高中数学北师大版选修11教案：第2章双曲线第一课时参考教案

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高中数学双曲线(第一课时)参考学案北师大版选修2-1

3.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．学习重难点：学习重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程学习难点: 双曲线的标准方程的推导。

学习过程一、课前准备复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．二、新课导学问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图所示，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是；2a >12F F 时，轨迹．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？※ 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为．例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．当堂检测：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（）．A. 5B. 13C.4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围．课后作业1．求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，a =(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？。

【数学】高中数学北师大版选修11教案第2章知识点拨椭圆与双曲线的经典性质及法则

【关键字】数学椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1.点P处的切线PT平分△PF2在点P处的外角.2.PT平分△PF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF2在点P处的内角.2.PT平分△PF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

高中数学选修1,1《双曲线》教案

高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。

高二新课程数学2.2.2双曲线的简单几何性质教案新选修11

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
潮阳市西元中学数学科教案
上课时间
第周星期
第节
课型
课题
2.2.2 双曲线的几何性质（一）
教学目的
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征
教学设想
教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的几何性质的理解撑握。
教练习： 1．求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
2．双曲线的标准方程：（ 1）实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；
学 (2) 离心率 e 2 ，经过点 M ( 5,3) 9
M ( , 1) 2
⑶渐近线方程为 y
2 x ，经过点
③顶点：标准方程中，当 y 0 时 x
a ，当 x 0 时方程无实根；曲线与 x 轴的
交点 A1 ( a,0), A2( a,0) 叫做双曲线的顶点。 A1A2
过
叫做双曲线的实轴，以 B1 (0, b), B2 (0,b) 为端点
的线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴。实轴与虚轴
等长的双曲线叫等轴双曲线（焦点在分别在
2. 写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
① a 3,b 4 ，焦点在 x 轴上；②焦点在 y
教
轴上，焦距为 8， a 2 ；
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、讲授新课：
x、 y 轴上）、 a, b, c 间的关系？
1. 双曲线的几何性质：
程
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
④ 离心率 e ：焦距与实轴的比值； e c 1 a

最新《选修11：双曲线的标准方程和几何性质》教案

若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
标准
方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点
坐标
F1(－c,0)，
F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c之间的关系
c2＝a2＋b2
双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中| |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
2．对于方程，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
类型三双曲线中的焦点三角形
【答案】(1)(－2，－1)(2)必要不充分
(3)由方程表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
【总结与反思】方程表示双曲来自的条件及参数范围求法1．对于方程当mn＜0时表示双曲线．进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－，0)，F2( ，0)，

2.3.2双曲线的简单性质教案(高中数学选修1-1北师大版)

3．2双曲线的简单性质●三维目标1．知识与技能：掌握双曲线的有关性质，并能利用它们解决简单问题．2．过程与方法：在与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，培养分析、归纳、推理等能力．3．情感、态度与价值观：进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．●重点难点重点：双曲线的简单性质．难点：性质的应用．教学时要抓住知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生类比椭圆，让学生讨论、归纳双曲线的性质，通过例题与练习让学生掌握性质的应用．●教学建议本节内容是在学生学习了双曲线的定义及标准方程后对双曲线简单性质的研究，教学时让学生将双曲线性质与椭圆、抛物线的性质进行类比，讨论其共同点、不同点，培养学生的观察、研究能力，教师侧重指导其与椭圆的不同之处，比如渐近线，让学生在类比中学习，提高．●教学流程创设问题情境，提出问题引导学生回答问题，理解双曲线的简单性质通过例1及互动探究，使学生掌握由方程求性质问题通过例2及变式训练，使学生掌握由性质求双曲线的标准方程通过例3及变式训练，使学生掌握与离心率、渐近线有关的问题归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正2006年，我国流行一首校园歌曲，这就是著名的《悲伤的双曲线》，歌词就是一首优美的数学诗：“如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路无交点．为何看不见，等式成立要条件．难道正如书上说的，无限接近不能达到．为何看不见，明月也有阴晴圆缺，此事古难全，但愿千里共婵娟．”为什么双曲线会如此悲伤呢？通过下面问题你就会明白．(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线是什么？ (2)双曲线的两支与渐近线有何特点？【提示】 (1)y ＝±ba x . (2)无限接近但不能接触．近线方程、离心率．【思路探究】化为标准方程→求a、b――→据c2＝a2＋b2求c→讨论性质【自主解答】将方程x 2－3y 2＝12化为标准方程x 212－y 24＝1，∴a 2＝12，b 2＝4，∴a ＝23，b ＝2，c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长为2a ＝43，虚轴长为2b ＝4.焦点F 1(－4，0)，F 2(4，0)，顶点A 1(－23，0)，A 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝233.1. 本题易出现“c 2＝a 2－b 2＝12－4＝8，c ＝22，忽视双曲线中c 2＝a 2＋b 2”的错误．2. 已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．把双曲线方程改为x 2－3y 2＋12＝0，再求实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．【解】将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.求与双曲线x 9－y 16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程．【思路探究】设出双曲线的标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值，从而确定双曲线的方程．【自主解答】法一设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程33.2双曲线的简单性质学案北师大版选修1_1

3．2 双曲线的简单性质学习目标：1.掌握双曲线的简单性质．(重点)2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)双曲线的简单性质(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？[提示] (1)不一样．椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx .( )(2)双曲线y 24－x 29＝1的实轴长为6.( ) (3)离心率越大，双曲线的开口就越大．( )(4)等轴双曲线的离心率为 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．若双曲线x 23＋y 2k＝1的离心率为3，则实数k 的值为( )A ．－16B.16 C ．－6D ．6C [由题意可知k <0，a ＝3，b ＝－k ，c ＝a 2＋b 2＝3－k ，所以e ＝c a＝3－k3＝3，得k ＝－6.] 3．已知双曲线x 2－y 2＝2，过定点P (2,0)作直线l 与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [P (2,0)在双曲线的内部，故过点P (2,0)与双曲线有且只有一个交点的直线为过P 与双曲线渐近线平行的直线．]4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．[解析] 由双曲线方程x 27－y 23＝1易知，a ＝7，b ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝10.则焦距2c ＝210. [答案] 210双曲线的简单性质【例1】求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解] 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1，再确定a ，b 的值(注意它们的分母分别为a 2，b 2，而不是a ，b )，进而求出c ，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.1．(1)双曲线x 24－y 2＝1的离心率为________；(2)双曲线x 2－3y 2＋12＝0的渐近线方程为________； (3)双曲线4y 2－9x 2＝36的顶点坐标为________．[解析] (1)由双曲线的方程，得a ＝2，b ＝1，∴c ＝22＋12＝ 5. 故双曲线的离心率e ＝c a ＝52； (2)双曲线化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a ＝2，b ＝23，焦点在y 轴上，故其渐近线方程为y ＝±a b x ＝±33x ； (3)双曲线化为标准方程为y 29－x 24＝1，∴a ＝3，焦点在y 轴上，故其顶点为(0，－3)，(0,3)．[答案] (1)52 (2)y ＝±33x (3)(0，－3)，(0,3)利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．思路探究：由双曲线的几何性质，列出关于a ，b ，c 的方程，求出a ，b ，c 的值．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1.(2)法一：(待定系数法)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：(双曲线系法)由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置.2．(1)已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程；(2)双曲线的离心率等于2，且与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的焦点，求此双曲线的标准方程．[解] (1)法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y p ＝3.∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.(2)∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∵c ＝4，又双曲线的离心率等于2，即ca＝2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12.故所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.求双曲线的离心率[探究问题]1．若双曲线焦点在x 轴上，且渐近线方程为y ＝±32x ，请求出双曲线的离心率．[提示] 双曲线焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132. 2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，能否求出双曲线离心率的取值范围？[提示] 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|(当P 为双曲线右顶点时取等号)， ∴6a ≥2c .∴c a≤3.又e >1，∴1<e ≤3.【例3】设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43 B.53 C.94D ．3 思路探究：根据双曲线的定义，求出|PF 1||PF 2|的值．由|PF 1||PF 2|＝94ab ，建立a 、b 、c 三者之间的等量关系求解．[解析] 考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. [答案] B1．求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝c a；二是依据条件提供的信息建立参数a 、b 、c 的等式进而转化为离心率e 的方程，再解关于e 的方程即可．2．求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a ，b ，c 的不等关系，再转化为含e 的不等关系求解．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 B [由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B.] 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .]3．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．[解析] c 2＝1＋3＝4，∴c ＝2.焦点坐标为(±2,0)，又渐近线方程为y ＝±3x ，∴焦点到渐近线的距离为d ＝|23|3＋1＝ 3.[答案] 34．已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线C 的标准方程是________．[解析] 设双曲线标准方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把(1,1)代入得λ＝3×12－12＝2，所以双曲线方程为3x 2－y 2＝2，即x 223－y 22＝1.[答案]x 223－y 22＝1 5．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C 的离心率．[解] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，由于在双曲线中c >b ，故在Rt△OF 1B 2中，只能是∠OF 1B 2＝30°，所以b c ＝tan 30°，c ＝3b ，所以a ＝2b ，离心率e ＝c a＝32＝62.。