用向量讨论垂直与平行(2)(北师大版选修2-1)PPT课件

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高中数学北师大版选修2-1课件：第二章+§4+用向量讨论垂直与平行(二)

知识点三
向量法判断面面垂直
思考
平面 α ， β 的法向量分别为 μ1 ＝ (x1 ， y1 ， z1) ， μ2 ＝ (x2 ， y2 ， z2) ，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理
若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ· ν＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c. 1c2＝0
跟踪训练 1
证明
如图，在直三棱柱 ABC —A1B1C1 中， AC ＝ 3 ，
BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
∵ 直三棱柱 ABC － A1B1C1 底面三边长 AC ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AB ＝ 5 ， ∴AC 、
BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线
B.l⊥α
√
D.l与α斜交
1
2
3
4
5
4.平面 α 的一个法向量为 m ＝ (1 ， 2 ， 0) ，平面 β 的一个法向量为 n ＝ (2 ，
－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是答案
A.平行 B.相交但不垂直
解析
C.垂直 √
D.不能确定
∵(1，2，0)· (2，－1，0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.
答案解析
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a· b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
1 2 3 4 5
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行二课件北师大版选修2_130

题型探究
类型一证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且C14N＝ CC1.求证：AB1⊥M证N.明
反思与感悟
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→ 求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝ 3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明
∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、 BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知 ②③④正确.
12345
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
√B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
答案解析
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
c2)，则l⊥α⇔a∥aμ＝⇔kμ(k∈R)
.
知识点三向量法判断面面垂直
思考
平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案
x1x1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔ . a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
反思与感悟
方法一：(1)建立空间直角坐标系.

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1(1)

解析答案
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12345
1.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，
k)，若α⊥β，则k等于D( )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
解析答案
12345
2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3,－2,m)，若l1⊥l2，则m等于( D )
解析答案
题型二证明线面垂直问题例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网

北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件

• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，

高中数学课件-2.4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

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3．三垂线定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的__投__影____，则这两条直线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的 _投__影_____．
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一般采用以下步骤来求法向量． (1)建立空间直角坐标系，设法向量 n＝(x，y，z)． (2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2)． (3)建立方程组nn··ab＝＝00 . (4)解方程组，由于解不确定，只取其中一组解，也就求出此平面的一个法向量．
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)， B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．
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5．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
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第二章空间向量与立体几何

用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件

22
PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
22
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P A n 0 P A n 而 PA平面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于是 P A 、 D E 、 D B 共面
而 PA平面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则Ｄ１Ｆ D A 0 ，Ｄ１Ｆ D E 0
C1 B1
E
则Ｄ１Ｆ D A ，Ｄ１Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平面 ADE
A x
包法括向线量在为面n 内，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0

高中数学选修2-1北师大版用向量讨论垂直与平行课件(40张)

③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可
利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题．
(4)用向量法证明线段垂直
证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直
设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．
①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，
对于证 CO2⊥AD ，因为 CO2 是 BC的射影，所以只需证 BC⊥AD. 而
在平面BCD中，AD是平面BCD的斜线，DO1是AD的射影，所以只要证 BC⊥DO1即可，而这是显然成立的．
[证明] 连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴DO1是AD在平面BCD内的射影， ∴BC⊥AD(三垂线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD， ∴CO2是BC在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．
§4 用向量讨论垂直与平行
重点：用向量方法证明垂直与平行．难点：正确建系，准确表示相关向量的坐标.
一、直线、平面间的平行、垂直
设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α 的法向
量为n，则：平行 l1与l2 l1与α ________ ________ 垂直 ________ ________
c，只需证明a⊥b，a⊥c.
(6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直．
②证两平练] 2．直线 l1 的方向向量为 v1＝(1,0，－1)，直线 l2 的方向向量为 v2＝ (－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是( A．平行 B．相交 ) C．垂直 D．不能确定

高中数学第二章2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1

§4 用向量讨论垂直与平行
学习目标
思维脉络
1.理解用向量语言表述线线、线面、面面的平行或垂直关系. 2.理解用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理. 3.掌握求平面法向量的方法,并且能用向量方法解决立体几何中的平
行、垂直问题. 4.体会向量方法在研究几何问题中的作用,并不断地提高运算能力.
��1 = 0, ��1 = -2��1,
取y1=1,则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).
(1)∵n1·��1 =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥��1 .
又FC1⊈平面ADE,∴FC1∥平面ADE. (2)∵n1∥n2,∴平面ADE∥平面B1C1F.
借助法向量来处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),
∴��1 =(0,2,1),��=(2,0,0),�� =(0,2,1).
=
1 3
��1
+
��1 ��
+
1 3
��
=
1 3
(��
+
��1 )+��1 ��
+
1 3
(��
+
�� )=23

2018-2019学年北师大版选修2-1---第二章4用向量讨论垂直与平行--课件(52张)

④根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组 n·a＝0，
n·b＝0； ⑤ 解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
1．(1)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，1，0)，B(0， 2，3)，C(1，1，3)，求出平面 ABC 的一个法向量． (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：D→B1是平面 ACD1 的一个法向量．
(2)以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、 PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令 PA＝PB＝ PC＝3，则 A(3，0，0)，B(0，3，0)，
C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)， G(1， 1， 0)，P(0， 0， 0)，所以E→F ＝ (0，－ 1，－ 1)， E→G＝ (1，－ 1，－ 1)．设平面 EFG 的法向量是 n＝(x，y，z)，则有 n⊥E→F，n⊥E→G.
向量法证垂直关系
[方法归纳 ]
(1)证线线垂直，一般证两直线方向向量垂直即可 (即证数量积
为零 )． (2)证线面垂直，常用两种方法：一是证直线的方向向量与平
面内两相交直线的方向向量数量积均为零；二是证直线的方向
向量与平面的法向量平行．
(3)证面面垂直，只需证明两平面的法向量垂直即可．
2.(1)已知在空间四边形 OACB 中， OB＝ OC， AB＝ AC，求证： OA⊥ BC. (2)在正三棱锥 (底面是正三角形且侧棱相等)P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC ＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面 GEF⊥平面 PBC. (3)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点．求证：EF⊥平面 B1AC.

高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1

学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．空间中平行关系的向量表示
线线设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，平行 c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_∥__b__
线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝ (a2 ， b2 ， c2) ，则 l∥α⇔_a_⊥__u__.
数学选修2-1
第二章空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．空间垂直关系的向量表示
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1， a2，a3)，直线m 的方向向量为b ＝(b1，b2， b则3)l，⊥m⇔_a_⊥__b_
设直线l的方向向量是a＝(a1， b1，c1)，平面α 的法向量是u＝ (a2，b2，c2)，则l⊥α⇔_a_∥__u_
若平面α的法向量u＝(a1，b1， c1)，平面β的法向量v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔_u_⊥__v__
数学选修2-1
第二章空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[强化拓展]
(1)用向量法证明线线垂直：证明两条直线的方向向量垂直． (2)用向量法证明线面垂直：设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量． ①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c. (3)用向量法证明面面垂直： ①转化证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直．
②符号语言：
aα

bα a⊥b

⇒a⊥c

高中数学北师大版选修2-1 2.4用向量讨论垂直与平行课件(48张)

-8-
【做一做 2】已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 �� = (−1,1,0), �� = (1,0, −1). ��· �� = -�� + �� = 0,
∵n⊥ �� , 且n⊥�� , ∴
��· �� = ��-�� = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
-9-
3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直. (2)面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. (3)三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影,则这两条直线垂直.
-13-
2�� , 3
【做一做3-2】如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .
-14-
解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |�� | = ��, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
-10-
(4)面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

空间向量与垂直关系(第2课时)课件ppt(北师大版选修2-1)

故N点在DD1上且|DN|＝43时，有MN⊥DC1.
[一点通] 用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即 a·b＝0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进行证明．
1．四面体OABC中，各棱长均为a，求证：OA⊥BC. 证明：令OA＝a，OB＝b，OC ＝c，由题意 |a|＝|b|＝|c|＝a，且〈a，b〉＝π3，〈a，c〉＝π3. 而 BC ＝OC －OB＝c－b， ∴OA·BC ＝a·(c－b)＝a·c－a·b，＝|a||c|cos〈a，c〉－|a||b|cos〈a，b〉＝12a2－12a2＝0， ∴OA⊥ BC ，即OA⊥BC.
∴xx11，，yy11，，zz11··22，，02，，01＝＝00，， ∴x21y＝1＋0z，1＝0. 令 y1＝－1，得 n1＝(0，－1,2)．同理可得 n2＝(0,2,1)． ∴n1·n2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知 n1⊥n2. ∴平面 DEA⊥平面 A1FD1.
有 23ay＋a2z＝0，∴z＝－ 3y.
(8分)
取y＝1，得n＝(1,1，－ 3)．
(9分)
∵n·CD＝(1,1，－ 3)·－ 23a， 23a，0＝0， ∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.
(10分) (12分)
[一点通] 用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．
∴ AB1 ⊥ BD， AB1 ⊥ AB1 . 即AB1⊥BD，AB1⊥BA1. 又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.
[例3] (12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD， BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是 AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.

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例3 :
Z
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
E
A' F (1,1, 2),
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
F
Y
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,X
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0 A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，平面，的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a b
线面平行面面平行
l // //
a u //
u v
a u
u 0
平面A1BD // 平面CB1D1.
8
例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中,
求证 : 平面A1BD // 平面CB1D1
Z
D
C
B
A
C1
D1
评注：由于三种平行关系可以相互转化， X
A1
Y
B1
所以本题可用逻辑推理来证明。
用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，
在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，
用向量讨论垂直与平行
1
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
C D
7
例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中,
求证 : 平面A1BD // 平面CB1D1
证明: 如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A
A
2
1
a c•b
2
BC'• AB' (c a b) • (b a)
(c a 2a b) • (b a) (2a b) • (b a)
2
2
22
2a a • b b 2a b 11 0
14
练习：
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
B'
C'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
11
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
Z
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
评注：
E
本题若用一般法证明，
容易证A’F垂直于BD，
而证A’F垂直于DE，
F
Y
或用证建立A’空F间垂坐直标于系EF的则方较法难，X
能使问题化难为易。
12
练习：
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
A'C AB ',求证：BC ' AB ' 设底面边长为2,高为h, 坐标法
如图建立空间直角坐标系.
C
B
A
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A'( 3,0, h), B'(0,1, h),C'(0,1, h). AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' • A'C 3 1 h2, h2 2.
BC' BA AC CC' c a b
13
练习：
B' C'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
0 A'C • AB ' (c a) • (b a)
C
B
2
c•b c•a a•b a
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
DC
B
则A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1D (1, 0,1), B1C (1, 0,1)
D1
A1
B1
X
C1
Y
A1D // B1C.即直线A1D // B1C，
则A1D // 平面CB1D1.同理右证：A1B // 平面CB1D1.
C' A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
证明：, c AC C
B
A
a • b 0, a • c 0, b • c 1/ 2.
A'C A' A AC c a
向量法
AB' AB BB' b a
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
C
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
证明: 在正方形ABCD与ABEF中, A
D
BE AB, FM AN, FB AC,
存在实数,使FM FB, AN AC.
MN MF FA AN BF EB AC
v
3
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，平面，的法向量分别为 u，v
（2）垂直关系
线线垂直 l m
线面垂直 l 面面垂直
a b a b
a// u a u
u v uv
0
0
4
二、新课
（一）用向量处理平行问题（二）用向量处理垂直问题
5
（一）用向量处理平行问题
(BE BA AB AD) EB (BE AD) EB
(BE BC) BE ( 1)BE BC.
6
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
MN、BE、BC共面.
A
M 平面EBC,MN // 平面EBC