复变函数 留数和留数定理
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
0
的去心邻域内的罗朗展开式为：
sin z
1 z2
z4
L
1n z2n
L
z
3! 5!
2n 1!
故负幂次项 z1的系数 C1 0 ，即
Res
sin z
z
, 0
0
若孤立奇点z0为f (z)的可去奇点，则
Res f (z), z0 0
例1.3
函数
f
(z)
1 z(z 1)2
在
z
1 处有一个
二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
Cm 0
Байду номын сангаас
g z Cm Cm1 z z0 L C1 z z0 m1
C0 z z0 m L
在点 z0 是解析的，且 g z0 Cm 0
由
f
z
gz z z0 m
，有 z
z0 m
f
z
gz
上式两端对 z 求导 m 1 次，并取极限（z z0），
得
lim
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
复变函数第五章1留数
证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数在数学中有着重要的地位，它是实变函数的推广和扩展。
复变函数的研究依赖于留数定理，这是复分析中的重要概念。
本文将介绍复变函数以及留数定理的基本概念和应用。
一、复变函数的定义与性质复变函数是定义在复数域上的函数，其定义域和值域都是复数集合。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u和v是实变函数。
复变函数和实变函数的性质有相似之处，如连续性、可微性和可导性等。
但复变函数的导数是一个复数，具有方向和模的概念。
二、留数定理的基本概念留数是复变函数在孤立奇点处的特殊性质。
留数定理是复变函数理论中的核心内容之一。
对于函数f(z)，若z=a是它的孤立奇点，可以通过留数计算沿闭合曲线的积分。
留数定理包括留数定理、柯西公式和狄利克雷问题等。
1. 留数定理留数定理是针对有限孤立奇点的情况。
当f(z)在区域D内有孤立奇点a1,a2,...,an时，针对闭合曲线C内的函数f(z)，可以通过求解a1,a2,...,an处的留数来计算C上的积分。
这个定理在复积分计算、曲线积分和求和等问题中有广泛的应用。
2. 柯西公式柯西公式是留数定理的一个重要推论。
柯西公式表明，如果函数f(z)在区域D内解析（即可导），则它在D内的任何闭合曲线C上的积分为零。
这个结论为复变函数的求解和计算提供了方便。
3. 狄利克雷问题狄利克雷问题是留数定理与边值问题相结合的应用，它在电磁学和热传导等领域中起着重要作用。
狄利克雷问题可以通过留数定理求解，将定义在一条封闭曲线上的边值问题转化为计算特定点上的积分问题。
三、复变函数与实变函数的关系复变函数理论是实变函数理论的扩展和推广，两者之间有着密切的联系。
复分析的基本定理和方法可以归结为实分析的特殊情况，同时复分析也为实分析提供了新的解题思路和工具。
1. 复变函数的导数与实变函数的导数复变函数的导数是一个复数，可以表示为f'(z)=u_x+iv_x，其中u_x和v_x是u和v相对于x的偏导数。
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
复变函数 留数和留数定理讲解
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
复变函数-留数定理
dz 例 计算积分 ， 其中，C 为 8 2 C ( z i ) ( z 1) ( z 3) 正向圆周： z 2.
1 解 记 f (z) ， 则 8 2 ( z i ) ( z 1) ( z 3) 除 点外，被积函数的有限奇点为： i， 1， 3， 由留数总和定理得 Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ] 0 由于奇点 i， 1在圆周C 得内部，由留数定理 及上式得
三、留数定理
定 理 设 函 数 f ( z ) 在 区 域D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 zk ( k 1,2, , n) 外 处 处 解 析 , C 为 D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线 ,则
C
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
4、若z0为f ( z )的m级极点，则
1 d m 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] Re s[ f ( z ), z0 ] ( m 1)! z z0 dz
5、若z0为f ( z )的本性奇点，
将f ( z)在0 z z0 内展开成洛朗级数，求a1;
dz C ( z i )8 ( z 1)2 ( z 3) 2 i{Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1]}
2 i{Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ]}
而
1 1 Re s[ f ( z ), 3] lim( z 3) f ( z ) lim 8 2 z 3 z 3 ( z i ) ( z 1) 4(3 i )8
复变函数-幅角原理及其应用
f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一方面
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
dCdz来自[lnf(z)]dz
1
arg P iy n
y( Z )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。
例4 证明多项式 g(z) z4 3z+1 的全部4个零点都位 于 z 2 内。 例5 证明: 满足条件 at | a0 | | a1 | L | at1 | | at1 | | an|
4
8
在自动控制中，一些技术的稳定性归结为要求常系 数线性微分方程解的稳定性，而这类问题要求该方 程的特征多项式
P z a0zn a1zn1 L an
复变函数留数和留数定理
f
( z )]
说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作 规则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.
6
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那么 z0 为
f (z) 的一级极点, 且有
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
函数, 则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-
z0的偶次幂, 其奇次幂系数都为0, 得
Re s f (z), z0 0
4
(2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
9
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
Res[
f
(z),0]
复变函数之留数定理
∫ f
( z )在a点的留数：Res [
f
(z), a]
=
a−1
=
1
2π
i
f (ζ )dζ ，
C
它是f (z)在a的充分小去心邻域内洛朗展式中 z−1a 的系数。
故∫C f (ζ )dζ = 2π i Res[ f (z), a]，
C：在a的使f (z)解析的去心邻域K 内 < 任一条围绕 a 的正向闭路。
第五章 留数及其应用
留数是复变函数又一重要概念，有着非常广泛的应用.
5.1 留数定理
一 、留数的定义和计算
设 a 是 f (z) 的孤立奇点， 则∃δ > 0,使得
f (z)在K : 0 < z − a < δ 解析，f (z)在K内可展为洛朗级数：
∑+∞
f (z) =
an(z − a)n,
n=−∞
留数定理(P103定理1)：设f (z)在闭路C上解析， y
C
∫ ∑ 在C内部除n个孤立奇点a1, a2 ,, an外解析,则 n
a1 C1 a2 C2
C
f (z)d z
=
2π
i Res f (z), ak 。
k =1
0 a3 C3
证明 ∀k =1, 2,n, 以ak为圆心作充分小的圆周Ck ,
an Cn
x
使得C1,C2 ,,Cn都在C 的内部,且它们彼此完全分离(如图)。
由多连通区域柯西积分定理和留数定义得
n
n
∫ ∑ ∫ ∑ C
f (z)d z =
k =1
Ck
f (z)d z = 2π i Res f (z), ak 。#
k =1
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
复变函数留数定理
复变函数留数定理复变函数留数定理（Residue Theorem）是复分析中的重要概念，用于计算对应于奇异点（singular point）的留数（residue）。
留数定理提供了计算复变函数沿闭曲线的积分的一种有效方法，它与复分析中其他重要的定理和方法相辅相成，对于解决实际问题具有重要意义。
一、留数的定义设函数f(z)在点z=a附近解析且具有洛朗展开式f(z)=∑(n=-∞)^∞ a(n)(z-a)^n其中a(n)是复数，令C为以a为圆心的半径为R的圆周，且其方向与实轴正方向一致。
如果函数f(z)在圆盘界上的点（除去a点）上解析，则称a点是函数f(z)的奇异点。
奇异点主要有三种形式：可去奇点、极点和本性奇点。
对于函数f(z)一个奇异点a，定义留数Res[f(z), a]为Res[f(z), a] = a(-1)即留数等于洛朗展开式的一次项系数a(-1)。
二、留数的求解方法1. 求可去奇点的留数当a点是函数f(z)的可去奇点时，即a点是f(z)的解析点，那么留数等于0。
2. 求一阶极点的留数当a点是函数f(z)的一阶极点时，即a点是f(z)的奇异点且它的最低零次是-1次，要求a(-1)≠0。
此时留数可以通过以下方法求解：Res[f(z), a] = lim(z→a) (z-a)f(z)3. 求高阶极点的留数当a点是函数f(z)的高阶极点时，即a点是f(z)的奇异点且它的最低零次大于等于-1次。
此时留数可以通过以下公式计算：Res[f(z), a] = a(-1) = 1/(n-1)! * d^(n-1)/dz^(n-1) [(z-a)^n * f(z)]其中，n为a点的零次。
三、留数定理的表述留数定理的基本表述为：设函数f(z)在闭合曲线C的内部除有限个奇异点外是全纯的，则有积分公式成立：∮[C] f(z)dz = 2πi * ∑ Res[f(z), a]其中，[C]代表C内部的积分，∑代表对所有奇异点求和。
第四章 留数定理
★肯定是0/0型！为什么？
2、设z0是f (z)的m阶极点，则，
1 d Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
2
1 2 1 i lim 3 2! z 0 ( z 2i ) 8i 8
i Res f (0) 8
1 1 i （2） limi ( z 2i) f ( z ) limi 3 z 2 z 2 z 8i 8 z 2i 是 f (z ) 的单极点，其留数为
m 2
....
m 1
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 )m1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
1 1 2 z1 1 1 2 z2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分 一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法1：将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线
n
3、函数在全平面的留数之和等于零——为什么？
0 f ( z )dz f ( z )dz 2 i[ Res f (bk ) Res f ()]
l l k 1
三、单极点处留数的计算P52
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
l j 1 j
复变函数留数和留数定理
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理论支撑
复变函数留数和留数定理是数学领域 中非常重要的概念，它们在复分析、 积分方程、特殊函数等领域有着广泛 的应用。留数定理是解决复积分问题 的重要工具，它可以用来计算复平面 上的曲线积分，解决物理和工程领域 中的许多问题。
留数的计算方法包括直接法、参数法 和级数展开法等。其中，直接法是最 常用的方法，通过将函数在奇点附近 进行泰勒展开，然后利用展开式计算 留数。参数法和级数展开法则适用于 某些特殊情况，如函数具有特定的对 称性或周期性等。
2πi f(z0)，其中z0是该开域内的点。
应用范围
02 柯西积分公式适用于解析函数，即在其定义域内可微
的函数。
特殊情况
03
当z0是奇点时，柯西积分公式不适用。
积分定理和路径的选取
积分定理
如果f(z)在包含z0的开
域内解析，则对于该开
域内的任何两个点z1和
z2，有∫f(z)dz
=
∫f(z)dz + f(z2)(z1-
留数定理是复分析中的核心定理之一 ，它建立了奇点、积分和留数之间的 联系。通过留数定理，我们可以将复 杂的积分问题转化为相对简单的留数 计算问题，从而简化计算过程。此外 ，留数定理还可以用来研究函数的奇 点性质和函数在无穷远点的行为等。
对未来研究和应用的展望
深入研究留数定理
应用领域的拓展
尽管我们已经对留数定理有了较为深 入的了解，但仍有许多未解决的问题 和需要进一步研究的方向。例如，对 于具有更复杂奇点的函数，如何更准 确地计算留数？如何利用留数定理解 决更广泛的积分问题？这些都是值得 探讨的问题。
02
复变函数基础知识
复数及其运算
复数
复变函数论钟玉泉第六章
2aπ 2π a 2 b 2 2 b b2
2 2 (a a 2 b 2 ). b
19
dx 例2 计算 0 2 ( a 0). a sin x π π dx dx 解 0 a sin2 x 0 1 cos 2 x a 2 1 π d2 x 令 2x t, 0 1 cos 2 x 2 a 2 1 1 dz 1 2π dt 2 2 0 a 1 cos t 2 z 1 1 ( z 1) 2 z iz a 2 2 dz 2i 2 . z 1 z 2( 2a 1) z 1
1 d 2 3 z sin z Res[ f ( z ),0] lim 2 z . 6 ( 3 1)! z 0 dz z
计算较麻烦.
7
解
如果利用洛朗展开式求 c1 较方便:
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z
第六章 留数理论及其应用 第一节 留数
1. 留数的定以及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数
1
定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在 点a的某去心邻域0<|z-a|<R内解析，则称积分 1 f ( z )dz ( :| z a | ,0 R) 2i Re s f ( z ). 为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：
例1 计算积分
z5 I dz 6 1 z Z 2
例2 利用无穷远点的留数计算积分 z13 dz I | z| 3 ( z 2 5)3 ( z 4 1) 2
15
第二节 用留数定理计算实积分
某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复 变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分 值，这时计算某些实积分的有效途径之一。
复变函数 第五章 留数
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
复变函数-留数定理资料
当 m 1时
z Re s[ f ( z ),1] lim( z 1) f ( z ) lim 1 z 1 z 1 z 2
当m 2时
( m 1) 1 m Re s[ f ( z ),1] lim( z 1) f ( z ) ( m 1)! z 1
z 例 求 dz | z| 3 ( z 1)( z 2)
z 解 :由于 f ( z ) 在圆周 | z | 3内部有一个一级 ( z 1)( z 2) 极点 z 1, 和一个一级极点z 2
ze z 例 求 Re s[ 2 ,1] z 1
解： 显然，z 1是f ( z )的一级极点，
ze z e ze z 所以 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
或者：取P ( z ) ze z , Q( z ) z 2 1
所以 而
C
f ( z )dz 2iRe s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 1]
ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 z 1 z 1 2
ze z e1 Re s[ f ( z ), 1] lim( z 1) 2 z 1 z 1 2 于是得到 e e 1 ze z C z 2 1 dz 2i 2 2 2i ch 1
P (1) e Re s[ f ( z ),1] Q(1) 2
1 例 求 Re s[ 2 , i] 3 ( z 1)
解： 由于 f ( z )
1 ( z i )3 ( z i )3
所以z i是f ( z )的三级极点。
复变函数中的留数定理
复变函数中的留数定理
复变函数是指既定义在复数域上又取复数值的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和定理，其中留数定理是其中一个重要的定理。
本文将介绍复变函数中的留数定理以及其应用。
一、留数的定义和计算方法
在复变函数中，留数(residue)是指当函数在某个点存在奇点时，即函数在该点不解析的情况下，奇点点内仍然具有一定的数值。
留数的计算方法可以通过洛朗级数展开或者柯西积分公式来实现。
对于一个圆心在奇点上的积分路径，留数的计算公式可以表示为：Res[f;z_0] = (1 / (2πi)) ∮ f(z)dz
二、留数定理的表述
留数定理是指当一个函数在一个环形区域上解析且没有奇点时，该函数的积分沿该闭合曲线的环形轮廓，等于沿环形区域内部孤立奇点的留数之和。
数学表述如下：
∮ f(z)dz = 2πi ∑Res[f;z_i]
三、留数定理的应用
1. 计算积分：留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
通过计算函数在奇点处的留数，可以将积分转化为留数之和的形式，从而简化计算过程。
2. 求解无穷级数：通过留数定理，可以将一个函数展开为洛朗级数，从而求解一些复杂的无穷级数。
3. 解析函数的奇点：留数定理可以帮助我们分析函数在复平面上的
奇点，并研究奇点的类型和性质。
总结：
复变函数中的留数定理是一个重要的工具，可以在计算积分、求解
无穷级数和分析奇点等方面发挥关键作用。
留数定理的应用不仅仅局
限于数学领域，而且在物理学、工程学和经济学等学科中也具有重要
的意义。
通过掌握留数定理的原理和计算方法，我们可以更好地理解
和应用复变函数的知识。
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Re
s
f
(z),
z0
lim
zz0
(z
z0
)
f
(z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
f
( z )]
26
5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。
z0
]
lim(z
z z0
z0
)
f
(z).
6
规则2 若z0为f(z) 的m级极点, 则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
(n
1 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[( z
z0 )n
f
( z )]
说明 将函数的零阶导数看作它本身, 规则1可看作规 则2当n=m=1时的特殊情形, 且规则2可取m=1.
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
10
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z z6
在
z
0 的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6
Res
f
(z),0
(6
1
d5
lim 1)! z0
dz
5
z
6
z
sin z6
z
1 5!
.
13
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (,ez ;1) z5 z0 0
解：z0 是0函数 e的z 一1级零点,
Res[
f
(
z),0]
(3
1 lim
1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
11
解 如果利用Laurent展开式求 c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z1 , 3! 5!
Res
z
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
12
注意: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开Laurent级数求 c1 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
z
z
2 1)(z
3)
dz
,
C为正向圆周 : z 2.
解
被积函数
f
(z)
z3(z
z2 1)(z
3)
除 z 0,
1, 3 点外, 无其他奇点， z 3 在圆外。
z2
所以 C z3(z 1)(z 3) dz
2i{Res[ f (z), 0] Res[ f (z), 1]}
24
Res[
在圆周 z 2 的内部 , 所以
z
C
z4
dz 1
2iRes[ f (z),1] Res[ f (z),1]
Res[ f (z), i] Res[ f (z),i]
由规则3
P(z) Q( z )
z 4z3
1 4z2
,
z
C
z4
1
dz
2i
1 4
1 4
1 4
1 4
0
.
23
例6 计算积分
C
z
3
(
z 1
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2在(z圆2 1)] 的内部z有一2 个二级极点
和两个一级极z 点 0 ,
z i
于是利用留数的计算规则 2和 得1
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
z0
esin z z2 1
C
以 2i 后所得的数 称为 f (z)在 z0 的留数. (Residue)
记作 Res[ f (z), z0]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
2. 计算留数的一般公式
由Laurent级数展开定理, 定义留数的积分值是f(z)在环
若 P(z0 ) 0，Q(z0)=0且
极点，且有 Re s f (z
),
Q'
z0
(
z0
)P，(0z则0 ) z0为f(z)
Q'(z0 )
的一级
6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 0 z z0 内Laurent级数的负一次幂系数c-1
27
第五章作业：P183
1.（1） （2） （6） （7） 8.（1） （2） （4） （7） 9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）
zi
i)
esin z2(z2
z
] 1)
esin z
lim [
zi
z2
(
z
] i)
1 2i
esin(-i)
-i 2
e-ish1
最后由留数定理得积分值为
I2
2i[1
1 2i
(eish1
e-ish1 )]
2i[1 sin(sh1)]
22
例5
计算积分
z
C
z4
dz 1
,
C为正向圆周:
z 2.
解
被积函数 z 有四个一级极点 1 , i 都 z4 1
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C
. z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
f (z) 在 0 z z0 R 内的 Laurent 级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
(cos
z
z
2z 2
) 1
1
Res[
f2 (z),
i]
lim[( z
zi
i)
z
2
esin (z2
z
1)
]
i 2
eish1
sin i eii eii 1 e e1 ish1
2i
i2
21
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
Res[
f 2 ( z ),i]
lim [(z
又是函数 z的5 五级零点.
于是它是 f1(的z)四级极点, 可用规则 2计 算其留数,其中 m,为了4 计算简便应当 取其中 ,这n时有5
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (,ez ;1) z5 z0 0
f
(
z
),
1]
lim[(
z1
z
1)
z
3
(
z
z
2 1)(z
] 3)
1 2
Res[ f (z), 0] 1 lim[ z 2 ] 1 lim[ 1 1 ] 2 z0 (z 1)(z 3) 4 z0 z 1 z 3
因此
1 lim[
2 z0 (z
1 1)3
(z
1 3)3 ]
14 27
C
z
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
c1
1 2i
C
f (z)dz
f (z)在 z0 的留数 Res[ f (z), z0]
1. 定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
z0的某个去心邻域0 z z0 R内，包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值 除
16
(3) f3(z) z, sin2 .z z0 0
解：显然 z0 是0 f3(z) 的z一sin级2 极z 点;可是不能用规
则 求其留数3,由规则 得
1
Res[
f3
(z),
0]
lim( z 2
z0
sin2 z)
lim(2 z 2sin z cos z) (L'Hospital法则) z0
例4. 计算下列积分(1)
I1
z 2
e z dz z(z 1)2
解：被积函数 f1(z) ez [z的(z奇1点)2 ] 和 z 0
都在圆 z 的2 内部,由规则1,2可得以下结果
Res[ f1(;z), 0] 1 Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
1