基础知识天天练1-3. 数学 数学doc

第1模块第3节
[知能演练]
一、选择题
1．若命题“p或q”是假命题，则下列判断正确的是
() A．命题“綈p”与“綈q”的真假不同
B．命题“綈p”与“綈q”至多有一个是真命题
C．命题“綈p”与“綈q”都是假命题
D．命题“綈p”且“綈q”是真命题
解析：由于“p或q”是假命题，所以p和q都是假命题，于是綈p和綈q都是真命题，因此“綈p”且“綈q”是真命题．
答案：D
2．设p、q是简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的
() A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：p且q为假，即p和q中至少有一个为假；p或q为假，即p和q都为假，故选A.
答案：A
3．下列全称命题为真命题的是
() A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin y
B．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos y
C．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos y
D．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y
解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选D.
答案：D
4．对下列命题的否定错误的是
() A．p：负数的平方是正数；綈p：负数的平方不是正数
B．p：至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；綈p：每一个整数，它是合数或质数
C．p：∀x∈N，x3>x2；綈p：∃x∈N，x3≤x2
D．p：2既是偶数又是质数；綈p：2不是偶数或不是质数
解析：綈p应为：有些负数的平方不是正数．
答案：A
二、填空题
5．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，则对下列命题的判断：
①p或q为真；②p或q为假；
③p且q为真；④p且q为假；
⑤非p为真；⑥非q为假．
其中判断正确的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)
解析：p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，p 假q 真，故①④⑤⑥正确． 答案：①④⑤⑥
6．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．
解析：因为命题綈p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就是不
等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0Δ＝4－12a <0，解得a >1
3，因此当命题
p 是假命题，即命题綈p 是真命题时实数a 的取值范围是a ≤1
3
.
答案：a ≤1
3
三、解答题
7．写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；
(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分； (3)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根． 解：(1)p 或q ：2是4或6的约数，真命题； p 且q ：2是4的约数也是6的约数，真命题； 非p ：2不是4的约数，假命题．
(2)p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p ：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p 或q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p 且q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根，假命题． 非p ：1不是素数．真命题． 8．写出下列命题的否定形式：
(1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除；
(3)∃θ∈R ，使得函数y ＝sin(2x ＋θ)是偶函数； (4)∀x ，y ∈R ，|x ＋1|＋|y －1|>0.
解：(1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除． (3)∀θ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋θ)都不是偶函数． (4)∃x ，y ∈R ，|x ＋1|＋|y －1|≤0.
[高考·模拟·预测]
1．设结论p ：|x |>1，结论q ：x <－2，则綈p 是綈q 的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由|x |>1得x >1或x <－1，
∴p ：x >1或x <－1，∴綈p ：－1≤x ≤1， 綈q ：x ≥－2，∴綈p 成立，綈q 一定成立， 綈q 成立，綈p 不一定成立． 答案：A
2．有四个关于三角函数的命题：
p 1：∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝1
2
；
p 2：∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；
p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos2x
2＝sin x ；
p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π
2
.
其中的假命题是
( )
A ．p 1，p 4
B ．p 2，p 4
C ．p 1，p 3
D ．p 2，p 3
解析：∵∀x 均有sin 2x 2＋cos 2x
2
＝1，∴命题p 1为假命题．当x ＝2kπ时，显然有sin(x －
y )＝sin x －sin y ，∴命题p 2为真命题．∵1－cos2x
2
＝|sin x |，而x ∈[0，π]，sin x ≥0，∴命题
p 3为真命题．∵sin x ＝cos y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋y ，∴当x ＝2kπ＋π2＋y 时，有sin x ＝cos y ，但x ＋y ＝π2
不一定成立，∴命题p 4为假命题，故选A.
答案：A
3．下列4个命题．
p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x 0<⎝⎛⎭⎫
13x 0；
p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 1
3x 0；
p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 1
2
x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 12
x . 其中的真命题是
( )
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 1，p 2
D ．p 2，p 4
解析：∵当x >0时，恒有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x ，∴p 1
为假命题．而x ＝12时，log 1212＝1＝log 1313>log 131
2，∴p 2为真命题．∵当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫1214<1，而log 1214
＝2>⎝⎛⎭⎫1214，∴p 3为假命题．而当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x <1，log 12x >log 1213
>1，∴p 4为真命题，故选D. 答案：D
4．已知定义在R 上的函数f (x )，写出命题“若对任意实数x 都有f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数”的否定：________________________________.
解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题．
答案：若存在实数x 0，使得f (－x 0)≠f (x 0)，则f (x )不是偶函数． 5．设有两个命题：
①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ； ②函数f (x )＝log m x 是减函数．
如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集为R ，则m ≥0； ②函数f (x )＝log m x 为减函数，则0<m <1. ①与②有且只有一个正确，
则m 的取值范围是m ＝0或m ≥1. 答案：m ＝0或m ≥1
6．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈[1
2
，2]时，函数f (x )＝x
＋1x >1
c
恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解：由命题p 知：0<c <1.
由命题q 知：2≤x ＋1x ≤5
2，
要使此式恒成立，则2>1c ，即c >1
2
.
又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，
当p 为真，q 为假时，0<c ≤1
2
.
当p 为假，q 为真时，c ≥1.
综上，c 的取值范围为{c |0<c ≤1
2
或c ≥1}．。