，12ln y t t t =-+()1,+∞12ln 0y t t t =-+<即；12ln t t t <-由的导数，()21ln 1t y t t -=-+()()()222114011t y t t t t -'=-=>++可得在递增，则恒成立，()21ln 1t y t t -=-+()1,+∞()21ln 01t y t t -=->+即；()21ln 1t t t ->+，()12121212121ln ln 2x x x x x xx x a x x a --+<==<--<<令，所以可以转化为：，221x t x =1212ln ln x x x x =()122ln ln 11t x t t =>-，1t t +⎫<⎪⎭1111ln ln ln 222t x t +-+<-即证，212ln 11ln ln 2212t t t t +-⋅+<--即证，即证，212ln 11ln ln 20212t t t t +-⋅+-+<-()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<设，，()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-1t >，()()()211112ln12ln 1212t t m t t t t t t t t t t t+-+'=+--+=+-+设，则，()11ln 22t t h t t t +-=+()22222111112101222121t t h t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫'=⋅-+=⋅=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭则，所以在递减，可得，所以不等式得证；()0m t '<()m t ()1,+∞()()10m t m <=【点睛】本题充分讨论函数的单调性，利用变量转化和构造函数证明不等式.。
2012高二下学期期中文科数学测试题(选修1-2、选修4-4综合测试题)
依兰县高级中学2011-2012学年度下学期期中考试高二数学试题（文科）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）1．复数设i 为虚数单位，则5－i1＋i＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 2．已知x 与y 之间的一组数据：x0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程为∧∧∧+=a x b y 必过点( ) A .(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0) D.(1,2)3.实数系的结构图为右图所示其中1、2、3三个方格中的内容分别为( )A. 有理数、整数、零B. 有理数、零、整数C. 零、有理数、整数D. 整数、有理数、零4.用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( )A. 0a b 、至少有一个为B. 0a b 、至少有一个不为C. 0a b 、全不为D. 0a b 、中只有一个为5.若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3 或1-D ．16.设有一个回归方程为y=2－3x ，变量x 增加1个单位时，则y 平均( ) A.增加2个单位 B.减少2个单位 C.增加3个单位 D.减少3个单位 7．设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可能为( ) A. (3，π43) B. (3，π45) C. (23，π43) D. (23,π45)8. 极坐标系中，以（9，3π）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( ) A. ）（θπρ-3cos 18= B. ）（θπρ-3cos 18-=C. ）（θπρ-3sin 18= D. ）（θπρ-3cos 9= 9. 曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x (θ为参数)的焦距是 ( ) A.3 B.6 C. 8 D. 1010．在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 213.C '' ⎪⎩⎪⎨⎧==''213.D yy x x 11．若实数y x 、 满足：221169x y +=，则x+y+10的取值范围是( ) A ．[5,15] B ．[10,15] C ．[ -15,10] D ．[ -15,35] 12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即 [k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4。
2023-2024学年大庆市高二数学下学期4月份考试卷附答案解析
2023-2024学年大庆市高二数学下学期4月份考试卷考试时间：120分钟；满分：150分2024.4第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1．在等比数列{}n a 中，22a =，5274a =-，则公比q =（）A ．32-B ．23-C ．23D ．322．在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则8a =（）A ．9B ．11C ．13D ．153．下列求导运算结果正确的是（）A ．'2111x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()'ln ln 1x x x =+C ．()'sinπcosπ=D ．()'2e 1e x x x xx +⎛⎫=⎪⎝⎭ 4．在等比数列{}n a 中，112a =，公比2q =，则3a 与5a 的等比中项是（）A ．2B ．4C ．±2D ．±45．曲线()322f x x ax =-+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为3π4，则实数=a （）A ．2-B ．1-C ．2D ．36．已知数列{}n a 满足13a =，111nn na a a ++=-，则数列{}n a 前2023项的积为（）A ．2B ．3C ．2-D ．6-7．等差数列{}n a 共2n +1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n =（）A ．10B ．13C ．11D ．228．已知数列{}n a 满足11a =，且12n n a a +=+，数列{}n b 满足11b =，且11n n n b b a ++-=，则6n b n+的最小值为（）A ．133B ．5C．D ．173二、多选题9．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若10a <，20002024S S =，则（）A ．0d >B ．20120a =C ．40240S =D ．2012n S S ≥10．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，120a =，65420a a a +-=，数列{}n a 的前n 项积为n T ，则（）A ．数列{}n a 单调递增B ．数列{}n a 单调递减C ．n T 的最大值为5T D ．n T 的最小值为5T 11．在边长为3的正方形ABCD 中，作它的内接正方形EFGH ，且使得15BEF ∠=︒，再作正方形EFGH 的内接正方形MNPQ ，使得15FMN ∠=︒，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第n 个正方形的边长为n a （其中第1个正方形的边长为1a AB =，第2个正方形的边长为2a EF =，……），第n 个直角三角形（阴影部分）的面积为n S （其中第1个直角三角形AEH 的面积为1S ，第2个直角三角形EQM 的面积为2S ，……，则（）．A．2a =B ．132S =C ．数列{}n a的等比数列D ．数列{}n S 的前n 项和n T 的取值范围为39,44⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12．设数列{}n a 为等比数列，其公比为q ，已知1234a a a ++=，45632a a a ++=，则1a =.13．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且2331n n A n B n -=+，则88a b =.14．等差数列{}n a 中，已知15a =，且在前n 项和n S 中，仅当10n =时，10S 最大，则公差d 的取值范围为．四、解答题15．已知{}n a 为等差数列，公差2d =，且1a 、2a 、5a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：12n S <．16．已知数列{}n a 满足*111,235,n n a a a n n +=+=-∈N .(1)设2n n b a n =-+，证明：{}n b 是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1122n n S n +=-+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12·1n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．18．已知抛物线22x py =(0p >)上点P 处的切线方程为10x y --=.（1）求抛物线的方程；（2）设11()A x y ，和22()B x y ，为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠，且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值.19．若有穷数列12,n a a a （n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列{}n b 是项数为8的对称数列，且1b ，2b ，3b ，4b 成等差数列，11b =，410b =，试写出{}n b 的每一项．(2)已知{}n c 是项数为2k （其中1k ≥，且Z k ∈）的对称数列，且122,,,k k k c c c ++ 构成首项为15，公差为2-的等差数列，数列{}n c 的前2k 项和为2k S ，则当k 为何值时，2k S 取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数1i >，试写出所有项数为21i -的对称数列，使得211,2,22i - 成为数列中的连续项；当2000i >时，并分别求出所有对称数列的前2024项和2024S ．1．A【分析】利用等比数列性质求解即可.【详解】由题知352278a q a ==-，解得32q =-.故选：A 2．C【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意知2141135a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=-⎩，所以12(1)23n a n n =-+-=-，所以816313a =-=.故选：C.3．B【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】A ：'2111x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误；B ：()'1ln ln ln 1x x x x x x=+⨯=+，故B 正确；C ：()'0sin π=，故C 错误；D ：()'22e 1e e e x x x x x x x x x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：B.4．D【分析】先通过等比数列的通项公式计算35a a ，进而可得其等比中项.【详解】解：因为()22333542112162a a qa a ⎛⎫==⨯⎪⎭== ⎝，所以3a 与5a 的等比中项是4±，故选：D.5．C【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，列式求解，即可求得答案.【详解】由()322f x x ax =-+，得()232f x x ax '=-，由于曲线()322f x x ax =-+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为3π4，故()3π132tan 1,24f a a '=-==-∴=，故选：C6．A【分析】先找到数列{}n a 的周期，然后求得数列{}n a 前2023项的积.【详解】由13a =，111nn na a a ++=-，得3124234512341111112,,,3113121a a a a a a a a a a a a ++++==-==-====----，所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列，且12341a a a a =，故数列{}n a 前2023项的积为()()50512341232a a a a a a a ⋅=.故选：A.7．A【分析】结合等差数列前n 项和公式求得正确答案.【详解】等差数列{}n a 共2n +1个项，其中奇数项有1n +个，偶数项有n 个，设等差数列{}n a 的公差为d ，奇数项和()()132111122n n n a a a n a d+++++=++⋅ ()()11165n a nd =++=①，偶数项和()()2421122n n n a a a n a d d -+++=++⋅ ()1150n a nd =+=②，①-②得115a nd +=，则15150,10n n ⨯==.故选：A 8．B【分析】由等差数列定义求出()12121n a n n =+-=-，由累加法求出2*,N n b n n =∈，由对勾函数单调性结合*N n ∈即可求解.【详解】由题意数列{}n a 满足11a =，且12n n a a +=+，所以数列{}n a 是等差数列，且()12121n a n n =+-=-，所以1121n n n b b a n ++-==+，当*2,N n n ≥∈时，()()()()2121112121312n n n n n b b b b b b n n-⎡⎤+-⎣⎦=-++-+=-+++== ，又2111b ==，所以2*,N n b n n =∈，所以66n b n n n +=+，而23<<，所以当2n =或3n =时，66n b n n n+=+取最小值，当2n =时，665n b n n n +=+=，当3n =时，665n b n n n +=+=，综上所述，6n b n+的最小值为5.故选：B.9．ACD【分析】由题意可得200120240a a +=，从而可求出124023d a =-，即可判断A ；再结合等差数列的性质及前n 项和公式即可判断BCD.【详解】因为20002024S S =，所以2001200220240a a a +++= ，所以()200120242402a a +=，所以20012024201220131240230a a a a a d +=+=+=，又因为10a <，所以1204023d a =->，故A 正确；20121111402212011040234023a a d a a a =+=-=<，故B 错误；()()140242001224002440402420122S a a a a ==+=+，故C 正确；因为2012201320120,0a a a <=->，所以当2012n ≤时，0n a <，当2013n ≥时，0n a >，所以()2012min n S S =，所以2012n S S ≥，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：在等差数列中，求n S 的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；（2）借助二次函数的图象及性质求解.10．BC【分析】由已知结合等比数列的通项公式先求出公比q ，进而可求通项公式，然后结合选项即可判断．【详解】等比数列{an |的各项均为正数，120a =，65420a a a +-=，所以244420q a qa a +-=，即2210q q +-=，又q ＞0，解得q 12=或q ＝-1（舍），所以数列{}n a 为单调递减数列，A 错误，B 正确；则352n n a -=，易得：51a >，61a <，所以n T 的最大值为5T ，C 正确，D 错误．故选：BC ．11．AC【分析】利用正方形的特征结合15 的三角函数值可判定A 、B 选项，利用相似三角形的相似比可判定C 选项，同时结合等比数列的求和公式可判定D 选项.【详解】由题意可知sin15,cos15AE BF EF BE AH EF ==⋅==⋅ ，1sin15cos15sin15cos15EF EF AB EF EF ==++，而sin15sin 60cos 45cos 60sin 454=-=，则cos154= ，所以EF ==A 正确；由上可知AE AH ==，所以1113224S AE AH =⋅==，故B 错误；易知MNF EFB ~ ，此后对应三角形均相似，而相似比6sin15cos153MN MN EF MN MN ==+ ，即{}n a 是首项为3，公比为63的等比数列，所以C 正确；同样的{}n S 是首项为34，公比为2233⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的等比数列，则32143992244313nnnT ⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-⨯ ⎪⎝⎭-，显然23n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，即220,33n⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以n T 的取值范围为39,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故D 错误.故选：AC.关键点点睛：判断D 选项的关键是得出等比数列{}n S 的首项和公比，由此即可顺利得解.12．47【分析】根据题设两个等式左右分别相除，易求得公比q ，再将其代入任一等式即可求得1.a 【详解】因33124536(32)4a a a q a a a q +++==+=，可得：2q =，又由212311(1)74a a a a q q a ++=++==，解得：14.7a =故答案为：47.13．2746【分析】根据等差数列的前n 项和公式的特征可设()23n A kn n =-，()31n B kn n =+，()0k ≠，即可表示出88,a b ，即可求得答案.【详解】 两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，故设()23n A kn n =-，()31n B kn n =+，()0k ≠则()()8878283727327a A A k k k =-=⨯⨯⨯--⨯⨯⨯-=，()()8878381737146b B B k k k =-=⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯+=，所以882746a k b k ==2746故答案为：2746.14．51,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】首先写成等差数列前n 项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解.【详解】{}n a 为等差数列，且15a =，则前n 项和2522n d d S n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，是关于n 的二次函数，且*N n ∈，因为仅当10n =时，10S 最大，所以对称轴在区间1921,22⎛⎫⎪⎝⎭，即191521222d <-<，解得：5192d -<<-，则公差d 的取值范围是51,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：51,92⎛⎫-- ⎝⎭15．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出1a ，即可得解；（2）由（1）可得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）依题意2112a a d a =+=+，51148a a d a =+=+，又1a 、2a 、5a 成等比数列，所以2125a a a =，即()()211182a a a +=+，解得11a =，所以()1121n a a n d n =+-=-.（2）由（1）可得()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以12n nS b b b =+++ 1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 1111112212422n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.16．(1)证明见解析；(2)()()2232332nn n ⨯---+【分析】（1）给1235n n a a n ++=-式子两边同时加()12n -++，化简证明即可；（2）分为两组，一组等差数列，一组等比数列，利用等差等比数列的前n 项公式求解即可.【详解】（1）因为*1235,n n a a n n ++=-∈N ，所以()()11223512n n a n a n n +-+++=--++，所以()112224n n a n a n +-++=-+-，所以()()11222n n a n a n +-++=--+，所以12n n b b +=-，又111220b a =-+=≠，则12n nb b +=-，所以{}n b 是以2为首项，2-为公比的等比数列.（2）由（1）可知，()()111222n n n b b --=⋅-=⨯-，由于2n n a b n =+-，所以()1222n n a n -=⨯-+-，所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()()()0121221220221222n n -=⨯-+-+⨯-++⨯-++⋅⋅⋅+⨯-+-()()()()()()0121222222221012n n -⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+-+++⋅⋅⋅+-⎣⎦()()()()()()0121222221012n n -⎡⎤⎡⎤=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-⎣⎦⎣⎦()()()()12122122nn n ⎡⎤-+---⎣⎦=⨯+--()()2232332nn n ⨯--=-+.17．(1)2nn a n =⨯(2)()2124n n T n +=+⨯-【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列121n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【详解】（1）当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，由()1122n n S n +=-+，得()1222nn S n -=-+，则()()1112222n n nn n n a S S n n n +-=-=---=⨯，因为11212a ==⨯，所以2n n a n =⨯；（2）由（1）可知，()112·221n n n a n n +++=+⨯+，则()234132425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()3452232425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()234123222222n n n T n ++-=⨯+++⋯+-+⨯()()12812122212n n n -+-=+-+⨯-()22122822n n n ++=+--+⨯()2412n n +=-+⨯，所以()2124n n T n +=+⨯-．18．（1）24x y =；（2）8.【解析】（1）先根据导数几何意义得01x p=,再根据切点在切线上,解方程组得2p =；（2）设线段AB 中点()00,M x y ，根据斜率公式得()012142AB x k x x =+=，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线l 方程,解得C 坐标,利用点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底AB 长,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值【详解】（1）设点200(2x P x p ，，由22x py =得22x y p=，求导得x y p '=，∵抛物线22x py =上点P 处的切线斜率为1，切线方程为10x y --=，∴01x p =，且200102x x p--=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =；（2）设线段AB 中点00()M x y ，，则1202x x x +=，12022y y y +==，2221021122121144()42AB x x x y y k x x x x x x --===+=--，∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--，即02(4)0x x y +-+=，∴l 过定点(0)4，，即点C 的坐标为(0)4，，联立0022()24x y x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩⇒22002280x xx x -+-=，得220044(28)0x x ∆=-->⇒0x -<<12||||AB x x =-，设4(0)C ，到AB 的距离||d CM ==∴1||2ABC S AB d =⋅=8==，当且仅当22004162x x +=-，即02x =±时取等号，∴ABC S 的最大值为8.【点睛】关键点睛：⑴由抛物线方程的特征设点，减少参数；⑵求面积最值使用均值不等式.19．(1)1，4，7，10，10，7，4，1(2)当8k =时2k S 取得最大值，且()x 2ma 128k S =(3)答案见解析【分析】（1）设前4项的公差为d ，由4141b b d -=-求出公差d ，从而得到2b ，3b ，再根据对称性得到其余项；（2）首先利用等差数列求和公式求出122k k k c c c +++++ ，则()21222k k k k S c c c +++++= ，再由二次函数的性质计算可得；（3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分2024i ≥、20002024i <<两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得.【详解】（1）因为1b ，2b ，3b ，4b 成等差数列，11b =，410b =，设前4项的公差为d ，所以41341b b d -==-，所以214b b d =+=，3127b b d =+=，又数列{}n b 是项数为8的对称数列，所以811b b ==，724b b ==，637b b ==，5410b b ==，所以{}n b 的项依次为1，4，7，10，10，7，4，1.（2）因为122,k k k c c c ++ 构成首项为15，公差为2-的等差数列，所以()()21221215162k k k k k c c c k k k ++-⨯-+++=+=-+ ，又12k c c =，221k c c -=，L ，1k k c c +=，所以()()122222223228128k k k k S k c c c k k ++==-+=-+-+++ ，所以当8k =时2k S 取得最大值，且()x 2ma 128k S =.（3）因为1，2，22，L ，12i -成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为21i -，所以这样的对称数列有：①1，2，22，L ，22i -，12i -，22i -，L ，22，2，1；②12i -，22i -，L ，22，2，1，2，22，L ，22i -，12i -；因为2000i >，对于①，当2024i ≥时202422023202420241212222112S -=++++==-- ；当20002024i <<时21232202520241222222i i i i S ----=++++++++ ()220252024212121212i i i ----=+--1220252122i i i --=-+-，所以2024202412202521,20242122,20002024i i i i S i --⎧-≥=⎨-+-<<⎩；对于②，当2024i ≥时()20242024122024202420242122222212i i i i i i S ------=+++==-- ；当20002024i <<时122122024202422221222i i i S ---=+++++++++ ()2024212121212i i ---=+--202520252122232i i i i --=--+=-+，所以20242024202522,2024232,20002024i i i i i S i --⎧-≥=⎨-+<<⎩；【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第三问关键是得到数列的两种形式，再分2024i ≥、20002024i <<两种情况分别求和.。
高二数学下学期第四学月考试试题(普通班)理(1)(2021年整理)
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(普通班）理第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+2.设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A ）23（31+（D ）51+ 3。
抛物线C 1：y ＝错误!x 2（p >0）的焦点与双曲线C 2：错误!－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M 。
若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝ ( )．A.错误!B 。
错误! C.错误!D.错误!4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2),且P(ξ〈4）＝0。
8，则P （0<ξ<2）＝（ ） A ．0.6 B ．0。
4 C ．0.3D ．0。
25．从一个棱长为1的正方体中切去一部分,得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ）A 。
87 B. 85 C. 65 D 。
436. 六个人站成一排照相,则甲乙两人之间恰好站两人的概率为（ )A.16 B 。
2023-2024学年吉林省长春市高二下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年吉林省长春市高二下学期4月月考数学模拟试题一、单选题1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有()A ．22种B ．350种C ．32种D ．20种【正确答案】A【分析】从中任选一本阅读，选择的方法有三类，故选择1本书的方法需要分三种情况讨论，再利用加法原理解决问题.【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法；二是选择英语书，有7种不同的选法，三是选择数学书，有5种不同的选法，根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法.本题考查分类计数原理，本题解题的关键是看清楚完成一件事包含有几类情况，计算出每一类所包含的基本事件数，进而相加得到结果.2．函数()ln f x x =在e x =处的导数是（）A ．1B ．1eC ．eD ．1e-【正确答案】B【分析】对函数求导，根据导函数求e x =处的导数.【详解】由题意，1()f x x'=，故1(e)ef '=.故选：B3．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（）A ．12B ．10C ．6D ．4【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答.【详解】在等差数列{}n a 中，648220a a a =+=，得610a =，公差762d a a =-=，所以46210226a a d =-=-⨯=.故选：C4．某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数，且函数解析式为2117(0)y x x =>，生产成本2y （万元）是产量x （千台）的函数，且函数解析式为3222(0)y x x x =->，要使利润最大，则该产品应生产（）A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台【正确答案】A构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【详解】设利润为y 万元，则()2323212172218(0)y y y x x x x x x =-=--=-+>，∴26366(6)y x x x x =-+=-'-.令0y '=，解得0x =（舍去）或6x =，经检验知6x =既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.故选：A利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间[,]a b 上单调递增或递减，()f a 与()f b 一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[,]a b 上有极值，要先求出[,]a b 上的极值，与()f a ，()f b 比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．5．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A ，B ，C ，D 四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）A ．8种B ．12种C ．16种D ．24种【正确答案】C【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.【详解】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2=16种，故选：C6．已知函数()3222f x x mx m x =-+在x =1处取得极大值，则m 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或2-【正确答案】B【分析】求导，令()01f '=，即可得求导m 值，分别代入导函数检验，当1m =时，在x =1处取得极小值，故舍去，当3m =时，在1x =处取得极大值，即可得答案.【详解】由题意得：22()34f x x mx m '=-+，因为在x =1处取得极大值，所以2(1)340f m m '=-+=，解得1m =或3m =，当1m =时，2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得13x =或1x =，当1,,(1,)3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以在1x =处取得极小值，不符合题意，故舍去，当3m =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，令()0f x '=，解得1x =或3x =，当(),1,(3,)x ∈-∞+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以在1x =处取得极大值，故3m =满足题意综上3m =.故选：B易错点为，通过()01f '=，解得1m =或3m =，需代回导函数检验，x =1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F ，过点2F 倾斜角为π6的直线与双曲线左右两支分别交于A ，B 两点，若223AF BF =，则双曲线C 的离心率e 为（）A B ．2C ．43D 【正确答案】D【分析】设2BF m =，根据题意结合双曲线的定义可得112,32BF m a AF m a =+=-，分别在12F F B △、12F F A △中，利用余弦定理运算求解.【详解】设左焦点为1F ，连接11,AF BF ，设122,2BF m F F c ==，则2112,3,32BF m a AF m AF m a =+==-，∵2130BF F ∠=︒，则有：在12F F B △中，由余弦定理2221212212212cos BF BF F F BF F F BF F =+-∠，即()()2222222m a m c m c +=+-⨯，整理得)222m a b +=，在12F F A △中，由余弦定理2221212212212cos AF AF F F AF F F AF F =+-∠，即()()()2223232232m a m c m c -=+-⨯⨯)2322m a b -=，可得))232ma ma +=-，注意到0m ≠26a a +=-，整理得3c a =，故离心率33c e a a ===.故选：D.8．已知对任意的()1,x ∈+∞，不等式()1e 11ln 0kxk x x ⎛⎫⋅+-+> ⎪⎝⎭恒成立，则正数k 的取值范围是（）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】不等式中出现的指数式e kx ，对数式ln x ，故可以考虑同构，将原不等式变形为()()1e ln e1ln kxkxx x +>+，以实现不等式左、右两边统一于函数()()1ln f x x x =+，再利用导数研究函数()f x 的单调性，从而由()()e kxf f x >可得kx e x >，再分离参数求最值即可.【详解】因为对任意的()1,x ∈+∞，不等式()1e 11ln 0kxk x x ⎛⎫⋅+-+> ⎪⎝⎭恒成立，即()()e 11ln kxkx x x +>+对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()()1e ln e 1ln kx kxx x +>+对任意的()1,x ∈+∞恒成立，设()()1ln f x x x =+，则()()e kxf f x >，因为()11ln ln 1x f x x x x x+'=+=+，又1x >，所以()0f x ¢>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以kx e x >对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即ln xk x>对任意的()1,x ∈+∞恒成立，令()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=，当()1,x e ∈时，()0g x '>；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()1,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1g x g e e==，所以1k e >.故选:A 二、多选题9．（多选）已知0a >，函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上是单调增函数，则a 的可能取值是（）.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】ABC【分析】对函数()f x 进行求导，根据函数在[)1,+∞上是单调增函数，可以得到在[)1,+∞上，()0f x '≥恒成立，结合二次函数的最值求出a 的取值范围，最后选出正确答案即可.【详解】由题意得()23f x x a '=-，因为函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上是单调增函数，所以在[)1,+∞上，()0f x '≥恒成立，即23a x ≤在[)1,+∞上恒成立，因为当[)1,x ∞∈+时，二次函数2()3g x x =的最小值为(1)3g =所以3a ≤.故选：ABC本题考查了已知函数的单调区间求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.10．已知函数()ln xf x x=，下列判断正确的是（）A ．()f x 的单调减区间是()0,1，()1,eB ．()f x 的定义域是()()0,11,+∞ C ．()f x 的值域是()1,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．y m =与()y f x =有一个公共点，则e m =或0m <【正确答案】ABD【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.【详解】对B ，函数()ln xf x x =定义域满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得()()0,11,x ∈+∞ ，故B 正确；对A ，()2ln 1ln x f x x -'=，令()0f x '<可得ln 101x x <⎧⎨<<⎩和ln 11x x <⎧⎨>⎩，解得()0,1x ∈和()1,e x ∈，故()f x 的单调减区间是()0,1，()1,e ，故A 正确；对C ，由A 可得当()0,1x ∈和()1,e x ∈时()f x 单调递减，当()e,x ∈+∞时()f x 单调递增，且()ee e ln ef ==，作出简图，可得()f x 的值域是()[),0e,-∞⋃+∞，故C 错误；对D ，由()f x 图象可得，y m =与()y f x =有一个公共点，则e m =或0m <，故D 正确；故选：ABD11．已知函数()e cos xf x m x =-，()f x '为()f x 的导函数，则下列说法正确的是()A ．当1m =时，()f x 在()0,∞+单调递增B ．当1m =时，()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y x =C ．当1m =-时，()f x '在[0,)+∞上至少有一个零点D ．当1m =-时，()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调【正确答案】ABD【分析】A ．代入m ＝1，求()f x '，根据指数函数和正弦函数在()0,∞+上的值域即可判断()f x '的正负，由此可判断f (x )在()0,∞+上的单调性；B ﹒代入m ＝1，求f (0)和()0f '，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C ﹒代入m ＝－1，求()f x '，令()()x f x ϕ'=，求()x ϕ'，根据()x ϕ'在()0,∞+上的正负判断()f x '的单调性，根据()f x '单调性可判断其在[0,)+∞上是否有零点；D ﹒判断()x ϕ'在3(2π-，)π-上的正负，由此判断()f x '的单调性，由此可判断()f x '在3(2π-，)π-上有零点，故可判断f (x )在3(2π-，)π-上不单调．【详解】①当1m =时，()e cos x f x x =-，()e sin xf x x '=+，当x ＞0时，e x ＞1，－1≤sin x ≤1，∴()f x '＞0，∴f (x )在()0,∞+上单调递增，故A 正确；∵f (0)＝0，()01f '=，∴()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y ＝x ，故B 正确；②当m ＝－1时，()e cos xf x x =+，()e sin x f x x '=-，令()()x f x ϕ'=，则()e cos xx x ϕ'=-，当x ＞0时，e x ＞1，－1≤cos x ≤1，∴()x ϕ'＞0，∴()()x f x ϕ'=在()0,∞+上单调递增，∴当x ≥0时，()f x '≥()0f '＝1，∴()f x '在[0,)+∞上无零点，∴C 错误；当3(2x π∈-，)π-时，cos x ＜0，e x ＞0，∴()e cos xx x ϕ'=-＞0，∴()()x f x ϕ'=在3(2π-，)π-单调递增，又323e 102f ππ-⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，而()e 0f ππ-'-=>，∴由零点存在定理可知，存在唯一03(2x π∈-，)π-，使得()00f x '=，当3(2x π∈-，0)x 时，()00f x '<，()f x 单调递减，当0(x x ∈，)π-时，()00f x '>，()f x 单调递增，∴()f x 在3(2π-，)π-上不单调，故D 正确．故选：ABD.12．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()212f x xf x x '+=，()10f =（若()1f x x '=，则()ln f x x c =+，c 为常数），则下列说法正确的是（）A ．()f x在x =12eB ．()f x 只有一个零点C ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则e2>k D ．()1f ff <<【正确答案】BCD【分析】对A ，根据212()()f x xf x x '+=，()10f =，求出2ln ()xf x x =，进而可求出导数，根据极值定义进行判断；对B ，根据()f x 单调性和零点定义，结合图像判断；对C ，要保证2,1()(0,)x f x k x∈<-+∞组成立，即max 22ln 1()x k x x >+，通过构造函数求其最值，进行判断；对D ，根据()f x 单调性，和对数比较大小，进行判断.【详解】对于A ，∵212()()f x xf x x '+=且()0,∞+，可得212()()xf x x f x x'+=，则有21(),x f x x'⎡⎤=⎣⎦故2()ln x f x x c =+（c 为常数)，又()10f =，则21(1)ln1f c =+，得0c =，故()2ln (),0,xf x x x =∈+∞,()2444312ln 2ln (12ln )12ln x x xx x x x x x x f x x x x x ⋅-⋅---'====当1ln 0,x ->，即12ln ln e ,x <解得：0x <<,()0f x ¢>，此时()f x 单调递增，当1ln 0,x -=，即1,2ln ln e x =解得x =()0f x '=，当1ln 0,x -<，即12ln ln e x >解得：x >()0f x '<，此时()f x 单调递减，∴x =()f x取得极大值，e 1,2ef ==故A 错误；对于B ，()0,0x f x +→<，1,2ex f ==(),0x f x →+∞>，画出()f x草图，如图：根据图像可知：()f x 只有一个零点，故B 正确；对C ，要21()f x k x <-在()0,∞+上恒成立即：21()f x k x +<在()0,∞+上恒成立，2ln ()x f x x =，可22ln 1x k x x +<在上恒成立，只需max 22ln 1()x k x x>+，令21ln ()x G x x +=，312ln ()x G x x --='，当120e x -<<，312ln ()0xG x x --'=>；当12e x ->时，312ln ()0xG x x --'=<；12e x -=，312ln ()0xG x x --'==；则1122max 1221ln e e ()(e ),2(e )G x G ---+===即：max 22ln 1)e2(x k x x >+=，故C 正确；对于D，根0x <<()f x单调递增，x >，()f x单调递减，1<<可得(1)f f<ln 2,24f == ()ln 23,(2)4f f f === 。
高二数学下练习题加答案
高二数学下练习题加答案1. 利用代数法解方程组：① 4x + 2y = 102x - 3y = 1② 3x - y = 82x + 5y = 1③ 5x - 3y = 7-2x + 4y = -12. 求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4 的对称轴和最值。
3. 解下列不等式：① 2x + 3 > 5x - 4② 2(3 - x) ≥ 12 - 3x③ 4x - 3 < 2x + 5 ≤ 104. 已知函数 y = 2x^2 - 3x + 4，求函数图像与 x 轴的交点。
5. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像经过点 (2, -1)，且开口向上，求 a、b、c 的值。
答案与解析：1.首先，将方程组写成矩阵形式：[4, 2 | 10][2, -3 | 1]利用代数解法，进行消元运算得出： [1, 0 | 3][0, 1 | 2]所以，方程组的解为 x = 3，y = 2。
②解：首先，将方程组写成矩阵形式：[3, -1 | 8][2, 5 | 1]利用代数解法，进行消元运算得出： [1, 0 | -7][0, 1 | 3]所以，方程组的解为 x = -7，y = 3。
③解：首先，将方程组写成矩阵形式：[-2, 4 | -1]利用代数解法，进行消元运算得出：[1, 0 | 3][0, 1 | 1]所以，方程组的解为 x = 3，y = 1。
2.对称轴的横坐标为 x = -b / (2a)，将函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4 的系数代入计算得： x = -2 / (2 * 1) = -1将 x = -1 代入函数 f(x) 计算最值得：f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) - 4 = -4所以，对称轴为 x = -1，最值为 -4。
3.①解：首先，将不等式进行整理得：-x > -7然后，将符号进行翻转得：x < 7所以，不等式的解集为 x ∈ (-∞, 7)。
2021年高二4月月考文科数学含答案
2021年高二4月月考文科数学含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，则等于（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（）A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件4.设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称，则下列判断正确的是（）A. p为真B. 为假C.为假D.为真5.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A.28B.76C.123D.1996.下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，其中的真命题为（）A.p2，p3B.p1，p2C.p2，p4D.p3，p47. 为定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-1B.-4C.1D.48.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.9.已知函数的周期为2,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8 10.方程所表示的曲线的图形是（）11.已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为-8，其中正确的是（ ）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁 12.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A.x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B.x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C.x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D.x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13.设.则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20132012201332013220131f f f f ________. 14.定义运算 ，则函数 的图象在点处的切线方程是______________.15.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 16.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）: ①类比推出；②",,,,,"d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈则若类比推出",22,,,,"d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈则若③类比推出其中类比得到的结论正确的序号是______________（把所有正确命题的序号都写上）.郯城一中xx 学年高二数学下学期月考试卷填空题答题区域（每题4分，共16分）：13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 设.（1）若，试判定集合A 与B 的关系； （2）若，求实数组成的集合C._____ 准考证号__________________________18.（本小题满分12分）已知函数是奇函数.（1）求实数m的值;（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）已知复数的平方根是，且函数.（1）求；（2）若.20.（本小题满分12分）已知函数都任意的都有，且.（1）判定在R上的单调性；（2）若.21.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）22.（本小题满分14分） 已知函数 ，为的导数.（1）当时，证明在区间上不是单调．．．．函数； （2）设，是否存在实数，对于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.高二月考参考答案二、填空题：13、1006 14、6x-3y-5=0 15、0＜a ≤1／4 16、①② 三、解答题： 17、 18、（1）m=2 (2) 1＜a ≤3 19、 20、（1）增函数 （2）-1＜m ＜4／3 21. 解：（1）因为时，， 代入关系式，得， 解得.（2）由（1）可知，套题每日的销售量， 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦，从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<. 令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， 所以当时，函数取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.22.解：（1）当时，x ，，其对标轴为. 当时，是单调增函数， 又，在上，由，得；在上＜0，为减函数； 在上＞0，为增函数.由上得出在上，不是单调函数. ………………6分 （2）在上是增函数，故对于，. ………6分设()()()[]21111112322,1,1h x f x ax x x a a x '=+=+-+∈-.，由，得. …………………8分要使对于任意的，存在使得成立，只需在上， -， …………9分 在上；在上，所以时，有极小值. 又，因为在上只有一个极小值，故的最小值为.222126,526,112,33a a a a a a ⎧⎪--≤⎪--≤⎨⎪⎪---≥-⎩ 解得. ………………………………14分|20167 4EC7 仇32753 7FF1 翱33031 8107 脇l A31245 7A0D 稍22399 577F 坿~21506 5402 吂29459 7313 猓27226 6A5A 橚22484 57D4 埔34008 84D8 蓘。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下册4月月考数学检测试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下册4月月考数学检测试题一、单选题1．下列求导数运算中正确的是（）A ．()22x x'=B ．()2ln 2ln x x x x x'=+C ．cos sin x xx '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()22e e x x'=【正确答案】B【分析】根据求导法则依次计算得到答案.【详解】对选项A ：()222ln x x '=⋅，错误；对选项B ：()221ln 2ln 2ln x x x x x x x x x '=+⋅=+，正确；对选项C ：2cos sin cos x x x x x x '--⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误；对选项D ：()22e 2e '=x x ，错误.故选：B2．已知函数()2sin f x x x =-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最大值为（）A ．0B ．22π-C 3π-D 6π【正确答案】C【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】∵()12cos f x x '=-+，∴当[0,)3x π∈时，()'()0,f x f x >单调递增，当(,]32x ππ∈时，()'()0,f x f x <单调递减，∴()max 33f x f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据常见函数的导函数分析，结合导函数为原函数的切线斜率关系判断即可【详解】对A ，()212f x x =和()f x x '=可满足，故A 可能成立；对B ，()ln f x x =和()()10f x x x'=>可满足，故B 可能成立；对C ，()2xf x =和()2ln 2x f x '=可满足，故C 可能成立；对D ，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任一一个函数图象为导函数，则原函数的切线斜率应该恒非负或非正，故不满足，故D 错误；故选：D4．已知函数()ln (1)e 2x f x x f '=-+，则(1)f =（）A ．e2e 1++B ．e2e 1-++C ．2D ．-2【正确答案】B【分析】先求导，再代值即可求解【详解】因为()ln (1)e 2x f x x f '=-+，则()1(1)e x f x xf ''=-，则(1)1(1)e f f =-''，即1(1)e 1f =+'，则(1)21ef e =-++.故选：B.5．设,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【正确答案】C根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.6．已知1A ，2A 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右顶点，点P 在双曲线C 上，12PA A △为等腰三角形，且底角为30︒，则双曲线C 的离心率为（）A BC ．2D【正确答案】A【分析】不妨取P 在双曲线右支上，22PA a =，1PA =，确定()2P a ，代入方程得到a b =，得到离心率.【详解】不妨取P 在双曲线右支上，则2122PA A A a ==，12PA a ==，过P 作PD x ⊥轴于D ，260PA D ∠=︒，故2A D a =，PD =，故()2P a ，2222431a a a b-=，整理得到a b =，即c =，故c e a ==故选：A7．已知函数()y f x =对任意的ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '->（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ()π04f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据条件构造函数()()cos g x f x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求函数的导数，确定函数的单调性，利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论．【详解】构造函数()()cos g x f x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，则4ππ3g g ⎛⎫⎛⎫-<-⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；则ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；则()π03g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()ππ0cos 0cos 33f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 正确；则()π04g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()ππ0cos 0cos 44f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：C.8．已知函数()e xf x x a =-，()a ∈R 有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,e C ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()20,e【正确答案】A【分析】求导分a 与0的大小关系，讨论函数的单调性，进而求得函数的极值点，再结合零点存在性定理求解即可.【详解】()1e xf x a ='-，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 为单调递增函数，()f x 最多只有一个零点，不合题意，舍去；当0a >时，令()0f x ¢>，得1ln x a <，令()0f x '<，得1ln x a>.∴()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.∴()1ln max111ln ln e ln 1a f x f a a a a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.∵函数()e xf x x a =-有两个零点，∴1ln10a->，1ln 1a >，得10e a <<.又()00f a =-<，()()01e af a a =-<，且1ln 10a >>，1ln ln 0a a a a-=+>，故1ln a a >.故()e xf x x a =-在10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1ln ,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上均有零点，满足题意.综上10ea <<.故选：A二、多选题9．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．4π03f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭B ．点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】AD【分析】求导计算得到A 正确，代入数据验证得到B 错误，带入数据验证得到C 错误，根据平移法则得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：()π2cos 26f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，4π4ππ5π2cos 22cos 03362f ⎛⎫⎛⎫'=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；对选项B ：当4π3x =时，π5π2π,Z 62x k k -=≠∈，错误；对选项C ：π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是单调递减，错误；对选项D ：平移后的函数为πsin 2si 6π66πn 2y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确.故选：AD10．已知函数()ln f x x x =，下列说法正确的有（）A ．曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-B ．过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条C ．函数()f x 有极小值，无极大值D ．方程()1f x =有两个不同的解【正确答案】ABC【分析】利用导数的几何意义求得切线方程为1y x =-，可判定A 正确；设切点000(,ln )P x x x ，求得切线方程，将点()1,1-代入切线方程得到00ln 20x x -+=，令()ln 2,0g x x x x =-+>，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，得出方程00ln 20x x -+=有两个实根，可判定B 正确；利用导数求得函数()f x 的单调性，结合极值的概念，可判定C 正确；结合函数()f x 的单调性和极值，根据()y f x =与1y =的图象只有一个交点，可判定D 错误.【详解】对于A 中，由函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，可得()11f '=且()10f =，即切线的斜率为1k =且过点(1,0)，所以切线方程为01y x -=-，即切线方程为1y x =-，所以A 正确；对于B 中，设过点()1,1-的切线与曲线相切于点000(,ln )P x x x ，可得切线方程为0000ln ()()y x x f x x x '-=-，即0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，将点()1,1-代入切线方程，可得00001ln (ln 1)(1)x x x x --=+-，整理得00ln 20x x -+=，令()ln 2,0g x x x x =-+>，可得()111xg x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以函数()g x 的极大值，也为最大值为()110g =>，当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →-∞，所以在0x >上，函数()g x 有两个零点，即方程00ln 20x x -+=有两个实根，所以过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条，所以B 正确；对于C 中，由()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =，当1(0,ex ∈时，()0f x '<，()f x 单调减；当1(,)ex ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调增，所以当1e x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为11(0e ef =-<，无极大值，所以C 正确；对于D 中，由C 知函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞单调递增，且得极小值为11()0e ef =-<，又由当1(0,)ex ∈时，()0f x <；当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()y f x =与1y =的图象只有一个交点，即方程()1f x =有两个不同的解，所D 错误.故选：ABC.方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.11．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【正确答案】ABC【分析】求得导数函数()(3)(332),f x x x a '=---只需3233a+>即可满足题意.【详解】 2()()(3),f x x a x =--∴22()(3)()(3)(3)(332),f x x x a x x x a '=---=--+-令()0f x '=，则3x =或323ax +=，当3233a +>时，即3a >时，()f x 在(),3-∞单调递增，323,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，32,3a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，此时，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是4,5,6.故选：ABC.12．若1201x x <<<，则下列选项正确的是（）A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．1221e e x xx x >C ．1221x xx x >D ．1212x xx x >【正确答案】BC【分析】分别构造函数()e ln x A f x x =-，e ()xB f x x =，ln ()C x f x x=，()ln D f x x x =，求导得到导函数，根据函数是否在()0,1上单调得到答案.【详解】对选项A ：2121e e ln ln x xx x ->-，即2121e ln e ln x x x x ->-，设()e ln ,(0,1)x A f x x x =-∈，1()e xA f x x '=-，又(1)e 10A f '=->，1202A f '⎛⎫=< ⎪⎝⎭，，故()A f x 在(0,1)上不单调，对于()()122101,A A x x f x f x ∀<<不成立，错误；对选项B ：1221e e x x x x >，1212e e x x x x >，设e (),(0,1)xB f x x x=∈，2(1)e ()0xB x f x x -'=<，()B f x 在(0,1)上单调递减，故对()()121201,B B x x f x f x ∀<<，正确；对选项C ：1221x xx x >，即()()1221ln ln x x x x >，即1221ln ln x x x x >，即2121ln ln x x x x >，设ln (),(0,1)C xf x x x=∈，21ln ()0C x f x x '-=>，()C f x 在(0,1)上单调递增，故对()()122101,C C x x f x f x ∀<<，正确；对选项D ：1212x xx x >，即()()1212ln ln x x x x >，即1122ln ln x x x x >，设()ln ,(0,1)D f x x x x =∈，()ln 1D f x x '=+，令1()0,e D f x x '==，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0D f x '<，函数单调递减，当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0D f x '>，函数单调递增，故()D f x 在(0,1)上不单调，对于()()121201,D D x x f x f x ∀<<不成立，错误.故选：BC关键点睛：本题考查了利用导数确定函数的单调性，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造合适的函数，将大小关系转化为函数的单调性是解题的关键.三、填空题13．已知等比数列{}n a 满足11a =-，13521a a a ++=-，则357a a a ++=_______．【正确答案】84-【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】2413511(1)21,1a a a a q q a ++=++=-=- ，24121q q ++=∴，解得24q =，1352357()21484a a a a a a q ++∴++=⋅=-⨯=-，故84-14．已知()3ln π2sin 2x xf x x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________．【正确答案】310x y --=【分析】求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【详解】因为()3ln π2sin 2x x f x x =+，则()()231ln ππcos 2x xf x x -'=+，所以，()12f =，()13f '=，故所求切线方程为()231y x -=-，即310x y --=.故答案为.310x y --=15．已知点()5,2A 和抛物线2:4C y x =，抛物线C 的焦点为,F P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值是__________.【正确答案】6【分析】作出图形，由抛物线的定义可知，当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -，过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义得PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+，当点A 、P 、E 三点共线时，即当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，且最小值为516+=．故答案为.616．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________．【正确答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()exg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】()e xf x ax '=- ，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e xx g x x -'=，∴当()(),00,1x ∈-∞ 时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >；212x x ≥ ，212x x ∴≥；当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2t t t t =，即2e 2e t t =，2e 2t ∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===，∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)12n n a -=；(2)221n n -+.【分析】（1）根据n S 与n a 的关系即得；（2）根据等差数列的定义结合条件求出n b ，然后利用分组求和法即得.【详解】（1）因为21n n S =-，所以，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=，此时11a =也满足上式，所以12n n a -=；（2）因为数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，所以()121n n b a n =+--，即1221n n b n -=+-，12112311223212n n n T b b b b n -=++=+++++++-+++ ()21211122122n n n n n +-==--++-.18．已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)减区间为(0,2)，增区间为(2,)+∞，极小值为2ln 2-，无极大值(2)1a ≤-【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；（2）由条件可知()0f x '≥恒成立，再分离变量求最值即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，()212ln 2f x x x x =--求导得()21f x x x '=--，整理得.()()()21x x f x x-+'=由()0f x ¢>得2x >；由()0f x '<得02x <<从而，函数()f x 减区间为(0,2)，增区间为(2,)+∞所以函数()f x 极小值为()22ln 2f =-，无极大值.（2）由已知[)1,x ∞∈+时，()0f x '≥恒成立，即20x a x --≥恒成立，即2a x x ≤-恒成立，则min 2a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭.令函数()()21g x x x x =-≥，由()2210g x x '=+>知()g x 在[)1,+∞单调递增，从而()()min 11a g x g ≤==-.经检验知，当1a =-时，函数()f x 不是常函数，所以a 的取值范围是1a ≤-.19．已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0c a B b C -+=(1)求ABC ∠；(2)如图，点D 在AC 延长线上，且CD BC =，4AB =，7AD =，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3.33310【分析】（1）由正弦定理边化角及和角公式化简可得结果；（2）在△ABC 中应用余弦定理解得BC 的值，代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）∵()2cos cos 0c a B b C -+=，∴由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=，即sin cos 2sin cos sin cos 0C B A B B C -+=，()sin 2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =又∵()0,πB ∈，∴3B π=.（2）设CD x =，则7AC x =-，在△ABC 中，()22247π1cos 3242x x x +--==⨯，解得：3310x =则△ABC 的面积1133sin 423210210ABC S AB BC π=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△.20．已知()2ln b f x x ax x=++在1x =处的切线方程为3y x =-．(1)求函数()f x 的解析式：(2)()f x '是()f x 的导函数，证明：对任意[)1,x ∞∈+，都有()()121f x f x x x'-≤-++．【正确答案】(1)()12ln 4f x x x x=-+(2)证明见解析【分析】（1）根据条件得到关于,a b 的方程，即可得到结果；（2）根据题意，令()()()121g x f x f x x x ⎛⎫'=---++ ⎪⎝⎭，然后求导得到其在[)1,x ∞∈+上的最大值，即可得证.【详解】（1）由题意可得，()13f a b =+=-，且()22b f x a x x'=+-，则()123f a b '=+-=-，即323a b a b +=-⎧⎨+-=-⎩，即41a b =-⎧⎨=⎩，所以()12ln 4f x x x x =-+（2）由（1）可知，()12ln 4f x x x x =-+，()2214f x x x'=--所以()()2112ln 44f x f x x x x x'-=--++，令()22111212ln 44212ln 23g x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--++--++=--++ ⎪⎝⎭，则()()()22332112222x x g x x x x x--+'=-+-=，所以1x ≥时，()()()232110x x g x x--+'=≤，即()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递减，所以()()1g x g <，即()21112ln 44210g x x x x x x x ⎛⎫=--++--++≤ ⎪⎝⎭，所以()()()1210f x f x x x '---+≤，即()()121f x f x x x '-≤-++21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BCD ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点.(1)求证：平面PDE ⊥平面PAB ；(2)棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)详见解析；(2)存在，点F 为PC 的中点；详见解析.【分析】（1）连接BD ，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面PAB ，然后利用面面垂直的判定定理即得；（2）通过构造平行四边形，得到线面平行．【详解】（1）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，所以ABD △为正三角形，因为E 是AB 的中点，所以DE AB ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DE PA ⊥，因为DE AB ⊥，DE PA ⊥，AB PA A = ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ，又DE ⊂平面PDE ,所以平面PDE ⊥平面PAB ；（2）当点F 为PC 的中点时，//BF 平面PDE ，取PC 的中点F ,PD 的中点G ，连接FG ，GE ，∵FG 为三角形PCD 的中位线，∴FG ∥CD 且1=2FG CD ，又在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，∴BE ∥CD 且1=2BE CD ，∴FG ∥BE 且FG=BE ，所以四边形BEGF 为平行四边形.所以BF ∥GE ，又GE Ì平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE .22．已知函数()()()13ln 3R f x a x ax a x=---∈，ln 3 1.1≈.(1)当a<0时，试讨论()f x 的单调性；(2)求使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值；(3)若对任意()4,3a ∈--，当[]12,1,4x x ∈时，均有()()()12ln 43ln 4m a f x f x +⋅>-+成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)1(3)37(,4-∞-【分析】（1）求得并化简()()()2131x ax f x x -+'=，分3a =-、()3,0a ∈-和(),3a ∈-∞-，三种情况讨论，即可求解函数的单调区间；（2）根据题意得到0a ≥，结合导数得到函数的单调性，求得()()max 3ln 330f x a a ----≤=，进而求得答案；（3）由（1）得到()()()()()213413ln494f x f x f f a a -≤-=--+，转化为394m a <-+，根据()4,3a ∈--，求得374m ≤-，即可求解.【详解】（1）由()()13ln 3f x a x ax x =---，可得函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，且()()()()2222331131313ax a x x ax a f x a x x x x -+-+-+-'=-+==，①当3a =-时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增；②若()3,0a ∈-，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当11,3a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈时，()0f x '<；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，③若(),3a ∈-∞-，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当11,3x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈时，()0f x '<；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）由（1）知：当a<0时，()f x 在x →+∞时单调递增，又因为x →+∞时，()f x →+∞，所以0a <不符合题意，所以0a ≥，由（1）知，()()()2131x ax f x x -+'=，当0a ≥时，10ax +>，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >；所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()()max 113ln 33ln 33033f x f a a a a ⎛⎫==---=----≤ ⎪⎝⎭，可得3ln 330.31ln 31 2.17a -≥≈=+，所以使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值为1.（3）由（1）可知，当()4,3a ∈--时，()f x 在[]1,4上单调递增，所以()()()()()()()2113413ln 412313ln 4944f x f x f f a a a a a -≤-=------=--+，因为()()()21ln 43ln 4m a f x f x +>-+恒成立，所以()3ln 4ln 494m a a a +>-+，所以394ma a >-+，又因为0a <，所以394m a <-+，又由()4,3a ∈--，所以3371479,4416a ⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭，所以374m ≤-，即实数m 的取值范围是37(,4-∞-.方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2022-2023学年吉林省长春市农安县农安高二年级下册学期4月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市农安县农安高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知数列的前项和，求等于（ ）{}n a n 22nSn n =+6a A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】利用数列的项与前项和的关系求解即可.n 【详解】由题可知()2266562652513a S S =-=+⨯-+⨯=故选：C2．数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（ ）1-7-A ．，B ．，()()121nn n a =-⋅-n *∈N ()()121nn a n =-⋅-n *∈NC ．，D ．，()()1121n n n a +=-⋅-n *∈N ()()1121n n a n +=-⋅-n *∈N【答案】A【分析】利用数列正负交替及数的规律即可确定数列通项公式【详解】数列各项正、负交替，故可用来调节，()1n-又，，，，…，1121=-2321=-3721=-41521=-所以通项公式为，()()121nn n a =-⋅-n *∈N 故选：A3．在正项等比数列中，若，则（ ）{}n a 359a a =()2174a a a -=A ．6B ．12C ．56D ．78【答案】D【分析】直接利用等比中项即可求出和的值，代入计算即可.4a 17a a 【详解】由等比数列的性质可知，217353549,9a a a a a a a ====又因为为正项等比数列，{}n a 所以，所以．43a =()421778a a a -=故选：D.4．设点P 是函数图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范()e x f x =围是（ ）A ．B ．C ．D ．2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭π2,2π3⎛⎫⎪⎝⎭π2π0,,π23⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ π2π0,,π23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】求导，得到α的取值范围.()f x'>tan α>【详解】()ex f x '=>∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，∴．tan α>∵，[)0,πα∈∴．2π0,,23ππα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 故选：C ．5．在等比数列中，，则的值为（ ）{}n a 1281280,9,81n a a a a a a a >+++== 128111a a a ++A ．3B ．6C ．9D ．27【答案】A【分析】由可求得的值，再将化为12881a a a a =…45a a 128111a a a ++⋅⋅⋅+的形式，又由等比数列的性质， ，则8172635418273645a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++81726354a a a a a a a a ===的值可求.128111a a a ++⋅⋅⋅+【详解】①8172635412818273645111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=+++ 又∵，∴①式81726354a a a a a a a a ===12845459a a a a a a a ++⋅⋅⋅+==∵，得，∴.12881a a a a = (4)45()81a a =453a a =∴，.459933a a ==1281113a a a ++⋅⋅⋅=故选：A.【点睛】考查等比数列的性质，若，则.(),,,m n p q m n p q N ++=+∈m n p qa a a a ⋅⋅=6．已知等差数列的前项和为，若，，则结论错误的是（ ）{}n a n n S 50S >60S <A ．数列是递减数列B ．数列是等比数列{}n a {}10na C ．D ．取得最大值时，322n n nS S S +=n S 3n =【答案】C【分析】根据等差数列前项和公式、等差数列的下标性质，结合等比数列的定义逐一判断即可.n 【详解】由，而，所以，5500S S >⇒-<60S <56600S S a <⇒-<由，设该等差数列的公差为，()155********2a a S a a +>⇒>⇒>⇒>d 因为，，6330a a d =+<30a >所以，因此等差数列是递减数列，因此选项A 结论正确；0d <{}n a 因为常数，1110101010nn n n a a a d a ---===所以数列是等比数列，因此选项B 结论正确；{}10na ，所以选()()()3111211113331222212222n n n na n n d n S S a n n d a n n d S n ⎡⎤=+-++⋅+---+⋅-⎢⎥⎣⎦20dn =≠项C 结论不正确；由，而，()1661634600002a a S a a a a +<⇒<⇒+<⇒+<30a >所以，而，所以当时，取得最大值，因此选项D 结论正确，40a <0d <3n =n S 故选：C7．若，则（ ）23,26,212a b c===A ．是等差数列B ．是等比数列,,a b c ,,a b c C ．是等差数列D ．是等比数列111,,a b c 111,,a b c 【答案】A【分析】根据已知指数式，求出，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的定义逐项判,,a b c断即可得结论.【详解】因为，23,26,212a b c===所以，222222222log 3,log 6log 2log 31log 3,log 12log 4log 32log 3a b c ===+=+==+=+则，故是等差数列，故A 正确；1b a c b -=-=,,a b c 因为，()2222222211log 31log 32log 3111,1log 3log 31log 31log 31log 3b c a b ++++==+===++++所以，故不是等比数列，故B 不正确；b c a b ≠,,a b c 因为()()()222222221111111111,1log 3log 3log 31log 32log 31log 31log 32log 3b a c b -=-=--=-=-+⨯+++++，所以，故不是等差数列，故C 不正确；1111b a c b -≠-111,,a b c 因为，()2222222222112log 31log 31log 311log 3111,1111log 31log 31log 32log 32log 32log 3a b b c b c a b +-+-+====-====-++++++所以，故不是等比数列，故D 不正确.1111b c a b ≠111,,a b c 故选：A.8．已知公比大于1的等比数列满足，，记为在区间中{}n a 2420a a +=38a =m b {}n a (]()0,N m m +∈的项的个数，则数列的前100项和（ ）{}m b 100S A ．360B ．480C ．420D ．400【答案】B【分析】先利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的1,a q 1,a q {}n a 通项公式，再通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.{}m b {}m b 100100S 【详解】由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，{}n a 11a q 依题意有，31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩解得解得或（舍去），12,2a q ==1132,2a q ==所以.2nn a =由于，123456722,24,28,216,232,264,2128=======所以对应的区间为，则；1b (0,1]10b =对应的区间分别为，则，即有2个1；23,b b (0,2],(0,3]231b b ==对应的区间分别为，则，即有个2；4567,,,b b b b (0,4],(0,5],(0,6],(0,7]45672b b b b ====22对应的区间分别为，则，即有个3；8915,,,b b b (0,8],(0,9],,(0,15] 89153b b b ==== 32对应的区间分别为，则，即有个4；161731,,,b b b (0,16],(0,17],,(0,31] 1617314b b b ==== 42对应的区间分别为，则，即有个5；323363,,,b b b (0,32],(0,33],,(0,63] 3233635b b b ==== 52对应的区间分别为，则，即有37个6．6465100,,,b b b (0,64],(0,65],,(0,100] 64651006b b b ==== 所以．23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：B.二、多选题9．下列说法中正确的有（ ）A ．设函数，则31()1f x x =+0(13)(1)lim x f x f x ∆→-∆-=∆B ．若，则()()2πlog 32cos(26f x x x =-++()()π32sin 232ln 26(f x x x =-+-'C ．若，则；()221e xf x x -=()()212e 1x f x x x -=+'D ．已知函数，若，则实数的取值范围为()5324f x x x x=++()2340f a a --≤a 14a -<<【答案】ABC【分析】由函数的解析式代入计算可判断A ；利用导数的运算法则求解可判断B ，C ；由题意()f x 得，结合函数的单调性解得不等式可判断D.()()2340f a a f --≤()f x 【详解】函数，则，故A1()1f x x =+000(11)(13)(1)313lim lim lim 13131x x x f x f x x x x ∆→∆→∆→-+-∆--∆=+==∆∆-∆正确；若，则()()2πlog 32cos(2)6f x x x =-++ ，故B 正确；()()()()n ππ332sin 2(22si 232ln 266π632(21ln (f x x x x x x x ''=⋅--+⋅+=-+--'若，则，故C 正确；()221e x f x x -=()()21221212e e 212e )1(x x x f x x x x x x ---''=-+=+⋅已知函数，则，故在上单调递增，又，()5324f x x x x=++()425640f x x x '=++>()f x R ()00f =由得，所以，解得，故D 错误.()2340f a a --≤()()2340f a a f --≤2340a a --≤14a -≤≤故选：ABC.10．如图，是可导函数，直线 l ：是曲线在处的切线，令()y f x =2y kx =+()y f x =3x =，其中是的导函数，则( )()()g x xf x =()g x '()g xA ．B ．C ．D ．(3)1f =(3)1f '=(3)3g =(3)0g '=【答案】ACD【分析】由图像即可求f (3)，可判断A ；根据l 过(3，1)可求，可判断B ；根据f (3)可计算()3k f '=g (3)，可判断C ；根据可求，可判断D.()()()g x f x xf x +''=(3)g '【详解】由图可知，f (3)＝1，故A 正确；(3，1)在y ＝kx ＋2上，故1＝3k ＋2，故，故B 错误；()133k f ¢==-，则，故C 正确；()()g x xf x =(3)3(3)3g f ==，，故D 正确.()()()g x f x xf x +''=1(3)(3)3(3)1303g f f ⎛⎫''=+=+⨯-= ⎪⎝⎭故选：ACD.11．已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是n S {}n a n 121a a ==()1223n n n a a a n --=+≥（ ）A ．数列为等比数列B ．数列为等比数列{}1n n a a ++{}12n n a a +-C ．D ．()1213nn n a ++-=()10202413S =-【答案】ABD【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB ．求出数列前几项，验证后判断C ，求出前{}n a 20项和可判断D ，【详解】因为，所以，()1223n n n a a a n --=+≥11212222()n n n n n n a a a a a a -----+=+=+又，所以是等比数列，A 正确；1220a a +=≠1{}n n a a ++同理，而，112112122222(2)n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------=+-=-+=--2121a a -=-所以是等比数列，B 正确；1{2}n n a a +-若，则，但，C 错；12(1)3n n n a ++-=3222(1)33a +-==213a =≠由A是等比数列，且公比为2，1{}n n a a -+因此数列仍然是等比数列，公比为4，123456,,,a a a a a a +++ 所以，D 正确．101020123419202(14)2()()()(41)143S a a a a a a -=++++++==-- 故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．12．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，1P 1P 122P 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，记纸板34,,,,n P P P 的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）nP n L n SA ．B ．2312L π=+42364S π=C ．D ．1122n n n L L π----=211492n n S π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据题意，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故可得n P ()12n P n -≥112n -，用累加法可求得通项公式，代入选项可判断AC 选项，同理可求得1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即可判断BD 选项.n S 【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故n P ()12n P n -≥112n -，即，故，，1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯112122n n n n L L π----=-12L π=+2110122L L π-=-，，…，，累加可得3221122L L π-=-4332122L L π-=-112122n n n n L L π----=-1210121112222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11121111112222211221122n n n n πππ----⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=-+ ⎪⎝⎭--所以，故A 正确，C 正确；又，故21011321222L ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即，又，，，…，1212n n n S S π---=-1212n n n S S π++=-12S π=2132S S π-=-3252S S π-=-，累加可得，故1212n n n S S π---=-13521211118411222223214n n n n S πππππππ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=---⋅⋅⋅-=-=+ ⎪⎝⎭-，故B ，D 错误.443128S π=故选：AC三、填空题13．设Sn 是等比数列的前n 项的和，若,则________.{}n a 6312a a =-63S S =【答案】12【解析】先根据等比数列的通项公式求得，再运用等比数列的前项和公式，表示3q n ，可得值.()3631S S q =+【详解】设等比数列的公比为q ，则,又{}n a 36312a q a ==-，()()()()61363331111111a q S a q qSq q q-+=--==+-所以,363111122S q S =+=-=故答案为：.12【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前和公式，注意在运用公式时应用整体代入n 法，属于基础题.14．等差数列的前n 项和，，数列的前n 项和 ___________{}n a n S 343,10a S ==1n S ⎧⎫⎨⎩⎭【答案】21nn +【分析】根据已知条件求得，利用裂项求和法求得数列的前n 项和.n S 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，解得，11234610a d a d +=⎧⎨+=⎩11a d ==所以，()()1122n n n n n S n -+=+=所以，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前n 项和为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111212231n n ⎛⎫-+-++- ⎪+⎝⎭ .122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭故答案为：21nn +15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在W t ()W f t =()()f b f a b a ---这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的[],a b 关系如下图所示．给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；[]12,t t ②在时刻，甲企业的污水治理能力与乙企业相同；2t ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；3t ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．[]10,t []12,t t []23,t t []10,t 其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【分析】在这段时间内，，故①正确，在时刻的切线的[]12,t t ()()()()21212121f t f tg t g t t t t t --->---()f t 2t 斜率小于在时刻的切线的斜率，故②错误，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水()g t 2t 3t 达标排放量，故③正确，在的污水治理能力最强，故④错误，得到答案.[]12,t t 【详解】设甲企业的污水排放量与时间的关系为，W t ()W f t =乙企业的污水排放量与时间的关系为.W t ()W g t =对于①：在这段时间内，甲企业的污水治理能力为，乙企业的污水治理能力[]12,t t ()()2121f t f t t t ---为，由图可知，，故，即()()2121g t g t t t ---()()()()1212f t f t g t g t ->-()()()()21212121f t f tg t g t t t t t --->---甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②：由图可知，在时刻的切线的斜率小于在时刻的切线的斜率，但两切线斜率均()f t 2t ()g t 2t为负值，故在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②错误；2t 对于③：在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故在时刻，甲，乙两企业3t 3t 的污水排放都已达标，故③正确；对于④：由图可知， 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强，[]10,t []12,t t []23,t t []12,t t 故④错误.故答案为：①③16．已知数列的前项和为（），且满足，若对恒{}n a n n S *n ∈N 212n n S S n n ++=+*1,n n n N a a +∀∈<成立，则首项的取值范围是__________．1a 【答案】13(,44-【详解】因为，所以，212n n S S n n ++=+212(1)1,(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式作差得，所以，141,2n n a a n n ++=-≥145,3n n a a n n -+=-≥两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项114,3n n a a n +--=≥{}n a 3a 也是以4为公差的等差数列.若对恒成立，当且仅当.*1,n n n N a a +∀∈<1234a a a a <<<又，，12213213,32,742a S a a a a a +=∴=-∴=-=+4311172a a a =-=-所以，解得：.1111324272a a a a <-<+<-11344a -<<即首项的取值范围是.1a 13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题17．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点爆裂.如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系式是h m s ()24.914.718h t t t =-++(1)用导数定义求并解释其实际意义()2h '(2)解释烟花升空后至爆炸的情况【答案】(1)，表示烟花在时的瞬时速度为.()2 4.9h '=2s =t 4.9m/s -(2)解释详见解析【分析】（1）根据导数的定义求得正确答案.（2）利用导数求得的单调性，从而作出解释.()h t 【详解】（1）()()()0222limx h x h h x∆→+∆-'=∆()()220 4.9214.7218 4.9214.7218lim x x x x ∆→-+∆++∆++⨯-⨯-=∆.()()2004.9 4.9lim lim 4.9 4.9 4.9x x x x x x ∆→∆→-∆-∆==-∆-=-∆，表示烟花在时的瞬时速度为.()2 4.9h '=2s =t 4.9m/s -（2）由于，令解得，()9.814.7h t t '=-+()0h t '= 1.5s t =所以在上递增；在上递减.()h t ()015,.()()0,h t h t '>()1,5,+∞()()0,h t h t '<所以烟花升空后时爆炸.1.5s18．已知，，过原点作图像的切线，切点为M ，已知()e xf x k =0k >()f x OM =(1)求的解析式；()f x (2)若的图像与的图像有一条通过原点的公切线，求a 的值．()f x ()()ln g x x a =+【答案】(1)()1e xf x -=(2)1【分析】(1)根据导数的几何意义列方程求出切点横坐标，再根据；(2)由(1)可得OM =k 与曲线相切，由此可求a 的值．y x =()()ln g x x a =+【详解】（1）设切点，∵，∴，∴，(),e t M t k ()e tf t k '=e 0e 0t tk k t -=-1t =，又；=0k >∴，∴1e k =()1ex f x -=（2）此公切线即为（1）中的切线，∵，∴切线为，设与的图像切于点()1,1M y x =y x =()g x，又∵，∴，解得，∴()(),ln N s s a +()1g x x a '=+()11s a ln s a s ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩10a s =⎧⎨=⎩1a =19．已知数列的前项和为，且．{}n a n n S 1222(N )n n n S a n +*=-+∈(1)求的通项公式；{}n a (2)设，若，求．4nn n a b =123n n T b b b b =+++⋯+n T 【答案】(1)2nn a n =⋅(2)．12(2)(2nn T n =-+⋅【分析】（1）当时，得到，两式相减化简得到，进而得到数列2n ≥11222nn n S a --=-+11122n n n n a a ---=为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解；2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.1()42nn n na b n ==⋅【详解】（1）解：由题意，数列满足，{}n a 1222(N )n n n S a n +*=-+∈当时，，2n ≥11222nn n S a --=-+两式相减得到，即，11222nn n n n S S a a ---=--1222n n n n a a a -=--即，所以，122nn n a a -=+11122n n n n a a ---=令，可得，解得，可得，1n =211222S a =-+12a =112a =所以数列表示首项为，公差为的等差数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11所以，可得，1(1)12nn a n n =+-⨯=2n n a n =⋅所以数列的通项公式为.{}n a 2nn a n =⋅（2）解：由，可得，2nn a n =⋅1()422nn n n n a n b n ===⋅则，12311111()2()3()()2222nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以，2341111111(2()3()(22222n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减，可得23411111111()()(()()2222222n n n T n +=+++++-⋅所以.234111()111111121()()(()()()1222222212nn n nn T n n --=++++++-⋅=-⋅- 12(2)(2n n =-+⋅20．已知数列的前n 项和为，正项等比数列的首项为，{}n a 21n S n =+{}n b 1a 且．1322a b a b +3114a b +=(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b (2)求使不等式（）成立的所有正整数n 组成的集合．221n n b a ⎛⎫> ⎪-⎝⎭2n ≥【答案】(1)；；2121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩212n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)．{3,4,5,6,7}【分析】（1）由求，然后利用已知条件求得的公比得；1(2)n n n a S S n -=-≥n a {}n b q n b （2）把已知不等式化简变形，，引入函数，计算的值，22(1)12n n -->22(1)()2n n f n --=2,3,4,5,6,7,8n =并证明当时，，得的递减性，从而得出不等式的解．4n ≥(1)1()f n f n +<()f n 【详解】（1）因为数列的前n 项和为，所以当时，；{}n a 21n S n =+1n =12a =当时，，故2n ≥121n n n a S S n -=-=-2121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩所以，，从而，化为，23a =35a =13223114a b a b a b ++=32123514b b b ++=又因为数列为正项等比数列且，设公比为，且，又，{}n b 112b a ==q 0q >22320qq +-=解得或（舍），从而．12q =2q =-212n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）当时，不等式转化为，即，2n ≥221n n b a ⎛⎫> ⎪-⎝⎭222(1)n n -<-22(1)12n n -->记，，，，，，，，22(1)()2n n f n --=(2)1f =(3)2f =9(4)4f =(5)2f =25(6)16f =36(7)32f =49(8)64f =当时，，单调递减，所以4n ≥222122(1)21()2(1)2(1)n n f n n n f n n n --+=⨯=<--()f n ()1f n <因此使不等式成立的所有正整数n 组成的集合为．221n n b a ⎛⎫> ⎪-⎝⎭{3,4,5,6,7}21．某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复．(1)求第n 天新增病患的人数；()113,N n a n n *≤≤∈(2)按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由．【答案】(1)()139117N 2813n n n n a n n *-+≤≤⎧=∈⎨≤≤⎩(2)该学校不用面临停课的危险；理由见解析【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式分段写出即可；n a （2）首先确定处于8到13天期间人数达到最大，然后利用后一项减去前一项大于等于0，解出在第9天人数达到最大，再代入求出，再与标准比较即可.9S 【详解】（1）当时，∵，公差为9，∴17,N n n *≤≤∈110a =10(1)991=+-⋅=+n a n n 当时，∵，公比为，∴813,N n n *≤≤∈764a =1271313711222---⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n nn a a ∴()139117N 2813n n n n a n n *-+≤≤⎧=∈⎨≤≤⎩（2）设为第n 天患病总人数，则n S 当时，27n ≤≤10n n n S S a --=>当时，，813≤≤n 13110210---=-=-nnn n S S a 令，1321009--≥⇒≤nn ()()17912789897102202n a a S S a a a a a a a +==+++++-⨯=++- 最大值.()54710642220028720001502%3⋅+==<⨯=++-所以该学校不用面临停课的危险．22．设数列的首项，且，，．{}n a 135a ≠123n n n a a ++=35n n n a b -=()N n *∈(1)证明：是等比数列；{}n b (2)若，数列中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理132a ={}n a 由．(3)若是递增数列，求的取值范围．{}n a 1a 【答案】(1)证明见解析(2)存在，成等差数列456,,a a a (3)(0,1)【分析】（1）由，根据等比数列的定义可得结果；1111352135n n n n nn a b b a +++-⋅==--⋅（2）利用（1）可得，进而得到，若中存在连续三项成等差数列，则必有，n b n a {}n a 122n n n a a a ++=+解出即可；（3）如果成立，可得，对分奇数、偶数两种情况讨论，即可得出1n n a a +>()14332155n n a ⎛⎫⋅>--- ⎪⎝⎭n 的取值范围．1a 【详解】（1）由可得，35n n n a b -=35nn n b a -=所以，且，1111113233552113355n n n n n n n n nn n a a b b a a ++++-⋅--⋅===--⋅-⋅+11305b a =-≠所以数列是首项为，公比为的等比数列；{}n b 135a -2-（2）由（1）知是首项为，公比为的等比数列，{}n b 139510a -=2-∴，()()1119193232510510n n n n n n n b a a --=-⋅=⋅-⇒=⋅+⋅-若中存在连续三项成等差数列，则必有，{}n a 122n n n a a a ++=+即()()()11121919192323232510510510n n n n n n -+++⎡⎤⋅+⋅-=⋅+⋅-+⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦整理可得，解得，即成等差数列；()()138812n n -⨯-=⨯-4n =456,,a a a （3）因为是递增数列，则成立，即对任{}n a 1n n a a +>()()1111131332325555n n n n a a -+⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅->⋅+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭意自然数均成立．化简得，()14332155n n a ⎛⎫⋅>--- ⎪⎝⎭当为偶数时，，n 13435152na ⎛⎫>- ⎪⎝⎭因为是递减数列，()3435152np n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，即；()()max 20p n p ==10a >当为奇数时，，n 13435152na ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭因为是递增数列，()3435152nq n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，即；()()min 11q n q ==11a <故的取值范围为．1a ()0,1【点睛】关键点点睛：这道题的第（3）问的关键主要是分奇数、偶数两种情况讨论，然后各自n 求最值得到范围。
2024高二数学(下)综合试卷(二)校正版
2024高二数学（下）综合试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}|2A x Z x =∈−≤＜4，1|03x B x N x +⎧⎫=∈⎨⎬−⎩⎭≥，则A B 的子集个数为 （ B ） A . B .8 C .16 D .322.设312i x i −=+，则x = （ C ）A .2B .CD .13.设,αβ是不同的平面，,m n 是不同的直线，则下列命题不正确．．．的是 （ C ） A .若,,m m n n αβ∥，则αβ B .若,m l n l ∥∥，则m n ∥C .若,m m n α∥∥，则n α∥D .若,m m αβ，则αβ∥4.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生 中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（ B ）人.A .30B .40C .50D .605.已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m ++≥恒成立，则实数m 的最小值为 （ B ） A .2 B .4− C .4 D .2−6.4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择一个，不同的选法种数是 （ A ） A .43 B .34 C .12 D .247.已知M 为圆221)2x y −+=（上一动点，则点M 到直线30x y −+=的距离的最大值是 （ C ）A B .C . D .8.在等差数列{}n a 中，119a =，5344S S =+,则数列{}n a 的前n 项和的最大值为 （ B ） A .223 B .225 C .226 D .218二、多项选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分9.已知ln ()x f x x=，则下列说法正确的是 （ A C ） A .()f x 在1x =处的切线方程为1y x =− B .()f x 单调递增区间为(,)e −∞ C .()f x 的极大值为1eD .方程()1f x =−有两个不同的解10.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+＞＞＜＜在一个周期内的图象如图所示，则 （ A C ）A .该函数的解析式为()2sin(2)3f x x π=+ B .该函数的一条对称轴方程为6x π=C .该函数的单调递增区间是7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈ D .把函数()2sin()3g x x π=+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数()f x 的图象11.在61)x的展开式中，下列叙述正确的是 （ BCD ） A .二项式系数之和为32 B .各项系数之和为0 C .常数项为15 D .3x −的系数为1512.以下四个命题表述正确的是 （ ACD ） A .直线(1)(21)3()m x m y m R −+−=∈恒过定点(6,3)−B .已知直线l 过点(2,4)P ，且在,x y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为60x y +−=C .,a R b R ∈∈,“直线210ax y +−=与直线(1)210a x ay +−+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件D .直线1:10l x y ++=，2:10l x y +−= （直线在,x y 轴上的截距相等时，易丢失直线过原点的情况致误，如选项C ）三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知实数,a b 满足22a b −=，则124a b +的最小值为 . 14.给出一个满足以下条件的函数()f x = . ①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②()f x 是偶函数；③()f x 在(0,)+∞不是单调函数； ④()f x 有无数个零点.15.已知12,e e 是两个单位向量，且它们的夹角为θ，则下列命题正确的是 ①②④ .（填序号）①[0,]θπ∈∀，都有1212()()e e e e +−； ②12cos sin(2e e πθ=θ−）； ③[0,]θπ∈∃使得123e e ⋅=； ④若12,e e 不共线，122e e +与12ke e −共线，则12k =−. 16.如图，直三棱柱111ABC A B C −中，侧棱长为2，1AC BC ==, 90ACB =∠,D 是11A B 的中点，F 是棱1BB 上的动点，1AB , DF 交于点E ，要使1AB 平面1C DF ，则线段1B F 的长为 .四、解答题（共5小题，共70分）17.（满分12分）已知数列{}n a 满足15a =，123(*)n n n a a n N +−=∈，记3n n n b a =−.(1) 求证：{}n b 是等比数列；（2）设n n c nb =，求{}n c 的前n 项和.18.（满分13分）某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜确足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球 不喜欢足球 合计男生 40女生 30合计（1）根据所给数据完成上表，依据0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率为23，这名女生进这球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进 球总次数X 的分布列和数学期望.19.（本题15分）已知曲线C 上的每一个点到(2,0)F 的距离减去它到y 的距离的差都是2.（1）求曲线C 的方程；（2）过F 作直线交曲线C 于A 、B 两点，点(2,0)D −,求ABD △的面积的最小值.20.（本题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面四边形ABCD 是菱形，点E 为棱PD 的中点，O 为AB 中点.（1）求证：AE ∥平面POC（2）若侧面PAB 底面ABCD ，且3ABC PAB π==∠∠,24AB PA ==, 求平面PAD 与平面POC 的夹角的余弦值.21.（本题15分）已知函数()ln ()f x x x a ax a R =+−∈.（1）若1a =，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间[1,]e 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.。
2024年教科新版高二数学下册阶段测试试卷498
2024年教科新版高二数学下册阶段测试试卷498考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、如果某地财政收入x（亿元）与支出y（亿元）满足线性回归方程=bx+a+e（单位：亿元），其中b=0.8；a=2，|e|≤0.5，如果今年该地区的财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（）A. 9亿元。
B. 9.5亿元。
C. 10亿元。
D. 10.5亿元。
2、【题文】最大值M,最小值N，则（）A. M-N=4B. M+N=4C. M-N=2D. M+N=23、【题文】在如图所示的算法流程图中，输出S的值为A. 52B. 53C. 54D. 554、【题文】若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，那A.B.C. 或D.5、设集合M={（x，y）|x2+y2≤4}，N={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤r2（r＞0）}，当M∩N=N时，r的取值范围是（）A.B. [0，1]C.D. （0，2）6、设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1a3a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=()A. n24+7n4B. n23+5n3C. n22+3n4D. n2+n评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有____．8、【题文】函数的最大值为_________．9、【题文】若则等于________。
10、以正方体的顶点为顶点的四面体个数有 ______ ．11、已知1(x)=sinx+cosx记2(x)=f1′(x)n+1(x)=fn′(x)则1(π3)+2(π3)+3(π3)++2017(π3)= ______ ．12、若1a(2x+1x)dx=3+ln2(a>1)则a的值是 ______ ．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共10分)20、已知复数满足:求的值.评卷人得分五、计算题(共4题，共28分)21、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．22、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．23、解不等式组：．24、求证：ac+bd≤ •．评卷人得分六、综合题(共2题，共8分)25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（a n）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】∵某地的财政收入x与支出y满足的线性回归模型是y=bx+a+e（单位：亿元），其中b=0.8；a=2；∴y=0.8x+2+e当x=10时；y=0.8x+2+e=10+e∵|e|≤0.5；∴-0.5≤e≤0.5∴9.5≤y≤10.5；∴今年支出预计不超出10.5亿元。
高二数学下学期四月试题
高二级数学下学期四月试题一、选择题：(本大题共10小题；每小题5分；共50分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.)1．设M={}正四棱柱；N={}直四棱柱；P={}长方体；Q={}直平行六面体；则四个集合的关系为 （ ）A ．Q N P M ⊆⊆⊆B ．N Q P M ⊆⊆⊆C ．Q N M P ⊆⊆⊆D ．Q N M P ⊆⊆⊆2．正方体的全面积是2a ；它的顶点在球面上；这个球的表面积是 （ ）A ．23a π B ．22a π C ．22a π D ．23a π 3．下列命题中；真命题是 （ ）A ．若直线,m n 都平行于α；则//m nB ．设l αβ--是直二面角；若m l ⊥；则m β⊥C ．若,m n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线；且m n ⊥；则n α⊂或//n αD ．若直线,m n 是异面直线；//m α；则n 与α不相交4．侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．不充分不必要条件5、已知北纬450圈上有A 、B 两地；且A 地在东经300线上；B 地在西经600线上；设地球半径为R ；则A 、B 两地的球面距离是 （ ） A 、R π61 B 、R π31 C 、R π21 D 、R π 6．有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直；则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．13B ．14CD 7．正方体1AC 中截面1ABC 和截面11A B C 所成的二面角的大小为（ ）A ．045B ．060C ．arccos 2D ．arccos 38. 给出四个命题；其中真命题的个数 ( ) ① 四边相等的四边形是菱形;② 若四边形有两个对角都是直角； 则这个四边形是圆内接四边形;③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”;④ 若两平面有一条公共直线； 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个9．菱形ABCD 的边长为0,60,,,,a A E F G H ∠=分别在,,,AB BC CD DA 上；且BE BF == 3a DG DH ==；沿EH 与FG 把菱形的两个锐角对折起来；使,A C 两点重合；这时点A 到平面EFGH 的距离为 （ ）A ．2aB ．22aC ．32a D ．()31a -10．花坛内有5个花池（如图编号所示）；有五种不同颜色的花卉可供种植；每个花池中只能种植同种颜色的花卉；相邻的花池的颜色不同；则最多有几种栽种方案 （ ）A ．120种B ．240种C ．360种D ．420种二填空题：本大题共6小题；每小题4分；共24分；把答案填在题中横线上11．在0；1；2；3；4这五个数字中任取三个数字；可组成没有重复数字的三位偶数的个数 是__________________个。
高二下学期4月数学练习卷及答案2
绝密★启用前未命名���未命名注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A．( B ．(66-C ．(D ．( 2．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（ ） AB ．3C ．6D3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=4．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为装…………○……※要※※在※※装※※订※装…………○……A ．18，24 B ．16，22 C ．24，28 D ．20，265．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A B ．2 C 或2 D ．26．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是 A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=7．已知点(,4)P n 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 是椭圆C 的两个焦点，如12PF F ∆的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为A ．57B ．23C ．35D ．458．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．29． 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．34…………○…号：___________…………○…角为120°，则E 的离心率为 A B ．2C D11．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为 A ．4B C ．6332D ．9412．已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C得一个交点，若4FP FQ =，则A ．B ．C ．D ．13．已知F 是椭圆22x C y 12+=：的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()Q 4,3，则PQ PF +的最大值为( )A ．B ．CD ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =A ．3B ．6C ．12D ．15．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）． A.2m <B.02m <<C.24m <<D.2m >16．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b17．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是 A ．()0,223,⎡++∞⎣B ．[2-,2+]……装…………○※※不※※要※※在※※装※※……装…………○18．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1AC BC⋅，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线19．已知1F、2F为双曲线C：221x y-=的左、右焦点，点P在C上，∠1F P2F=060，则12·PF PF=A．2 B．4 C．6 D．820．设F为抛物线2:4C y x=的焦点，曲线()0ky kx=>与C交于点P，PF x⊥轴，则k=A．12B．1C．32D．221．已知点M是抛物线24x y=上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：22(1)(4)1x y-+-=上一动点，则||||MA MF+的最小值为A．3B．4C．5D．622．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||x y x y+=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③23．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，点A，B在抛物线C上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若90AFB∠=︒，则||||ABMN的最小值为24．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为A ．2B ．12C ．13D ．1425．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l xy -=交椭圆E于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A ．(0,]2B ．3(0,]4C ．,1)2D ．3[,1)426．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A ．12B 1C．12D 12710=的化简结果为A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=28．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且122πFPF 3∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e .则221231(e e += ) A ．4B ．C ．2D ．329．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为……○…………装……※※请※※不※※要※※……○…………装……A．2B．12C．14D30．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB∆P为椭圆上的任意一点，则1211PF PF+的取值范围为（）A．[1,2]B．C．4]D．[1,4]31．已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，O为坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线PO、2PF分别交双曲线C左、右支于另一点M、N，122PF PF=，且260MF N∠=，则双曲线C的离心率为A B C D32．已知,,A B C是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF AC⊥且2AF CF=，则该双曲线的离心率是（）A．53B．3C．2D．9433．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得120APB∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为()A．2B C D．3434．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为 A ．13B ．3C D ．235．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．13⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭请点击修改第II卷的文字说明参考答案1．A2．C3．A4．C5．A6．A7．C8．B9．B10．D11．D12．B13．A14．C15．B16．B17．D18．A19．B20．D21．B22．C23．B24．C25．A26．B27．D28．A29．A30．D 31．B 32．B 33．C 34．D 35．A。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下册4月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下册4月月考数学模拟试题一、单选题1．已知等差数列10，9，8，7，6，……，则该数列的公差是（）A ．0.5B ．1C ．1-D ．0.5-【正确答案】C【分析】根据等差数列的定义直接可得解.【详解】由数列为等差数列，则219101d a a =-=-=-，故选：C.2．假设()()0.3,0.4P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()P A B = （）A ．0.12B ．0.58C ．0.7D ．0.88【正确答案】B【分析】根据独立事件的并事件的概率公式计算.【详解】由A 与B 相互独立，则()()()()()80.30.40.305.40.P A B P A P B P A P B =+-=+-⨯= .故选︰B ．3．已知等差数列{an }满足a 2﹣a 5+a 8＝4，则数列{an }的前9项和S 9＝（）A ．9B ．18C ．36D ．72【正确答案】C【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a 2﹣a 5+a 8＝a 5＝4，又由19959()92a a S a +==，计算可得答案．【详解】根据题意，等差数列{an }中，a 2+a 8＝2a 5，则a 2﹣a 5+a 8＝a 5＝4，数列{an }的前9项和19959()9362a a S a +===，故选：C ．4．成对样本数据Y 和x 的一元线性回归模型是()()2e,e 0,e Y bx a E D σ=++⎧⎨==⎩，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差e 的假定的是（）A．B．C．D．【正确答案】B【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，残差应是均值为0、方差为2σ的随机变量的观测值.对于A选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故A 错；对于C选项，残差与观测时间有线性关系，故C错；对于D选项，残差与观测时间有非线性关系，故D错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内.故B正确.故选：B.5．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列{}n a．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列{}na中，第二个正方形数是（）A．36B．25C．49D．64【正确答案】A【分析】根据数列的前几项求出三角数列{}n a以及正方形数列{}n b的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，三角数列{}n a的通项为()12nn na+=，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为{}n b ，则2n b n =，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，所以在三角数列{}n a 中，第二个正方形数是36.故选：A.6．已知数列{}n a 满足：对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则10a =（）A ．43B ．53C ．63D ．103【正确答案】B【分析】根据对任意的,m n *∈N ，有m n m n a a a +=，且23a =，求得48,a a 的值，即可得10a 的值.【详解】对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，所以222249a a a a ===，则2444881a a a a ===，所以510283813a a a ==⨯=.故选：B.7．某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款，计划于上2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：1年按12个月计算）A ．18300元B ．22450元C ．27450元D ．28300元【正确答案】C【分析】分析可知所少的部分为按原计划还款时后60个月的利息，根据“等额本金还款法”，结合数列的知识计算可得后60个月的利息，从而得到结果.【详解】 截止2024年8月，两种还款方式所还利息也相同，且两种还款方式最终所还本金相同，∴按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2024年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息；每月应还本金为3600001203000÷=，2024∴年8月还完后本金还剩360000300060180000-⨯=，2024∴年9月应还利息为：1800000.5%⨯；2024年10月应还利息为：()180********.5%-⨯；2024年11月应还利息为：()180000300020.5%-⨯⨯；……，最后一次应还利息为：()1800003000590.5%-⨯⨯；∴后60个月的利息合计为.()()180000603000123590.5%⨯-⨯+++⋅⋅⋅+⨯()10800000300017700.5%=-⨯⨯27450=即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元.故选：C.8．已知等差数列{}n a 为单调递增数列，且前三项和为9，前三项积为24，数列{}n b 的前n 项和为n S 且3215n n n a b a -=-，则（）A ．当7n =时，n S 的值最小B ．当6n =时，n b 的值最大C ．当6n =时，n S 的值最小D ．n b 无最值【正确答案】C【分析】根据等差数列的定义可得n a ，进而可得n b ，再根据数列{}n b 的单调性可判断各选项.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()1231123111339224a a a a d a a a a a d a d ++=+=⎧⎨=++=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，或141a d =⎧⎨=-⎩，即1n a n =+或5n a n =-，又数列{}n a 为单调递增数列，则1n a n =+，所以()321921521322213n n n a n b a n n --===+---，所以数列{}n b 在6n ≤和7n ≥时分别单调递减，所以11011b =>，当26n ≤≤时，0n b <，当7n ≥时，0n b >，且715b b =>，所以当7n =时，n b 得值最大为5，故B ，D 选项错误；当6n =时，n S 得值最小，A 选项错误，C 选项正确；故选：C.二、多选题9．设公比为q 的等比数列{}n a ，若15964a a a =则（）A ．54a =B ．当11a =时，q =C ．1a 和9a 的等比中项为4D ．221932a a +≥【正确答案】ABD【分析】对于ABC 根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D 结合基本不等式即可判断.【详解】由题意，3159564a a a a ==，即54a =，故A 正确；当11a =时，4514a a q =⋅=，所以q =B 正确；因为219516a a a ==，所以1a 和9a 的等比中项为4或4-，故C 错误；由221919232a a a a +≥=，当且仅当194a a ==时，等号成立，故D 正确.故选：ABD.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2111a a a <-<，则（）A ．70a <B ．60a >C ．150S <D ．5n S S ≤【正确答案】ABC【分析】利用等差中项的性质以及等差数列的求和公式分别判断各选项.【详解】由2111a a a <-<，得111620a a a +=>，621710a a a a =++<，所以60a >，70a <，即0d <，所以A ，B 选项正确；所以()()115857115151205S a a a a d +===+<，C 选项正确；又60a >，所以6565S S a S =+>，D 选项错误；故选：ABC.11．已知n S 为数列{}n a 前n 项和，则下列结论成立的有（）A ．若数列{}n a 为等比数列，且0n a >，则数列{}3log n a 为等差数列B ．若数列{}n a 为等差数列，若3614S S =，则61247S S =C ．若数列{}n a 为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9:8，且10170S =，则公差为2D ．若数列{}n a的通项公式为n a =100项和1001S =-【正确答案】ACD【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC ，再利用裂项相消法求和可判断选项D.【详解】A 选项：依题意，设等比数列{}n a 得公比为()0q q >，131333log log log log n n n na a a q a ++-==，所以数列{}3log n a 为等差数列，A 选项正确；B 选项：数列{}n a 为等差数列，则3133S a d =+，61615S a d =+，又3614S S =，即113136154a d a d +=+，化简可得12d a =，则6136S a =，12111266144S a d a =+=，所以611213611444S a S a ==，B 选项错误；C 选项：等差数列{}n a 的前10项中，偶数项的和为24681065a a a a a a ++++=，奇数项的和为1357955a a a a a a ++++=，又偶数项的和与奇数项的和之比为9:8，且10170S =，则6565595855170a a a a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得561618a a =⎧⎨=⎩，所以652d a a =-=，C 选项正确；D 选项：n a =则11n S =++= ，1001S =-，D 选项正确；故选：ACD12．已知欧拉函数()()*N n n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，则（）A ．()()()1535ϕϕϕ=B ．n 为素数时，()1n n ϕ=-C ．数列(){}2nϕ是等比数列D ．()10030ϕ=【正确答案】ABC【分析】根据给定的欧拉函数定义，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，(3)2,(5)4ϕϕ==，显然1,2,4,7,8,11,13,14与15互素，即(15)8ϕ=，则()()()1535ϕϕϕ=，A 正确；对于B ，当n 为素数时，n 与前n 1-个正整数都是互素的，即()1n n ϕ=-，B 正确；对于C ，所有偶数与2n 不互素，所有奇数与2n 互素，因此1(2)2n n ϕ-=，即有11(2)22(2)2n nnn ϕϕ+-==，数列(){}2n ϕ是等比数列，C 正确；对于D ，100是偶数，小于它的正奇数有50个，其中是5的倍数的奇数有10，它们与100不互素，因此()10040ϕ=，D 错误.故选：ABC三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =-+，则3a =_____________．【正确答案】9【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥即可求解.【详解】221n S n n =-+ ，2n ∴≥时，()()212111n S n n -=---+，两式相减得()432n a n n =-≥，，34339a ∴=⨯-=.故9.14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4212a a -=，5324a a -=，则413S a a =+_____________．【正确答案】3【分析】根据等比数列通项公式及求和公式进行求值.【详解】由数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，又4212a a -=，则()5342421224a a a q a q a a q q -=-=-==，解得2q =，所以342111612a a a q a q a -=-==，即12a =，所以112n nn a a q-==，()()11121222112n n n n a q S q+--===---，所以38a =，542230S =-=，所以41330328S a a ==++，故答案为.315．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）【正确答案】54【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种，故答案为.5416．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*231n n S a n =-∈N ，函数()f x 定义域为R ，对任意x ∈R 都有()()()111f x f x f x ++=-.若()21f =()2022f a 的值为__________.1-【分析】先根据()()()111f x f x f x ++=-得出()f x 周期为4，再根据()*231n n S a n =-∈N ，结合通项与前n 项和的关系可得202220213a =，再结合二项式定理求得202220213a =除以4的余数，进而求得()2022f a 即可【详解】因为()()()111f x f x f x ++=-，()()()123112f f f +==-，()()()144114f f f +=+-，()51f ==-，()61f =…易得()f x 周期为4.又由()*231n n S a n =-∈N ，()112312n n S a n --=-≥，两式相减1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，又当1n =时，11231S a =-，解得11a =，故数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，故13n n a -=，202220213a =.又()()()()()0120202021202120202021202101202020212021221014141341C C ..C .411-+-++-=-+-=，故202220213a =除以4的余数为()2021143-+=，故()()202231f a f ==1-四、解答题17．等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)*2,Nn n a n =∈(2)1(1)222n n n n T ++=+-【分析】(1)运用等差中项求出1a ，再根据等比数列的通项公式求出n a ；(2)根据条件求出{}n b 的通项公式，再分组求和.【详解】（1）已知等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列，3242(2)a a a ∴+=+，()11124228a a a ∴+=+，解得12a =，1*222,N n n n a n -∴=⨯=∈；（2）2log 222n n nn b n =+=+，()2(12)222n n T n ∴=+++++++ .1(1)222n n n ++=+-；综上，()11222n n n n T ++=+-18．在①89a =，②520S =，③2913a a +=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*N n ∈，，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，证明数列{}n b 的前n 项和12n T <．【正确答案】(1)1n a n =+，*N n ∈(2)证明见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式及求和公式直接求解；（2）利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由于{}n a 是等差数列，设公差为d ，当选①②时：81517951020a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式()2111n a n n =+-⨯=+，*N n ∈．选①③时81291792913a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式()2111n a n n =+-⨯=+，*N n ∈．选②③时51291510202913S a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式()2111n a n n =+-⨯=+，*N n ∈．（2）由（1）知1n a n =+，*N n ∈，所以()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++，所以1111111123341222n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，*N n ∈ ，12n T ∴<.19．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A 、B 两名同学中产生，测试方案如下：A 、B 两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A 能正确作答其中的3个，B 能正确作答每个问题的概率是34，A 、B 两名同学作答问题相互独立．(1)设A 答对的题数为X ，求X 的分布列；(2)设B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．【正确答案】(1)答案见解析(2)选择A 同学，理由见解析【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；（2）由已知可得Y 满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.【详解】（1）设A 答对的题数X ，则X 的可能取值有2，3，且()213134C C 32C 4P X ===，()3334C 13C 4P X ===，则X 的分布列为：X23P3414（2）设B 答对的题数Y ，则3~3,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，()3110464P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131391C 4464P Y ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22313272C 4464P Y ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()33273464P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭，由（1）知：()31923444E X =⨯+⨯=，()229391323444416D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()19272790123646464644E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，()222291999279279012346446446446416D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，故选择A 为参赛选手．20．已知数列{}n a 满足1222222n n na a a n+++= ．数列{}n b 满足313log 1log n n b b +-=，且11b a =．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n n a b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)2n a n =-，13n n b -=，*N n ∈；(2)553424n n n T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据给定条件，利用“12,n n n n a S S -≥=-”求出n a ，利用等比数列定义求出n b 作答.（2）由（1）的信息，利用错位相减法求和作答.【详解】（1）依题意，1222222n nn a a a n +++= ，当2n ≥时，12121112222n n n a a a n ----+++= ，两式相减得222n n n a n-=，即有2na n =-，而当1n =时，1122a =，有11a =，满足上式，因此2n a n =-，因为313log 1log n n b b +-=，即有()313log log 3n n b b +=，则13n nb b +=，即{}n b 为等比数列，而111b a ==，因此13n n b -=，所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为2n a n =-，13n n b -=，*N n ∈.（2）由（1）知，()123n n n a b n -=-⋅，则()011130323n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，于是()12131303(3)323n n n T n n-=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，10113(135523(33(2)31(2)3()3132))2n n nn n n T n n n ----=-++--⋅=---⋅=+-⋅- ，所以553424n n n T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.21．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121nnSb +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222n n k a b λλ-+>成立的k 的范围．【正确答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21n b n =+(2)k <【分析】（1）利用等差数列与等比数列的性质可得数列{}n a 的通项公式，再由题意可得{}n b 的递推公式，进而可得{}n b 通项公式；（2）判断数列{}2n n a b 的单调性与最大项，可得23224k λλ-+>恒成立，即524k λλ<+，利用基本不等式可得k 的取值范围.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，0n a >，52a ，4a ，64a 成等差数列，456224a a a ∴=+，()244222a a q q ∴=+，化为：2210q q +-=，0q >，解得12q =，又满足2434a a =，()232114a q a q ∴=，即114a q =，解得112a =，12nn a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，（*N n ∈）， 数列{}n S 的前n 项之积为n b ，()12nn n b S n b -∴=≥，()112212nn n n n b n S b b b -∴+=+=≥，即()122n n b b n --=≥，{}n b ∴是以2为公差的等差数列，又111112121S b b b +=+=，即13b =，()32121n b n n =+-=+；（2）由（1）知22212n n nn a b +=，所以()()()()122122212121123421216102222n n n n n n n n n n n n n a b a b ++++++++-++---=-==<恒成立，所以数列{}2n n a b 单调递减，即()()221max 34n n a b a b ==，又因为对所有的正整数n 都有2222n n k a b λλ-+>成立，所以23224k λλ-+>，由0λ>可得524k λλ<+，若524k λλ<+恒成立，只需min 524k λλ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭即可，又524y λλ=+≥524λλ=，即λ=所以k <22．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【正确答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.()1根据数据算出1050x =，由Z 服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186XB ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n PP P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222n n P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-=.所以()20,0.8186XB ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.。
2024年苏人新版高二数学下册月考试卷155
2024年苏人新版高二数学下册月考试卷155考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设曲线y=x3-2x+4在点（1；3）处的切线为l，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为（）A. 1B. 2C. 4D. 62、设全集集合集合则( ) A．B．C．D．3、【题文】已知数列则是该数列的第（）项。
A.B.C.D.4、【题文】已知扇形的周长为面积为则扇形的圆心角的弧度数为（）A. 1B. 4C. 1或 4D. 2或45、一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）A. 50（+1）米B. 100（+1）米C. 50米D. 100米6、已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线 P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m，n变化而变化7、AB是某平面上一定线段且|AB|=3，点P是该平面内的一动点，满足则点P的轨迹是（）A. 圆B. 双曲线的一支C. 椭圆的一部分D. 抛物线8、在（1-x）11的展开式中，x的奇次幂的项的系数之和是（）A. -211B. -210C. 211D. 210-1评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、直线2x-y+5=0与直线2x-y=0的距离是____．10、已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组则的最大值为____．11、设R上的可导函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），且f'（1）=2，则方程f'（x）=0的根为____．12、若点A的坐标为（-3，2），F为抛物线y2=-4x的焦点，点P是抛物线上的动点，当|PA|+|PF|取最小值时，P 的坐标为____．13、【题文】已知双曲线中心在原点，一个焦点为点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（），则此双曲线的离心率是____.14、【题文】在△ABC中，已知a,b,c分别为角A， B， C所对的边，S为△ABC的面积.若向量==满足∥则∠C= ____.15、已知f（x）= 定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）= f2（x）= f3（x）= ，照此规律，则f n（x）=____．16、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是____．17、若x＞0，y＞0，且x（x+y）=5x+y，则2x+y的最小值为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共14分)25、已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x(kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y(t)之间的关系有如下数据：。
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成都七中高2012级高二下期数学练习题
一、选择题：
1．已知α、β是两个不同的平面，直线α⊂a ，直线β⊂b . 命题b a p 与:无公共点；命题
β//:a q . 则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 2．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1=BC ，P 为C 1D 1上一点， 则异面直线PB 与B 1C 所成角的大小（ ） A ．是45° B ．是60° C ．是90° D ．随P 点的移动而变化 3. 以下命题正确的为（ ）
A ．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C ．底面是正多形的棱锥是正棱锥
D ．正棱锥各侧面与底面所成的二面角不一定都相等 4．设正四棱锥的侧棱与底面所成的角为α,侧面与底面所成的角为β,则βtan :αtan 的值是（ ） A.2:1 B. 2:1 C. 2:3 D.3:1
5.
如果3n
x ⎛⎫ ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） A ．7 B. 7- C. 21 D. 21-
6. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
7. 若一个三棱锥中的一条棱长为x ，其余棱长为2，则x 的取值范围是（ ） A ．（0
B.（0
C.
D.（0
，
8． 四棱锥,P ABCD AD -⊥面,PAB BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD CPB ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）
A ．不完整的圆 Ｂ．不完整的椭圆 Ｃ．不完整的双曲线 Ｄ．不完整的抛物线 9. 将标号为1,2,…,9的9个球放入标号为1,2,…，9的9个盒子里，每个盒内放一个球，恰好4个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A.126 B. 1134 C. 252 D.2268
10.设)(x f 是6
2)21(x x +
展开式的中间项，若mx x f ≤)(在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,22上恒成立，则实数
m
的取值范围是（ ） A ．[)+∞,0 B ．⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,45
C ． ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡5,45
D ．[)+∞
,5
二．填空题
11. 将某四名同学分别保送到清华、北大和复旦等三所大学深造，每所学校至少保送1人，则不同的保送方案共有 种.
12．在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，若侧棱长
则正三棱锥S —ABC 的外接球的表面积是 .
13. 现有6人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人,则不同的乘车方案数为________种. 14．
在棱长为的正方体ABCD -1111A B C D 中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、
DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅
的取值范围是 ．
15. 在三棱锥P-ABC 中,PA 、PB 、PC 两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M 是底面ABC 内一点,定义
()(),,f M m n p =，其中,,m n p 分别是三棱锥M －PAB ，三棱锥M －PBC ，三棱锥M －PCA
的体积．若()11,,,82a
f M x y x y ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭
恒成立，则正实数a 的最小值为_____________．
成都七中高2012级高二下期数学练习题（答题卷）
姓名____________________ 一．选择题
二．填空题
11._____________________ 12._____________________
13._____________________ 14._____________________
15._____________________
三．解答题 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，
2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；
（Ⅱ） 求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.
D
B
C
S
17．如图,四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PA⊥平面ABCD ，AB ＝2，PC 与平面ABCD 成45°角，E 、F 分别为PA 、PB 的中点．
（1）求异面直线DE 与AF 所成角的大小；
（2）设M 是PC 上的动点，试问当M 在何处时，才能使AM⊥平面PBD ，证明你的结论．
18.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中,AC AB ⊥,且11==AA AB
(1) 求证:C B B A 11⊥
(2) 求点1C 到平面C AB 1的距离;
（3）设二面角B C B A --1的大小为θ，求θ的取值范围.
1C
1B
C
A
1A
B
D
E。