基础知识天天练1-3. 数学 数学doc

第1模块第3节

[知能演练]

一、选择题

1．若命题“p或q”是假命题，则下列判断正确的是

() A．命题“綈p”与“綈q”的真假不同

B．命题“綈p”与“綈q”至多有一个是真命题

C．命题“綈p”与“綈q”都是假命题

D．命题“綈p”且“綈q”是真命题

解析：由于“p或q”是假命题，所以p和q都是假命题，于是綈p和綈q都是真命题，因此“綈p”且“綈q”是真命题．

答案：D

2．设p、q是简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的

() A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：p且q为假，即p和q中至少有一个为假；p或q为假，即p和q都为假，故选A.

答案：A

3．下列全称命题为真命题的是

() A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin y

B．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos y

C．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)

D．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)

解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0

答案：D

4．对下列命题的否定错误的是

() A．p：负数的平方是正数；綈p：负数的平方不是正数

B．p：至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；綈p：每一个整数，它是合数或质数

C．p：∀x∈N，x3>x2；綈p：∃x∈N，x3≤x2

D．p：2既是偶数又是质数；綈p：2不是偶数或不是质数

解析：綈p应为：有些负数的平方不是正数．

答案：A

二、填空题

5．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，则对下列命题的判断：

①p或q为真；②p或q为假；

③p且q为真；④p且q为假；

⑤非p为真；⑥非q为假．

其中判断正确的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)

解析：p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，p 假q 真，故①④⑤⑥正确． 答案：①④⑤⑥

6．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．

解析：因为命题綈p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就是不

等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩

⎪⎨⎪⎧

a >0Δ＝4－12a <0，解得a >1

3，因此当命题

p 是假命题，即命题綈p 是真命题时实数a 的取值范围是a ≤1

3

.

答案：a ≤1

3

三、解答题

7．写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的新命题，并判断其真假．

(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；

(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分； (3)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根． 解：(1)p 或q ：2是4或6的约数，真命题； p 且q ：2是4的约数也是6的约数，真命题； 非p ：2不是4的约数，假命题．

(2)p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p ：矩形的对角线不相等，假命题．

(3)p 或q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p 且q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根，假命题． 非p ：1不是素数．真命题． 8．写出下列命题的否定形式：

(1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除；

(3)∃θ∈R ，使得函数y ＝sin(2x ＋θ)是偶函数； (4)∀x ，y ∈R ，|x ＋1|＋|y －1|>0.

解：(1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除． (3)∀θ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋θ)都不是偶函数． (4)∃x ，y ∈R ，|x ＋1|＋|y －1|≤0.

[高考·模拟·预测]

1．设结论p ：|x |>1，结论q ：x <－2，则綈p 是綈q 的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：由|x |>1得x >1或x <－1，

∴p ：x >1或x <－1，∴綈p ：－1≤x ≤1， 綈q ：x ≥－2，∴綈p 成立，綈q 一定成立， 綈q 成立，綈p 不一定成立． 答案：A

2．有四个关于三角函数的命题：

p 1：∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝1

2

；

p 2：∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；

p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos2x

2＝sin x ；

p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π

2

.

其中的假命题是

( )

A ．p 1，p 4

B ．p 2，p 4

C ．p 1，p 3

D ．p 2，p 3

解析：∵∀x 均有sin 2x 2＋cos 2x

2

＝1，∴命题p 1为假命题．当x ＝2kπ时，显然有sin(x －

y )＝sin x －sin y ，∴命题p 2为真命题．∵1－cos2x

2

＝|sin x |，而x ∈[0，π]，sin x ≥0，∴命题

p 3为真命题．∵sin x ＝cos y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋y ，∴当x ＝2kπ＋π2＋y 时，有sin x ＝cos y ，但x ＋y ＝π2

不一定成立，∴命题p 4为假命题，故选A.

答案：A

3．下列4个命题．

p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x 0<⎝⎛⎭⎫

13x 0；

p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 1

3x 0；

p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 1

2

x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x

x . 其中的真命题是

( )

A ．p 1，p 3

B ．p 1，p 4

C ．p 1，p 2

D ．p 2，p 4

解析：∵当x >0时，恒有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x ，∴p 1

为假命题．而x ＝12时，log 1212＝1＝log 1313>log 131

2，∴p 2为真命题．∵当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫1214<1，而log 1214

＝2>⎝⎛⎭⎫1214，∴p 3为假命题．而当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x <1，log 12x >log 1213

>1，∴p 4为真命题，故选D. 答案：D

4．已知定义在R 上的函数f (x )，写出命题“若对任意实数x 都有f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数”的否定：________________________________.

解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题．

答案：若存在实数x 0，使得f (－x 0)≠f (x 0)，则f (x )不是偶函数． 5．设有两个命题：

①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ； ②函数f (x )＝log m x 是减函数．

如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集为R ，则m ≥0； ②函数f (x )＝log m x 为减函数，则0

则m 的取值范围是m ＝0或m ≥1. 答案：m ＝0或m ≥1