湘教版数学七年级下册期末知识点复习各章节典型例题
(完整word版)湘教版七年级下册数学知识点梳理
湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章 二元一次方程组一、二元一次方程组 1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。
二元一次方程组的解的讨论：已知二元一次方程组①、 当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解； ②、 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解； ③、当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。
例如：对应方程组：①、 ②、 ③、例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：①、 ②、 ③、④、3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X 的代数式表示Y ，就是先把X 看成已知数，把Y 看成未知数；用含Y 的代数式表示X ，则相当于把Y 看成已知数，把X 看成未知数。
例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x 的代数式表示y 为：___________,用含y 的代数式表示x 为:____________。
4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2x + y = 4 3x - 5y = 9 x + y = 3 2x + 2y = 5x + y = 4 2x + 2y = 8a +b = 2 b +c = 3 x = 4 y = 5 3t + 2s = 5 ts + 6 = 0 x = 11 2x + 3y = 0要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为0例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于x 、y 的二元一次方程，求a 、b 的值。
湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节典型例题
第一章二元一次方程【知识点归纳】1.含有个未知数，并且项的次数都是的方程叫做二元一次方程。
2.把个含有未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。
3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程两边的值都的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。
4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。
这种解方程组的方法叫做消元法，简称代入法。
5.两个二元一次方程中同一未知数的系数或时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。
这种解方程组的方法叫做消元法，简称加减法。
6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找。
【典型例题】1．已知关于x，y的方程组的解满足x+2y=2．（1）求m的值；（2）若a≥m，化简：|a+1|﹣|2﹣a|．2．已知二元一次方程组的解为x=a，y=b，求a+b的值．3．解方程组：①；②．4．为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲种节能灯30 40乙种节能灯35 50（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？5．随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：时间（分钟）里程数（公里）车费（元）小明8 8 12小刚12 10 16（1）求x，y的值；（2）小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？第二章整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。
七年级数学期末总复习——第一章至第三章湘教版
湘教版初一数学期末总复习——第一章至第三章一. 教学内容：期末总复习——第一章至第三章二. 重点、难点：重点：《有理数》一章的概念的理解，有理数大小的比较，有理数运算《代数式》一章的概念的理解与运用代数式的表示方法、列代数式、求代数式的值、去括号法则、一类代数式的加减、《图形欣赏与操作》这一章的概念及运用、简单几何体的对称性、三视图的画法、七巧板的拼摆。
难点：科学记数法，两负数的大小的比较、有理数的乘方与混合运算、用字母表示规律列代数式、去括号法则的运用、画三视图或通过立体图的三视图再去画立体图、拼七巧板、光源与投影的相关知识。
三. 教学知识要点：1. 第一章《有理数》知识网络的回忆①正数和负数可表示具有相反意义的量，假如向东走5米记为＋5米，则向西走4米记作－4米，其中“＋5米”与“－4米”是一对具有相反意义的量。
正数比0大，如4，6，19，π，……负数比0小，前面有一个“－”号，如-3，-7，-π，……0在此表示正数与负数的分界点，既不是正数，也不是负数。
②有理数分类⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧------⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--- 08.523.15.0117542152.90.015.0001184531791980700131.a ，，，，，负分数，，，，，，正分数分数），，，负整数（如），，，，正整数（如整数有理数注意：分数中包含可以化成分数的小数。
无限不循环小数不可化成分数，它不包含在分数内，如π就是无限不循环小数，它不是分数，当然也不是整数，所以π不是有理数。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧------⎪⎩⎪⎨⎧），，，负分数（），，，负整数（负有理数），，，正分数（），，，，正整数（正有理数有理数 08.277.04110152007.71.0215421.b③数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线。
所有有理数可用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数不一定是有理数。
湘教版七年级数学下册知识点总结
第1章二元一次方程组1.3二元一次方程组的应用1.4三元一次方程组数学与文化高斯消元法第2章整式的乘法3.1 多项式的因式分解3.2 提公因式法3.3 公式法第4章相交线与平行线4.2 平移4.5 垂线4.6 两条平行线间的距离第5章轴对称与旋转5.3 图形变换的简单应用IT教室用计算机作几何变换图形数学与文化建筑学上的几何变换综合与实践长方体包装盒的设计与制作第6章数据的分析6.1 平均数、中位数、众数6.2 方差IT教室用Excel求平均数、中位数、众数和方差知识点总结湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。
二元一次方程组的解的讨论：3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。
例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x为:____________。
4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为0 例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b的值。
湘教版七年级下册数学知识点梳理
湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章 二元一次方程组一、二元一次方程组 1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。
二元一次方程组的解的讨论：已知二元一次方程组①、 当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解； ②、 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解； ③、 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。
例如：对应方程组：①、 ②、 ③、例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：①、 ②、 ③、 ④、3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X 的代数式表示Y ，就是先把X 看成已知数，把Y 看成未知数；用含Y 的代数式表示X ，则相当于把Y 看成已知数，把X 看成未知数。
例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x 的代数式表示y 为：___________,用含y 的代数式表示xa1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2x + y = 4 3x - 5y = 9 x + y = 3 2x + 2y = 5x + y = 42x + 2y = 8a +b = 2 b +c = 3 x = 4 y = 5 3t + 2s = 5 ts + 6 = 0 x = 11 2x + 3y = 0为:____________。
七年级下册湘教版教版数学期末总复习教案及练习试卷
(图 1-2 )（一）本章知识结构图:一般情况相交线与平行线邻补角 邻补角互补 相 交两条直线对顶角相交成直角垂线第三条所截 两条直线被对顶角相等（二）例题与习题：-、对顶角和邻补角：1.如图所示，/1和/2是对顶角的图形有（）平移同位角、内错角、同旁内角个 个 2. 如图1-1 ,直线AR CD EF 都经过点O, 图中有几对对顶角。
DFE.一 一 . 一 ................................................................................................. 一 ■一c图如图1-2 ,若/ AOBW / BO 久一对邻补角，OD 平分/ A OB11—1OE 在/BOCft 部，并且/ BO=- ZCOE /DO=72°。
2D3. 求/ COE 勺度数。
（） O第二课时二、垂线：已知：如图，在一条公路l的两侧有A、B两个村庄.<1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P,同时修建车站国必、B两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P的位置，（保留作图的痕迹）.并在后面的横线上用一句话说明道理. ________________ . ________________________<2>为方便机动车出行，AM计划自己出资修建一条由本村直达公路l的机动车专用道路，你能帮助AM节省资金，设计出最短的道路吗，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理. _______ .三、同位角、内错角和同旁内角的判断1.如图3-1 ,按各角的位置，下列判断错误的是（）（A） /1与/2是同旁内角（B） /3与/4是内错角（C） /5与/6是同旁内角（D） /5与/8是同位角2.如图3-2 , 与/ EF幽成内错角的是,与/FEB构成同旁内角的是 ______图3-1C A3囱3图4-6第三课时四、平行线的判定和性质：1 .如图 4-1 ,若/ 3=7 4,贝U //;若 AB// CD,则/ =/ 。
湘教版数学七年级下册期末知识点复习各章节典型例题
湘教版数学七年级下册期末知识点复习各章节典型例题第一章有理数1. 将下列有理数按从小到大的顺序排列：-2，5/3，-1.5，1解：-2，-1.5，5/3，12. 计算下列各式的值：（1）-0.4 + 1/5 （2）3.6 - 2.7解：（1）-0.4 + 1/5 = -0.4 + 0.2 = -0.2（2）3.6 - 2.7 = 0.9第二章整式与分式1. 计算下列各式的值：（1）3a - 2b，a=4，b=-1 （2）2x^2 -3y + 1，x=-2，y=3解：（1）3a - 2b = 3(4) - 2(-1) = 12 + 2 = 14（2）2x^2 - 3y + 1 = 2(-2)^2 - 3(3) + 1 = 8 - 9 + 1 = 02. 约分：（1）8a^2b/12ab （2）16x^3/24x^2解：（1）8a^2b/12ab = (8/12) * (a^2b/ab) = 2/3（2）16x^3/24x^2 = (16/24) * (x^3/x^2) = 2/3x第三章代数式的计算1. 计算下列代数式的值：（1）a^2 - 3a，a=2 （2）2x^2 + 4x + 1，x=-1解：（1）a^2 - 3a = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2（2）2x^2 + 4x + 1 = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 + (-4) + 1 = -12. 化简下列代数式：（1）2x + 3y - x + 4y （2）5a^2 -2a + 3a^2 - a解：（1）2x + 3y - x + 4y = x + 7y（2）5a^2 - 2a + 3a^2 - a = 8a^2 - 3a第四章一次函数1. 已知y = 2x + 3，求当x = -1时y的值。
解：将x = -1代入方程y = 2x + 3，得到y = 2(-1) + 3 = 12. 画出函数y = 3x - 2的图像。
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湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数〔即次数〕都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程〔或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个〕合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等〔即等式成立〕的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组〔对〕数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解〔即无公共解〕。
二元一次方程组的解的讨论：二元一次方程组 a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2①、当a1/a2≠b1/b2时，有唯一解；②、当a1/a2=b1/b2≠c1/c2时，无解；③、当a1/a2=b1/b2=c1/c2时，有无数解。
例如：对应方程组：①、x+y=4②、x+y=3③、x+y=43x-5y=92x+2y=52x+2y=8例：判断以下方程组是否为二元一次方程组：①、a+b=2 ②、x=4 ③、3t+2s=5 ④、x=11b+c=3 y=5 ts+6=0 2x+3y=03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把 X看成数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，那么相当于把Y看成数，把X看成未知数。
例：在方程2x+3y=18中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x 为:____________。
4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：1/22要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为 0例：方程(a-2)x^(/a/-1) –(b+5)y^(b^2-24)=3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b 的值。
湘教版数学七年级下册期末复习(三)因式分解
期末复习(三) 因式分解各个击破命题点1 因式分解的概念【例1】(海南中考)下列式子从左到右的变形是因式分解的是(B)A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25【方法归纳】解答此类题目要充分理解因式分解的定义和具体要求．因式分解指的是把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式．不仅要全面把握其定义还应注意：①结果必须是几个整式的积的形式；②必须是恒等变形；③必须分解到每个因式不能再分解为止．因式分解和整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是(C)A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xC．x2－9＝(x＋3)(x－3)D．(x＋2)(x－2)＝x2－42．若多项式x2－x＋a可分解为(x＋1)(x－2)，则a的值为－2．命题点2 因式分解【例2】因式分解：12a2－3(a2＋1)2.【思路点拨】先提取公因式3，再用平方差公式，然后用完全平方公式因式分解．【解答】原式＝3[4a2－(a2＋1)2]＝3[(2a)2－(a2＋1)2]＝3[2a＋(a2＋1)][2a－(a2＋1)]＝－3(a＋1)2(a－1)2.【方法归纳】因式分解的一般步骤：(1)不管是几项式，都先看它有没有公因式．如果有公因式，就先提取公因式．(2)看项数．如果是二项式，考虑能否用平方差公式；如果是三项式，考虑能否用完全平方公式．(3)检查结果．看分解后的每一个因式能不能继续分解，直到每一个因式不能再分解为止．3．因式分解：(1)(岳阳中考)6x2－3x＝3x(2x－1)；(2)(邵阳中考)m3－mn2＝m(m＋n)(m－n)．4．因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；解：原式＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.(2)a3(x＋y)－ab2(x＋y)；解：原式＝a(x＋y)(a2－b2)＝a(x＋y)(a＋b)(a－b)．(3)9(a－b)2－(a＋b)2.解：原式＝(3a－3b＋a＋b)(3a－3b－a－b)＝(4a－2b)(2a－4b)＝4(2a－b)(a－2b)．命题点3 因式分解的运用【例3】 先因式分解，再求值：(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2－x(2x ＋1)(2－3x)，其中x ＝32. 【思路点拨】 首先把(2－3x)变为－(3x －2)，然后提取公因式即可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．【解答】 原式＝(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2＋x(2x ＋1)(3x －2)＝(2x ＋1)(3x －2)(2x ＋1－3x ＋2＋x)＝3(2x ＋1)(3x －2)，当x ＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30. 【方法归纳】 此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．5．已知a 2＋a ＋1＝0，求1＋a ＋a 2＋…＋a 8的值．解：原式＝(1＋a ＋a 2)＋a 3(1＋a ＋a 2)＋a 6(1＋a ＋a 2)＝(1＋a ＋a 2)(1＋a 3＋a 6)，因为a 2＋a ＋1＝0，所以原式＝0×(1＋a 3＋a 6)＝0.6．用简便方法计算：(1)123 456 7892－123 456 788×123 456 790；解：原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－12)＝123 456 7892－123 456 7892＋12＝1.(2)102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12.解：原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2－1)(2＋1)＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝55.整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(济宁中考)下列式子变形是因式分解的是(B)A ．x 2－5x ＋6＝x(x －5)＋6B ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)2．(临沂中考)多项式mx 2－m 和多项式x 2－2x ＋1的公因式是(A)A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)23．(北海中考)下列因式分解正确的是(D)A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)4．把－8(x －y)2－4y(y －x)2因式分解，结果是(A)A ．－4(x －y)2(2＋y)B ．－(x －y)2(8－4y)C ．4(x －y)2(y ＋2)D ．4(x －y)2(y －2)5．计算(－2)2 017＋22 016等于(C)A ．22 017B ．－22 017C ．－22 016D ．22 0166．若多项式x 2＋mx ＋4能用完全平方公式因式分解，则m 的值可以是(D)A ．4B ．－4C ．±2D ．±47．当a ，b 互为相反数，代数式a 2＋ab －2的值为(C)A ．2B ．0C ．－2D ．－18．已知(19x －31)(13x －17)－(13x －17)(11x －23)可因式分解成8(ax ＋b)(x ＋c)，其中a ，b ，c 均为整数，则a ＋b ＋c 的值为(A)A ．－5B ．－12C ．38D ．72二、填空题(每小题4分，共16分)9．多项式2(a ＋b)2－4a(a ＋b)中的公因式是2(a ＋b)．10．(珠海中考)填空：x 2＋10x ＋25＝(x ＋5)2.11．(枣庄中考)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为12． 12．(北京中考)因式分解：5x 3－10x 2＋5x ＝5x(x －1)2．三、解答题(共60分)13．(16分)因式分解：(1)12a 2b －18ab 2－24a 3b 3；解：原式＝6ab(2a －3b －4a 2b 2)．(2)a 3－9a ；解：原式＝a(a 2－9)＝a(a ＋3)(a －3)．(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ；解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)．(4)16(a －b)2＋24(b 2－a 2)＋9(a ＋b)2.解：原式＝16(a －b)2－24(a －b)(a ＋b)＋9(a ＋b)2＝[4(a －b)－3(a ＋b)]2＝(a －7b)2.14．(6分)利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．解：原式＝3198×32－4×3×3198＋10×3198＝3198×(9－12＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．(8分)先因式分解，再求值：已知a ＋b ＝2，ab ＝2，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab(a ＋b)2. 当a ＋b ＝2，ab ＝2时，原式＝12×2×4＝4.16．(10分)利用因式分解计算：(1)9992＋999；解：原式＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.(2)6852－3152.解：原式＝(685－315)×(685＋315)＝370×1 000＝370 000.17．(10分)已知多项式a2＋ka＋25－b2，在给定k值的条件下可以因式分解．(1)写出常数k可能给定的值；(2)针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．解：(1)由已知得(a2＋ka＋25)为一个平方项，则k可能取的值有±10.(2)令k＝10，则原式＝a2＋10a＋25－b2＝(a＋5)2－b2＝(a＋5＋b)(a＋5－b)．18．(10分)试说明：不论a，b，c取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．解：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝12[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)]＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0.所以a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．。
2020—2021年湘教版七年级数学下册期末专题复习《二元一次方程组》及答案解析.docx
新课标 2017-2018学年湘教版七年级数学下册期末复习(一) 二元一次方程组考点一二元一次方程组及其相关概念【例1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )A.258x yx y-==⎧⎨⎩ B.1x yx y z+==+⎧⎨⎩ C.3225x yx y-=+=⎧⎨⎩D.112 23113 32x yx y+=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩【分析】根据二元一次方程组的定义判断.【解答】B【方法归纳】二元一次方程组必须满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程.变式练习：1.下列方程组是二元一次方程组的是( )A.31x yxy-==⎧⎨⎩ B.2532x yx y+==-⎧⎨⎩ C.212x yy x-==⎧⎨⎩D.12x yx y⎧-=+=⎪⎨⎪⎩2.下列四个解中是方程组16,223111x yx y-=+=-⎧⎪⎨⎪⎩的解是( )A.612xy=-=-⎧⎨⎩ B.82xy==-⎧⎨⎩ C.101xy==-⎧⎨⎩ D.112xy=-=⎧⎪⎨⎪⎩考点二二元一次方程组的解法【例2】解方程组：432,2 6.x yx y-=+=⎧⎨⎩①②【分析】根据方程组中系数的特点，先确定“消元”的对象，即先消去x或先消去y.【解答】②×2-①得5y=10，解得y=2.把y=2代入②得x=2.所以方程组的解为2,2. xy==⎧⎨⎩【方法归纳】解二元一次方程组时，应把握方程组的特点，选择较为简单的方法进行求解.当方程组中某个未知数的系数的绝对值等于1时，利用代入消元法求解比较简单；当方程组中某一个未知数的系数成倍数或绝对值相同，则采用加减消元法比较简单.3.解下列方程组：(1)358,21x yx y+=-=⎧⎨⎩； (2)21,3211.x yx y+=-=⎧⎨⎩考点三利用二元一次方程组求值【例3】已知关于x，y的方程组7,234mx nymx ny+=-=⎧⎨⎩的解为1,2,xy==⎧⎨⎩求m，n的值.【分析】根据方程组解的意义，将1,2,xy==⎧⎨⎩代入原方程组7,234mx nymx ny+=-=⎧⎨⎩得到一个关于m，n的方程组，解这个新方程组即可.【解答】由题意，将1,2,xy==⎧⎨⎩代入方程组7,234mx nymx ny+=-=⎧⎨⎩中，得2726 4.m nm n+=-=⎧⎨⎩，解这个新方程组，得51. mn==⎧⎨⎩，【方法归纳】二元一次方程组的解是指同时符合两个方程的未知数的值，当已知方程组的解时，都是把解代入方程组，得到新的方程组，再解方程组，从而求出字母的值.4.已知,x ay b==⎧⎨⎩是方程组27,25x yx y+=+=⎧⎨⎩的解，则a-b的值为( )A.2B.1C.0D.-15.已知关于x、y的方程组11,225mx nymx ny-=+=⎧⎪⎨⎪⎩的解为2,3,xy==⎧⎨⎩求m、n的值.考点四 利用二元一次方程组解决实际问题【例4】在水果店里，小李买了5 kg 苹果，3 kg 梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11 kg 苹果，5 kg 梨，老板按九折收钱，收了90元．该店的苹果和梨的单价各是多少元？【分析】本题中的关键语句是：小李买了5 kg 苹果，3 kg 梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11 kg 苹果，5 kg 梨，老板按九折收钱，收了90元，由此得两个相等关系：（1）5 kg 苹果的金额＋3 kg 梨的金额＝50＋2；（2）（11 kg 苹果的金额＋5 kg 梨的金额）×0.9＝90．【解答】设该店的苹果和梨的单价分别是x 元/kg 、y 元/kg ，根据题意，得()5352,0.911590.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得5,9.x y ==⎧⎨⎩答：该店的苹果和梨的单价分别是5元/kg 、9元/kg ．【方法规纳】用方程或方程组解应用题，解题的关键要抓住题中的关键语句构建方程或方程组模型.6.将一摞笔记本分给若干同学，每个同学6本，则剩下9本；每个同学8本，又差3本.问共有多少本笔记本、多少个同学？7.我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售.打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需要190元；购买2件甲商品和3件乙商品需要220元.而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？复习测试：一、选择题(每小题3分，共24分)1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是( ) A.2232x y y x ⎧-==⎪⎨⎪⎩ B.12x y x y +=-=⎧⎨⎩ C.12x y xy +==⎧⎨⎩ D.23x yx y =-=⎧⎨⎩2.方程5x+2y=-9与下列方程构成的方程组的解为2,12x y ⎧=-=⎪⎨⎪⎩的是( )A.x+2y=1B.3x+2y=-8C.5x+4y=-3D.3x-4y=-83.方程组5,210x y x y +=+=⎧⎨⎩①，②由②-①，得正确的方程是( )A.3x=10B.x=5C.3x=-5D.x=-54.若x、y满足方程组37,35,x yx y+=+=⎧⎨⎩则x-y的值等于( )A.-1B.1C.2D.35.已知方程组2313,3530.9a ba b-=+=⎧⎨⎩的解是8.3,1.2,ab==⎧⎨⎩则方程组()()()()223113,325130.9x yx y+--=++-=⎧⎪⎨⎪⎩的解是( )A.8.31.2xy==⎧⎨⎩ B.10.32.2xy==⎧⎨⎩ C.6.32.2xy==⎧⎨⎩ D.10.30.2xy==⎧⎨⎩6.已知3,2xy=-=-⎧⎨⎩是方程组1,2ax cycx by+=-=⎧⎨⎩的解，则a，b间的关系是( )A.4b-9a=1B.3a+2b=1C.4b-9a=-1D.9a+4b=17.小亮解方程组2,212x y Ax y+=-=⎧⎨⎩时，得到它的解为5,.xy B==⎧⎨⎩由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数A和B，则这两个数分别为( )A.4和6B.6和4C.2和8D.8和-28.某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是( )A.12人，15人B.14人，13人C.15人，12人D.13人，14人二、填空题(每小题4分，共16分)9.请写出一个解为2,3xy=-=⎧⎨⎩的二元一次方程组：____________________.10.方程组0,26x yx y-=+=⎧⎨⎩的解是__________.11.关于x、y的方程组2,x y mx my n-=+=⎧⎨⎩的解是1,3,xy==⎧⎨⎩则|m+n|的值是__________.12.某体育场的环形跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑自行车.如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次.如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次.甲、乙的速度分别是多少？设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒.则列出的方程组是____________________.三、解答题(共60分)13.(12分)解方程组：(1)1,22;x yx y-=+=⎧⎨⎩ (2)()()41312,2.23x y yx y--=--+=⎧⎪⎨⎪⎩14.(8分)已知关于x，y的二元一次方程组221,21x y kx y k+=++=-⎧⎨⎩的解互为相反数，求k的值.15.(9分)小峰对雨欣说，有这样一个式子ax+by，当x=1，y=4时，它的值是7；当x=2，y=3时，它的值是4；你知道当x=2，y=1时，它的值是多少吗？雨欣想了想，很快就做出了正确答案.你知道聪明的雨欣是怎样做的吗？16.(9分)某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60 km/h的速度走平路，后又以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5 h；原路返回时，汽车以40 km/h 的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6 h.问平路和坡路各有多远？17.(10分)已知方程组3,3228x yax by+=+=⎧⎨⎩与方程组16,37ax byx y+=-=-⎧⎨⎩的解相同，求3a-2b的值.18.（12分）某镇水库的可用水量为12 000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？参考答案变式练习1.B2.C3.(1)1,1x y ==⎧⎨⎩； (2)3,1.x y ==-⎧⎨⎩4.A5.将23x y ==⎧⎨⎩，代入方程组,得312,2223 5.m n m n -=+=⎧⎪⎨⎪⎩①②②-①得92n=92,即n=1.将n=1代入②得m=1.则1,1.m n ==⎧⎨⎩6.设共有笔记本x 本，同学y 个.由题意，得69,83.x y y x -=-=⎧⎨⎩解得45,6.x y ==⎧⎨⎩答：共有45本笔记本，6个同学.7.设打折前一件甲商品需要x 元，一件乙商品需要y 元，由题意得 3190,23220.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得50,40.x y ==⎧⎨⎩打折前购买10件甲商品和10件乙商品需要：10×（50+40）=900（元）. 900-735=165（元）.答：这比不打折前少花165元．复习测试1.C2.D3.B4.A5.C6.D7.D8.C9.答案不唯一，如1,5x y x y +=-=-⎧⎨⎩10.2,2x y ==⎧⎨⎩11.3 12.()()30400,80400x y y x ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ 13.(1)1,0.x y ==⎧⎨⎩ (2)2,3.x y ==⎧⎨⎩14.由题意得3x+3y=3k ，即x+y=k ，因为x ，y 互为相反数，所以k=0. 15.根据题意，得4723 4.a b a b +=+=⎧⎨⎩，①②①×2-②，得5b=10，b=2.将b=2代入①，得a=-1.所以这个式子为-x+2y.将x=2，y=1代入上式，得-2+2×1=0.16.设平路x km,坡路y km,根据题意，得6.5,60306,5040x yx y ⎧⎪+=+=⎪⎨⎪⎪⎩即2390,451200,x y x y +=+=⎧⎨⎩解得150,120.x y ==⎧⎨⎩答：平路150 km,坡路120 km.17.解方程组3,37x y x y +=-=-⎧⎨⎩得1,4.x y =-=⎧⎨⎩把1,4.x y =-=⎧⎨⎩代入方程组3228,16ax by ax by +=+=⎧⎨⎩得3828,416.a b a b -+=-+=⎧⎨⎩解得4,5.a b ==⎧⎨⎩所以3a-2b=3×4-2×5=2.18.（1）设年降水量为x 万立方米，每人年平均用水量为y 立方米，则12000201620,12000152015,x y x y +=⨯+=⨯⎧⎨⎩解得200,50.x y ==⎧⎨⎩答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．（2）设该镇居民年平均用水量为z 立方米才能实现目标，则 12 000＋25×200＝20×25z ，解得z ＝34．所以50-34＝16．答：该镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标．。
湘教版七年级数学下册 期末复习(一) 二元一次方程组 知识梳理
A．①×3＋②×2
B．①×3－②×2
C．①×5＋②×3
D．①×5－②×3
5．二元一次方程组2xx－－2yy＝＝－0，3的解为( C )
A．xy＝ ＝21
D．yx＝＝1－2
6．若5a7xby＋7和－6a2－4yb2x是同类项，则x，y的值分别是( B )
18．(8分)小明用代入消元法解二元一次方程组x2＋x－y＝y＝－31，2.①② 第一步：将方程①变形，得y＝2x－3．③ 第二步：把方程③代入方程①，得2x－(2x－3)＝3． 第三步：整理，得3＝3． 第四步：因为x可取一切有理数，所以原方程组有无数个解．
问题： (1)以上解法，造成错误的一步是 第二步； (2)请你给出用加减消元法解此二元一次方程组的正确过程． 解：①＋②，得3x＝－9． 解得x＝－3． 把x＝－3代入②，得y＝－9． 所以方程组的解为xy＝ ＝－ －39.，
数学
期末复习(一) 二元一次方程组
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点1 二元一次方程组的解法 【例1】 解方程组：42xx－ ＋3y＝y＝62.②，① 【解答】 解法一：②×2－①，得5y＝10，解得y＝2． 把y＝2代入②，得x＝2． 所以原方程组的解为yx＝＝22.，
解法二：由②，得y＝6－2x．③ 将③代入①，得4x－3(6－2x)＝2，解得x＝2． 将x＝2代入③，得y＝2． 所以原方程组的解为yx＝＝22.，
19．(8分)已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点出发行 驶．若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车 相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度．
解：设甲、乙两车的速度分别是x千米/时和y千米/时．根据题 意，得
xx×＝12＋y，y×1＝90×2.解得yx＝＝6102.0， 答：甲、乙两车的速度分别是120千米/时、60千米/时．
最新湘教版七年级数学下册期末复习专题试题及答案全套
最新湘教版七年级数学下册期末复习专题试题及答案全套最新湘教版七年级数学下册期末复专题试题及答案全套类比归纳专题：二元一次方程组的解法选择——学会选择最优的解法类型一：解未知数系数含1或－1的方程组1.(湘潭期末) 方程组x－1＝0。
x＋1＝y的解是()A.x＝1。
y＝2B.x＝1。
y＝－2C.x＝2。
y＝1D.x＝2。
y＝－12.(冷水江期末) 方程组2x－y＝2。
3x＋y＝5的解是________．3.解方程组：x－y＝2。
x＋2y＝52x＋y＝3。
3x－5y＝114.下面是老师在XXX的数学作业本上截取的部分内容：解方程组2x－y＝3。
x＋y＝－12解：将方程①变形，得y＝2x－3③，第一步把方程③代入方程①，得2x－(2x－3)＝3，第二步整理，得3＝3，第三步因为x可以取任意实数，所以原方程组有无数个解，第四步问题：1)这种解方程组的方法叫“代入法”．XXX的解法正确吗？若不正确，错在哪一步？请你指出错误的原因，求出正确的解；2)请用不同于(1)中的方法解这个方程组．类型二：解同一未知数的系数含倍数关系的方程组5.解方程组：5x－6y＝－1。
3x＋2y＝53x－4y＝－18。
9x＋5y＝－3类型三：利用整体思想解方程组(或求与未知数相关的代数式的值)6.(邵阳县一模) 已知2x＋3y＝5。
x＋2y＝3。
则2016＋x＋y＝________．【方法2】7.解方程组：3x＋4y＝2。
4x＋3y＝58.若方程组3x＋y＝1＋3a。
x＋3y＝1－a的解满足x＋y＝2，求a的值．类型四：含字母系数的方程组的运用9.已知x＝2。
mx＋ny＝8。
nx－my＝12x＋y＝3。
4x＋3y＝5是二元一次方程组的解，则2m－n的值为()A.－2B.2C.4D.－42.某中学通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生。
共资助23名学生，其中资助一名中学生的研究费用为a 元，资助一名小学生的研究费用为b元。
已知各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、小学生人数的部分情况如下表：年级 | 筹款数额(元) | 资助贫困中学生人数(名) | 资助贫困小学生人数(名) |七年级 | 4000 | 2 | 4 |八年级 | 4200 | 3 | 3 |九年级 | 7400 |。
最新湘教版七年级数学下册期末复习专题试题及答案全套
最新湘教版七年级数学下册期末复习专题试题及答案全套类比归纳专题：二元一次方程组的解法选择——学会选择最优的解法◆类型一 解未知数系数含1或－1的方程组1．(湘潭期末)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1＝y 的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1 2．(冷水江期末)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x －y ＝2的解是________．3．解方程组：(1)(甘孜中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2①，x ＋2y ＝5②；(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3①，3x －5y ＝11②.4．下面是老师在嘉嘉的数学作业本上截取的部分内容：解方程组⎨⎪⎧2x －y ＝3①，解：将方程①变形，得y ＝2x －3③，……第一步把方程③代入方程①，得2x －(2x －3)＝3，……第二步 整理，得3＝3，……第三步因为x 可以取任意实数，所以原方程组有无数个解……第四步 问题：(1)这种解方程组的方法叫____________．嘉嘉的解法正确吗？若不正确，错在哪一步？请你指出错误的原因，求出正确的解；(2)请用不同于(1)中的方法解这个方程组．◆类型二 解同一未知数的系数含倍数关系的方程组5．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝－1①，3x ＋2y ＝5②； (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝－18①，9x ＋5y ＝－3②.◆类型三 利用整体思想解方程组(或求与未知数相关的代数式的值)6．(邵阳县一模)已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝5，x ＋2y ＝3，则2016＋x ＋y ＝________．【方法2】7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2①，4x ＋3y ＝5②.8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋3a ①，x ＋3y ＝1－a ②的解满足x ＋y ＝0，求a 的值．◆类型四 含字母系数的方程组的运用9．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．－410．(邵阳洞口县期中)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，kx ＋2y ＝4－k 的解x 与y 之和为1，则k ＝________．11．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，bx ＋ay ＝7的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，求a ＋b 的值．12．已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a －2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．13．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，ax ＋by ＝－4和方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝12，bx ＋ay ＝－8的解相同，求(5a ＋b )2的值．【方法5③】◆*类型五 解方程组的特殊方法14．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5（x ＋y ）－3（x －y ）＝2，2（x ＋y ）＋4（x －y ）＝6，若设x ＋y ＝A ，x －y ＝B ，则原方程组可变形为⎩⎪⎨⎪⎧5A －3B ＝2，2A ＋4B ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1，再解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作换元法，请用这种方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，2（x ＋y ）－3（x －y ）＝24.参考答案与解析1．A 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝23．解：(1)②－①，得3y ＝3，解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＝3，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.(2)①×5＋②，得13x ＝26，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝－1.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.4．解：(1)代入消元法 嘉嘉的解法不正确，错在第二步，正确解法：将方程①变形，得y ＝2x －3③.把方程③代入②，得x ＋2x －3＝－12，解得x ＝－3.把x ＝－3代入③，得y ＝－9.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－9.(2)①＋②，得3x ＝－9，解得x ＝－3.把x ＝－3代入①，得y ＝－9，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－9.5．解：(1)②×3，得9x ＋6y ＝15③，③＋①，得14x ＝14，解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝1.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.(2)①×3，得9x －12y ＝－54③，②－③，得17y ＝51，解得y ＝3.把y ＝3代入①，得x ＝－2.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.6．2018 解析：原方程组中两个方程相减，得x ＋y ＝2，∴2016＋x ＋y ＝2016＋2＝2018.7．解：①＋②，得7x ＋7y ＝7，所以x ＋y ＝1③，③×3，得3x ＋3y ＝3④，①－④，得y ＝－1.②－④，得x ＝2.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.8．解：①＋②，得4x ＋4y ＝2＋2a ，∴x ＋y ＝1＋a 2.∵x ＋y ＝0，∴1＋a2＝0，解得a ＝－1.9．C 10.211．解：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，bx ＋ay ＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，a ＋2b ＝7，两方程相加，得3a ＋3b ＝10，所以a ＋b ＝103.12．解：当a ＝3时，原方程为2x ＋y －1＝0.当a ＝4时，原方程为3x ＋2y －3＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，3x ＋2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.即这个公共解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3. 13．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，3x －y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－4，bx ＋ay ＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －6b ＝－4，2b －6a ＝－8.解得⎩⎨⎧a ＝74，b ＝54. ∴(5a ＋b )2＝102＝100.14．解：设x ＋y ＝A ，x －y ＝B ，方程组变形，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＋B 3＝6，2A －3B ＝24，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋2B ＝36①，2A －3B ＝24②，①×3＋②×2，得13A ＝156，解得A ＝12.把A ＝12代入②，得B ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝6.解题技巧专题：方程组中较复杂的实际问题◆类型一 图表问题1．如图，一个多边形的顶点全在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中三角形ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ＝________，N ＝________，L ＝________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝N ＋aL ＋b ，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N ＝82，L ＝38，则S 的值为________．2．某中学2016年通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生共23名，资助一名中学生的学习费用需a 元，一名小学生的学习费用需b 元，各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、小学生人数的部分情况如下表：年级筹款数额(元)资助贫困中资助贫困小(1)求a，b的值；(2)九年级学生筹集的钱款解决了其余贫困中、小学生的学习费用，求出九年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为多少．◆类型二方案问题3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用篱笆围成，现有长为35米的篱笆，爸爸的设计方案是长比宽多5米；妈妈的设计方案是长比宽多2米，你认为谁的设计合理，为什么？如果按这种设计，养鸡场的面积是多少？4．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？参考答案与解析1．解：(1)3 1 6(2)100 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝0＋4a ＋b ，3＝1＋6a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.故S ＝N ＋12L －1.当N ＝82，L ＝38时，S ＝100.2．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4b ＝4000，3a ＋3b ＝4200，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝800，b ＝600.(2)设九年级学生资助的贫困中、小学生分别为x 名和y 名．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝11，800x ＋600y ＝7400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.答：九年级学生资助的贫困中、小学生分别为4名和7名．3．解：妈妈的设计方案合理．理由如下：设篱笆的长为x 米，宽为y 米．①按爸爸的设计方案，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝y ，x ＋2y ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝10.15米＞14米，不合理．②按妈妈的设计方案，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝y ，x ＋2y ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝11.13米＜14米，合理．此时养鸡场的面积为13×11＝143(平方米)．4．解：(1)设这批游客的人数是x 人，原计划租用y 辆45座客车．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧45y ＋15＝x ，60（y －1）＝x ，解得⎪⎧x ＝240，答：这批游客的人数是240人，原计划租用5辆45座客车．(2)租45座客车：240÷45≈5.3(辆)，所以需租6辆，租金为220×6＝1320(元)；租60座客车：240÷60＝4(辆)，所以需租4辆，租金为300×4＝1200(元)．所以，租用4辆60座客车更合算．解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用◆类型一利用公式求值一、逆用幂的相关公式求值1．已知5x＝3，5y＝4，则5x＋y的结果为【方法7①】()A．7 B．12 C．13 D．142．如果(9n)2＝312，则n的值是()A．4 B．3 C．2 D．13．若x2n＝3，则x6n＝________．4．(湘潭期末)已知a x＝3，a y＝2，求a x＋2y的值．5．计算：－82015×(－0.125)2016＋0.253×26.【方法7③】二、多项式乘法中求字母系数的值6．如果(x＋m)(x－3)中不含x的项，则m 的值是()A．2 B．－2 C．3 D．－37．(邵阳县期中)若(x－5)(2x－n)＝2x2＋mx－15，则m，n的值分别是()A．m＝－7，n＝3 B．m＝7，n＝－3C．m＝7，n＝3 D．m＝－7，n＝－38．已知6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)，试确定a，b，c的值．三、逆用乘法公式求值9．若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( )A ．2B ．4C .32D .1210．已知a ＋b ＝3，则a 2－b 2＋6b 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．1511．(衡阳中考)已知a ＋b ＝3，a －b ＝－1，则a 2－b 2的值为9.【方法9①】 12．已知x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，求x 3＋12y 3的值．四、利用整体思想求值13．若x ＋y ＝m ，xy ＝－3，则化简(x －3)(y －3)的结果是( ) A ．12 B ．3m ＋6C ．－3m －12D ．－3m ＋6 14．先化简，再求值：(1)(菏泽中考)已知4x ＝3y ，求代数式(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2的值；(2)已知2a 2＋3a －6＝0，求代数式3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)的值．◆类型二 利用乘法公式进行简便运算 15．计算2672－266×268得( ) A ．2008 B ．1 C ．2006 D ．－116．已知a ＝7202，b ＝719×721，则( ) A ．a ＝b B ．a>b C ．a<b D ．a ≤b 17．计算：(3)5012＋4992; (4)19992－1992×2008.◆类型三 利用乘法公式的变形公式进行化简求值 18．如果x ＋y ＝－5，x 2＋y 2＝13，则xy 的值是( ) A ．1 B ．17 C ．6 D ．2519．若a ＋b ＝－4，ab ＝12，则a 2＋b 2＝________．20．(永州模拟)已知a ＝2005x ＋2004，b ＝2005x ＋2005，c ＝2005x ＋2006，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值为________．21．已知(x ＋y)2＝5，(x －y)2＝3，求3xy －1的值．◆类型四 整式乘法中的拼图问题22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是( )A ．(a ＋b)(a ＋2b)＝a 2＋3ab ＋2b 2B ．(3a ＋b)(a ＋b)＝3a 2＋4ab ＋b 2C ．(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2D ．(3a ＋2b)(a ＋b)＝3a 2＋5ab ＋2b 223．如图，边长为(m ＋2)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为2，其面积是( )A．2m＋4 B．4m＋4 C．m＋4 D．2m＋224．★如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？(2)请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；(3)观察图②，你能写出下列三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系吗？(4)根据(3)中的结论，解决下列问题：若a＋b＝9，a－b＝7，求ab的值．参考答案与解析1．B2．B解析：∵(9n)2＝[(32)n]2＝34n，∴34n＝312，∴4n＝12，∴n＝3.故选B.3．274．解：∵a x＝3，a y＝2，∴a x＋2y＝a x·a2y＝3×22＝12.5．解：原式＝－82015×(－0.125)2015×(－0.125)＋(0.25)3×23×23＝－[8×(－0.125)]2015×(－0.125)＋(0.25×2×2)3＝1×(－0.125)＋1＝0.875.6．C 7.D8．解：∵(2x －3y ＋b )(3x ＋y ＋c )＝6x 2－7xy －3y 2＋(2c ＋3b )x ＋(b －3c )y ＋bc ＝6x 2－7xy －3y 2＋14x ＋y ＋a ，∴2c ＋3b ＝14，b －3c ＝1，bc ＝a .联立以上三式，可得a ＝4，b ＝4，c ＝1.9．B10．B 解析：a 2－b 2＋6b ＝(a ＋b )(a －b )＋6b ＝3(a －b )＋6b ＝3a ＋3b ＝3(a ＋b )＝9.故选B. 11．－312．解：∵x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，∴x －y ＝21÷3＝7.联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.当x ＝5，y＝－2时，x 3＋12y 3＝53＋12×(－2)3＝125－96＝29.13．D14．解：(1)(x －2y )2－(x －y )(x ＋y )－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝－4xy ＋3y 2.∵4x ＝3y ，∴原式＝－3y ·y ＋3y 2＝0.(2)∵2a 2＋3a －6＝0，即2a 2＋3a ＝6，∴3a (2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)＝6a 2＋3a －4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1＝6＋1＝7.15．B 解析：2672－266×268＝2672－(267－1)(267＋1)＝2672－2672＋1＝1.故选B. 16．B17．解：(1)原式＝(100－0.2)(100＋0.2)＝1002－0.22＝9999.96. (2)原式＝(100＋2)2＝10000＋4＋400＝10404.(3)原式＝(500＋1)2＋(500－1)2＝5002＋2×500×1＋12＋5002－2×500×1＋12＝2×5002＋2＝500002. (4)原式＝(2000－1)2－(2000－8)(2000＋8)＝20002－2×2000×1＋1－(20002－82)＝－4000＋1＋64＝－3935.18．C 19.1520．3 解析：由题意知b －a ＝1，c －b ＝1，c －a ＝2.∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12(a 2－2ab ＋b 2＋a 2－2ac ＋c 2＋b 2－2bc ＋c 2)＝12[(b －a )2＋(c －a )2＋(c －b )2]＝12×(1＋4＋1)＝3.21．解：∵(x ＋y )2－(x －y )2＝4xy ＝2，即xy ＝12，∴3xy －1＝3×12－1＝12.22．D23．B 解析：依题意得剩余部分的面积为(m ＋2)2－m 2＝m 2＋4m ＋4－m 2＝4m ＋4.故选B. 24．解：(1)m －n .(2)方法一：(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2； 方法二：(m ＋n )2－4mn ＝m 2－2mn ＋n 2. (3)(m ＋n )2－4mn ＝(m －n )2.(4)∵(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，∴4ab ＝32，∴ab ＝8.类比归纳专题：因式分解的方法◆类型一 一步(提公因式或套公式)1．(自贡中考)多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a ＋2)(a －2) C ．a (a ＋2)(a －2) D ．(a －2)2－4 2．把下列多项式因式分解： (1)(台州中考)x 2－6x ＋9；(2)(a－b)2－4b2.◆类型二两步(先提后套或需多次分解)3．(常德澧县期末)把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是()A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)C．y(x－y)2D．y(x＋y)24．因式分解：【易错6】(1)2a3－8a2＋8a；(2)(邵阳县校级期中)16x4－81y4；(3)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.◆*类型三特殊的因式分解法5．阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm ＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝____________＝____________________；(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18＝________________；【方法12】(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________．7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.参考答案与解析1．A2．解：(1)原式＝(x－3)2.(2)原式＝(a－b－2b)(a－b＋2b)＝(a－3b)(a＋b)．3．C4．解：(1)原式＝2a(a2－4a＋4)＝2a(a－2)2.(2)原式＝(4x2＋9y2)(4x2－9y2)＝(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．(3)原式＝(y2－1－3)2＝(y＋2)2(y－2)2.5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y－1)(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a－b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．6．解：(1)(x＋9)(x－2)(2)7，－7，2，－2解析：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)．(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法◆类型一含一个拐点的平行线问题【方法17】1．(天门中考)如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为()A．10°B．20°C．30°D．40°第1题图第2题图2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为()A．20°B．30°C．40°D．70°3．(金华中考)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是________．第3题图第4题图4．如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为________．5．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出来．◆类型二含多个拐点的平行线问题【方法17】6．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝()A．30°B．35°C．36°D．40°第6题图第7题图7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________.8．如图，如果AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为______________．第8题图9．★如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将平行线间的1个拐点改为2个拐点，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系，请说明理由．参考答案与解析1．A2．B解析：如图，过C作CF∥DE，∴∠CDE＋∠DCF＝180°.∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°.∵AB∥DE，∴CF∥AB，∴∠FCB＝∠ABC＝70°，∴∠BCD＝70°－40°＝30°.3．80° 4.50°5．解：过点B向左作BE∥AD.∵AD∥CF，∴AD∥BE∥CF，∴∠1＋∠ABE＝180°，∠2＋∠CBE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠ABC＝360°.∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，∴∠2＝360°－∠1－∠ABC＝155°.6．A解析：如图，作AC∥l1，BD∥l2，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD ＝180°，∴∠3＋∠4＝125°＋85°－180°＝30°，∴∠1＋∠2＝30°.7．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.8．∠α＋∠β－∠γ＝180°解析：如图，过点E作EF∥AB，∴∠α＋∠AEF＝180°.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠γ，∴∠AEF＝∠β－∠FED＝∠β－∠γ，∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.9．解：(1)过点O作OM∥AB，如图①，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：分别过点O，P作OM∥AB，PN∥CD，如图②.∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，即∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法◆类型一相交线与平行线中利用方程思想求角度1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，若∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为()A．180°B．160°C．140°D．120°2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，过点O 作两条射线OM ，ON ，且∠AOM ＝∠CON ＝90°. (1)若OC 平分∠AOM ，求∠AOD 的度数；(2)若∠1＝14∠BOC ，求∠AOC 和∠MOD 的度数．【方法14②】◆类型二 相交线与平行线中的分类讨论思想3．在同一平面内，三条直线的交点个数是__________． 4．已知∠α和∠β两边分别平行，且∠α＝x ，∠β＝4x －30°，则∠α＝________．5．★如图，点D 为射线CB 上一点，且不与点B ，C 重合，DE ∥AB 交直线AC 于点E ，DF ∥AC 交直线AB 于点F .画出符合题意的图形，猜想∠EDF 与∠BAC 的数量关系，并说明理由．◆类型三平移中利用转化思想求周长或面积6．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是【方法16】BA．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长7．如图，在长为50m，宽为30m的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是________．8．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．9．(湘潭县期末)如图，已知三角形ABC的面积为16，BC的长为8，现将三角形ABC沿BC向右平移m个单位到三角形A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．◆类型四建立平行线的模型解决实际问题10．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数为()A．80°B．90°C．100°D．70°第10题图第11题图11．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过．如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是________度．12．小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋，其侧面如图所示．若她已测出∠A＝135°，∠C＝125°，由于受条件影响，屋顶的∠B的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，他也能算出∠B的度数，你知道小芳的哥哥是怎样做的吗？试着说出他的方法，并计算出∠B的度数．◆类型五平行线中利用从特殊到一般的思想进行探究13．★如图①：MA1∥NA2，如图②：MA1∥NA3，如图③：MA1∥NA4，如图④：MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＋1＝________°(用含n的代数式表示)．14．★如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明你的理由；(2)拓展应用：如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)其中区域③，④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求写出过程)．解：AB∥EF.理由：在∠BCD和∠CDE内分别作∠BCM＝∠B＝25°，∠EDN＝∠E＝10°，则CM∥AB，DN∥EF，又∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠MCD＝20°，∠CDN＝20°，∴∠MCD＝∠CDN，∴CM∥DN，∴AB∥EF.参考答案与解析1．B2．解：(1)∵∠AOM＝∠CON＝90°，OC平分∠AOM，∴∠1＝∠AOC＝45°，∴∠AOD＝180°－∠AOC ＝180°－45°＝135°.(2)设∠1＝x，则∠BOC＝4x，∴∠BOM＝3x.∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝180°－90°＝90°，∴x＝30°，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝90°－∠1＝60°，∠MOD＝180°－∠1＝150°.3．0或1或2或3解析：有四种情况：①三条直线互相平行；②只有两条直线平行；③三条直线互不平行(交于一点)；④三条直线互不平行(两两相交，不交于一点)，如图所示．4．10°或42°解析：∵∠α和∠β两边分别平行，∴∠α＝∠β或∠α＋∠β＝180°.∵∠α＝x，∠β＝4x －30°，∴x＝4x－30°或x＋4x－30°＝180°，解得x＝10°或x＝42°，∴∠α＝10°或42°.5．解：有两种情况：(1)如图①，当点D在BC上时，∠EDF＝∠BAC.理由如下：连接AD，∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠F AD.∴∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝∠F AD＋∠EAD＝∠BAC；(2)如图②，当点D在CB的延长线上时，∠EDF＋∠BAC＝180°.理由如下：连接AD，同(1)可得∠EDF＝∠EAF，∵∠EAF＋∠BAC＝180°，∴∠EDF＋∠BAC＝180°.6．D7．1421m 28．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，BC ＝EF ＝3cm.∵AE＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)． (2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．9．解：过点A 向BC 作垂线，垂足为H ，如图所示．∵S 三角形ABC ＝16，BC ＝8，∴12·BC ·AH ＝16，∴12×8·AH ＝16，解得AH ＝4.又∵S 四边形ABB ′A ′＝32，∴BB ′×4＝32，∴BB ′＝8，∴m ＝BB ′＝8，即m 的值是8.10．D11．150 解析：如图，过点B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴AE ∥BD ∥CF ，∴∠ABD ＝∠A ＝120°.∵∠ABC ＝150°，∴∠CBD ＝∠CBA －∠ABD ＝150°－120°＝30°.∵CF ∥BD ，∴∠CBD ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠CBD ＝180°－30°＝150°.12．解：过点B 作BD ∥AE 交EF 于点D ，则AE ∥BD ∥CF .∵∠A ＝135°，∠C ＝125°，∴∠ABD ＝180°－∠A ＝45°，∠CBD ＝180°－∠C ＝55°，∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝45°＋55°＝100°.即∠B 的度数为100°.13．n ·180 解析：∵MA 1与NA n 平行，∴在图①可得∠A 1＋∠A 2＝180°；在②中可过A 2作A 2B ∥MA 1，如图所示，∵MA 1∥NA 3，∴A 2B ∥NA 3，∴∠MA 1A 2＋∠BA 2A 1＝∠BA 2A 3＋∠NA 3A 2＝180°，∴∠A 1＋∠A 1A 2A 3＋∠A 3＝360°.同理可得∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＝540°，∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＋∠A 5＝720°，∴∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋…＋∠A n ＋1＝n ·180°.14．解：(1)①∠AED ＝70°；②∠AED ＝80°；③∠AED ＝∠EAB ＋∠EDC .理由如下：过点E 向左作射线EF ∥AB ，∴∠EAB ＝∠AEF .∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∴∠EDC ＝∠DEF .∴∠AED ＝∠AEF ＋∠DEF ＝∠EAB ＋∠EDC .(2)当点P 在区域①时，∠PEB ＋∠PFC ＋∠EPF ＝360°；当点P 在区域②时，∠EPF ＝∠PEB ＋∠PFC ；当点P 在区域③时，∠PEB ＝∠PFC ＋∠EPF ；当点P 在区域④时，∠PFC ＝∠EPF ＋∠PEB .。
湘教版数学七年级下册期末复习(二)整式的乘法
初中数学试卷 金戈铁骑整理制作期末复习(二) 整式的乘法各个击破命题点1 幂的运算【例1】 若a m ＋n ·a m ＋1＝a 6，且m ＋2n ＝4，求m ，n 的值．【思路点拨】 已知m ＋2n ＝4，只要再找到一个关于m ，n 的二元一次方程即可组成方程组求解．可根据同底数幂的乘法法则，由等式左右两边a 的指数相等即可得到．【解答】 由已知得a 2m ＋n ＋1＝a 6，所以2m ＋n ＋1＝6，即2m ＋n ＝5.又因为m ＋2n ＝4，所以m ＝2，n ＝1.【方法归纳】 对于乘方结果相等的两个数，如果底数相等，那么指数也相等．1．(徐州中考)下列运算正确的是(C)A ．3a 2－2a 2＝1B ．(a 2)3＝a 5C ．a 2·a 4＝a 6D ．(3a)2＝6a 22．若2x ＝3，4y ＝2，则2x ＋2y 的值为6．3．计算：(1)(－2x 3y)2；解：原式＝(－2)2(x 3)2y 2＝4x 6y 2.(2)(－x 2)3·(－x 3)5；解：原式＝(－x 6)·(－x 15)＝x 21.(3)2(x 3)3·x 3－x 2·(x 5)2－(－x)3·(－x 2)4·(－x)．解：原式＝2x 9·x 3－x 2·x 10－x 3·x 8·x＝2x 12－x 12－x 12＝0.命题点2 多项式的乘法【例2】 化简：2(x －1)(x ＋2)－3(3x －2)(2x －3)．【解答】 原式＝2(x 2＋2x －x －2)－3(6x 2－9x －4x ＋6)＝－16x 2＋41x －22.【方法归纳】 在计算多项式乘法时，要注意不漏项，不重项．多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．4．如果(x ＋1)(2x ＋m)的乘积中不含x 一次项，则m 为(A)A ．－2B ．2 C.12 D ．－125．下列各式中，正确的是(B)A ．(－x ＋y)(－x －y)＝－x 2－y 2B ．(x 2－1)(x －2y 2)＝x 3－2x 2y 2－x ＋2y 2C ．(x ＋3)(x －7)＝x 2－4x －4D．(x－3y)(x＋3y)＝x2－6xy－9y2命题点3 适用乘法公式运算的式子的特点【例3】下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是(C)A．(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)C．(x－2y)(x＋2y) D．(－x－y)(x＋y)【方法归纳】能用平方差公式进行计算的两个多项式，其中一定有完全相同的项，剩下的是互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．6．下列多项式相乘，不能用平方差公式的是(A)A．(－2y－x)(x＋2y)B．(x－2y)(－x－2y)C．(x－2y)(2y＋x)D．(2y－x)(－x－2y)7．下列各式：①(3a－b)2；②(－3a－b)2；③(－3a＋b)2；④(3a＋b)2，能用两数和的完全平方公式计算的有②④(填序号)．命题点4 利用乘法公式计算【例4】先化简，再求值：(2a－b)(b＋2a)－(a－2b)2＋5b2.其中a＝－1，b＝2.【思路点拨】把式子的前两部分分别运用平方差公式和完全平方公式化简．【解答】原式＝(4a2－b2)－(a2－4ab＋4b2)＋5b2＝3a2＋4ab.当a＝－1，b＝2时，原式＝3×(－1)2＋4×(－1)×2＝－5.【方法归纳】运用平方差公式时，要看清两个因式中的相同项和相反数项，其结果是相同项的平方减去相反数项的平方．8．下列等式成立的是(D)A．(－a－b)2＋(a－b)2＝－4abB．(－a－b)2＋(a－b)2＝a2＋b2C．(－a－b)(a－b)＝(a－b)2D．(－a－b)(a－b)＝b2－a29．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝15，那么a2＋b2的值是4．10．计算：(1)(a＋b)2－(a－b)2－4ab；解：原式＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2－4ab＝0.(2)[(x＋2)(x－2)]2；解：原式＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16.(3)(a＋3)(a－3)(a2－9)．解：原式＝(a2－9)(a2－9)＝a4－18a2＋81.命题点5 利用乘法公式计算【例5】(1)如图，请用两种不同的方式表示图中的大正方形的面积；(2)你根据上述结果可以得到一个什么公式？(3)利用这个公式计算：1022.【思路点拨】根据图形可以得到：图形的面积有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中两个长方形面积与两个正方形的面积的和，即可得到公式；然后利用公式计算即可．【解答】(1)方法一：(a＋b)2.方法二：a2＋2ab＋b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404.【方法归纳】根据同一个图形的面积的两种表示，所得到的代数式的值相等，由此可得到对应的代数恒等式．11．(枣庄中考)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(C)A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2 D．a2－b2整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．计算b2·(－b3)的结果是(B)A．－b6 B．－b5C．b6 D．b52．(恩施中考)下列计算正确的是(D)A．2a3＋3a3＝5a6B．(x3)2＝x5C．－2m(m－3)＝－2m2－6mD．(－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－43．如果a2n－1·a n＋5＝a16，那么n的值为(B)A．3 B．4C．5 D．64．如果(x－2)(x＋3)＝x2＋px＋q，那么p、q的值为(C)A．p＝5，q＝6 B．p＝－1，q＝6C．p＝1，q＝－6 D．p＝5，q＝－65．一个长方体的长、宽、高分别是3a－4、2a、a，它的体积等于(D)A．3a3－4a2 B．a2C．6a3－8a D．6a3－8a26．如果(a3)6＝86，则a等于(C)A．2 B．－2C．±2 D．以上都不对7．已知a＝814，b＝275，c＝97，则a，b，c的大小关系是(A)A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a8．(日照中考)观察下列各式及其展开式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4；(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5；…请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是(B)A ．36B ．45C ．55D ．66二、填空题(每小题3分，共18分)9．计算：x 5·x 7＝x 12，(－a 2)3·(－a 3)2＝－a 12．10．计算：3m 2·(－2mn 2)2＝12m 4n 4．11．(福州中考)已知有理数a ，b 满足a ＋b ＝2，a －b ＝5，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是1_000．12．计算(－212)2 017×0.42 018＝－0.4． 13．若(a m ＋1b n ＋2)·(a 2m b 2n －1)＝a 4b 7，则m ＋n ＝3．14．多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，请写出所有可能的单项式为±4x 或4x 4．三、解答题(共58分)15．(12分)计算：(1)(－2a 2b)3＋8(a 2)2·(－a)2·(－b)3；解：原式＝－8a 6b 3－8a 6b 3＝－16a 6b 3.(2)a(a ＋4b)－(a ＋2b)(a －2b)－4ab ；解：原式＝a 2＋4ab －(a 2－4b 2)－4ab＝a 2＋4ab －a 2＋4b 2－4ab＝4b 2.(3)(2x －3y ＋1)(2x ＋3y －1)．解：原式＝[2x －(3y －1)][2x ＋(3y －1)]＝4x 2－(3y －1)2＝4x 2－(9y 2－6y ＋1)＝4x 2－9y 2＋6y －1.16．(8分)已知a ＋b ＝1，ab ＝－6，求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)a 2－ab ＋b 2.解：(1)原式＝(a ＋b)2－2ab＝1＋12＝13.(2)原式＝(a ＋b)2－3ab＝12－3×(－6)＝1＋18＝19.17．(8分)先化简，再求值：(1)(常州中考)(x ＋1)2－x(2－x)，其中x ＝2；解：原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1.当x ＝2时，原式＝8＋1＝9.(2)(南宁中考)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12. 解：原式＝1－x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1.18．(10分)四个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，这个记号就叫做2阶行列式．例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝1×4－2×3＝－2.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 x ＋1＝10，求x 的值． 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 x ＋1＝(x ＋1)2－(x －2)(x ＋2)＝2x ＋5＝10， 解得x ＝2.5.19．(10分)如图，某校有一块长为(3a ＋b)米，宽为(2a ＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．(1)用含a 、b 的代数式表示绿化面积并化简；(2)求出当a ＝5米，b ＝2米时的绿化面积．解：(1)S 阴影＝(3a ＋b)(2a ＋b)－(a ＋b)2＝6a 2＋3ab ＋2ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab(平方米)．(2)当a ＝5，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×25＋3×5×2＝125＋30＝155(平方米)．20．(10分)小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x ＋a)(3x ＋b)．小华把第一个多项式中的“a ”抄成了－a ，得到结果为6x 2＋11x －10；小明把第二个多项式中的3x 抄成了x ，得到结果为2x 2－9x ＋10.(1)你知道式子中a ，b 的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．解：(1)根据题意，得(2x －a)(3x ＋b)＝6x 2＋(2b －3a)x －ab＝6x 2＋11x －10；(2x ＋a)(x ＋b)＝2x 2＋(a ＋2b)x ＋ab＝2x 2－9x ＋10，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b －3a ＝11，a ＋2b ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－2.(2)正确的算式为：(2x －5)(3x －2)＝6x 2－19x ＋10.。
七年级数学期末总复习——第四章至第六章湘教版
湘教版初一数学期末总复习——第四章至第六章一. 教学内容：期末总复习——第四章至第六章二. 重点、难点：重点：根据题目中的数量关系建立一元一次方程或不等式，检验一个解是不是方程的或不等式的解，等式的基本性质，不等式的基本性质，解一元一次方程的算法，解一元一次不等式，列一元一次方程或一元一次不等式解应用题，收集整理数据，并作简单分析，制作统计图来表示数据，从统计图中提取信息，求数据的平均数、中位数、众数。
难点：根据题目中的数量关系建立一元一次方程模型或列出不等式，不等式的基本性质的灵活运用。
根据图表信息做出正确的分析，选择合适的统计图描述数据，并做出推断与预测，运用平均数、中位数、众数分析，解决实际问题。
三. 教学知识要点1. 第四章一元一次方程模型与算法知识网络的回忆：一元一次方程的应用和它的解法一元一次方程方程等式的性质式算（1）等式是用“＝”连接的，表示相等关系的式子，而方程是含未知数的等式，如5x －7＝18是方程，方程中5，－7，18为已知数，x 为未知数，并且只含一个未知数，未知项的次数为1，它又是一元一次方程。
任何一个一元一次方程都可化为标准形式。
如ax ＝b （a ≠0，a 、b 为已知数），方程两边都除以未知数的系数a ，得到标准形式的解为a bx（2）使方程两边的值相等的未知数的值叫这个方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根。
如x ＝5是5x －7＝18的解或根。
（3）求方程的解的过程叫解方程。
（4）解方程的一般步骤及注意事项： a. 去分母（注意不要漏乘或添括号，这里指不漏乘无分母的项） b. 去括号（一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，注意符号变化，如去括号时，利用分配律也不要漏乘括号里的每一项）c. 移项（通常把未知的项移到一边，已知的项移到一边，且注意移了项的一定要变号） d. 化简（方程两边分别进行化简与计算，化成ax ＝b 形式，注意计算时要细心） e. 系数化1作分子）作分母，，，注意得数前的系数（方程两边都除以未知b a b ax a b x a ≠=（5）列方程解应用题找出等量关系建立方程模型是关键，它的一般步骤及注意事项有：第一步，审：审题，分析题中已知什么，未知什么，找数量要细心。
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第一章二元一次方程【知识点归纳】１.含有个未知数，并且项的次数都是的方程叫做二元一次方程。
2.把个含有未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程,一个一元一次方程)联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。
3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程两边的值都的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。
4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有的代数式表示,再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。
这种解方程组的方法叫做消元法,简称代入法。
5．两个二元一次方程中同一未知数的系数或时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数,从而得到一个一元一次方程。
这种解方程组的方法叫做消元法,简称加减法。
6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找。
【典型例题】1.已知关于x，y的方程组的解满足x+2y=2.(1）求m的值;（2)若a≥m,化简：|a+1|﹣|2﹣a|.2．已知二元一次方程组的解为x＝a,y＝b,求ａ+b的值.3.解方程组:①；②.4.为了响应市委和市政府“绿色环保,节能减排”的号召，幸福商场用33０0元购进甲、乙两种节能灯共计１0０只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表:进价(元/只) 售价（元/只)甲种节能灯30 4０乙种节能灯35 5０（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？(２)全部售完１０0只节能灯后，商场共计获利多少元？5.随着“互联网+”时代的到来,一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按ｘ元/公里计算，耗时费按y元／分钟计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行,按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：时间(分钟）里程数(公里) 车费（元)小明8 8 12小刚1２10 16（1）求x,ｙ的值;（2)小华也用该打车方式，打车行驶了１1公里，用了１4分钟，那么小华的打车总费用为多少？第二章整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变, 相加。
a n.a m= (ｍ，n是正整数)把，再把所得的幂。
(ab)ｎ＝ (n是正整数）4ﻫ.单项式与单项式相乘,把它们的、分别相乘。
5.单项式与多项式相乘,先用单项式，再把所得的积，a（m+n）= 6．多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘 ,再把所得的积 ,（ａ+b）(m+n)=７.平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差（a＋b）（a－b）＝。
8.完全平方公式,即两数和(或差)的平方,等于它们的 ,加（或减)它们的积的。
(a+ｂ)2= ,(a-ｂ)2= 。
9.公式的灵活变形:（a+b）２+(ａ-ｂ）2= ,(a+ｂ）2-(a-ｂ)2= ,a2+b２=(a＋ｂ）2- ，a2+ｂ2=（ａ－b）2＋，（a+b)2=(a-b）2＋ ,(a-b）2＝（a＋b)2－。
【典型例题】1．已知a x=5,ａx＋y=25，求a x+a y的值.2．若a m=aｎ(a＞０且a≠1，m,ｎ是正整数)，则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行!①如果2×8x×16x=222，求ｘ的值;②如果(27ｘ）2=38,求x的值．2．已知x3ｍ=2，y2m=3，求（ｘ２ｍ)3+（ｙm)6﹣(x２y)３ｍ•ｙｍ的值.12．若x+ｙ=3，且(ｘ+2）(ｙ+2)＝１２．(1)求xy的值．（２）求x2+３ｘy+y2的值．4．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1)6992（２)２0192﹣２01７×2021５.先化简，再求值:（ｘ+3y)2﹣（x+3ｙ）(x﹣３y）,其中x=３，y=﹣2．第三章因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。
(因式分解三注意：1．乘积形式;2.恒等变形；3.分解彻底。
)2.几个多项式的称为它们的公因式。
3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。
am＋an=ａ( ）4.找公因式的方法：找公因式的系数:取各项系数绝对值的。
确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的的。
5.把乘法公式从右到左的使用,把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。
a2-ｂ２＝，ａ２+２aｂ＋b２= ，a２-2ａb+b2＝。
【典型例题】1．已知二次三项式２x2+3x﹣ｋ有一个因式是（2x﹣5),求另一个因式以及ｋ的值．2．已知ａb2＝6,求ab(a２b5﹣ab3﹣b)的值.３.因式分解:(1)3ax2﹣6axy＋3aｙ２（2）（3x﹣2)2﹣（2ｘ＋7）２(3)﹣2ｍ2+８mｎ﹣8n2 (4)ａ2(x﹣1）+b2(1﹣x）（5)（ｍ2+n2）2﹣4m2n2 (6)9a2(x﹣y）+４ｂ2（y﹣x)第四章相交线与平行线【知识点归纳】１.同一平面内的两条直线有、、（或平行)三种位置关系。
2.在同一平面内，没有的两条直线叫做平行线。
(记作a//b)3.过直线外一点有直线与这条直线平行。
4.平行于同一条直线的两条直线 (平行线的性)。
5.有共同的，其中一角的两边分别是另一角的两边的线，这样的两个角叫做对顶角。
对顶角。
两条直线相交,有2对对顶角，ｎ条直线相交于一点，有ｎ(n-1)对对顶角。
６.同位角：在“三线八角”中,位置相同的角,在 , 同一侧的角,是同位角。
7ﻫ.内错角:在“三线八角”中，夹在两直线 ,位置角,是内错角。
8ﻫ.同旁内角：在“三线八角”中,夹在两直线 ,在第三条直线的角,是同旁内角。
９.平移不改变图形的和,不改变直线的，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组10.平行线的性质:(1）两直线平行，角相等；（2）直线平行, 相等;（３)两直线平行, 角互补。
11.平行线的判定：(１) 角相等,两直线平行；（2）角相等,两直线平行;(3）角互补,两直线平行。
1２．两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做。
（记作a⊥b)13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线。
14.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线垂直于。
15.在同一平面内,过一点一条直线与已知直线垂直。
16.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，从直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离。
17.两条平行线的所有都相等。
两条平行线的公垂线段的叫做两条平行线间的距离。
【典型例题】1．如图，直线ＡＢ，ＣＤ相交于点O,OA平分∠ＥOC.（１）若∠EOC＝8０°，求∠BOD的度数;（２)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点A、B、Ｃ在小正方形的顶点上,将△AＢＣ向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△Ａ1Ｂ1C1(１)在网格中画出△A１B1C1；(2)计算△A1B1Ｃ1的面积．3.如图,AＢ∥CD，ＥF平分∠AＥG，若∠EGD=130°，求∠EＦG的度数．4．已知：如图,AB∥CD，点Ｅ在ＡC上,∠A＝11５°，∠D=２0°,求∠AＥD的度数.5.如图，已知∠１=∠2,∠B=1０0°,求∠D的度数．6.如图,BD是∠ABC的平分线，ED∥ＢＣ，∠ＦED=∠ＢDE,则EF也是∠ＡED的平分线.完成下列推理过程:证明：∵BD是∠ABC的平分线( ）∴∠ABD=∠ＤBC（）∵ＥD∥BC( )∴∠BDＥ=∠ＤＢＣ（）∴（)又∵∠ＦED=∠BDE（)∴∥（)∴∠AEＦ=∠ABＤ（）∴∠AＥF=∠DEF（）∴EF是∠AED的平分线( ）7.如图,已知直线BC、ＤE交于Ｏ点,OＡ、OＦ为射线，ＯA⊥ＢＣ,ＯF平分∠COE,∠CＯF=１７°.求∠AOＤ的度数．８．如图,AＢ与CD相交于O,OE平分∠AOC,OF⊥AB于Ｏ，ＯG⊥OE于O，若∠ＢOD=４0°,求∠ＡOE和∠FOＧ的度数．第五章轴对称图形【知识点归纳】１.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线，直线两侧的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做它的。
等腰三角形有条对称轴，等边三角形有条对称轴,长方形有条对称轴，正方形有条对称轴,圆有条对称轴。
2．轴对称变换不改变图形的和（含长度、角度、面积等)。
3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴。
4．一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的相等,两组对应点分别与旋转中心的连线所成的相等。
旋转不改变图形的和。
【典型例题】1.在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊的三角形中,是轴对称图形的有个.2.在下列图形中:等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形,其中有个旋转对称图形.3.在图中涂黑一个小正方形,使得图中黑色的正方形成为轴对称图形，这样的小正方形可以有个．第六章数据的分析【知识点归纳】1．加权平均数：权数之和为。
2.中位数：把一组数据按顺序排列，如果数据的个数是数,位于的数称为这组数据的中位数;如果数据的个数是数,位于中间的两个数的数称为这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中，出现的数。
４．方差:一组数据中,各数据与其之差的平方的值。
即Ｓ2＝。
【典型例题】1．物理兴趣小组2０位同学在实验操作中的得分情况如表：得分(分）10 9 8 7人数(人）５8 ４ 3①求这20位同学实验操作得分的众数、中位数.②这20位同学实验操作得分的平均分是多少？③将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图.扇形①的圆心角度数是多少？29.某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表: （１）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排序．(2)该公司规定:笔试,面试、体能得分分别不得低于80分，80分,70分,并按6０％，30％,１0％的比例计入总分（不计其他因素条件）,请你说明谁将被录用.３0．甲乙两名运动员进行射击选拨赛，每人射击10次,其中射击中靶情况如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 甲 7 1０ 8 10 9 9 1０ ８ 10 9 乙10710991081０7１0（1)选手甲的成绩的中位数是 分;选手乙的成绩的众数是 分; (2)甲的平均成绩是 分,方差是 ；(3）已知选手乙的成绩的方差是１.4,则成绩较稳定的是哪位选手?（直按写出结果）和、差、倍、分问题公式：较大量=较小量＋多余量,总量=倍数×倍量1、某公园有东、西两个门，开园半小时内,东门售出成人票6５张，儿童票12张，收票款５68元；西门售出成人票81张，儿童票8张,收票款680元。